平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法
平行线中常见的添辅助线的方法：
（1）在平行线内(或外）一点作直线的平行线；
（2）加截线（连接两点、延长线段相交）
例：探究：
（1）、如图1，若AB//CD ，则∠B+∠D=∠E ，你能说明为什么吗？
（2）、反之，若∠B+∠D=∠E ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明。
（3）、若将点E 移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。
（4）、若将点E 移至图3所示位置，情况又如何？
（5）、若将点E 移至图4所示位置，情况又如何？
（6）、在图5中，AB//CD ，∠B+∠D+∠F 与∠E+∠G 又有何关系？
图1 图2 图3
图4 图5
平行线拓展延伸题
一、填空题
1、如图，已知AB ∥CD ，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。
2、如图，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
4、如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= 。 6、如图，已知AB ∥EF ，∠BAC=p ，∠ACD=x ，∠CDE=y ，∠DEF=q,用p 、q 、y 来表示x 得 。
l 1 l 2
1 2
3
二、选择题 如图1，AB ∥CD ，且∠BAP=60°—α，
∠APC=45°+α，
∠PCD=30°—α，则α=( )
A 、10°
B 、15°
C 、20°
D 、30°
图1 图2 图3 2、如图2，CD AB //，且 25=∠A ， 45=∠C ，则E ∠的度数是（ ）
A. 60
B. 70
C. 110
D. 80
3、如图3，已知AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ）
A 、α+β+γ=1800
B 、α—β+γ=1800
C 、α+β—γ=1800
D 、α+β+γ=3600
5、如图，已知AB ∥EF ，∠C=90o
，则α、β和г的关系是（ ）
A 、β=α+г
B 、α+β+г=180o
C 、α+β—г=180o
D 、β+г—α=180o
三、解答题 1如图所示，AB ∥ED ，∠B ＝48°,∠D ＝42°, 证明：BC ⊥CD 。 （选择一种辅助线）
A
B D
C 1 2 3 E
D C B A A B P C D A B C D
E
α β γ
2、如图，若AB ∥CD ，猜想∠A 、∠E 、∠D 之间的关系，并证明之。
4、如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝85°，求∠ABE ＋∠EFC+∠FCD 的度数。
5. 已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD .
一副三角板的旋转与边的平行问题
1、如图1是一副三角尺拼成的图案：
（1）求∠EBC 的度数；
（2）将图1中的三角尺ABC 绕点B 旋转α度（0°＜α＜90°）能否使∠ABE=2∠DBC ？若能，求出∠EBC 的度数；若不能，说明理由．（图2、图3供参考）
E D
C B A F E
D A B C
E D C B A
2、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB
的下方，其中∠OMN=30°。
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边MN恰好与射线OC平行；在
第秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC。（直接写出结果）；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
3、将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起(其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
(1)①若∠D CE＝45°，求∠A CB的度数．②若∠AC B＝140°，求∠DC E的度数．
(2)由(1)猜想∠ACB与∠D C E的数量关系，并说明理由．
(3)当∠A CE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请写出∠AC E的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
（1）已知∠AOC=60°，
所以∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°
所以∠CON=∠COM+90°=150°
（2）当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行，
∴∠AOM=90°，
由题意得，10t=90°
∴t=9
∵∠ONM=60°
∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行
∴∠NOM=270°
由题意得，10t=270°
∴t=27
延长NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得，10t=300°
∴t=30，
当NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，
所以∠AOM=90°－∠AON
∠NOC=60°－∠AON
所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM－∠NOC=30°
(完整版)平行线中的基本图形、辅助线做法.doc
相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律 姓名： 图形一： A B F G E 推广 J C D H I 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 A B A B A B 线做 E E E 法 C D C D C D 写法 对应练习： 1、 如右下图， l ∥ m ，∠ 1＝115o ，∠ 2＝ 95o ，则∠ 3＝ B l 3 D C l 1 3 2 P E A 1 l 2 第 1 题 第 2 题 （ 3 题） 2、如图，在 △ ABC 中，∠ C ＝ 90°．若 BD ∥ AE ，∠ DBC ＝ 20°，则∠ CAE 的度数 是 3、如图，直线 l 1∥ l 2 被直线 l 3 所截，∠ 1=∠ 2=35°，∠ P=90 °，则∠ 3= 4、 如图， AB ∥ CD ，∠ ABF=2 ∠ABE ，∠ CDF=2 ∠CDE ，求∠ E ∶∠ F 的值。 3 3 C D F E A B
图形二： A B E C D 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 A B A B A B 线做 E E E 法 C D C D C D 写法 图形三：结论是： M V K A B G O P C F D L H N S I J E Q R U T 对应练习： 1、 如左下图，直线 AB ∥ CD ，∠ A ＝70 ，∠ C ＝40 ，则∠ E= E D C B A 第1题图
2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：AB∥EF. 翻折问题 1、如图，把一张平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，若∠ DBC=15°，求∠ BOD 的度数。 2、如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D ′、 C′的位置．若∠ EFB ＝ 65°，求∠ AED′的度数。 3、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若150°，则∠ BEF的度数是多少 4、一个长方形 ABCD 沿 PQ 对折，A 点落到 A ′位置，若∠ A′ QB=120°,求∠ DPA′的度数。
初中数学几何图形的辅助线添加方法大全
初中数学添加辅助线的方法汇总 作辅助线的基本方法 一：中点、中位线，延长线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六：两圆相切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。 七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。 如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。 有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想
几种证明全等三角形添加辅助线方法
全等三角形复习课 适用学科数学适用年级初中二年级 适用区域通用课时时长（分钟）120 知识点全等三角形的性质和判定方法 熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用 教学目标 学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法 教学重点 通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力 教学难点 教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC>2AD。 图1 图2 证明：延长AD至E,使AD= DE,连接CE如图2。??? AD是厶ABC的中线，二BD= CD。 又???/ 1 = Z 2，AD= DE, ???△ ABD^A ECD( SAS。AB= CE ???在△ ACE中，CE+ AC>AE, ??? AB+ AC> 2AD。 、沿角平分线翻折构造全等三角形
例 2.如图 3,在厶 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/C 。求证：AB + BD = AC 。 A D 图3 ■ 3 ---- -- C 图4 证明：将厶ABD 沿AD 翻折，点B 落在AC 上的E 点处，即：在AC 上截取 AE = AB,连接EDb 如图4。 ???/ 1 = / 2, AD =AD , AB = AE, ???△ ABD^A AED ( SAS 。 ??? BD = ED,/ ABC =/ AED = 2/C 。 而/AED =/ C +/ EDC ???/ C =/ EDC 所以 EC = ED = BD 0 ??? AC = AE + EC,二 AB + BD = AG 三、作平行线构造全等三角形 例3.如图5,A ABC 中，AB = AG E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长 AC 至U D , 使 CD = BE,连接 DE 交 BC 于 F 。求证：EF = FD 证明：过E 作EM // AC 交BC 于M ，如图6 则/ EMB =/ ACB / MEF =/ CDR ??? AB = AC,A / B =/ ACB ???/ B =/ EMB 。故 EM = BE ??? BE = CD,二 EM = CB 又???/ EFM=/ DFC / MEF =/ CDF
专训1 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
专训1应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法 名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起． 加截线（连接两点或延长线段相交） 1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（） A．120°B．130° C．140°D．150° （第1题） 过“拐点”作平行线 a．“”形图 2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数． （第2题） b．“”形图 3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数； （2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明
理由； （3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． （第3题） c．“”形图 4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？ （第4题） d．“”形图 5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数． （第5题） e．“”形图 6．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数； （2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
（第6题） 平行线间多折点角度问题探究 7．（1）在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？ （第7题） 答案 1．C 2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①. ∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°. ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
(完整word版)相交线与平行线中的辅助线
相交线与平行线中的辅助线 利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况； 1. 缺角补角 在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。 2. 缺线补线 如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。 1、 如图，若AB ∥CD,则∠B-∠C+∠E=? 2、 若∠O=∠A+∠C,AB 和CD 平行吗？说明理由。 3、 如图，FG ∥HI ，∠GEK=120°，∠B=30°，∠C=48°，∠CDI=30°，∠A=? 4、 如图a ∥b, ∠1=105°，∠2=140°，则∠3=？ 5、 如图，l ∥m ，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求∠1=
6、 如图CD ∥EF, ∠F+∠C=∠ABC,求证AB ∥GF 7、如图，AB ∥CD ，猜想∠BAP 、∠APC 、∠PCD 的数量关系，并说明理由. 8、如图，AB ∥CD ，点E 是线段AC 上一点，猜想∠BAC 、∠CED 和∠CDE 之间的数量关系. 9、如图，AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=110°，则∠3 10、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。求证：AB ∥EF 11、如图，AB ∥ED ，α=∠A+∠E ，β=∠B+∠C+∠D ．证明：β
六年级数学2.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为() A．30°B．32°C．42°D．58° 第1题图第2题图 2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足() A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】 ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】() A．20°B．30°C．40°D．70° 第4题图第5题图
5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________． 6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题． 已知：______________，结论：______________． 解： 7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】 (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO； (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由． 参考答案与解析 1．B 2.B 3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°. (2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
四边形辅助线常用做法
四边形常用的辅助线做法 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
全等三角形中常用辅助线(经典)
三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
平行线中的基本图形、辅助线做法
l 1 l 2 l 3 3 1 2 P （3题） 相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律 姓名： 图形一： 推广 A B E D C F G J H I 三种辅助线得画法：结论就是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 如右下图，l ∥m ，∠1＝115o，∠2＝ 95o，则∠3＝ 第1题 第2题 2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ， ∠DBC ＝20°，则∠CAE 得度数就是 3、如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°，则∠3= 4、如图，AB ∥CD ，∠ABF=3 2∠ABE ，∠CDF=3 2∠CDE ，求∠E ∶∠F 得值。 C D F B A E 图形二： A B E D C A B C D E
三种辅助线得画法：结论就是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 图形三：结论就是： L F A B E D C I J K H G Q R S T U M V N O P 对应练习：1、如左下图，直线AB∥CD，∠A＝70?，∠C＝40?，则∠E= 2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：A B∥EF、 翻折问题 1、如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°，求∠BOD得度数。 A C B D E 第1题图
2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′得位置．若∠EFB ＝65°，求∠AED′得度数。 3、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150 ∠=°，则∠BEF得度数就是多少 4、一个长方形ABCD沿PQ对折，A点落到A′位置，若∠A′QB=120°,求∠DP A′得度数。 同位角、内错角、同旁内角角平分线得规律 1、如图，A B∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN，可以得出结论为： 2、如图，A B∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE，可以得出结论为： 3、如图，A B∥CD，∠BAC得平分线与∠ACD得平分线交于点E，可以得出结论为：
全等三角形之辅助线(习题及答案)
全等三角形之辅助线（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】1 读题标注：2梳理思路： 要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等） 过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE = DE
巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ． 2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC = AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划： 过程规划：
3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的 中点．求证：BE=DF． 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°， 点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．
人教版七年级下册《平行线中作辅助线的方法》 解题技巧专题训练
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A．30° B．32° C．42° D．58° 第1题图第2题图 2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( ) A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】 ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】( ) A．20° B．30° C．40° D．70° 第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法 平行线中常见的添辅助线的方法： (1) 在平行线内(或外)一点作直线的平行线； (2) 加截线(连接两点、延长线段相交) 例：探究： (1) 、如图1,若AB//CD ，贝U/ B+Z D=Z E,你能说明为什么吗？ (2) 、反之，若Z B+Z D=Z E,直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明 (3) 、若将点E 移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。 (4) 、若将点E 移至图3所示位置，情况又如何？ (5) 、若将点E 移至图4所示位置，情况又如何？ (6) 、在图5中，AB//CD ，Z B+Z D+Z F 与Z E+Z G 又有何关系？ 平行线拓展延伸题 一、填空题 1、 如图，已知 AB// CD 若Z A=20°,Z E=35，则Z C 等于 ____________ 2、 如图，I 1//I 2，Z 1=120°,Z 2=100°,则Z 3= _____________ 。 4、如图，AB // CD , 1 50°, 2 110°,则 3 _____________ 。 &如图，已知 AB// EF,Z BAC=p Z ACD=x Z CDE=y Z DEF=q 用 p 、q 、y 来 表示x 得 _________________________________ 。 |2 图1
D 、选择题如图1, AB// CD 且/ BAP=60 —a, / APC=45 + a, / PCD=30 —a,则a =（ A、10 图1 B 、15 B D 图3 2、如图2, AB//CD，且 A 25 , C 45，贝U E的度数是（） A. 60 B. 70 C. 110 D. 80 3、如图3,已知AB// CD则角a、B、丫之间的关系为（） A、a + B + Y =180° B、a — B + 丫=180° C、a + B —丫=180° D、a + B + Y =360 5、如图，已知AB// EF,Z C=90，则a、B和r的关系是（） A、B = a + r B 、a + B + r =180 C、a + B — r =180 D 、B + r — a =180° 三、解答题1如图所示，AB// ED, / B= 48° , / D= 42° ,证明：BCLCD （选择一种辅助线） B
全等三角形中辅助线的添加解析
全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接……； （2）作平行线：过点……作……∥……； （3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； （4）作中线：取……中点……，连接……； （5）延长并截取线段：延长……使……等于……； （6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； （7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； （8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： （1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 （3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 （4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 （5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 （6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） △ABC中AD是BC边中线 方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
实用文档 用心整理 X*千里之行 始于足下 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，/ O 4. （2017枣庄中考）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三 角板的一直角边重合，含 30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板 的 一个顶点在纸条的另一边上，则/ 1的度数是 ________ . 5.如图，AB // CD ，分别探讨下面四个图形中/ 从所得 到的关系中任选一个加以说明. 【方法8】 ?类型一 含一个拐点的平行线问题 1.如图, AB // EF , CD 丄 EF 于点 D.若/ ABC = 40 ° 则/ BCD 的度数为 （ A . 140 B . 130 ° C . 120 ° D . 110 第2题图 2.如图, 已知 AB // DE , / ABC = 70 ° / CDE = 140 ° 则/ BCD 的度数为（ A . 20 B . 30 ° C . 40 D . 70 第4题图 图② 图? 1 3.如图， + / 2+/ 3 = APC 与/ PAB , / PCD 的关系，请你
实用文档 用心整理 2 之行始于足下 ?类型二 含两个或多个拐点的平行线问题 6.如图，AB // CD ，用含/ 1,/ 2,/ 3的式子表示/ 4,则/ 4的值为( A ./ 1 + / 2 — / 3 B ./ 1 + / 3—/ 2 C . 180。+/ 3—/ 1 — / 2 D . / 2+/3 — / ⑶如图③，/ 2+/ 3 +/ 4 = 1 + / 2 + /3+/ 4+??? + / n = 第7题图 7.如图，直线 11// 12，/ a=/ 3, / 1 = 40 ° 则/ 2 = &如图，AB //CD ，试解决下列问题: ⑴如图①，/ 2= (2)如图②，/ 2+/ 3 = 1 — 180 ⑷如图④，试探究/
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°,
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 ?类型一含一个拐点的平行线问题 1.如图，AB // EF , CD丄EF于点D.若/ ABC = 40 °则/ BCD的度数为（） A. 140 ° B. 130 ° C. 120 ° D. 110 2.如图，已知AB // DE，/ ABC = 70 ° / CDE = 140 ° 则/ BCD 的度数为（） A. 20 ° B. 30 ° C. 40 ° D. 70 3?如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，/ + Z 2+Z 3 = ° 4.（2017枣庄中考）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的 一个顶点在纸条的另一边上，则/ 1的度数是________ . 5.如图，AB // CD，分别探讨下面四个图形中/ 从所得到的关系中任选一个加以说明. 【方法8】 图① C D 图③ 第2题图 APC与/ PAB，/ PCD的关系，请你 第1题图
?类型二含两个或多个拐点的平行线问题 6.如图，AB // CD，用含/ 1,/ 2,/ 3的式子表示/ 4,则/ 4的值为（ ） A.Z 1 + / 2-/ 3 B./ 1 + / 3—/ 2 C. 180 °+/ 3—/ 1 — / 2 D. / 2+/ 3 — / 1 —180 第7题图 7.如图，直线11 / 12,/ a=/ 伏 / 1 = 40 ° 则/ 2= ____________ &如图，AB //CD，试解决下列问题: (1)如图①，/ 1 + / 2= _________ ; (2)如图②，/ 1 + / 2+/ 3 = __________ ; ⑶如图③，/ 1 + / 2+/ 3 +/ 4 = ___________ ;
几种证明全等三角形添加辅助线的方法
教学难点通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， . ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 ∵在△ACE中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB ＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC 上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。 ∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。 .
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。 ∵BE＝CD，∴EM＝CD。 又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。
平行线中的基本图形、辅助线做法
l l l 3 1 2 P （3题） 相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律 姓名： 图形一： 推广 A B E D C F G J H I 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 对应练习：1、如右下图，l ∥m ，∠1＝115o， ∠2＝ 95o，则∠3＝ 第1题 第2题 2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是 3、如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°，则∠3= 4、如图，AB ∥CD ，∠ABF=3 2∠ABE ，∠CDF=3 2∠CDE ，求∠E ∶∠F 的值。 C D F B A E B C D
图形二： A B E D C 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 图形三：结论是： L F A B E D C I J K H G Q R S T U M V N O P 对应练习：1、如左下图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70，∠C ＝40，则∠E= A C B D E 第1题图
2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：AB∥EF. 翻折问题 1、如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°， 求∠BOD的度数。 2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB ＝65°，求∠AED′的度数。 3、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150 ∠=°，则∠BEF的度数是多少
(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 ∵在△ACE中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。 证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。 ∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。 证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。 ∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。 证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BM， ∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。 ∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°， ∴△ABM≌△CAF（ASA）。 ∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。 ∵AM＝CM，∴CF＝CM。 ∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD， ∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。 ∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。
添加辅助线歌诀
添加辅助线歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。