2配方法 - 副本
第2讲解一元二次方程-配方法(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了配方法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对配方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数学运算能力，熟练掌握配方法的运算步骤，提高解题效率。
4.培养学生的直观想象能力，通过分析一元二次方程的图像，理解配方法与方程解的关系。
5.培养学生的数据分析能力，通过对不同类型一元二次方程的解析，学会总结规律，提高解题策略。
6.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的方程中抽象出一般性规律，形成对配方法本质的认识。
2.配方法解一元二次方程的示例解析。
3.练习与巩固：不同类型的一元二次方程配方法解题训练。
4.总结与拓展：配方法在实际问题中的应用实例。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过配方法解一元二次方程的过程，使学生理解数学的严谨性和逻辑性。
2.提高学生的数学建模能力，让学生学会将现实问题转化为数学模型，并利用配方法求解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和x²±px±q=0型方程的解法这两个重点。对于难点部分，比如配方过程中如何选择合适的数，以及如何简化表达式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与配方法相关的实际问题。
2.2.2用配方法求解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用配方法求解一个具体的一元二次方程，从而直观地看到结果。
3.培养学生的数学运算能力，熟练运用配方法解一元二次方程，提高解题效率；
4.培养学生的数据分析能力，让学生在解决一元二次方程问题时，能够分析问题、提炼关键信息，并进行合理判断；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握配方法的基础上，探索和尝试新的解题方法，提高解决问题的灵活性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实际问题的数学建模：培养学生将现实问题抽象成一元二次方程，并运用配方法求解的能力。
-重点细节：
-识别问题中的已知量和未知量，建立方程模型；
-将实际问题中的条件转化为方程的约束条件；
-运用配方法求解方程，得出问题的解答。
2.教学难点
-配方法的推导过程理解：学生需要理解配方法背后的数学原理，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
-难点举例：
-学生可能会对为什么要添加和减去同一个数感到困惑；
-对于如何将方程转化为完全平方公式感到不熟悉。
-配方法在实际问题中的应用：将配方法应用于解决实际问题，需要学生具备一定的分析能力和创造性思维。
-难点举例：
-在实际问题中，学生可能难以找到合适的方程模型；
-在应用配方法时，可能会出现计算错误，导致最终答案错误。
-配方法的步骤及应用：配方法是一元二次方程求解的重要方法，本节课的核心是让学生掌握配方法的步骤，并能将其应用于求解实际问题。
2 配方法 公式法PPT课件(人教版)
相等的实数根； ②若方程中a, c异号或b≠0且c=0, 则该方程有
两个不相等的实数根.
21.2 解一元二次方程
题型三 利用方程根的情况确定系数中字母 的值或取值范围
例题3 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数
即(x-5)2=1,
由此可得x-5=±1,
∴x1=6, x2=4.
21.2 解一元二次方程
(3)原方程可化为3x2-5x-2=0.
∵a=3, b=-5, c=-2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=25+24=49>0,
∴ =
−(−)±
×
∴x1=2, x2=-.
±
实数根两种情况, 此时 b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
根据题意, 得Δ=b2-4ac=22+4(m-3)=4+4m-12=4m-8≥0, 解得m≥2. 故选C.
21.2 解一元二次方程
锦囊妙计
利用根的判别式确定系数中 字母的值或取值范围
(1)若一元二次方程有两个不等的实数根, 则Δ＞0；若一元
二次方程有两个相等的实数根, 则Δ=0；若一元二次方程没有
∴方程总有两个实数根.
(2)∵
=
− ±
++−
∴x1=
−
=
+ ± ( − )
+−+
=1, x2=
= .
∵方程的两个实数根都是整数,
∴是整数, ∴m=±1或m=±2.
又∵m是正整数, ∴m=1或m=2.
苏版初三数学上《配方法(2)》名师教案
苏版初三数学上21第二课时 一、教学目标 （一）学习目标1.进一步明白得配方法和配方的目的.2.把握运用配方法解一元二次方程的步骤．3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. （二）学习重点用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. （三）学习难点 配方法的综合应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一样步骤： （1）化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ； （2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ； （4）将原方程变成()2x m n +=的形式；（5）判定右边代数式的符号，若0n ≥，能够直截了当开方求解；若0n <原方程无解.2.预习自测（1）()22________8+=++x x x【知识点】配方法【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方.（2）()22________-=+-x x x【知识点】配方法【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方.(3)22___82____x x x ++=+ 【知识点】配方法【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方.【解题过程】()()22228824422x x x x x ±+=±+=± 【答案】82±±， (4)()2233___3____4x x x -+=-【知识点】配方法【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方.【解题过程】【答案】132±±，(二)课堂设计 1.知识回忆(1).依照平方根的意义，用直截了当开平方法解形如（mx + n ）2=p （p ≥0）的一元二次方程.(2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，专门地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.(3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，然而实际问题的解一定是方程的根.2.问题探究探究一：配方法解一元二次方程的规律▲ ●活动① 以旧引新 (1)()229________x x x ++=+能用上节课学过的二次项系数为1的二次三项式的配方法将问题（1）解决吗？学生答：常数项等于一次项系数的一半的平方，是814，因此结果为： 老师问：依照二次项系数为1的二次三项式的配方法，小组讨论一下我们如何将系数不为1的二次三项式配方？学生答：先将二次项的系数提出来，将括号内的二次三项式的二次项系数化为1.再按照二次项系数为1的二次三项式的配方法进行配方.那我们请一位同学给大伙儿演示一下.(2)23612x x --解：【设计意图】由二次项系数为1的二次三项式配方得出二次项系数不为1的二次三项式配方的方法.●活动② 大胆猜想，探究新知 那我们试着解一下方程：（3）236120x x --=有的学生采纳的方法（一）： 有的学生采纳方法（二）： 比较两种方法哪种更简单【设计意图】问题（3）学生联想、尝试、对比在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锤炼了学生的思维能力.通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，明白得数学化归思想重要意义.●活动③ 集思广益，归纳方法用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一样步骤： （1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；（2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； （4）将原方程变成()2x m n +=的形式；（5）判定右边代数式的符号，若0n ≥，能够直截了当开方求解；若0n <原方程无解.【设计意图】体会数学思想方法在数学中的地位和作用 探究二 利用配方法解一元二次方程. ★ ▲●活动① 配方法的练习例1．已知()22212x x a b x c ++=+，求,,a b c 的值. 【知识点】 配方法【解题过程】()()222212269232918,2,3x x a x x x a b c ++=++=+∴=⨯===【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方.【答案】 （1）18，2，3【设计意图】通过练习，把握配方法的本质. 练习1.已知()224x x a b x c --+=+，求,,a b c 的值. 【知识点】 配方法【解题过程】()()()222244424,1,2x x a b x c x x x a b c --+=+=-++=-+∴=-=-=【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方.【答案】 （1）-4，-1，2【设计意图】通过练习，把握配方法的本质. 例2. 二次三项式2243x x ++的值（ ）A.小于1B.大于1C.大于等于1D.不大于1 【知识点】 配方法 【解题过程】()()()22222432212132112101x x x x x x ++=++-⨯+=+++≥∴≥原式【思路点拨】将二次三项式配方，然后依照平方大于等于0，求出最值.【答案】 C 练习2. 已知代数式2916x kx ++是完全平方式，则k 等于（ ） A.12 B.12± C.24 D.24± 【知识点】 完全平方式 【解题过程】【思路点拨】依照()2222a b a ab b +=++，一次项的系数等于2倍,a b 系数乘积.【答案】 D【设计意图】通过练习，把握配方法的本质.●活动② 利用配方法解一元二次方程 例3 . 用配方法解方程：2213m m += 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】解：【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2x m n -=的形式，直截了当开方法求解.【答案】1211,2m m ==【设计意图】感受配方法解系数不为1的一元二次方程的本质. 练习3.用配方法解方程：22740x x +-= 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2x m n -=的形式，直截了当开方法求解.【答案】121,42x x ==-【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程是（ ） A.246x x +=- B.2245x x -= C.245x x -= D.222x x +=-【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()222.46,442,22A x x x x x +=-∴++=-∴+=-，无实数解；()2222557.245,2,211,1222B x x x x x x x -=∴-=∴-+=+∴-=，有实数解，但方程两边同时加上的数不是4；()222.45,4454,29C x x x x x -=∴-+=+∴-=有实数，且方程两边同时加上的数是4；()222.22,2121,11D x x x x x +=-∴++=-+∴+=-，无实数解.【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2x m n -=的形式.若0n ≥，则有实数解.同时注意所加的数是否是4.【答案】C练习4.下列配方有错误的是（ ） 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2x m n -=的形式.【答案】D【设计意图】在学生把握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，让学生用类比的方法解决问题.●活动③ 综合应用例5. 若代数式2222208580x y y x ++-+=，则x y +的值是 .【知识点】 二次项系数不为1的配方法 【解题过程】【思路点拨】将方程化成()()22x m y n a +++=的形式. 【答案】-3【设计意图】在学生把握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，显现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.练习5. 已知实数,x y 满足2224848x y xy y ++=-，求,x y 的值.【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】【思路点拨】将方程化成()()220x m y n +++=的形式.【答案】22x y =-⎧⎨=-⎩【设计意图】在学生把握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，显现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.3. 课堂总结 知识梳理用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax的形式；2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；6.若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根.重难点归纳1.用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一样步骤:1）一化：化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；x2+ab x +ac =02）二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；x2+abx=–ac 3）三配：①配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x2+ab x+(ab2)2 =–a c +(ab 2)2的形式；②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭4边是非负数，否则原方程无解；x+a2b= 2a±②分别解这两个一元一次方程，求出两根；2b x a-±=2.配方法的理论依据是完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)23.配方法解方程的步骤能够灵活运用，有时可不必将二次项系数化为1，而是将方程配成（mx+n ）2=n 的形式，再直截了当开平方降次求解.4.一元二次方程的配方是两边同时除以a，而二次三项式的配方是提取a，要注意区别.（三）课后作业基础型自主突破1．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．212x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【知识点】直截了当开方法判定有无实数解.【解题过程】【思路点拨】原方程变形为（x+m）2=n的形式；若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.【答案】B2．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4【知识点】配方法的应用【解题过程】解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5【思路点拨】依照配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再运算．【答案】C3. 用配方法解一元二次方程﹣3x2+4x+1=0的第一步是把方程的两边同时除以．【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：﹣3x2+4x+1=0，方程两边同时除以﹣3得：x2﹣43x﹣13=0，则此方程用配方法解时的第一步是把方程的两边同时除以﹣3．【思路点拨】配方法解方程时，第一将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后在方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．【答案】-34. 用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=，k=．【知识点】解一元二次方程-配方法．【解题过程】解：原方程能够化为：移项，得x2+32x=﹣12，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+32x+234⎛⎫⎪⎝⎭=﹣12+234⎛⎫⎪⎝⎭，配方，得231416 x⎛⎫+=⎪⎝⎭比较对应系数，有：34116hk⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【思路点拨】配方法的一样步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【答案】故答案是：34、1165. 用配方法解一元二次方程4x2﹣1=12x 【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】解：4x2﹣1=12x，4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+94=14+94，（x﹣3252，x﹣32=±10x1=3103102++=x2=3103102-=；【思路点拨】配方法的一样步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3.【答案】，；6.用配方法解下列关于x 的一元二次方程：9x2﹣12x=1． 【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：方程变形得：x2﹣43x=19， 配方得：x2﹣43459，即（x ﹣23）2=59，开方得：x2解得：，．【答案】，．能力型 师生共研7.用配方法解方程：2(21)(32)7x x x -=+- 【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】()22222212(21)(32)74413276869131314,2x x x x x x x x x x x x x x x -=+--+=+--=--+=-=-=±==【思路点拨】先将方程化成一样形式，然后再用配方法解一元二次方程.【答案】124,2x x == 8.求2272x x -+ 的最小值 .【知识点】配方法【解题过程】22222727222749492()2221616733332488x x x x x x x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-+-⨯+⎛⎫=--≥-⎪⎝⎭【思路点拨】将二次三项式配方，然后依照平方大于等于0，求出最值.【答案】338- 探究型 多维突破9. 求代数式22811x x -+-的最大值. 【知识点】配方法求最值【解题过程】 解：原式=()()()()22222411244411223220,-3x x x x x x ---=--+--=-----≤∴原式的最大值是【思路点拨】将二次三项式配方，然后依照平方大于等于0，求出最值.【答案】3-用配方法解关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0．【知识点】解一元二次方程-配方法.【解题过程】解：∵关于x 的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程， ∴a ≠0．∴由原方程，得 x2+b a x=﹣c a ， 等式的两边都加上22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得 x2+b a x+22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=﹣c a +22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 配方，得 （x+2ba ）2=﹣2244ac b a -， 当b2﹣4ac ＞0时，开方，得：b 2a解得x1=2b a -+，x2=2b a--， 当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣2b a； 当b2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根．【思路点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直截了当开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方.【答案】当b2﹣4ac ＞0时，x1=2b a -+，x2=2b a--， 当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣2b a ； 当b2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根． 自助餐1.已知关于x 的方程2220x kx -+=的一个解为12x =，求方程的另一个解.【知识点】方程的根、配方法解一元二次方程【解题过程】把12x =代入一元二次方程中可求出5k =，原方程为【思路点拨】将方程的解代入原方程，求出待定系数。
二元一次方程配方法--练习作业
用配方法求解二元一次方程-练习作业2（60分）1.（6分）用直接开平方法解下列方程：x2=8(3)2x2+8=0(1)x2=16(2)122.（3分）若x=2是关于x的方程x2−c=0的一个根，则这个方程的另一实数根为。
3.（3分）若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m−4，则m=。
4.（3分）若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m−4，则b=________。
a5.（3分）若关于x的一元二次方程a(x+ℎ)2+k=0的两根分别为−3，2，则方程a(x−1+ℎ)2+k=0的根为。
6.（9分）解下列方程：(1)(2t−1)2=16(2)4(2x+1)2−1=24(3)4(x+3)2=25(x−2)27.（3分）把一元二次方程2x2−x−1=0用配方法化成a(x−ℎ)2+k=0的形式(a,ℎ,k均为常数)，则ℎ和k的值分别为________。
8.（3分）用配方法解方程x2+10x−7=0，则方程可变形为(x+5)2=。
9.（3分）若一元二次方程x2−ax+b=0配方后为(x−4)2=3，则a+b=。
10.（12分）用配方法解方程：(1)x2−12x−4=0(2)3x2+2x−5=0第1页，共2页(3)2x2−4x=−1 (4)4x2+4x−3=011.（6分）用配方法解下列方程：(1)x2−6x+1=4x−8 (2)2x(x−5)=2x+612.（6分）用配方法解下列方程：(1)(x−1)2−6(x−1)−27=0(2)x(x−2√ 2)+1=2x2−3第2页，共2页。
17.2一元二次方程2-配方法
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
2、解方程4x 1 3x2
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
A.( x 6)2 2
C.( x 3)2 2
B.( x 3)2 16 D.( x 6)2 16
用配方法解下列方程：
(1)x2 12 x 9 (2)x2 x 1 (3)x2 4x 3 0 (4)x 2 2x 1 0
(5)x2 3x 5 0
思 考
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
分
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
析
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2=10(x-3)+x x2-11x+30=0
1.把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式,然后用开平方法求解,这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
.
3
3.配方:方程两边都加上一 次项系数一半的平方;
x
4
2
5 2.
3 3
x 4 5.
33
x 4 5.
x1
配方法(2)教案
17.2一元二次方程的解法——配方法（2）一、教学目标：.知识与技能：进一步运用配方法解一元二次方程。
会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
过程与方法：通过观察、探究、发现和归纳总结配方法一般步骤。
情感、态度与价值观：通过配方法的学习，培养学生的细心和耐心，从而养成良好的 数学学习习惯。
二、教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
教学难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
三、教学过程：（一）课前复习：用配方法解方程x 2+6 x-3=0 x 2-3x+1=0 x 2-5x-2=0老师点评：我们前一节课用配方法解一元二次方程，配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程，化成两个一元一次方程来求解。
（二）合作探究：问题： 如何解方程： 2x 2－8x +3=0观察：这个方程与前面解的方程有什么不同？怎样求解？这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，把方程的各项都除以2。
这样就转化成会解的方程了。
解：方程两边都除以2得 x 2－4x +32=0 移项得 x 2－4x =-32配方得 x 2－4x+4 =-32+4 （x-2）2=52开方得 x-2=±2x=∴方程的解是：x 1， x 2+2 得出结论：解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：1、化二次项系数为12、移项3、配方4、开方5、写解（三）巩固练习解方程 1、3x 2+2x -9=02、3x 2+6x -4=03、5x 2-15x +11=0（四）总结提高这堂课我们主要学习了用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，配方的关键是：先化二次项系数为1，再在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。
（五）布置作业： 114页2（六）课堂反馈：一、选择题1、配方法解方程x 2-43x -2=0应先把它变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-23）2=89 D 、（x-13）2=1092、下列方程中，一定呦实数解的是（ ）A 、x 2+1=0B 、（2x+1）2=0C 、（2x+1）2+3=0D 、（12x-a ）2=a 3.将二次三项式x 2-4x+1配方后得( ).A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-34、已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z 的值是（ ）A 、1B 、2C 、-1D -2二、填空题：1.方程0162=-x 的根是 .2.方程9)122=-x （的根是_________. 3、方程x 2+4x -5=0的解是____________三、解方程1. x 2-4x-2=02. 2x 2+3=5x3. 23470x x +-=。
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1
人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教学设计1一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22章第2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘除，以及完全平方公式的基础上进行学习的。
配方法是一种解决问题的方法，通过构造完全平方公式，将问题转化为学生已经掌握的知识点，从而解决问题。
配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中有着广泛的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用整式的加减、乘除以及完全平方公式。
但是，对于配方法的原理和应用，他们可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体例子让学生理解配方法的原理，并通过练习让学生掌握配方法的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握配方法的原理，并能够运用配方法解决相关问题。
2.过程与方法：通过具体例子，让学生理解配方法的过程，并能够独立完成配方法的操作。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.配方法的原理理解2.配方法在解决实际问题中的应用五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过具体例子引导学生理解配方法，并通过练习让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。
例如，解决方程x^2 -5x + 6 = 0。
2.呈现（15分钟）讲解配方法的原理，并通过PPT展示配方法的具体步骤。
配方法的步骤如下：（1）将方程写成完全平方的形式；（2）根据完全平方公式，构造出两个相同的因式；（3）将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式；（4）根据乘积等于0的性质，解出方程的解。
3.操练（15分钟）让学生独立完成配方法的操作，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些相关的练习题，检验学生对配方法的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）讲解配方法在解决二次方程、二次不等式以及函数图像的平移等问题中的应用。
2025年浙教版八年级下册数学期末复习专题三 一元二次方程的解法
A. ( − 3)2 =
C. ( −
4
3
3 2 13
) =
2
4
B. ( − 3)2 =
D. ( −
)
31
12
3 2 31
) =
2
12
变式2-2 [2024·杭州上城区期中] 用配方法解方程：
2 + 6 = −8.
【解】 2 + 6 = −8,
2
−
1
2
1
2
=
2 − +
1
，
8
1
16
1
8
= +
1
，
16
−
1
−
4
= 0.
1
3
，
4
16
1
3
则 − = ± ，
4
4
1+ 3
1− 3
∴ 1 =
，2 =
.
4
4
即( − )2 =
方法点拨：配方时，应先将二次项系数化为1，再在等式两
边同时加上变形后的一次项系数一半的平方.
变式2-1 [2024·东阳期中] 用配方法解一元二次方程
1+ 17
______.
2
【点拨】设 =
2
− + 1 = (
1 2 3
− ) + ，∵
2
4
3
4
∴≥ .
原方程变形得2 − − 4 = 0，
解得1 =
1+ 17
，2
2
=
1− 17
（舍去）.
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x 2+3x ﹣1=0x 2+x 2+） x+x 1= 【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax 2+bx+c=0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。
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21.2.1配方法
基础闯关全练
1.(2015辽宁沈阳二模)一元二次方程x2-4=0的根为()
A.x=2
B.x=-2
C.x1=2,x2=-2
D.x=4
2.(2014湖南怀化模拟)方程8x2-72=0的解为________.
3.(2016重庆南开中学入学测试)解方程4(x-2)2=1.
4.(2015甘肃兰州中考)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为()
A.(x+4)2=17
B.(x+4)2=15
C.(x-4)2=17
D.(x-4)2=15
5.把一元二次方程x2-6x+4=0化成(x+n)2=m的形式时,m+n的值为()
A.8
B.6
C.3
D.2
6.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为________,所以方程的根为.
7.用配方法解下列方程.
(1)x2-6x+3=0;(2)2x2-4x-1=0.
能力提升全练
1.把方程x2+4x+1=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是()
A.41
B.14
C.13
D.7
2.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的()
A.(x-p)2=5
B.(x-p+2)2=5
C.(x-p+2)2=9
D.(x-p)2=9
3.(2015北京西城期末)将一元二次方程x2+8x+3=0化成(x+a)2=b的形式,则a+b 的值为________.
4.(2016湖北武汉江岸期中)小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数a2-2b+3.若将实数对(x,-2x)放入其中,得到-1,则
x=________.。