利用数列极限的定义证明(精)
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
例谈数列有界性证明的几种方法
例谈数列有界性证明的几种方法数列有界性是数学分析中一个重要的概念，指的是数列的所有项都在一些范围内，不会无限地递增或递减。
证明数列有界性的方法有很多，下面将介绍其中几种常用的方法。
一、数列的定义法利用数列的定义进行证明是最直接的方法。
数列的定义是一个对于所有自然数n，都存在一个实数an对应的命题。
因此，可以通过确定一个合适的数M，使得对于所有的n，都有，an，≤M，从而证明数列有界性。
二、数列的收敛性如果一个数列收敛，那么它一定有界。
这可以通过数列的极限定义来证明。
假设数列(an)收敛于a，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n≥N时，有，an - a，<ε。
那么对于任意的n，有，an， = ，an - a + a，≤ ，an - a， + ，a，< ε + ，a。
所以可以选择M = max{ε + ，a，, ，a1，, ..., ，aN-1，}，则对于所有n，都有，an，≤M，证明数列有界性。
三、数列的单调有界性如果一个数列是单调递增且有上界，或者是单调递减且有下界，那么它一定有界。
这可以通过数列的单调性和上（下）界定义来证明。
假设数列(an)是单调递增且有上界M，即对于任意的n，都有an ≤ an+1和an≤ M。
那么对于任意的n，有an ≤ M，证明数列有界性。
四、Cauchy准则如果一个数列满足Cauchy准则，那么它一定有界。
Cauchy准则是指对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m, n≥N时，有，am - an，<ε。
可以通过构造一个递增有界数列和递减有界数列，利用数列的极限定义和Cauchy准则来证明数列的有界性。
五、数列的最值如果一个数列的一部分有界，并且剩余部分趋于∞或者-∞，那么整个数列必定有界。
可以通过找到数列的最大值和最小值，并与∞和-∞进行比较来证明数列的有界性。
以上是数列有界性证明的几种常用方法，通过不同的方法来判断数列是否有界，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
推导数列极限存在性的证明
推导数列极限存在性的证明在数学中，数列极限的存在性是一个重要且基础的概念。
在本文中，我们将探讨如何证明一个数列的极限存在。
我们将从定义开始，通过逻辑推理展示证明过程。
1. 极限的定义假设有一个数列 {an}，我们希望证明它的极限存在。
根据极限的定义，对于任意给定的正实数ε，存在一个自然数N，使得当n>N时，|an-L| < ε成立。
其中L为数列的极限。
2. 证明过程我们将通过构造合适的ε，找到对应的N，来证明数列的极限存在。
首先，我们可以利用数列的性质，找到一个递推公式或者通项公式来表示数列的一般形式。
假设数列为 {an}，递推公式为an = f(n)，其中f(n)为一个函数。
接下来，我们利用极限的定义来进行证明。
为了简化证明过程，我们可以假设数列的极限为L。
对于任意给定的正实数ε，我们可以构造一个新的数列 {bn}，其中bn = |an - L|。
我们可以观察到，当数列 {an}的极限存在时，数列 {bn}的极限为0。
根据构造的数列 {bn}和极限的定义，我们可以找到对应的N，使得当n>N时，|bn-0| < ε成立。
然后，我们需要对数列 {bn}进行一些变换。
我们可以利用一些基本的数学性质和运算规则，将数列 {bn}转化为另一个形式。
这个转化过程可能包括绝对值不等式、三角函数性质、序列与极限的运算等等。
最后，我们需要根据转化后的数列 {bn}，找到对应的N'。
当n>N'时，我们可以得出|an-L| < ε的结论。
3. 举例说明为了更好地理解推导数列极限存在性的证明过程，我们举一个具体的例子。
假设数列为{an}，其中an = 1/n。
我们希望证明该数列的极限存在。
根据定义，我们需要找到一个N，使得当n>N时，|an-L| < ε。
假设L=0。
构造数列 {bn}，其中bn = |an-0| = |1/n-0| = 1/n。
我们需要找到对应的N，使得当n>N时，1/n < ε成立。
数列极限的定义及几何解释
第二章函数第1节数列的极限数列极限的定义和几何解释数列的极限的定义和几何解释一、数列极限的定义.})1(1{1时的变化趋势当观察数列∞→-+-n n n 播放问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?n x n .1)1(1,1无限接近于无限增大时当n x n n n --+=问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.=-1n x nn n 11)1(1=--通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011<n 由,100时只要>n ,10011<-n x 有,10001给定,1000时只要>n ,1000011<-n x 有,100001给定,10000时只要>n ,100011<-n x 有,0>ε给定,])1[(时只要ε=>N n .1成立有ε<-n x如果数列没有极限,就说数列是发散的.数列的极限的定义和几何解释二、几点注意和几何解释注意：;.1的无限接近与刻划了不等式a x a x n n ε<-..2有关与任意给定的正数εNx 1x 2x 2+N x 1+N x 3x 几何解释:.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当N a a x N n n εε+->:定义N -ε其中;:每一个或任给的∀.:至少有一个或存在∃.,,0,0lim ε<->>∃>ε∀⇔=∞→a x N n N a x n n n 恒有时使数列的极限的定义和几何解释三、用定义证明数列的极限例1.1)1(lim 1=-+-∞→nn n n 证明证1-n x 1)1(1--+=-n n n n1=,0>ε任给,1ε<-n x 要,1ε<n 只要,1ε>n 或所以,,1]1[+=εN 取,时则当N n >ε<--+-1)1(1n n n 就有.1)1(lim 1=-+-∞→n n n n 即例2.lim ),(C x C C x n n n =≡∞→证明为常数设证C x n -C C -=,成立ε<,0>ε任给所以,0=,n 对于一切自然数.lim C x n n =∞→说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N ,但不必要求最小的N .,0>ε例3.1,0lim <=∞→q q nn 其中证明证,0>ε任给,0ε<=-nn q x ,ln ln ε<q n ,]ln ln [为自然数取q N ε≥,时则当N n >,0ε<-nq 就有.0lim =∴∞→n n q ,0=q 若;00lim lim ==∞→∞→n n n q 则,10<<q 若,ln ln q n ε>∴例4.lim ,0lim ,0a x a x x n n n n n =>=>∞→∞→求证且设证,01>ε任给.lim a x n n =∞→故,lim a x n n =∞→ ,1ε<->∃∴a x N n N n 时恒有使得当a x a x a x n n n +-=-从而有a a x n -<a 1ε<ε=谢谢THANK YOU。
【精品】高等数学1-2-数列的极限
(1) x n
1 3n
(3)
xn
(1)n
1 n
n 1 (5) x n n 1
(7) x n
cos
1 n
(2)
xn
( 1) n
1 n
n
(4) xn sin 2
(6) xn 2(1)n
(8)
xn
ln
1 n
解 (1) 0; (2) 0; (5) 1; (7) 1; (3) (4) (6) (8) 都不存在.
二、数列极限的性质
定理1（极限的唯一性） 如果数列{ xn } 收敛，那
么它的极限唯一.
证 用反证法. 设数列有两个极限 xn a, 及
xn b, 且 a < b.
取 ba .
2
ln im xna,N10,当 nN1时，不等
都成立.
xn
a
ba 2
（2-2）
又 ln im xnb, N20,当 nN2时，不等
以
xn
1 (1)n1 n
为例.
ln im xn 1
（1）用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程 度：
用 xn 1 表示数列与常数值的距离，另用正数
ε 表示两者接近的程度.
xn
11
(1)n1 n
1 (1)n1 1 会越来越小.
n
(n1)2
(n1)2 (n1)2
1 1 n 1 n
0 ，要 xa使 sinn1
n
(n1 )2 n
取 N [ 1 ] ，则当n > N时，就有
sinn 0
数列极限的定义
.
❖数列极限的几何意义
•任意给定a的邻域(a-, a),
•存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a-, a)外 •当n>N时, 点xn全都落在邻域(a-, a)内
(
)
a- a a
lim
n
xn
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
.
例例1：1. 证 明 lim n (-1)n-1 =1 .
,
An表示圆内接正62n-1边形面积, . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
二、数列的定义
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定
的实数 xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
|qn-1-0|=|q|n-1< ,
所 以 lim q n-1 = 0 .
n
五、小结
用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0寻, 找N,但不必要求最小的N. 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;
作业 P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6
,
所 以 lim n (-1)n-1 = 1 .
n
n
lim
n
xn
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
.
例例2.：证 明 lim (-1)n = 0 . n (n 1)2
证明：
|xn
-
0
|
=|
(- 1) n (n 1)2
-0|
高等数学第一章第二节数列的极限课件.ppt
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n}
1 {2n }
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子列的收敛性
练习题
一、利用数列极限的定义证明:
1、lim 3n 1 3 ； n 2n 1 2
2、lim0.999....9 1 n
二、设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
有 xn 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列
xn的极限,或者称数列 xn收敛于 A,记为
lim
n
xn
A,
或 xn A (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
四、数列极限的性质
性质1 如果数列有极限，则极限是唯一的.
7.7.1 数列的极限(含答案)
【课堂例题】例1.考察下列数列，写出它们的极限：(1)35721 ,,,,, 123nn+(2)11111,,,,,(), 248162n---(3)230.99,0.99,0.99,,0.99,n例2.判断数列15.9,6.01,5.999,6.0001,6(),10n+-有没有极限，并说明理由.例3.下列数列是否存在极限?(1)1,1,1,,1,(2)1,1,1,,(1),n---(3)771,101,10 nnann⎧≤⎪=⎨>⎪⎩【知识再现】1.一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或称数列{}n a 于A ，记作 .2.两个常见数列的极限： ①1limn n→∞= ；②当a 满足 时，lim n n a →∞= .【基础训练】1.下列数列中，极限存在的数列是（ ）（A ）(1)10,1,0,1,,,2n -+ ； （B ）23,,,,,n ππππ ； （C ）2482,,,,,39273n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； （D ）39273,,,,,2482n⎛⎫ ⎪⎝⎭.2.分别判断数列{}n a 是否有极限，并利用两个常见数列的极限简述理由.(1)1n n a n +=， ；(2)112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， .3.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限值：(1)7,7,7,,7, ；(2)3,3,3,,3(1),n --⋅- ； (3)2,4,6,,2,n ；(4)1210,,,,1,23n--- . 4.数列{}n a 的通项公式1,12011,1,2012,2nn n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则lim n n a →∞= . 5.(1)已知数列{}n a 的通项公式3221n n a n +=-，填写下表，并判断这个数列是否有极限.(2)已知数列{}n a 的通项公式221,n n a n +=填写下表，并判断这个数列是否有极限.6.判断下列关于数列极限的叙述是否正确，若不正确请举出反例. (1)如果11,2n n >所以11lim lim 2n n n n→∞→∞>.(2)如果lim ,n n a A →∞=那么对一切正整数n ，都有n a A ≤.(3)如果22lim ,n n a A →∞=那么lim n n a A →∞=7.利用计算器，判断下列数列是否存在极限.(1)n a = (2)1sinn b n n=.【巩固提高】8.举出两个极限为2的数列,要求一个各项均大于2,另一个各项均小于2.9.已知数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别是(1)21nn n a n -⋅=-，**11,21,12,2,n n k k N nb n k k N n⎧+=-∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩，判断这两个数列是否有极限，并简述理由.(选做)10.利用数列极限定义，证明：33lim 144n n n →∞=+.【温故知新】 11.已知数列1(1)n a n n =+，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= .【课堂例题答案】例1.(1)21lim2n n n →∞+=;(2)1lim()02n n →∞-=;(3)lim 0.990n n →∞=例2.1lim[6()]610nn →∞+-=因为11lim |6()6|lim()01010n nn n →∞→∞+--==例3.(1)lim11n →∞=；(2)极限不存在；(3)lim 0n n a →∞=【知识再现答案】1.无限趋近于；收敛；lim n n a A →∞=.2.0，||1a <，0 【习题答案】 1.C2.(1)1lim 1,|1|,lim |1|0n n n n n a a a n →∞→∞=-=∴-= (2)1lim 1,|1|,lim |1|02n n n n n n a a a →∞→∞=-=∴-= 3.(1)7；(2)无；(3)无；(4)-1； 4.05.(1)3lim n n a →∞=n6.(1)不正确，limlim 2n n n n →∞→∞= (2)不正确，0,lim 0n nn →∞>= (3)不正确，22lim(1)1,lim(1)1n n →∞→∞-=-≠7.(1)1n =;(2)1lim(sin )1n n n→∞=8.112,2n n a b n n=+=-,答案不唯一. 9.lim n n a →∞不存在，21()2n a n →→∞，211()2n a n -→-→∞； lim n n b →∞不存在，22()n b n →→∞， 211()n b n -→→∞.一个数列的极限若存在，则极限值是唯一的.10.证：0ε∀>，存在031[]1164n ε=-+ 当0n n >时，3333||314416416()16n n n εε-=<=++因此33lim144n n n →∞=+ 证毕 11.1。
浅谈数列极限的定义与证明中的放大法
浅谈数列极限的定义与证明中的放大法
放大法是证明数列极限的一种方法，它可以帮助我们证明某数列的某个值是极限。
一、定义
放大法：也叫元法，是指用正整数m和另一正整数n来操作，使用n 倍公式将一个函数的某一项放大成m项，从而得出极限的概念。
二、基本过程
1. 设原始函数的某一项的值为an，这时用n倍公式将它放大m倍就得到an/n*m；
2. 置原始函数的某一项的值为am，这时用倍公式将它放大m项就得到am/m；
3. 对比这两个值an/n*m与am/m，将它们加以比较，从而判断任意一项的极限值是否一致；
4. 当两项的极限值一致时，我们即可判断这个函数在任意一项的极限值是一样的；
5. 这样，通过放大法，就可以正确地获得某一数列的极限值了。
三、根据放大法的特点
1. 放大法具有较为显著的正方形放大效果，因此，它可以获得较为精确的极限值；
2. 放大法利用元素结构，可以把数列拆分成更小的单元，使用元素结构，可以将整体极限减小，从而节约时间；
3. 放大法可以进行层层放大，从而使函数更加显著，更容易得到准确的极限值；
4. 放大法也可以用来归纳推理，从而得到了更加全面的结论。
四、应用范围
由于放大法的灵活性和精确性，它可以广泛地应用于数列极限的证明中。
例如，可以用它来证明逐步累进的极限、经验数列极限、公差为0的等比数列极限及其他一些特殊数列的极限等。
总之，放大法是一种有效的证明数列极限的方法，它灵活、精确，广泛地应用于数列极限的证明中。
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练习 1、利用数列极限的定义证明. （1）31lim0nn
证明：31110,,NnNnn有 （2）4lim16nnn 证明：1041006,,166nNnNnn有 （3）210lim01nnn 证明：221010101006,,011nnNnNnnn有
（4）221lim12nnn 证明：22211110,,122nNnNnnn有 （5）31lim0!nn 证明：33311101,,!NnNnn有 （6）1lim03nn 证明：1310log1,,3nNnN有 （7）21lim01nnnn 证明：22111101,,011nnNnNnnnnn有
（8）2lim01nnnn 证明：22112101,,011nnNnNnnnnn有 （9）221131lim2452nnnnn 证明：
2222
502,,1131181205245222245224NnNnnnnnnnnnnn有
（10）lim(1)0nnn 证明：
211101,,101NnNnnnnn有
（11）2lim013nnn 证明：23220log1,,133nnnNnN有 （12）33lim(1)0nnn 证明：
3332112
3333
101,,111011NnNnnnnnnn有
（13）22lim(51)3nnnnn 证明：0, 当3n时，存在4max,3N，对nN时，有 222222
2222
3(21)(61)05133(51)513(51)(61)3(3)(61)811251nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
（14）21limsin0nn 证明：2211110,,sin0NnNnnn有 （15）3limtan0nn 证明：
由 3sin331tan033coscosnnnnn
119101,,2cosNnN1有3
n
故对上述0，取96max1,1N，有 3sin3316tan033coscosnnnnnn.
（16）32sin(1)lim0nnnn 证明： 32321sin(1)sin(1)10,,0nnnnNnNnnn
有
（17）1(1)lim0nnn 证明：21(1)201,,0nNnNnn有 （18）lim0.880nn 证明：0.880log1,,0.88nNnN有 （19）1lim50nn 证明：设151,0n，则51nn，所以5n. 因此有 501,NnN
, 有1551nn
（20）25limlglg21nnn 证明： 30,101NnN
，有
25253lglg2lglg1122nnnnn
2．证明下列数列是收敛的。 （1）33331111123nan
证明：na递增，又因为
2222
111111111232231111111111112223341nannnnnn
故na单调有界，收敛. （2）1111ln23nann 证明：1111lnln(1)ln011nnnaannnnn，所以na减少.又 11111111ln1ln(1)ln(1)ln(1)ln1ln2323211ln1ln22nnannnnn
所以na有下界，收敛. （3）21111333nna 证明：na递增，又因为
211111313311133323213nnnna
故na是单调有界的，收敛. （4）11111!2!!nan 证明：na递增，又因为
2311111111112111112311!2!!222212nnnan
故na是单调有界的，收敛. （5）111122nannn
证明：121nnnnan，又
1111111232(1)122111110212212122nnaannnnnnnnnnn
故na是单调有界的，收敛. （6）21231444nnna 证明：na递增，又因为
2122113223231144422222213122222nnnnnnnnan
由2nn得 2111111121212222212nnna，故na单调有界，收敛. （7）11114nannn
证明：11111114114nnaannnnn
11111410414243444nnnnnnn
，所以1nnaa，na减少，
又31111111331444444nnnannnnnnn个，na有下界，收敛.
（8）222111(1)(1)(1)23nan 证明：121111nnaan，na递减，又因为 11111111111111111122332312341102345nannnnnn
故na单调有界，收敛. （9）11121223nannn
证明：20,,NnN，有
11111121121231213111111111313233212231326121111131326121422nnaannnnnnnnnnnnnnnnnnnn
（10）222
111
12nannnn
证明：由221nnnannn，所以lim1nna. 3．证明数0和1不是下列数列{}na的极限。 （1）(1)12nna