电阻的拉氏变换
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉普拉斯变换LAPLACETRANSFORM资料
udv uv vdu
f (t) dt dv v f (t)
积分
0
f (t) estdt uv vdu
est f (t) f (t) (sest )dt
0
0
f
(0 ) s
0
f
(t) estdt
sF (s) f (0 )
7
二、微分性质： L[ f (t)] sF(s) f (0 )
例13-3 求象函数：
（1）f (t) cost
解： d sint cost
dt
L[cost] L[ 1 d sint] 1 L[ d sint]
dt
dt
1
[s
LAPLACE TRANSFORM
1
历史的回顾
—— 小结线性电路分析
一、电阻电路的直流分析：
二、低阶动态电路的时域分析：
列、解微分方程：较难。1、列；2、解：定动态元件的初态 状态 [ uC(0+)、iL(0+) ] 和定积分常数。 优点：物理概念明确。 三、正弦稳态分析： 频域分析：相量法。
四、非正弦周期函数的谐波分析： 五、非周期函数电路的傅立叶积分：
s pn
Ki为待定之系数。
①将上式两边乘以(s-p1)，先约分，后代数。
(s
p1)
F(s)
K1
(s
p1 )(
s
K2 p2
s
Kn pn
)
令s=p1，代入上式，
K1 [( s p1 ) F (s)]s p1 ②同理可得：
Ki [( s pi ) F (s)]s pi
(电机学)第十四章 拉普拉斯变换-091216
线性动态电路的复频域分析
2014-12-29
浙江工业大学信息学院
1
主 要 内 容
拉 普 拉 斯 变 换
拉氏 变换 基本 性质
拉氏 反变 换的 部分 分式 展开
运 算 电 路
应用 拉氏 变换 分析 线性 电路
2014-12-29
浙江工业大学信息学院
14- 2
§14-1 拉氏变换的定义
例： 求下列函数的原函数
F (s)
F (s)
s 1 s 3 2s 2 2s
解：
s 1 s 1 A B C s 3 2s 2 2s s ( s 1 j )( s 1 j ) s s 1 j s 1 j
其中系数：A s F (s)
t2 tn
A/ s
1 e
t
A s A s(s )
e
t
sin(t )
et cos(t )
tet
sin(t )
s2 2
s s2 2 1 s2
(s )2 2 s (s )2 2
1 (s )2 s (s )2
若时间函数f (t) 的拉氏变换为F (s) ，则f (t) 的导数 f (1) (t)的拉氏变换为： £ £
如果f(t)代表电容电压或电感电流，则它们导数的象函数 中的第二项便是uc(0-)或iL(0-)，即动态元件的初始状态。 二阶导数f (2) (t)的拉氏变换为：
£
n 阶导数f (n) (t)的拉氏变换为：
浙江工业大学信息学院
14- 14
五、复频域平移性质
若时间函数f (t) 的拉氏变换为F (s) ，则将f (t) 乘以eat后得拉氏变换为的拉氏变换为： £
电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
返回 上頁 下頁
则：
返回 上頁 下頁
例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
返回 上頁 下頁
2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
返回 上頁 下頁
3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
返回 上頁 下頁
a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
拉氏变换积分公式
拉氏变换积分公式拉氏变换积分公式，这可是个在数学和工程领域都挺重要的家伙！咱先来说说啥是拉氏变换。
简单来讲，拉氏变换就像是给一个函数穿上了一件特别的“衣服”，让它在另一个“世界”里能更好地被理解和处理。
而积分公式呢，就是计算这个变换过程的工具。
还记得我之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这拉氏变换咋就这么复杂呀？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来，你就会发现它的奇妙之处。
”拉氏变换积分公式看起来挺吓人的，一堆符号和算式。
比如说，对于一个函数 f(t)，它的拉氏变换 F(s) 可以通过积分公式来计算：F(s) = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt 。
这里的 s 是个复变量。
咱举个例子吧。
假设 f(t) = t ，从 0 到正无穷。
那算它的拉氏变换，就得用上积分公式啦。
这时候就得真刀真枪地算积分啦。
先把式子写出来：F(s) = ∫[0,∞] t e^(-st) dt 。
这算起来可得费点功夫，得用一下分部积分法。
就像我们在生活中解决一个复杂的问题，得一步一步拆解，找到关键的地方下手。
算这个积分也一样，把 t 和 e^(-st) 合理地分配，然后逐步计算。
经过一番努力，最终能得到 F(s) = 1 / s^2 。
在实际应用中，拉氏变换积分公式那可是大显身手。
比如说在电路分析里，各种电压、电流的变化都能用它来描述和计算。
想象一下一个复杂的电路，有电阻、电容、电感，它们之间的关系错综复杂。
这时候拉氏变换就像是一把神奇的钥匙，能打开这个复杂谜题的大门。
再比如说在控制系统中，要研究系统的稳定性、响应特性，拉氏变换积分公式能把时域里那些让人头疼的问题，转化到频域里，让分析变得清晰明了。
学习拉氏变换积分公式，就像是攀登一座山峰。
刚开始的时候，望着那陡峭的山坡，可能会心里打鼓。
但只要一步一个脚印，掌握好基本的概念和方法，不断练习，最终就能登上山顶，看到那美丽的风景。
拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换
****拉普拉斯变换及反变换****定义：如果定义：• 是一个关于的函数，使得当时候，；•是一个复变量；• 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分；是的拉普拉斯变换结果。
则的拉普拉斯变换由下列式子给出：1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0(')(])([)0()(])([k k k k nk k n nnn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn =2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
电路原理11.1.1拉普拉斯变换及其基本性质 - 拉普拉斯变换、反变换及动态电路复频域模型
动态电路的复频域分析
五、耦合电感 的运算形式
i1 M i2
+
u1 L1
_
+
L2 u2
_
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI 2(s) Mi 2(0 ) U2(s) sL2I2(s) L2i2(0 ) sMI 1(s) Mi1(0 )
U1(s)
1/sC
运算阻抗
U(s) I(s)Z(s) I(s) U(s)Y (s)
Z(s) R sL 1 sC
Y (s) 1 运算形式 Z (s) 欧姆定理
动态电路的复频域分析
七、运算电路
i1 R
i2
I1(s) R
I2(s)
+
RL
+
i
_ A (t)
L
C
uC
A/s _
RL sL
1/sC
拉氏变换法是一种数学变化，可将高阶微分方程变换 为代数方程以便求解。
例1:对数变换
A B AB
乘法运算简化 为加法运算
lgA lgB lgAB
例2:相量法
正弦量 i1 i2 i 相量 I&1 I&2 I&
正弦运算简化 为复数运算
动态电路的复频域分析
拉氏变换:将时域函数f(t)（原函数：original function）
3)求各部分分式的系数；
4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。
2. 拉氏变换法分析电路 u(t ) i(t )
正变换 反变换
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
电阻的拉氏变换
拉普拉斯变换是一种数学方法，广泛应用于电路分析中，它可以将时域函数转换为复频域函数，从而使得电路分析更加简便。
在电路分析中，电阻是一种基本的元件，其特性可以用欧姆定律来描述。
欧姆定律可以用数学公式表示为V=IR，其中V为电压，I 为电流，R为电阻。
在拉普拉斯变换中，欧姆定律的公式可以转换为复频域形式，即V(s)=I(s)R(s)，其中s为复频率。
需要注意的是，电阻的拉普拉斯变换并不是将电阻本身变为另一种电阻，而是将电阻的特性转换为复频域函数，以便在电路分析中使用。
拓展资料
拉普拉斯变换是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为
L[f(t)]。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉氏变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
拉氏变换与傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」，而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。