考研数学考试数学一

考研数学考试数学一

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2011年考研数学试题（数学一）

一、选择题

1、 曲线()()()()4

3

2

4321----=x x x x y 的拐点是（ ）

（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）

【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4

3

2

4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是

()()()()234

12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的

关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===

(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞

→n n a ，()∑===

n

k k n n a S 1

2,1ΛΛ无界，则幂级数

()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2)

（D ）(0，2]

【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===

n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R ≤；

{}n a 单调减少，0lim =∞

→n

n a ，说明级数()1

1n

n n a ∞

=-∑收敛，可知幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛

半径1R ≥。 因此，幂级数

()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数

收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。

3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =

在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）

（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''

【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。

【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==

，()

()()

xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，2

2()()(())

()

()

yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00

(0)

(0)0(0)

xy x y f z f f =='''

'=

=，00

(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，

2

200

(0)(0)((0))(0)(0)(0)

yy x y f f f z f f f =='''-''

''==

要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需

(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''?>

所以有0)0(1)0(>''>f f ，

4、设44

40

ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π

π

π

=

==?

??，则,,I J K 的大小关系是( )

（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B

【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0,

)4

x π

∈时，2

0sin cos cot 2

x x x <<

<<，因此lnsin lncos lncot x x x << 4

4

4

ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π

π

π

<

<

?

?

?

，故选（B ）

5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单

位矩阵.记1100110001P ????=??????,2100001010P ????=??

????

,则

A =( ) （A ）12P P （

B ）112P P - （

C ）21P P （

D ）1

21P

P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。

【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以

111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）

6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*

A 为A 的伴随矩阵，若()T

0,1,0,1是方程组0

=x A 的一个基础解系，则0=*

x A 基础解系可为（ ）

(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，

【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *

=，又由0

A A A E *

==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*

x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又

()1234131100

,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ?????

，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ）

7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )

（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x

（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；

()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞

+∞

-∞-∞

+==?

。可知()()()()

1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。

8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则=)(UV E （ ）

(A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE

【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。

【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY ==

可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线?

??? ?

?

≤≤=

x

x tdt y 0

40tan π的弧长s =

【答案】14

π

-

【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】()2

4

4

4

'2

2

40

tan sec 1tan 14

s y dx xdx x dx x x π

π

π

π

π

=

=

=

-=-=-?

?

?

10、微分方程x e y y x

cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y

【答案】sin x

y xe

-=

【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为

11[cos ][cos ][sin ]dx dx

x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+??

由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin x

y xe -=

11、设函数()?

+=

xy

dt t t y x F 0

2

1sin ,，则=??==2

022y x x

F

【答案】4

【考点分析】本题考查偏导数的计算。

【解析】()()

2223

2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy

F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故22

02

4x y F x ==?=?。

12、设L 是柱面方程22

1x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2

2

L

y xzdx xdy dz ++=?

?

【答案】π

【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。

【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =??

=??=+?

，其中t 从0到2π。因此

2

220

23222

2

sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22L

y xzdx xdy dz

t

t t t t t t t t dt t t t t t t dt

π

π

π

++=+-++-=--+-=?

??

?

13、若二次曲面的方程为222

32224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为

221144y z +=，则a =

【答案】1-

【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。

【解析】本题等价于将二次型222

(,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后

化为了22

114f y z =+。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。

该二次型的矩阵为1131111a A a ?? ?= ? ???

，可知2

210A a a =---=，因此1a =-。

14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2

()E XY = 【答案】3

2

μμσ+

【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。

【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此

22()E XY EX EY =?。

由于(,)X Y 服从2

2

(,;,;0)N μμσσ，可知()2

222,EX EY DY EY μμσ==+=+，则

()22232()E XY μμσμμσ=+=+。

三、解答题

15、（本题满分10分）求极限1

1

0ln(1)lim x

e x x x -→+?? ???

【答案】1

2

e

-

【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞形式的极限。计算时先按1∞未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【

解析

】

：

1

1

1100ln(1)ln(1)lim lim 1x x e e x x x x x x x --→→++-????=+ ? ?????2

0001

1

1

ln(1)ln(1)1lim

lim lim 1

2x x x x x x

x x x x e x x

e e e

→→→-+-+-+-===

01lim

2(1)2

x x

x x e

e →--

+==

16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可

导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求21,1

z x y x y ?==??

【答案】'

'

1,11,2(1,1)(1,1)f f +

【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。 【解析】：

'''12(,())(,())()z

f xy y

g x y f xy yg x yg x x

?=+?

2''

'1,11,21''''''2,12,22(,())(,())()(,())(,())()(,())()()(,())()

z f xy yg x xy f xy yg x yg x f xy yg x x x y

f xy y

g x xyg x f xy yg x yg x g x f xy yg x g x ?=++??+++

由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =，可知'

(1)0g =。 故

2''

'1,11,21''''''2,12,22''1,11,2(1,(1))(1,(1))(1)(1,(1))

1,1

(1,(1))(1)(1,(1))(1)(1)(1,(1))(1)(1,1)(1,1)

z f g f g g f g x y x y f g g f g g g f g g f f ?=++==??+++=+

17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 【答案】1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根

1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根

【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。

【解析】：令()arctan f x k x x =-，则(0)0f =，2

22

1()111k k x f x x x

--'=-=++， （1） 当1k <时，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，故此时()f x 的图像与x 轴与

只有一个交点，也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根

（2） 1k =时，

在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞是严格的单调递减，又(0)0f =，故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点

（3） 1k >时，11k x k --<<

-时，()0f x '>，()f x 在(1,1)k k ---上单调

增加，又(0)0f =知，()f x 在(1,1)k k ---上只有一个实根，又

()f x (,1)k -∞--或(1,)k -+∞都有()0f x '<，()f x 在(,1)k -∞--或(1,)k -+∞都单调减，又(1)0,lim ()x f k f x →-∞

--<=+∞，

(1)0,lim ()x f k f x →+∞

->=-∞，所以()f x 在(,1)k -∞--与x 轴无交点，在

(1,)k -+∞上与x 轴有一个交点

综上所述：1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根

1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根

18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有111

ln(1)1n n n

<+<+ （2）设11

1ln (1,2,)2n a n n n

=+

++-=L L ，证明数列{}n a 收敛 【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。 【解析】：（1）令

1x n =，则原不等式可化为ln(1),01

x x x x x <+<>+。 先证明ln(1),0x x x +<>：

令()ln(1)f x x x =-+。由于'

1

()10,01f x x x

=-

>>+，

可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。又由于(0)0f =，因此当0x >时，()(0)0f x f >=。也即ln(1),0x x x +<>。 再证明

ln(1),01

x

x x x <+>+： 令()ln(1)1

x g x x x =+-

+。由于'

2

11()0,01(1)g x x x x =->>++，可知()g x 在[)0,+∞上单调递增。由于(0)0g =，因此当0x >时，()(0)0g x g >=。也即ln(1),01

x

x x x <+>+。

因此，我们证明了

ln(1),01

x

x x x x <+<>+。再令由于，即可得到所需证明的不等式。 （2）111

ln(1)1n n a a n n

+-=-++，由不等式

11ln(1)1n n <++可知：数列{}n a 单调递减。

又由不等式11

ln(1)n n

+<

可知：

1111

1ln ln(11)ln(1)...ln(1)ln ln(1)ln 022n a n n n n n n

=+++->++++++-=+->L 。

因此数列{}n a 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列{}n a 收敛。

19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，

(,)D

f x y dxdy a

=??，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分

(,)xy D

I xyf x y dxdy ''=

??

【答案】：a

【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。 【解析】：将二重积分

(,)xy D

xyf x y dxdy ''??

转化为累次积分可得

1

1

(,)(,)xy xy D

xyf x y dxdy dy

xyf x y dx ''''=

??

??

首先考虑

1

(,)xy

xyf x y dx ''?，注意这是是把变量y 看做常数的，故有

1

1

1

1

1

(,)(,)(,)(,)(1,)(,)xy

y

y

y

y

y

xyf x y dx y xdf x y xyf x y yf x y dx yf y yf x y dx '''''''==-=-????

由(1,)(,1)0f y f x ==易知''

(1,)(,1)0y x f y f x ==。 故

1

1

(,)(,)xy y

xyf x y dx yf x y dx '''=-

?

?。

1111

(,)(,)(,)xy

xy

y

D

xyf x y dxdy dy xyf x y dx dy yf x y dx '''''==-??????

对该积分交换积分次序可得：11

11

(,)(,)y y dy

yf x y dx dx

yf x y dy ''-

=-

??

??

再考虑积分

1

(,)y

yf x y dy '?，注意这里是把变量x 看做常数的，故有

1

11

1

1

(,)(,)(,)(,)(,)y yf x y dy ydf x y yf x y f x y dy f x y dy '=

=-=-

?

??

?

因此

1111

(,)(,)(,)(,)xy

y

D

D

xyf x y dxdy dx yf x y dy dx f x y dy f x y dxdy a '''=-==

=??????

??

20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T

ααα===不能由

()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T

a βββ===线性表出。①求a ；②将123,,βββ由123

,,ααα线性表出。

【答案】：①5a =；②()32

1

βββ()????

?

??--=201102451232

1ααα

【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】：① 由于321,,ααα不能由321,,βββ表示

可知053142

13

11321=-==a a

βββ，解得5=a

②本题等价于求三阶矩阵C 使得()()123123,,,,C βββααα=

可知()()1

1123123101113,,,,013124115135C αααβββ--????

? ?

== ? ? ? ?????

计算可得2154210102C ??

?

= ? ?--??

因此()32

1

βββ()????

?

??--=201102451232

1ααα

21、（本题满分11分）A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -????

? ?

= ? ? ? ?-????

（1）求A 的特征值与特征向量（2）求A

【答案】：（1）A 的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，???

?

?

??010

（2）001000100A ????

=??????

【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。

【解析】：（1）????? ??=??

??? ??101--101-A ????

?

??=????? ??101101A 可知：1，-1均为A 的特征值，????? ??=1011ξ与???

?

?

??=101-2ξ分别为它们的特征向量

2)(=A r ，可知0也是A 的特征值

而0的特征向量与1ξ，2ξ正交

设???

??

??=3213x x x ξ为0的特征向量

有???=+-=+00

3131x x x x 得?

???

? ??=0103k ξ

A 的特征值分别为1，-1，0

对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，???

?

? ??010

（2）-1

PΛP A =

其中??????????-=011Λ，??

????????-=011100011P

故1

110111000110011100110A ---????????????=-??????

????????????

???????

?

?????

??

?-??????????-??????????-=01

12102

121021011011100011 ????

?

?????=001000100

22. （本题满分11分）

X 0 1 P

1/3

2/3

Y -1 0 1 P

1/3

1/3

1/3

()221P X Y ==

求：（1）(),X Y 的分布； （2）Z XY =的分布； （3）XY ρ. 【答案】：（1）

X

Y

1

-1 0 1/3 0 1/3 0 1

1/3

（2）

Z

-1 0

1

P

1/3

1/3 1/3 （3）0XY ρ=

【考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的

是第一问联合分布的计算。

【解析】：（1）由于()

221P X Y ==，因此()

220P X Y ≠=。

故()0,10P X Y ===，因此

()()()()1,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+=====

再由()1,00P X Y ===可知

()()()()0,01,00,001/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+=====

同样，由()0,10P X Y ==-=可知

()()()()0,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y ==-===-+==-==-=

这样，我们就可以写出(),X Y 的联合分布如下： Y X

1-

1 0

0 1/3 0 1

1/3

1/3

（2）Z XY =可能的取值有1-，0，1

其中(1)(1,1)1/3P Z P X Y =-===-=，(1)(1,1)1/3P Z P X Y =====， 则有(0)1/3P Z ==。 因此，Z XY =的分布律为

Z -1 0

1

P

1/3

1/3 1/3

（3）2/3EX =，0EY =，0,cov(,)0EXY X Y EXY EXEY ==-= 故cov(,)

0XY X Y DX DY

ρ==

23、（本题满分11分）设12,,,n x x x L 为来自正态总体2

0(,)N μσ的简单随机样本，其中0

μ已知，20σ>未知，x 和2

S 分别表示样本均值和样本方差，

（1）求参数2

σ的最大似然估计^

2

σ

（2）计算^

2

()E σ和^

2

()D σ 【答案】：（1）2^2

01

()n

i i X n

μσ=-=

∑

（2）4^^

222

2(),()E D n σσσσ== 【考点分析】：本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算，有一定的难度。在求2

σ的最大似然估计时，最重要的是要将2

σ看作一个整体。在求^

2

σ的数学期望和方差时，则需要综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。 【解析】： （

1

）似然函数

()222

00122221

1

()()11

,,,,exp exp 2222n

n

i i n n n i i x x L x x x μμσ

σσπσπσ==??

??--=-=- ? ? ????

?∑

∏

L

则22

2

0022

1

1

()()1ln ln 2ln ln 2ln 2

2222

n

n

i i i i x x n

n n L n μμπσπσσσ==--=---=---∑

∑

()2

02

2221

()ln 1

22

n

i i x L n μσσσ=-?=-+?∑

令2

ln 0L σ?=?可得2

σ的最大似然估计值2

^

201

()n

i i x n

μσ=-=∑

，最大似然估计量2

^

2

01

()n

i i X n

μσ=-=

∑

（2）由随机变量数字特征的计算公式可得

2^

22220

010111

2^2220

0102

11

()1()()()()11()()()n n i i i i n n i i i i X E E E X E X DX n n X D D D X D X n n n μσμμσμσμμ====??-==

-=-==????????-==-=-??????∑∑

∑∑

由于(

)

2

100,X N μσ

-:，由正态分布的性质可知

()10

0,1X N μσ

-:。因此

()2

2

101X μχσ-?? ???:，由2χ的性质可知2

102X D μσ-??= ?

??

，因此2410()2D X μσ-=，故4^2

2()D n

σσ=。