34总体分布的假设检验

3.4 母体分布的假设检验

分布的假设检验：对母体的分布作某项假设，再从母体上抽取子样，用以检验该假设应予接受还是拒绝。

??

?

知类型，但有k个检验母体的分布为某已完全已知的检验母体的分布为某个分类

检验方法有多种，这里只介绍常用的2χ检

验法。

（1）假设母体的分布已知，且是只有有限多项的离散分布

①在母体上作假设 i i p A P H =)(:0，l i ,,2,1 =.

其中l A A A ,,,21 是一个完备事件组，i p 是已知数。

②从母体抽取容量为50>n 的大子样，得i

A 发生的频数为i m ，l i ,,2,1 =，其中n m l

i i =∑=1

. ③计算理论频数：由于i i p A P =)(，则在n 次

独立重复试验中，i A 发生的次数),(~i i p n B Y ，从而理论频数i i np Y E =)(，l i ,,2,1 =，即有

④检验统计量：构造i m 对i np 的偏差的加权平方和

∑=-=l

i i i i

np m np 122

)( 1χ （3.5.1） 由K.Pearson 定理知：（3.5.1）式中的

)1(~220-∞

→l n H χχ，于是取大子样时，检验统计量

)1(~2

2

-l H χχ近似

⑤拒绝域：由2χ的意义知，在2χ的值较小

时应接受0H ，故给定显著水平α，构造小概率

事件

αχχα≈-≥)}1({2

2

l P

取拒绝域为

})1(),,,{(2

221-≥=l x x x W n αχχ

⑥决策：当抽样结果是W x x x n ∈),,,(21 时，

拒绝0H ，认为母体分布与0H 中的分布有显著差异；否则接受0H ，认为无显著差异.

例3.4.1 检验一颗骰子的六个面是否匀

称（05.0=α）.

解：记事件i A 为“掷骰子一次，结果出现点数i ”, 6,,2,1 =i .

对一个均匀的骰子应有：61

)(=i A P ，6,,2,1 =i .

①作假设 61

)(:0==i i p A P H ，6,,2,1 =i .

②从母体抽取容量为120=n 的子样后，得大子样列表：

③检验统计量

)

1(~ )(26

1

2

20--=∑=l np np m H i i i

i χχ近似 拒绝域为

})1(),,,{(2

212021-≥=l x x x W αχχ

④这时，∑==-=6

1

2

2 8.1 )(i i i

i np np m χ，07.11)5()1(205.02==-χχαl , 从而)1(2

2-

受0H ，即认为骰子的六个面是匀称的。

（2）检验母体X 的分布形式已知的假设

①在母体上作假

设

),,,;()(:2100k x F x F H θθθ =，其中k θθθ,,,21 为k 个

未知参数。

②从母体抽取容量为50>n 的大子样，求出k θθθ,,,21 的最大似然估计值k θθθ∧

∧∧,,,21 ，则

),,,;()(210k x F x F θθθ∧

∧

∧

= 成为已知函数.

③分组求理论频数，构造大子样列表 选分点l

a a a a <<<< 2

1

，（可以是+∞=-∞=l a a ,0），将子样分为l 组：

]},({1i i i i a a X A -∈=，l i ,,2,1 =. 则：

i a F a F a F a F a X a P A P p k i k i i i i i i i i ,

,2,1 ),,,,;(),,,;()

()()()( 2112111 =-=-=≤<==∧

∧

∧

-∧

∧

∧

--θθθθθθ

于是有下表：

④检验统计量：构造i m 对i np 的偏差的加权平方和

∑=-=l

i i i i

np m np 12

2

)

(1χ （3.5.2） 定理：（3.5.2）式中的)1(~2

2

--∞

→k l n H

χχ. （注：

l 是子样组数，k 是未知参数的个数，当0=k 时此定理即K.Pearson 定理）

于是取大子样时，检验统计量

)1(~2

2

--k l H χχ近似

⑤拒绝域为

})1(),,,{(2

2

21--≥=k l x x x W n αχχ

⑥决策：当抽样结果是W x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0H ，认为母体分布函数与)(0x F 有显著差异；否则接受0H ，认为无显著差异.

注①要用大子样，50>n ；

②要求理论频数5≥i np ，l i ,,2,1 =，否

则进行组的合并；

③取组数14~7=l ，但为了保证5≥i np ，

可使7

④需要并组时，)1(2--k l χ中的l 是并组

后的组数。

例3.4.2 在某细纱机上进行断纱率测定，

试验锭子总数为440个，测得各锭子的断纱次数，记录如下：

试检验各锭子的断纱数X 是否服从泊松

分布（05.0=α）？

解：①作假设λ

λ

-==e i i X p H i

!)(:0，0>λ，未知， ,2,1,0=i

②泊松分布中参数λ的最大似然估计为

664

.011

*===∑=∧

l

i i i x m n x λ ③

8

,,2,1,0,!

664.0597.226!664.0440664.0 ===-i i e i np i

i i ，于是有

④并组后21,1,4=--==k l k l ，

检验统计量)

2(~)(2

4

122

χχ近似H i i

i i np np m ∑=-= 拒绝域为

})2(),,,{(2

244021αχχ≥=x x x W ⑤

这

里，

094

.332=χ，

991.5)2()1(205

.02

==--χ

χαk l ，)1(22--≥∴k l αχχ.

故应拒绝0H ，即认为各锭的断纱数X 不服从泊松分布（认为各锭的断纱数X 的分布与泊松分布有显著差异）。

例3.4.3 从某批零件中随机抽取250个，测

得直径（单位:cm ）如下表，试检验零件直径X

是否服从正态分布（05.0=α）？

解：①作假设),(~:2

0σμN X H ，（其中2

,σμ未

知）

②最大似然估计为000.17==∧

x μ，

222

670.2127.7===∧

n S σ，

即假设

)

670.2,000.17(~:20N X H ，亦即：

)1,0(~670

.2000

.17N X - ③将250=n 的子样分组（如下表），其中事件],(1i i i a a A -=的概率

6,,2,1 ),670

.2000.17()670.2000.17()()()()( 111 =-Φ--Φ=-=≤<==---i a a a F a F a X a P A P p i i i i i i i i i

④检验统计量与拒绝域

31,2,6=--==k l k l ，

)3(~)(2

6

1

22

χχ近似H i i i i np np m ∑=-=，

})3(),,,{(2

225021αχχ≥=x x x W

⑤给定05.0=α，815.7)3(2

=αχ，596.02

=χ，

从而)3(2

2αχχ<，故应接受0H ，即认为此母体服

从正态分布。

补充：独立性的2

χ检验

问题: 设变量A 有c 类c A A A ,,,21；变量B 有r 类r B B B ,,,21 , 做大子样(容量为50≥n )试验，记),(j i A B 出现的频数为ij n ，其中

n n

r i c

j ij

=∑∑==11

,检验两变量A 与B 是否独立。

方法：列联表——2χ检验

1. 作假设

?两变量相互独立:0H 两变量不独立:1H 。

2. 列联表（整理试验所获数据：实际频数）

3. 求期望频数（理论频数） 当0H 成立时

，

n

n n n A P B P A B P j

i j i j i ??≈

=大子样时

)

()()(，故期望频

数为

子样容量

列频数第行频数合计第大子样时

j i n

n n A B nP e j i j i ij ?=

≈

=??)

(

4. 检验统计量及拒绝域 构造ij n 对ij e 的偏差的加权平方和

∑∑

==-=r i c

j ij

ij ij e e n 11

2

2

)(χ

则当n 充分大（大子样）时

))1)(1((~2

20--c r H χχ近似

由2χ的意义知，在2

χ的值较小时应接受0H ，故给定显著水平α，构造小概率事件

αχχα

≈--≥))}1)(1(({22

c r P

取拒绝域为

))1)(1(( :22

--≥c r W α

χχ

例 3.4.4 某机构欲对个人收入与学历的

关系进行研究，为此将收入分为3个水平：高收入、中等收入、低收入；将学历分为3个层次：高中及以下、大学、研究生，现有500个人的调查资料（见下表）是在01.0=α下检验个人收入与学历是否有关。

解:（1）作假设

）收入与学历无关（独立:0H .

（2）计算行列合计及期望频数，建立联表

行的合计：各收入水平的频数

3,2,1 ,3

1==∑=?i n n j ij i

列的合计：各学历层次的频数

3,2,1 ,3

1==∑

=?j n n i ij j

期望频数： 3,2,1, ,==??j i n n n e j

i ij

注意到：表中期望频数都大于5，故无须

合并行或列。

（3）检验统计量及拒绝域

∑∑

==-=3

12

3

12

2

)4(~ )(0

i H j ij

ij ij e e n χχ近似

，)4(:22αχχ≥W （4）结论：这时21.1382

=χ，01.0=α，

277.12)4(2

=αχ，)4(2

2

αχχ>∴，故应拒绝0H ，认为

收入与学历有关。

注：在上述列联表的检验中，如果

2==r c ，则2χ分布的自由度为1，其临界值

较小，2χ统计量往往高估变量间的关系。这时

最好对其进行修正，得到一个较小的2χ，即令

∑∑

==--=2

12

12

2)5.0(i j ij

ij ij e e n χ

练习 为研究气管炎与吸烟的关系，对

339人作调查，得到结果如下表，问气管炎是否与吸烟有关（05.0=α）？