椭圆与双曲线常见题型总结(附标准答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳
题型一：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2
y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂
直平分线的方程，得出E 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+??
=?消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ?=--=-+>即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2
2
1112()22k y x k k k --=--
令y=0,得021122x k =
-，则211(,0)22E k -ABE
?Q 为正三角形，∴211
(,0)22
E k -到直线AB 的距离d 。
AB =Q 2
k =g d ==
解得k =满足②式此时05
3
x =。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直
k 确定，进而求出0x 的坐标。
例题2、已知椭圆12
22
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。
解：(I) ∵a 2
=2，b 2
=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上2
1 设M(-
t ,2
1
)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=
23
由|OM|=r ，得23)2
1
(2
2
=
+-t ，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=4
9. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)，
代入2
2x +y 2=1，整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2
-2=0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，
∴方程一定有两个不等实根,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)，
则x 1+x 1=-,12422+k k 2012212(),221k x x x k =+=-+002
(1)21
k
y k x k =+=+ ∴AB 垂直平分线NG 的方程为)(1
00x x k
y y --
=-令y=0，得 22002222121C k k x x ky k k =+=-+++2221121242k k k =-=-+++∵.02
1
,0<<-∴≠c x k
∴点G 横坐标的取值范围为（0,2
1
-
）。 技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。
练习1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 过点)23,1(，且离心率21
=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1
(G ，求k 的取值范围。
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b 的关系式，再根据“过点)2
3,1(”得到,a b 的第2个关系式，解方程组，就可以解出,a b 的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点)0,8
1(G ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,k m 的等式，用k 表示m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。
解：（Ⅰ）Q 离心率2
1=e ，2213144b a ∴=-=，即22
43b a =（1）；
又椭圆过点)2
3,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，2
3b =，椭圆方程为22143x y +=。 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y 由22
3412
y kx m x y =+??
+=?得：222
(34)84120k x mkx m +++-=，Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴?=-+->，即2243m k <+ (1)
由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000
222
443,343434mk mk m
x y kx m m k k k =-=+=-+=+++， 直线AG 的斜率为：222
32434413234348
AG
m
m k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：2
2413234m
k mk k =----g ，即2348k m k +=-
，代入（1）式，可得
22234()438k k k +<+，即21
20
k >，则55k k ><-或。 老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：
y kx m =+，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技
巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线
的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。 练习2、设1F 、2F 分别是椭圆
22
154
x y +=的左右焦点．是否存在过点(5,0)A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得22F C F D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
分析：由22F C F D =得，点C 、D 关于过2F 的直线对称，由直线l 过的定点A(5,0)不在
22
154
x y +=的内部，可以设直线l 的方程为：(5)y k x =-，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k 的取值范围，由韦达定理得弦CD 的中点M 的坐标，由点M 和点F 1的坐标，得斜率为1
k
-
，解出k 值，看是否在判别式的取值范围内。 解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A 的直线的斜率存在，且不等于。设直线l 的方程为：(5),(0)y k x k =-≠，C 11(,)x y 、D 22(,)x y ，CD 的中点M 00(,)x y 。 由22
(5)4520
y k x x y =-??
+=?得：2222
(45)50125200k x k x k +-+-=， 又直线
l
与椭圆交于不同的两点
C 、
D ，则
2222=(50)4(45)(12520)0k k k ?-+->，即2105
k <<
。 由韦达定理得：2212122
2
5012520
,4545k k x x x x k k -+==++， 则2212000222252520,(5)(5)2454545x x k k k x y k x k k k k +-===-=-=+++，M(222545k k +，2
2045k
k
-+)。 又点2F (1,0)，则直线2MF 的斜率为2
222
2
2054525151
45MF k
k k k k k k -
+==--+， 根据2CD MF ⊥得：21MF k k =-g ，即
2
2
5115k k =--，此方程无解，即k 不存在，也就是不存在满足条件的直线。 老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。 题型二：动弦过定点的问题
圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们
必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。
例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3
2，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线
:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线
的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3
2
c e a =
=，2a =,则得3,1c b ==。 从而椭圆的方程为2
214
x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的
方程为1(2)y k x =+，由122
(2)44
y k x x y =+??+=?消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-= 12x -Q 和是方程的两个根，
21121164214k x k -∴-=+则2112
12814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211
2211284(,)1414k k k k -++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q 12122
k k k k t
-∴
=-+，Q 直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4
x t =
又2t >Q ，∴402t <
3t ∴=，即433t = 故当43 t = 时，MN 过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程 22 21 21 (14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M 的横坐标：2 112 1 2814k x k -=+， 再利用直线A 1M 的方程通过同点的坐标变换，得点M 的纵坐标：1 12 1 414k y k = +； 其实由222(2)44 y k x x y =-??+=?消y 整理得222 222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即2 222 28214k x k -=+，2 22 2 414k y k -= +很快。 不过如果看到：将2112 1 164 214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2222222 824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。 本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到 12122 k k k k t -=-+，由直线MN 的方程121121y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距211212x y x y x y y -= -，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4 x t =， 由 4 3t =解出433t =，到此不要忘了考察433t =是否满足2t >。 另外：也可以直接设P(t ，y 0)，通过A 1，A 2的坐标写出直线PA 1，PA 2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定 理求出M 、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。再过点F ，求出t 值。 例题4、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。 解（I ）由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 143x y ∴+=（II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++（注意：这一步是同类坐标变换） 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+（注意：这一步叫同点纵、横坐标间 的变换）Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴ ?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得 1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为1-，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出m kx y l +=：，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。 练习：直线m kx y l +=：和抛物线2 2y px =相交于A 、B ，以AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线 m kx y l +=：过定点，并求定点的坐标。 分析：以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=，再通过 2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m ?=+?+=+++，将条件转化为221212(1)()0k x x mk x x m ++++=，再 通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到12x x ，12x x +，解出k 、m 的等式，就可以了。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2 2y kx m y px =+?? =?得，2 220ky py mp -+=，（这里消x 得到的） 则2 480p mkp ?=->………………（1）由韦达定理，得：121222p mp y y y y k k += =，， 则2 121212122 ()y m y m y y m y y m x x k k k ---++==g ，Q 以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，即 12120x x y y +=，可得2 1212122 ()0y y m y y m y y k -+++=，则22(1)220k mp pm m k +-+=， 即2 2 20k mp m k +=，又0mk ≠，则2m kp =-，且使（1）成立， 此时2(2)l y kx m kx kp k x p =+=-=-：，直线恒过点(2,0)p 。 名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。 本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？ 题型三：过已知曲线上定点的弦的问题 若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。 例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22 221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =u u u r u u u r g ，2BC AC =u u u r u u u r ，如图。 (I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程； (II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x = 对称，求直线PQ 的斜率。 解：(I) 2BC AC =u u u r u u u r Q ，且BC 过椭圆的中心O OC AC ∴=u u u r u u u r 0AC BC =u u u r u u u r Q g 2 ACO π ∴∠= 又 A (23,0)Q ∴点C 的坐标为3,3)。Q A (23,0)是椭圆的右顶点， 3a ∴=22 2112x y b +=将点C 3,3)代入方程，得24b =， ∴椭圆E 的方程为22 1124x y + =(II)Q 直线PC 与直线QC 关于直线3x = ∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为： 3(3)y k x -=，即3(1)y kx k =+-，由22 3(1) 3120y kx k x y ?=+-??+-=?? 消y ，整理得： 222 (13)(1)91830 k x k x k k ++-+-- =x= Q 2 2 9183 13 P k k x k -- ∴= + 即 2 P x= 2 Q x= )) P Q P Q y y kx k kx k -=-++ Q ＝() P Q k x x +- 22 P Q x x -= 1 3 P Q PQ P Q y y k x x - ∴== - 则直线PQ的斜率为定值 1 3 。 方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC 关于直线x=PC 的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k 是方程 222 (13)(1)91830 k x k x k k ++-+--=的根，易得点P的横坐标： 2 P x=k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标： 2 Q x=，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。 接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。 直接计算 P Q y y -、 P Q x x -，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。 练习1、已知椭圆C： 22 22 1(0) x y a b a b +=>> ，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线:(2) l x t t =>与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 解：（I）由已知椭圆C 的离心率 c e a ==，2 a=, 则得1 c b ==。 从而椭圆的方程为 2 21 4 x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122 (2)14 y k x x y =+?? ?+=??消y 整理得2 2 21 21 (14)161640k x k x k +++-=12x -Q 和是方程的两个根21121164214k x k -∴-=+则2 112 12814k x k -=+， 1121414k y k =+，即点M 的坐标为211 22 11 284(,)1414k k k k -++ 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2 22 22 22 824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q 12122 k k k k t -∴ =-+，Q 直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -= -，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4 x t = 又2t >Q ，∴402t < 3t ∴=43t =故当43t =时，MN 过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222 121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合韦达定理得到 点M 的横坐标： 2 112 1 2814k x k -=+，利用直线A 1M 的方程通过坐标变换，得点M 的纵坐标：1121414k y k =+； 再将21121164214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2 22 22 22 824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很 容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。 本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到 12122 k k k k t -=-+，由直线MN 的方程 121121y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4 x t =， 双曲线考点与题型归纳 一、基础知识 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a?(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线?.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．?当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支. 当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. ?若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的 标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的 标准方程为y2 a2－x2 b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质 二、常用结论 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ，也叫通径． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . (4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 考点一 双曲线的标准方程 [典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 2 12＝1 B.y 23－x 2 2＝1 C ．x 2－ y 2 3 ＝1 D.3y 223－x 2 23 ＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B.x 212－y 2 4＝1 C.x 23－y 2 9 ＝1 D.x 29－y 2 3 ＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0， b ＞0)，由题意得??? 4a 2－9 b 2 ＝1，b a ＝ 3， 解得? ???? a ＝1， b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2 －y 2 3 ＝1； 当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >> 椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。 ∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程 椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=； 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值． 解：Θ双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009 山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．45 B ．5 C ． 2 5 D ．5 解析：双曲线 12 222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组 21 b y x a y x ? =?? ?=+?，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选 D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009 全国Ⅰ理）设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐 近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )356解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选C ． 例4（2009 江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 2 B ．2 C ．52 D ．3 椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质： 二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠． 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。 椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ； 人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦： 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用： e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中，F 1PF 2 ，则当P 为短轴端点时 最大，且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系： 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ； ~2~ ； a y 。 范围：0 e 1, e 越大，椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点，焦点 为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定 a 2, b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1； 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆 y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是（ ） 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方 2 2 a ， b ,从而求出标 1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为 10,则M 的轨迹为（ A 椭圆 B 圆 4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 （ ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1 双曲线高考知识点及题型总结—(最新最全) 目录 双曲线知识点 (2) 1双曲线定义： (2) 2.双曲线的标准方程： (2) 3.双曲线的标准方程判别方法是： (2) 4.求双曲线的标准方程 (2) 5.曲线的简单几何性质 (2) 6曲线的内外部 (3) 7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3) 8双曲线的切线方程 (3) 9线与椭圆相交的弦长公式 (4) 高考知识点解析 ........................................................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点一：双曲线定义问题 ............................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点二：双曲线标准方程问题 .................................................................................... 错误!未定义书签。 知识点三：双曲线在实际中的应用 ................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点四：双曲线的简单几何性质的应用 .................................................................... 错误!未定义书签。 知识点五：双曲线的离心率 ............................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点六：直线与双曲线 (6) 考题赏析 .............................................................................................................................................................. 7-13分块讲练 .................................................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 椭圆题型归纳大全 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y += 4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程； ）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线 的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 椭圆与双曲线常见题型总结(附答案) 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。 椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0 双曲线常考重难点题型归纳 必考点1： 双曲线的定义 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0) 图形 例题1： 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（ ） A ． 22 2 B 410 C 7 D 10 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，2 2 2 413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()2 2 103 y x x -=>，而点P 还在函数 2 34y x =-()2 2210334y x x y x ???->-==??，解得13233 2x y ?=? ???=??，即13271044OP =+= D. 例题2： 已知F 为双曲线22 :149 x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚 轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________． 【解析】根据题意，双曲线 22 :1 49 x y C-=的左焦点(13,0) F-，所以点(13,0) A是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图： ||||24 PF AP a -==①||||24 QF QA a -==②而||12 PQ=，①＋②得： ||||||8 PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32 PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32． 【小结】 1.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 双曲线的标准方程 例题3：已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（） A. 22 1 412 x y -= B. 22 1 124 x y -= C. 2 21 3 x y -= D. 2 21 3 y x-= 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：222 2 tan603 c c a b b a ? ?= ? =+ ? ? ?== ? ，解得：22 1,3 a b ==， 双曲线方程为： 2 21 3 y x-=.本题选择D选项. 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<双曲线考点与题型归纳
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