高一 数学 不等式 第四讲 简单的函数(指对幂)不等式、抽象不等式
高一数学不等式知识点归纳
高一数学不等式知识点归纳数学不等式是高中数学中重要的一部分内容。
在高一数学学习中，了解不等式的概念、性质以及解不等式的方法，对于学习数学和解决实际问题都有着重要的作用。
下面将对高一数学不等式知识点进行归纳和总结。
一、不等式的概念不等式是一种数学关系式，它表达了两个数的大小关系。
一般形式为a ≠ b或a < b或a > b，其中a、b为实数。
不等式中的关系符号有"≠"、“<”、“>”分别表示不等、小于和大于的关系。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a < b且b < c，则有a < c。
类似的，大于的情况也满足这个性质。
2. 加减性：对于不等式，可以同时加上一个数或减去一个数，不等号的方向不变。
例如，如果a < b，则有a + c < b + c。
减法的情况也类似。
3. 倍乘性：对于正数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有ka < kb。
当k为负数时，不等号的方向改变。
4. 乘方性：对于正实数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有a^k < b^k。
当k为负数时，不等号的方向改变，但必须保证a和b皆大于0。
三、不等式的解集表示方法1. 用图形表示：可以通过将不等式转化为坐标系中的区域表示来解释和表示不等式关系。
2. 用集合表示：通过列举满足不等式的所有实数，将这些实数写成一个集合的形式来表示不等式的解集。
3. 用不等式表示：将不等式的解集写成一个由不等号和式子组成的不等式形式，来表示不等式的解集。
四、不等式的求解方法1. 加减法解不等式：利用加减性质，将不等式中的常数项移到一边，以求得未知数的范围。
2. 乘除法解不等式：利用倍乘性质，将不等式中的系数移到一边，并对系数符号进行考虑，以求得未知数的范围。
3. 绝对值不等式的解法：分为绝对值大于、小于和大于等于、小于等于两种情况，根据不等式的形式分别求解。
高一不等式知识点总结详细
高一不等式知识点总结详细引言：高中数学作为一门重要的学科，对于学生的数学思维能力和逻辑推理能力的培养具有重要意义。
其中，不等式作为数学中的一个重要概念，对于学生的数学能力的提升有着极大的促进作用。
本文将对高一不等式的知识点进行总结和详细阐述。
一、基本概念1. 不等式的定义：不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方式，用于描述大小关系的不等关系。
2. 不等式的符号：常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。
3. 等式与不等式的区别：不等式描述的是数值之间的比较大小关系，而等式则表示两个数相等。
二、简单不等式的求解1. 加减法不等式：通过移项和求解等式来求解不等式。
例：2x - 5 > 7，首先移项得到2x > 12，然后除以2得到x > 6。
2. 乘除法不等式：在乘除不等式中，若乘以一个正数，则不等号不变；若乘以一个负数，则不等号反向。
例：-3x + 6 < 9，首先移项得到-3x < 3，然后除以-3得到x > -1（注意乘以或除以负数时不等号需要反向）。
三、复合不等式的求解1. 与不等式的合并：当两个不等式同时成立时，我们可以将它们合并成一个复合不等式。
例：x + 2 > 5，x - 3 < 2，合并为x - 3 < 2 < x + 2。
2. 或不等式的合并：当两个不等式中至少有一个成立时，我们可以将它们合并成一个复合不等式。
例：x > 3 或 x < -2，合并为x < -2 或 x > 3。
四、绝对值不等式的求解1. 单绝对值的不等式：对于形如|ax + b| > c（或 < c）的不等式，我们需要分情况讨论。
当ax + b > 0时，不等式可转化为ax + b > c（或 < -c）；当ax + b < 0时，不等式可转化为-(ax + b) > c（或 < -c）。
高一数学不等式知识点精选文档
高一数学不等式知识点精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-不 等 式1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：（1）（2）对称性：a>b ⇔b<a ； （3）（4）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （5）（6）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ； （7）（8）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）（2）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （3）（4）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. （5）（6）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4） 乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（5） 开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（6） 倒数法则：若ab>0，a>b ，则b 1a 1<。
2、基本不等式定理：如果R b a ∈,，那么ab b a222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）推论：如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 算术平均数2b a +；几何平均数ab ；推广：若0,>b a ，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+当且仅当a=b 时取“=”号；3、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-4、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；(2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；(3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
高一数学知识点不等式
高一数学知识点不等式不等式是数学中的一个重要概念，它在高一数学学习中占据着重要的地位。
本文将讨论高一数学中的不等式知识点，包括不等式的基本概念、解不等式的方法等内容。
1.不等式的基本概念不等式是指包含不等号（>、<、≥、≤）的数学表达式。
它描述了两个数之间的相对大小关系。
在不等式中，我们称表达式的两边为左边和右边，其中，不等号左侧的表达式通常称为不等式的“左端”，不等号右侧的表达式通常称为不等式的“右端”。
2.不等式的表示形式不等式可以有多种表示形式，下面是一些常见的表示形式：- 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b为已知实系数，x为未知实数。
- 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b和c为已知实系数，x为未知实数。
- 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b为已知实系数，c为已知正实数，x为未知实数。
3.不等式的解集表示解不等式是指找出满足不等式条件的数的集合。
解集可以使用不等式符号表示，也可以使用区间表示。
下面是一些常见的解集表示形式：- 不等式符号表示：例如，解集{x | x>2}表示满足不等式x>2的所有实数x的集合。
- 区间表示：例如，解集(-∞, 2)表示所有小于2的实数的集合。
4.不等式的性质和运算规则不等式有一些特殊的性质和运算规则，包括以下几点：- 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式方向改变。
- 对于绝对值不等式，需要考虑绝对值的正负情况来确定解集。
5.不等式的解法方法解不等式的方法主要包括代入法、图像法和数轴法等。
在解题过程中，我们可以运用不等式的性质和运算规则，根据具体题目的要求采取不同的解题方法。
6.不等式的应用不等式在高一数学中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几个方面：- 解决实际问题中的数量关系，如寻找最大值、最小值等。
高一学的不等式知识点总结
高一学的不等式知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是数学推理和证明中经常出现的一种形式。
作为高一学生，我们需要系统地了解和掌握不等式的相关知识点。
本文将对高一学的不等式知识点进行总结，帮助同学们巩固和深化对于不等式的理解。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>, <, ≥, ≤）将两个数或者两个代数式连接起来的数学表达式。
它描述了两个数之间的大小关系。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次方程。
如下所示：ax + b > 0 (a ≠ 0)解一元一次不等式时，我们可以通过图像法、逆运算法或者数轴法来进行求解。
其中，图像法是将不等式所对应的不等式图像绘制出来，通过观察图像得到解的范围；逆运算法是对不等式中包含的运算进行逆运算，从而得到解的范围；数轴法是将解的范围在数轴上表示出来，通过观察得到解的范围。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程。
如下所示：ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)解一元二次不等式时，我们可以通过图像法、逆运算法或者配方法进行求解。
其中，图像法是将不等式对应的曲线绘制出来，通过观察曲线得到解的范围；逆运算法是对不等式中包含的运算进行逆运算，从而得到解的范围；配方法是将不等式转化为完全平方的形式，进而简化不等式的求解过程。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
如下所示：|f(x)| > g(x)解绝对值不等式时，我们需要根据绝对值的性质进行分类讨论。
具体而言，对于不等式中引入绝对值的部分，分别考虑绝对值大于零、绝对值等于零和绝对值小于零的情况，并针对每种情况进行解析。
五、不等式的性质和运算规则1. 不等式加减运算规则：对不等式的两边同时加上或减去一个相同的数，不改变不等式的性质。
2. 不等式乘法运算规则：如果不等式中的一个数大于零，那么两边同时乘以这个数，不等式的方向保持不变；如果不等式中的一个数小于零，那么两边同时乘以这个数，不等式的方向发生改变。
高一数学高级不等式知识点
高一数学高级不等式知识点在高中数学中，不等式是一个非常重要的概念和工具。
不等式不仅存在于代数和几何中，还涉及到实际问题的建模和解决。
在高一数学中，学生们掌握了基本的不等式知识后，接下来将会学习高级的不等式知识。
本文将介绍高一数学高级不等式的一些重要知识点。
1. 绝对值不等式绝对值不等式是高级不等式中的一个重要概念。
它可以通过解决问题中的绝对值关系来确定变量的取值范围。
常见的绝对值不等式有：- |x| < a- |x| > a- |x| <= a- |x| >= a解决绝对值不等式时，可以利用绝对值函数性质、图像和特殊情况进行分析和推理。
同时，注意要正确地对于绝对值进行判断和分析。
2. 幂函数不等式幂函数不等式是高级不等式中比较常见的一类。
它可以通过幂函数的性质和图像来求解。
常见的幂函数不等式有：- x^a < b- x^a > b- x^a <= b- x^a >= b求解幂函数不等式时，可以利用幂函数的单调性、奇偶性、图像和特殊情况进行分析和推理。
3. 分式不等式分式不等式在数学中也是一类比较常见的不等式。
它可以通过分式的性质和图像来求解。
常见的分式不等式有：- (x + a)/(x + b) < 0- (x + a)/(x + b) > 0- (x + a)/(x + b) <= 0- (x + a)/(x + b) >= 0求解分式不等式时，可以利用分式的性质、图像和特殊情况进行分析和推理。
同时，注意要对分式的分母进行判断和分析。
4. 复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式通过逻辑运算（如与、或、非等）组合而成的不等式。
在解决复合不等式时，需要考虑逻辑运算的优先级和运算规则。
常见的复合不等式形式有：- 不等式1并且不等式2- 不等式1或者不等式2- 不等式1与不等式2同时满足在解决复合不等式时，可以利用逻辑运算的概念、不等式的性质和图像来进行分析和推理。
高一数学函数不等式知识点
高一数学函数不等式知识点在高一数学课程中，函数不等式是一个重要的知识点。
函数不等式主要涉及到函数的不等关系及其在数轴上的图像表示。
以下是关于高一数学函数不等式的一些基本知识点：一、函数的不等关系函数的不等关系是指函数值之间的大小关系。
在数学中，有几种常见的不等关系，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
二、一次函数不等式一次函数不等式是指函数中只包含一次项的不等式。
对于一个一次函数f(x) = ax + b，可以利用其函数图像以及不等式的性质来求解不等式。
三、二次函数不等式二次函数不等式是指函数中含有二次项（x²）的不等式。
对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过求解二次方程来确定函数的零点，并利用零点将函数的图像分为不同的区间进行讨论。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指函数中含有绝对值符号（|x|）的不等式。
对于一个绝对值不等式|f(x)| < a（或> a），可以通过拆分成两个不等式进行求解，包括当f(x) > 0或f(x) < 0时的情况。
五、函数不等式的解集表示当求解函数不等式时，我们通常需要表示其解集。
解集可以通过数轴上的图像表示，或使用区间表示。
在数轴上，解集可以用开区间、闭区间、半开半闭区间等形式表示。
六、函数不等式的解法对于不同类型的函数不等式，我们可以采用不同的解法。
常用的解法包括代入法、分析法、图像法等。
通过选择合适的解法，能够更快速地求解函数不等式问题。
总结：高一数学函数不等式是数学课程中的一个重要知识点，涉及到函数的不等关系、一次函数不等式、二次函数不等式、绝对值不等式等内容。
通过掌握函数不等式的基本知识，我们能够更好地理解和解决相关的数学问题。
在实际应用中，函数不等式也经常被用于解决各种实际问题，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的作用。
第四讲 不等式
第四讲 不等式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。
高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。
本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识。
一、一元二次不等式及其解法1．形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式。
2．一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)。
以二次函数26y x x =+-为例：(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =。
就是说对应的一元二次方程260x x +-=的两实根是32x =-或。
(3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方。
就是说260x x +->的解是32x x <->或。
当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方。
就是说260x x +-<的解是32x -<<。
一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象。
①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断)。
那么(图1)： 2120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或2120 (0) ax bx c a x x x ++<>⇔<<②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2b a-，此时对应的一元二次方程有两个相的实数根22x b x x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断)。
高一学的不等式知识点归纳
高一学的不等式知识点归纳不等式是数学中的一种运算关系，表示两个数或两个代数式不相等的关系。
在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点。
本文将归纳总结高一学年中，学生们需要了解和掌握的不等式知识点。
1. 不等式的基本概念不等式是用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示的数学关系。
例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小于b，a ≥ b表示a大于或等于b，a ≤ b表示a小于或等于b。
同样，我们可以用字母代表未知数，如x > 5表示x大于5。
2. 不等式的解集表示法不等式的解集是所有满足不等式条件的数的集合。
我们可以用不等式的解集表示法来表示解集。
例如，不等式x > 2的解集可以表示为{x | x > 2}，表示所有大于2的实数。
3. 不等式的性质不等式具有以下性质：- 两侧同时加（减）一个相同的数，不等号方向不变。
例如，若a > b，则a + c > b + c。
- 两侧同时乘（除）一个正数，不等号方向不变。
例如，若a > b（c > 0），则ac > bc。
- 两侧同时乘（除）一个负数，不等号方向反转。
例如，若a > b（c < 0），则ac < bc。
4. 不等式的求解求解不等式就是确定变量的取值范围，使不等式成立。
我们可以使用图像法、试探法和代数方法等不同的方法求解不等式。
- 图像法：将不等式对应的曲线或直线绘制在坐标系中，然后用不等式的解集表示法表示出不等式的解集。
- 试探法：通过尝试不同的数值，判断不等式的真假。
通过逼近取样，可以确定不等式的解集。
- 代数方法：利用数学运算的性质，将不等式转化为更简单的形式，进而求解不等式。
5. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是不等式在常见问题中的应用场景：- 金融领域：利率、股票涨跌幅、投资收益的计算等。
- 统计学：平均值、标准差、极值等的计算。
高一数学不等式知识点
高一数学不等式知识点在高一数学的学习中，不等式是一个重要的内容。
不等式不仅在数学中有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
比如说，5 ＞ 3 ，那么 3 ＜ 5 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
例如 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 。
3、加法性质：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
比如 8 ＞ 6 ，那么 8 ＋ 2 ＞ 6 ＋ 2 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
举个例子，若 4 ＞ 2 ，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3；当 c ＝－3 时，4×（－3) ＜ 2×（－3) 。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）：根据不等式的性质，在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母。
但要注意，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项：将同类项合并，化简不等式。
5、系数化为 1 ：在不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集。
例如，解不等式 2(2x 1) 3(x ＋ 1) ＜ 5 ，首先去括号得 4x 2 3x 3 ＜ 5 ，然后移项得 4x 3x ＜ 5 ＋ 2 ＋ 3 ，合并同类项得 x ＜ 10 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
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思路点拨：抽象函数的不 等式问题关键是根据函数 的单调性、奇偶性、周期 性、对称性去掉“f ”
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】若 loga 2 logb 2 0 ，则（ A． 0 a b B． 0 b a 1
） C． a b 1 D． b a 1
题型二：函数的定义域值域问题中的不等式
例 2．函数 f ( x ) log 1 ( x 2 3 x 2) 的值域是（
2
） D．(－ ，1) (2，+ )
Aபைடு நூலகம்R
B．(1，2)
C．[2，+∞)
思路点拨：定义域值域 是一个热点问题，关键 是要注意对数的真数大 于零，指对数函数的底 数大于零且不等于1．
D． (, 1) (0,1)
思路点拨：函数的不等 式问题主要是根据函数 的单调性．要注意指对 函数的底数与1的大小决 定函数的单调性．
题型四：简单的抽象函数不等式
例 4． 设奇函数 f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数， 且 f (1) 0 ， 则不等式 x[ f ( x ) f ( x )] 0 的解集为 （ A． { x 1 x 0 ，或 x 1} C． { x x 1 ，或 x 1} B． { x x 1 ，或 0 x 1} D． { x 1 x 0 ，或 0 x 1} ）
幂函数图像
典题剖析
题型一：搭桥法解指对幂不等式
例 1．设 a 30.3 ， b log 3 ， c log0.3 e 则 a ， b ， c 的大小关系是（ A． a b c B． c b a C． b a c ） D． c a b
思路点拨：找准过渡 量，过渡量一般为1、 0等等
题型三：分段函数中的不等式问题
log 2 x，x 0 例 3．若函数 f ( x ) log ( x )，x 0 ，若 af (a ) 0 ，则实数 a 的取值范围是（ 1 2
）
A． (1,0) (0,1)
B． (, 1) (1, )
C． (1,0) (1, )
简单的函数(指对幂)不等式 抽象函数不等式
知识要点
指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 值域 性质
R (0，＋∞) 过定点(0，1) x＜0 时，0＜y＜1 x＜0 时，y＞1. 在(－∞，＋∞)上是减函数 当 x＞0 时，0＜y＜1； 当 x＞0 时，y＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数