安徽省合肥市瑶海区高考数学二模试卷(理科)押题卷解析版
2020年安徽合肥高三二模数学试卷(理科)
2020年安徽合肥高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.若集合，，，则（ ）．││A.B.C.D.2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数满足，则（ ）．A.B.C.D.3.若实数满足约束条件，则的最小值是（ ）．4.已知为奇函数，当时，(是自然对数的底数），则曲线在处的切线方程是（ ）．A.B.C.D.5.若，则（ ）．A.B.C.D.6.已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（ ）．A.函数的最小正周期为B.函数图象的对称中心为C.函数的图象可由的图象向左平移得到D.函数的递增区间为7.《九章算术》中”勾股容方”问题：”今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数黄学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图图所示的矩形，该矩形长为．宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点．则下列推理正确的是①由图和图面积相等得； ②由可得；③由可得，；④由可得．贾朱朱贾青青图朱朱贾贾青青图图朱贾青A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择，，三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（ ）．A.种B.种C.种D.种9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 .则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）．A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于点，．若，则（ ）．A.B.C.D.11.若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.12.在三棱锥中，二面角、和的大小均等于，，设三棱锥外接球的球心为，直线与平面交于点，则（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量和满足，，则．14.三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中， 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第次传球后，球仍回到甲的概率等于 ．15.已知双曲线：（，）的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则双曲线的渐近线方程为 ．16.已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则：（）；（）．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知等差数列的前项和为，，，数列满足．求数列和的通项公式．若数列满足，求数列的前项和．图（1）（2）18.如图，在矩形中，，在边上，．沿，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图．图试判断图中直线与的位置关系，并说明理由．求平面和平面所成锐角二面角的余弦值．（1）（2）19.已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的左上方．若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，求此时直线的方程．求证：的内切圆的圆心在定直线上．（1）（2）20.某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率预期平均年利润（单位：万元）方案方案以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为，已知，，若按（）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为，，，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．【答案】解析:∴．故选．（1）（2）21.已知函数．（是自然对数的底数）求的单调递减区间．记，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：）四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程．若直线与曲线交于，两点，，求的值．（1）（2）23.已知不等式的解集为．求的值．若三个正实数，，满足，证明：．A1.│││││││B2.，∴，∴，∴，∴．故选．解析:由实数，满足约束条件做出可行域如图：x–4–3–2–1123456789y8–6–4–2246OA CB化目标函数为由图可知，当直线过点时，有最小值，联立，解得此时故选：．A 3.C4.当时，则，∴，又为奇函数，∴，∴，因此，，当时，，∴，即切线斜率为，当时，，则切点为，∴切线方程为，故选．解析:，∵,∴，又∵，∴，∴．A 5.故选．解析:①重组后图形面积不发生改变．故有∴．①正确②由图得．故图中正方形的边长为为正方形对角线∴∴∴在图中，即有即．故②正确③由于为中点，∴在图中，∴即故③不正确④在图中．∴即故④正确综上选．D 6.B 7.解析:依据题意，可让甲先选择扶贫项目，有或，种选择再让乙进行选择．①若甲选择，则乙可选择或共种选择，若乙选择，则丙只能选择或，丁只能选，共种选择，若乙选择，则丙只能选或或，当丙选择时，丁只能选择，当丙选择或时，丁可选或，共（种）选择．②若甲选择，则乙可选择或共种选择，若乙选择，则丙只能选或，此时丁也有或两种选择，共有（种）选择，若乙选择，则丙可选或或，当丙选择时，丁只能选，当丙选择或时，丁可选或共有（种）选择，根据加法计数原理，可知总选法有（种）．故选．解析:该几何体的图形如图所示，由题意可知，设圆柱底面半径为，，所以，令，则．令，则，令，则，即，所以或，则可知，当时，．当时，．B 8.D 9.圆柱底所以当时，取得最大值，此时，此时，则，．所以．所以该几何体的表面积等于．故选．解析:设，，因为直线过点，由题意知，直线的斜率存在且不为，所以设直线方程为：，联立，消去整理得：，所以，．由抛物线的定义可知：，，所以，又因为，所以，则．所以．所以 ．故选.解析:表半球球底面体侧A 10.C 11.由题意可知，设，，则，令，∴在上递减，在上递增，又，则的图象过定点，在同一坐标系中，的图象如下，若有且仅有两个整数，，使得且，∴，∴，解得，即．故选．解析:如图，作平面，垂足为，过点作，垂足为，则即二面角的平面角，则，D 12.由二面角，，大小均等于知，点到直线，，的距离相等，即点是的内切圆的圆心，设半径为，则，∵在中，，不妨设，，，则为直角三角形，且，，设中点为，过点作直线的平行线，则三棱锥外接球的球心在直线上且位于平面下方，在直角中，易求得，设，则，又，所以，解得，则，故，则．故选：．13.解析:，，两边平方得．①，②，①②得，又，∴．将，代入②式，得．14.解析:本题可用树形图去求基本事件空间及满足条件的基本事件的个数．甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲从图中可以得到：基本事件总数为，回到甲手中的基本事件为个，所以满足条件的概率为：，故答案为：．解析:设双曲线的左焦点为，则有，∴，又，∴的周长，当、、三点共线时，的周长最小，此时，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为．解析:15. ;16.（）∵，，成等比数列，∴，由正弦定理可得，∵，，成等差数列，∴，∴，由正弦定理可知，由余弦定理可知，∴，∴，又，∴，∴；（）由（）可知，，∴，由余弦定理可知，又，，∴，，令，则，∴，∴，∴或（舍），∴，∴．故答案为：；．17.（1），．（1）（2）（1）解析:设的公差为，由，，可以得，解得，∴．又，∴，．两式相除得．经检验，时，满足上式，∴．∵，∴．解析:连结，分别取，的中点，，连结，，：由图（）可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，，如图：（2）．（1），证明见解析．（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为．18.（2）∵平面平面，交线为，平面，，∴平面，同理得，平面，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，分别是，的中点，∴，∴．在边上取一点，使得，由图可得，为正方形，即，∵为的中点，∴，由（）知，平面，∴，，两两垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：设，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为由得，令，则，，∴，由平面是坐标平面可得：平面一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，（1）（2）∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．解析:设直线的方程为，设，，由得，则，，由，解得，又∵点在直线的左上方，∴，若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则，即，化简得，解得或（舍）．∴直线的方程为．∵．∴直线平分，即的内切圆的圆心在定直线上．（1）．（2）证明见解析．19.（1）当时，应选择方案；当时应选择方案；20.（1）（2）解析:∵，解得，，，；；，∴当时，应选择方案；当时应选择方案；当时，既可以选择方案也可以选择方案．因为，根据（）的结果，应选择方案，所以新产品的年度总成本为，设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为，和，则，，，∴的分布列为，设，，∴，，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，取得最大值，即年产量为万件时，取得最大值．此时（万元），当时，既可以选择方案也可以选择方案．（2）在年产量为万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．（1）（2）由（）知，预期平均年利润的期望（万元），因为，所以在年产量为万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．解析:，定义域为，，由解得，解得，∴的单调递减区间为．故答案为：．由已知，∴，令，则，∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，∵，，①当，即时，，∴，∴，使得，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，（1）．（2）当时，在上仅有一个零点，当时，在上有两个零点．21.（1）在上单调递减，∵，∴，又∵，∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点，②若时，，又∵在上单调递增，在上单调递减，又，∴，，使得，，且当，时，，当时，，∴在和上单调递减，在上单调递增，∵，∴，∵，∴，又∵，由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点，综上所述，当时，在上仅有一个零点，当时，在上有两个零点．解析:曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为．∵，（1），．（2）．22.（2）（1）（2）∴，∴直线的直角坐标方程为．设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴，．∵点在直线上，∴．解析:由题意知，为方程的根，∴，解得，由解得，，∴．由知，∴，∴成立．（1）．（2）证明见解析．23.。
高考二模数学试卷答案解析
一、选择题1. 答案：D解析：本题考查函数的性质。
由于函数的图像在x=0处连续，因此f(0)=0。
又因为函数的图像在x=0处可导，所以f'(0)存在。
根据导数的定义，f'(0)=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/x=lim(x→0) [f(x)]/x。
由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即f(x)/x=1/f(-x)=-1/f(x)。
因此，f'(0)=lim(x→0) [f(x)]/x=lim(x→0) [-1/f(x)]=0。
所以，正确答案为D。
2. 答案：B解析：本题考查数列的性质。
根据数列的定义，an+1=2an-1。
要证明an是等比数列，只需证明an+1/an是常数。
由an+1=2an-1，得an+1/an=(2an-1)/an=2-1/an。
当n=1时，a2/a1=2-1/a1，当n=2时，a3/a2=2-1/a2。
由此可知，an+1/an与n无关，因此an是等比数列。
所以，正确答案为B。
3. 答案：C解析：本题考查三角函数的性质。
由题意知，cosθ=1/2，sinθ=√3/2。
根据三角函数的定义，tanθ=sinθ/cosθ=√3。
所以，正确答案为C。
4. 答案：A解析：本题考查立体几何中的体积计算。
由题意知，正方体的边长为a，所以体积V=a^3。
又因为球体的半径R=a/2，所以球体的体积V'=(4/3)πR^3=(4/3)π(a/2)^3=(1/6)πa^3。
因此，正方体的体积是球体体积的6倍。
所以，正确答案为A。
5. 答案：D解析：本题考查函数的最值问题。
设函数f(x)=x^2-4x+3，对称轴为x=2。
由于函数的二次项系数为正，所以函数开口向上，最小值在对称轴处取得。
因此，f(2)=2^2-42+3=-1，所以函数的最小值为-1。
所以，正确答案为D。
二、填空题1. 答案：2解析：本题考查复数的运算。
由题意知，z1=1+i，z2=1-i。
安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题(含答案解析)
安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设全集U =R ，集合(){}ln 1|M x y x ==-，{|N x y =，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ） A ．2i -B ．2iC ．2-D ．23．某市高三年级共有14000 人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布2(90,)N σ（试卷满分150分），且100()0.3P ξ≥=，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（ ） A ．2800B ．4200C ．5600D ．70004．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意正整数s ，如果s 是奇数就乘3加1，如果s 是偶数就除以2，如此循环，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s 的值为5，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．设α为第二象限角，若sin cos αα+=，则tan()4πα+=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．26．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．8种B ．14种C ．20种D ．116种7．函数()4e e x xf x +-=-（e 是自然对数的底数）的图象关于（ ）A ．直线e x =-对称B ．点(e,0)-对称C ．直线2x =-对称D ．点(2,0)-对称8．将函数sin y x =的图象上各点横坐标缩短为原来12（纵坐标不变）后，再向左平移6π个单位长度得到函数()y f x =的图象，当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为（ ）A ．[]1,1-B ．⎡⎢⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，FA为半径的圆交抛物线C 的准线l 于M ，N 两点，MN =，则直线AF 的斜率为（ ）A ．±1B ．CD ．10．已知直线10:()l mx y m R -=∈过定点A ，直线20:42l x my m ++-=过定点B ，1l 与2l 的交点为C ，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．C ．5D ．1011．在四面体ABCD 中，2ACB ADC π∠=∠=，2AD DC CB === ，二面角B ACD --的大小为23π，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．163π B ．403π C ．16π D ．24π12．过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l 、2l ，切点为1P 、2P （1P 、2P 不重合），设直线1l 、2l 分别与y 轴交于点A 、B ，则下列结论正确的个数是（ ） ①1P 、2P 两点的横坐标之积为定值； ①直线12PP 的斜率为定值；①线段AB 的长度为定值； ①三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1． A ．1 B ．2C ．3D ．413．已知向量()1,2AB =-，()2,5B t t C =+，若A 、B 、C 三点共线，则t =_____．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，A 为双曲线C 右支上一点，O 为坐标原点.若MOF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为_________．15．已知ABC 的内角A ．B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos 6b B b A ++=，2a = ，则ABC 面积的取值范围为_________．16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段AD 的中点，设平面11A BC 与平面1CC E 的交线为l ，则直线l 与BE 所成角的余弦值为__________． 三、解答题17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，且13n n S a +=-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足________，记n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：2n T <． 从①211(1)(2)n n n n c a a a +++--=①221log n n n a c a ++=两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.18．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，点M 为边AB 的中点．以CM 为折痕把BCM 折起，使点B 到达点P 的位置，使得3PMB π∠=，连结PA ，PB ，PD ．(1)证明：平面PMC ⊥平面AMCD ;(2)求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值．19．通信编码信号利用BEC 信道传输，如图1，若BEC 信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC 信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．华为公司5G 信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC 信道传输信号为例）：如图3，信号2U 直接从信道2传输；信号1U 在传输前先与2U “异或”运算得到信号1X ，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号1U 或2U ．（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“⊕”表示：000⊕=，110⊕=，101⊕=，011⊕=．“异或”运算性质：A B C ⊕=，则A C B =⊕）．假设每个信道传输成功的概率均为()01p p <<．{}12,0,1U U =．(1)在传统传输方案中，设“信号1U 和2U 均被成功接收”为事件A ，求()P A ：(2)对于极化码技术：①求信号1U 被成功解码（即根据BEC 信道1与2传输的信号可确定1U 的值）的概率；①若对输入信号1U 赋值（如10U =）作为已知信号，接收端只解码信号2U ，求信号2U 被成功解码的概率.20．已知椭圆()2222:10+x y C a b a b=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，M为椭圆C 上一动点，FAM △ (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 的直线:1l y kx =+与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线2直线上．21．已知函数()e cos e xf x x x =+- ，()'f x 是()f x 的导函数.(1)证明：函数()f x 只有一个极值点；(2)若关于x 的方程()()f x t t R =∈在(0,)π上有两个不相等的实数根12,x x ，证明：'1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2(0)cos 2,a aR ρθρ=>∈． (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点M ，直线()6R πθρ=∈与曲线C 交于点,A B ，且AM BM ⊥，求实数a 的值．23．已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ． (1)求m ;(2)已知a ，b ，c 为正数，且abc ，求22)(a b c ++的最小值．参考答案：1．A 【解析】 【分析】由对数函数性质，二次根式定义确定集合,M N ，然后确定Venn 图中阴影部分表示的集合并计算． 【详解】由题意{|10}{|1}M x x x x =->=>，2{|4}{|2N x x x x =≥=≤-或2}x ≥，{|22}UN x x =-<<，Venn 图中阴影部分为(){|12}U M N x x =<<．故选：A ． 2．C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据虚部的定义即可得解. 【详解】解：因为i 3i z z --=，所以()1i 3i z -=--，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z --+----====----+. 所以z 的虚部为2-. 故选：C. 3．A 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质即可解出． 【详解】因为100()0.3P ξ≥=，ξ近似服从正态分布2(90,)N σ，所以()()()()809090100901000.50.30.2P P P P ξξξξ<<=<<=>-≥=-=，即这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数大约为140000.22800⨯=． 故选：A ． 4．C 【解析】 【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果. 【详解】第一次循环，15Z 22s =∈不成立，35116s =⨯+=，011i =+=，1s =不成立；第二次循环，18Z 2s =∈成立，11682s =⨯=，112i =+=，1s =不成立；第三次循环，14Z 2s =∈成立，则1842s =⨯=，213i =+=，1s =不成立；第四次循环，12Z 2s =∈成立，则1422s =⨯=，314i =+=，1s =不成立；第五次循环，11Z 2s =∈成立，则1212s =⨯=，415i =+=，1s =成立.跳出循环体，输出5i =. 故选：C. 5．B 【解析】 【分析】结合平方关系解得sin ,cos αα，由商数关系求得tan α，再由两角和的正切公式计算． 【详解】由sin cos αα+22102sin 2sin cos cos 255αααα++==，3sin cos 10αα=-， α是第二象限角，cos 0α<，sin 0α>，所以由3sin cos 10sin cos αααα⎧=-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin tan 3cos ααα==-， tan tan3114tan()41(3)121tan tan 4παπαπα+-++===---⨯-．故选：B ． 6．B 【解析】 【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6C A ⋅⨯种可能；①若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=24=8C C ⋅⨯种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能. 故选：B. 7．D 【解析】 【分析】根据对称性进行检验． 【详解】由题意()()2e 2e 42e 42e 2e ee e e x x x xf x -----+--++--=-=-，它与()f x 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB 均错，而44(4)4(4)e e e e ()x x x x f x f x --+----+--=-=-=-，所以()f x 的图象关于点(2,0)-对称． 故选：D ． 8．C 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可求得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可求得23x π+的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 的值域. 【详解】将函数sin y x =的图象上各点横坐标缩短为原来12（纵坐标不变）后，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得图象向左平移6π个单位长度得到函数()y f x =的图象，则()sin 2sin 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22333x πππ-≤+≤，所以，()sin 23f x x π⎡⎤⎛⎫=+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 故选：C. 9．D 【解析】 【分析】根据题意求出点A 坐标，即可求出直线AF 的斜率. 【详解】由题意可知：FA FM R ==，设准线与x 轴交于H ，因为MN =，所以MH ，且FH p =，所以2F FM p A ==，设()00,A x y ，由抛物线定义可知02FA px =+，所以032p x =，代入抛物线中得0y =，所以3,2p A ⎛⎫⎪⎝⎭，且,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AF 的斜率为 故选：D10．C 【解析】 【分析】由直线方程求出定点,A B ，确定12l l ⊥，即C 在以AB 为直径的圆上，由圆的性质得点C 到AB 的距离最大值为圆半径，由此可得面积最大值．【详解】由直线1l 的方程是0mx y -=得直线1l 过定点(0,0)A ，同理直线2l 方程为，420x my m ++-=即(4)(2)0x m y ++-=，所以定点(4,2)B -，又1(1)0m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥，即C 在以AB 为直径的圆上，AB ==C 到AB 的距离最大值等于圆半径，即12AB =所以ABC 面积的最大值为152S =⨯=．故选：C ． 11．B 【解析】 【分析】取AC 中点E ，AB 中点F ，连接,,DE EF DF ，证明DEF ∠是二面角D AC B --的平面角，23DEF π∠=，E 是直角ADC 的外心，F 是直角ACB △的外心，在平面EDF 内过E 作EO DE ⊥，过F 作OF EF ⊥，交点O 为四面体ABCD 外接球球心，求出球半径可得表面积． 【详解】取AC 中点E ，AB 中点F ，连接,,DE EF DF ，则//EF BC ，12EF BC =， 2AD DC ==，2ADC π∠=，所以E 是直角ADC 的外心，DE AC ⊥，DE2ACB π∠=，2BC =，所以1EF =，EF AC ⊥，所以DEF ∠是二面角D AC B --的平面角，23DEF π∠=， F 是AB 中点，则F 是直角ACB △的外心，由DE AC ⊥，EF AC ⊥，DEEF E =，,DE EF ⊂平面DEF 得AC ⊥平面DEF ，AC ⊂平面ADC ，所以平面DEF ⊥平面ADC ，同理平面DEF ⊥平面ABC ，平面DEF ⋂平面ADC DE =，平面DEF ⊥平面ABC EF =， 在平面EDF 内过E 作EO DE ⊥，则EO ⊥平面ADC ，在平面EDF 内过F 作OF EF ⊥，则FO ⊥平面ABC ，EO 与OF 交于点O ， 所以O 为四面体ABCD 的外接球的球心，OEF 中6OEF DEF DEO π∠=-∠=，263EOF πππ∠=-=，所以sin EF EOF EO∠=，所以1sin sin 3EF EO EOF π==∠OD ==所以外接球表面积为210404433S OD πππ=⋅=⨯=． 故选：B ．12．C 【解析】【分析】设点1P 、2P 的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <，分析可知1201x x <≤<或1201x x <<≤，利用导数的几何意义可判断①的正误；利用斜率公式可判断①的正误；求出点A 、B 的坐标，利用两点间的距离公式可判断①的正误；求出点P 的横坐标，利用三角形的面积公式可判断①的正误. 【详解】因为ln ,01ln ln ,1x x y x x x -<<⎧==⎨≥⎩，所以，当01x <<时，1y x '=-；当1≥x 时，1y x'=， 不妨设点1P 、2P 的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <， 若1201x x <<≤时，直线1l 、2l 的斜率分别为111k x =-、221k x =-，此时121210k k x x =>，不合乎题意；若211x x >≥时，则直线1l 、2l 的斜率分别为111k x =、221k x =，此时121210k k x x =>，不合乎题意.所以，1201x x <≤<或1201x x <<≤，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121=x x ， 若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合乎题意，所以，1201x x <<<，①对； 对于①，易知点()111,ln P x x -、()222,ln P x x ，所以，直线12PP 的斜率为()1212212121ln ln ln 0P P x x x x k x x x x +===--，①对；对于①，直线1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，令0x =可得11ln y x =-，即点()10,1ln A x -，直线2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点()10,ln 1B x --，所以，()()111ln 1ln 2AB x x =----=，①对；对于①，联立112211ln 1ln 1y x x x y x x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩可得1212121221P x x x x x x x ==++， 令()221x f x x =+，其中()0,1x ∈，则()()()2222101x f x x -'=>+， 所以，函数()f x 在()0,1上单调递增，则当()0,1x ∈时，()()0,1f x ∈， 所以，()121210,121ABP P x S AB x x =⋅=∈+△，①错. 故选：C. 13．1- 【解析】 【分析】由已知可得//AB BC ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数t 的值. 【详解】由已知//AB BC ，则()45t t =-+，解得1t =-. 故答案为：1-. 141##【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为点F '，连接PF '，可知PFF '为直角三角形，以及30PF F ︒'∠=，将PF '，PF 用c 表示，然后利用双曲线的定义可求出双曲线离心率.【详解】如图所示，设双曲线 C 的左焦点为点F '，连接PF '，OPF △为等边三角形,||||OP OF OF '∴==，所以，PF F '为直角三角形，且FPF '∠为直角，且30PF F ︒'∠=，1||2PF FF c '∴==，由勾股定理得PF '==，由双曲线的定义得2PF PF a -='，2c a -=，1c e a ∴===，因此，双曲线C 1，1.15．(0 【解析】 【分析】由余弦定理变形得出6AB AC +=，A 在以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆上，因此当A 是椭圆短轴顶点时，A 到BC 的距离最大，由此可求得三角形面积最大值，从而可得面积取值范围． 【详解】2cos cos 6b B b A ++=,2a = ，由余弦定理得222222622a c b b c a b a b ac bc+-+-+⋅+⋅=，所以6b c +=， 即6AB AC +=，又2BC =，所以A 在以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线BC 上），如图以BC 为x 轴，线段BC 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为22221x y ab+=，则3,c 1a ==，所以b ==当A 是椭圆短轴顶点时，A 到BC 的距离最大为b =所以ABCS的最大值为122⨯⨯0，无最小值，ABCS的取值范围是(0,，故答案为：(0,．16【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出平面11A BC 、1CC E 的法向量，可求得直线l 的一个方向向量，再利用空间向量法可求得直线l 与BE 所成角的余弦值. 【详解】解：设正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()10,0,2A 、()2,0,0B 、()12,2,2C 、()2,2,0C 、()0,1,0E ，设平面11A BC 的法向量为()111,,m x y z =，()12,0,2BA =-，()10,2,2BC =， 由111111220220m BA x z m BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =-，设平面1CC E 的法向量为()222,,n x y z =，()2,1,0EC =，()10,0,2CC =， 由22122020n EC x y n CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取21x =，可得()1,2,0n =-，设直线l 的方向向量为(),,u x y z =，l ⊂平面11A BC ，l ⊂平面1CC E ，则m u ⊥，n u ⊥，所以020m u x y z n u x y ⋅=-+=⎧⎨⋅=-=⎩，取2x =，则()2,1,1u =-，()2,1,0BE =-，cos ,6u BE u BE u BE⋅-<>===⋅因此，直线l 与BE . 17．(1)1,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论1n =和2n ≥，利用作差法得12n n a a +=，从而根据等比数列定义求出n a ； （2）若选择①利用裂项相消求和，若选择①利用错位相减求和，最后证明结论即可. (1)13n n S a +=-①，当1n =时，123a a =-，24a ∴=；当2n ≥时，13n n S a -=-① ①-①得，即12n n a a += 又2142a a =≠， ①数列{}n a 是从第2项起的等比数列，即当2n ≥时，2222n n n a a -=⋅=．1,1,2, 2.n n n a n =⎧∴=⎨≥⎩．(2) 若选择①：()()()()()()2211111122211212212121222121n n n n n n n n n n n n a c a a ++++++++⋅⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭， 2231111111121212212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭． 若选择①122n n n c ++=，则23134122222nn n n n T +++=++++①，34121341222222n n n n n T ++++=++++①，①-①得341212131112311212422224422n n n n n n nT ++-+++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 14222n n n T ++∴=-<． 18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用几何关系和勾股定理逆定理证明PO ⊥平面AMCD ，再根据面面垂直的判定方法即可确定最终答案.（2）根据OP ，CM ，OB 相互垂直，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量n ，利用||||PC nPC n ⋅⋅即可求出最终答案. (1)证明：取线段CM 的中点O ，连结BO ，PO ， 3PMB π∠=，PM BM =，PMB ∴∆为等边三角形，PB PM PC BM BC ∴====．BO CM ∴⊥，PO CM ⊥．又2CBM CPM π∠=∠=，12BO PO CM ∴===， 222BO PO PB ∴+=，2POB π∴∠=，又CM BO O =，PO ∴⊥平面AMCD ．PO ⊂平面PMC ，①平面PMC ⊥平面AMCD (2)由（1）知，OP ，CM ，OB 相互垂直，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设2AB AD ==2CM =，1PO BO ==，连结DM ，则DM CM ⊥，且2DM =， (001)P ∴，，，(100)C ，，，(120)D -，，，(010)B -，，， (101)PC ∴=-，，，(121)PD =--，，，(110)AD BC ==，，． 设(,)n x y z =，为平面PAD 的一个法向量，则00n PD n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即200x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩, 令1x =，则1,3y z =-=-， (1,1,3)n ∴=--，设直线PC 与平面PAD 所成角为θ，4sin cos ,||||2PC n PC n PC n θ⋅∴=〈〉===⋅⋅，①直线PC 与平面PAD . 19．(1)2p ； (2)①2p ；①22p p -. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得答案；（2）①当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由2U 、1X 的值可确定1U 的值； ①若信道2传输失败、信道1传输成功， 2U 被成功解码的概率为(1)p p -；若信道2、信道1都传输失败，此时信号2U 无法成功解码；由此可求得答案. (1)解：设“信号1U 和2U 均被成功接收”为事件A ，则2()P A p p p =⋅=； (2)解：①121U U X ⊕=，121U U X ∴=⊕．当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由2U 、1X 的值可确定1U 的值，所以信号1U 被成功解码的概率为2p ；①若信道2传输成功，则信号2U 被成功解码，概率为p ；若信道2传输失败、信道1传输成功，则211U U X =⊕，因为1U 为已知信号，信号2U 仍然可以被成功解码，此时2U 被成功解码的概率为(1)p p -； 若信道2、信道1都传输失败，此时信号2U 无法成功解码； 综上可得，信号2U 被成功解码的概率为2(1)2p p p p p +-=-. 20．(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M ，N ，P ，Q ，D 的坐标用斜率k 表示出来， (3)按照向量数量积的运算规则即可. (1)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的几何性质知，当点M 位于椭圆的短轴端点时，FAM △ 的面积取得最大值， 此时1()2FAMSa cb =+ ，1()2a c b ∴+=()a c b ∴+=．由离心率12c a =得2a c =，b ∴=，解得1c =，2a =，b =①椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)由题意作下图：设()11,M x y ，()22,N x y ．由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234880k x kx ++-=．①点(0,1)在这个椭圆内部，所以0∆>，122843kx x k +=-+，122843x x k =-+，()212122286224343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++， ①点P 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，①直线OP 的方程为34y x k =-，即43k x y =-， 将直线OP 的方程代入椭圆方程得22943D y k =+，2221643D k x k =+，设点4,3k Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由 2OP OQ OD ⋅=得22222443169433434343k k k y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭，化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，化简得3y =，①点Q 在直线3y =上， 当直线l 的斜率0k =时，此时(0,1)P，D ，由2OP OQ OD ⋅=得(0,3)Q ，也满足条件，①点Q 在直线3y =上； 综上，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，点Q 在直线3y =上. 【点睛】本题的难点在于联立方程，把M ，N ，P ，Q ，D 点的坐标用k 表示出来， 有一定的计算量，其中由于OP 与椭圆有两个交点，在表示OD 的时候用2OD 表示，可以避免讨论点D 在那个位置. 21．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导，根据导函数的单调性以及符号即可证明； (2)应用极值点偏移的方法即可证明. (1)函数()f x 的定义域为R ，且'(s e )n e i xf x x =-- ．当0x ≤时，'()e sin e 1sin e 0x f x x x =--≤--< ；当0x >时，令'()()e sin e x h x f x x ==-- ，则'()e cos 0x h x x =-> ，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增．又(0)1e 0h =-<，()e e 0h ππ=->，0(0,)x π∴∃∈，使得()00h x =，即00e sin e 0xx --=，当00x x <<，时，'()0f x < ；当0x x >时，'()0f x > ， ①函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()f x ∴只有一个极小值点0x ，无极大值点；(2)由（1）知，函数()'f x 在(0,)π上单调递增，()'00f x = ，且31'222e sin e e 1e e e 11e(1.61)1022f πππ⎛⎫⎛⎫=-->--=-->--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02x π∴<，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x π上单调递增，不妨设12x x <，则1020x x x π<<<<，要证()''12002x x f f x +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即证1202x x x +<，只要证2012x x x <-100x x <<，001022x x x x π∴<-<<．又()f x 在()0,x π上单调递增，①要证()()2012f x f x x <-，即证()()1012f x f x x <-． 令()()00()()20F x f x f x x x x =--<<，()()02'''00()()2e sin e e sin 2e x x x F x f x f x x x x x -∴=+-=--+--- ，令'()()g x F x = ，则()02'0()e cos e cos 2x x xg x x x x -=--+- ，令'()()x g x ϕ= ，则()0200()e sin e sin 2002x x xx x x x x x πϕ-⎛⎫=+++-><<< ⎝'⎪⎭ ，()x ϕ∴在()00,x 上单调递增，()0()0x x ϕϕ∴<=，()g x ∴在()00,x 上单调递减，()()0000()2e 2sin 2e 20x g x g x x h x ∴>=--==，()F x ∴在()00,x 上单调递增，()0()0F x F x ∴<=，即'1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭.【点睛】本题的难点是极值点偏移，实际上对于极值点偏移是有专门的方法的，即是以极值点为对称轴，作原函数的对称函数，通过判断函数图像是原函数的上方还是下方，即可证明.22．(1)cos sin 2ρθρθ+=，22x y a -= (2)1 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可把参数方程化为普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）用极坐标法求出,,M A B 的极坐标，12AB ρρ=-，再利用直角三角形性质可求得a ．(1)由11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）得2x y +=，①直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=．由2cos 2a ρθ=得2cos 2a ρθ=，()222cos sin a ρθθ∴-=，2222cos sin a ρθρθ-= 22x y a ∴-=，①曲线C 的直角坐标方程为22x y a -=． (2)直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=，将4πθ=代入直线l 的极坐标方程得ρ=①点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程2cos 2aρθ=得12ρρ=12||AB ρρ∴=-=AM BM ⊥，且O 为线段AB 的中点，1||||2OM AB ∴=== 1a ．23．(1)1 (2)6 【解析】 【分析】（1）去绝对值符号，然后分段求出函数的最值，即可得出答案； （2）由（1）知，abc =2222()224ab ab a c ab c c b ++≥+=++，再利用基本不等式即可得出答案.(1)解：依题意得，34,2()212,2134,1x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=--<<-⎨⎪+≥-⎩，当2x -≤时，()2f x ≥， 当21x -<<-时，()12f x <<， 当1x ≥-时，()1f x ≥，综上当1x =-时，()f x 取得最小值1， 即()f x 的最小值1m =； (2)由（1）知，abc =222()4a b c ab c ++≥+（当且仅当a b =时等号成立），224226ab c ab ab c ∴+=++≥=，当且仅当22ab c =，即1a b ==，c =22()a b c ∴++的最小值为6．。
安徽省合肥市2024年数学(高考)统编版摸底(提分卷)模拟试卷
安徽省合肥市2024年数学（高考）统编版摸底(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（）A．四点不共面B．四点共面C．为直角三角形D．为直角三角形第(2)题已知，则（）A．B．C．6D．15第(3)题设为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(4)题设，则z的共轭复数为A．B．C．D．第(5)题如图，底面同心的圆锥高为，，在半径为3的底面圆上，，在半径为4的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点到平面的距离为（）A．B．C．2D．第(6)题有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差第(7)题已知，分别为双曲线的左，右焦点，直线l过点，且与双曲线右支交于A，B两点，O为坐标原点，，的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是（）．A．B．C．D．第(8)题设复数，则复数的虚部为（）A．0B．1C．D．-1二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，C的准线与x轴的交点为，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点E，直线l的倾斜角，且点A在第一象限，下列选项正确的有（）A．为定值B．为定值C．若F为AE的中点，则D．若B为AE的中点，则第(2)题已知函数，则（）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递增C．函数的最大值为D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则第(3)题定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（）A．若，，则实数m的取值范围为B．若，，则实数m的取值范围为C．若，，则实数m的取值范围为D．若，，则实数m的取值范围为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2023届安徽省合肥市高三二模数学试卷(word版)
2023届安徽省合肥市高三二模数学试卷(word版)一、单选题(★) 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 若集合，则（）．A．B．C．D．(★★) 3. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（）.A．B．C．D．(★★) 4. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（）．（）A．2B．3C．4D．5(★★) 5. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（）．A．B．C．D．(★★) 6. 某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（）A．24种B．36种C．48种D．52种(★★★) 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点A 和点B互为等差点．已知点Q是圆上一点，若直线上存在点Q的等差点P，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 设A，B，C，D是曲线上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（）．A．4B．C．3D．二、多选题(★★★) 9. 已知双曲线的左、右顶点分别为，渐近线为直线，离心率为e．过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P，Q，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图（单位：辆），则（）．A．a的值为0.004B．估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135C．估计这100家销售商新能源汽车销量的分位数为212.5D．若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销量在内的销售商应抽取5家(★★★)11. 函数与函数的图象关于点对称，记，则（）A．的值域为B．的图象关于直线对称C．在所有实根之和为D．在上解集为(★★★★) 12. 已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（）A．，直线与直线所成的角均为B．，使得四面体的体积为C．当时，直线与平面所成角的正切值为D．当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为三、填空题(★) 13. 已知．若，则实数的值为 _______ ．(★★★) 14. 若定义域为的奇函数满足，且，则________ ．(★★) 15. 第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为 ___________ ．(★★★) 16. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称为“果圆”，其中，如图．设，是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆上一点，F为半椭圆的焦点．若，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为 ___________ ．四、解答题(★★★) 17. 如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，C处的俯角为，且测得，试求拟修建的隧道DE的长．(★★) 18. 已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．(★★★) 19. 如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点．(1)证明：平面BCD；(2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值．(★★) 20. 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl （导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；(2)若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？0.12.706附：（其中）．(★★★★) 21. 已知抛物线的焦点为F，为其准线l与x轴的交点，过点E作直线与抛物线C在第一象限交于点A，B，且．(1)求的值；(2)设圆，过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，求面积的最大值．(★★★★★) 22. 已知函数，其中．(1)若函数图像仅有一条垂直于y轴的切线，求m的取值范围；(2)讨论函数零点个数．。
A2二模数学试题-理科答案---
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B
A
C
A
C
B
D
A
C
A
D
C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 3 5 2
16.①②④
∴n1
EF
0
， n1
EC
0
.∵ EF
2 4
，
2 4
，1 2
，
CE
2，0，0 ，
2x 0，
∴
2 4
x
2 4
y
1 2
z
0. 取n1
0， 2，1
.
A
设平面 BCF 的法向量为n2 x2，y2，z2 ，∴n2 CB ，n2 FB ，
∴n2 CB 0 ，n2 FB 0 .∵CB
∴nan n 1 2n1 n 2 2n n 2n ，∴an 2n ( n 2 ).
∵n 1，a1 2 ，∴当n 1 时，an 2n 也成立，
∴an 2n ( n N * ).
…………………………6 分
(2)∵bn
an
an
1 an1
1
2n 2n 1 2n1 1
9 4
，解得n 1 .
∴直线l
的方程为 x
my
1 ，直线l
过定点(1，0)，此时， y1
y2
6m 3m2
4
， y1 y2
9 3m2
合肥市高考数学二模试卷(理科)A卷
合肥市高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A . {x|＜x≤3}B . {x|＜x＜3}C . {x|≤x＜2}D . {x|＜x＜2}2. （2分）在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）已知α是第四象限角，tanα=﹣，则sinα=（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·绍兴模拟) 设f（x）=cos2x﹣ sin2x，把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数g（x）=﹣cos2x﹣ sin2x的图象，则φ的值可以为（）A .B .C .D .6. （2分）若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A .B .C .D .7. （2分）（x+1+）6的展开式中的常数项为（）A . 32B . 90C . 140D . 1418. （2分）已知双曲线，抛物线，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为3，则p=（）A .B . 5C .D . 109. （2分） (2017高二下·南阳期末) 函数f（x）= x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·福州期中) △ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·昆明模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）= 则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为（）个．A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·合肥模拟) 双曲线M：﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线x=a与双曲线M渐近线交于点P，若sin∠PF1F2= ，则该双曲线的离心率为________．14. （1分） (2016高二上·如东期中) 己知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是________15. （1分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为________ ．16. （1分） (2017高一下·衡水期末) 在△ABC中，如果sinA=sinC，B=30°，角B所对的边长b=2，则△ABC 的面积为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2017高一下·钦州港期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣2，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn= ，求数列{cn}的前2n项和T2n．18. （15分） (2016高二下·晋江期中) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．19. （10分） (2016高二上·诸暨期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点（1）求证：EF⊥平面PBC（2）若直线PC与平面ABCD所成角为，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．20. （5分） (2016高二上·重庆期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，且F1 ， F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF2面积的最大值．21. （10分） (2018高二下·虎林期末) 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）若函数恰有个零点,求实数的取值范围22. （10分）(2017·郎溪模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ= 的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．23. （5分）(2019·枣庄模拟) 已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、。
A2二模数学试题-理科答案
nn () 合肥市 2021 年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCADABDACD二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.1 14. 315. y = ±2x16. π ， 5 -1 (第一空2 分，第二空3 分) 822三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分.17.(本小题满分12 分) 解：(1)设{a } 的公差为d ，由a = 1 ， S = 14 得⎧a 1 +d = 1 .n27⎨7a + 21d = 14 ⎩ 1解得a = 1 , d = 1 ，所以a = n.12 2n 2+ nn2n (n +1)n (n -1)∵b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ b n = 2 2 = 2 2，∴b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ b n -1 = 2 2( n ≥ 2 )，两式相除得b = 2n ( n ≥ 2 ). 当n = 1 时，b 1 = 2 适合上式.∴b = 2n ................................................................................................... 5 分 (2)∵c = b cos (a π ) = 2ncos ⎛ n π ⎫ ， n n n 2⎪∴T 2n ⎝⎭= 2 cos π + 22 cos π + 23 cos 3π + 24 cos (2π ) + ⋅⋅⋅ + 22n -1 cos(2n -1)π+ 22n cos (n π )222=22cos π + 24cos (2π ) + 26cos (3π ) + ⋅⋅⋅ + 22n cos (n π )= -22 + 24 - 26 + + (-1)n 22n -4 1- (-4)n== - 4 + (-4)n +1.………………………………12 分1+ 4518.(本小题满分12 分)解：(1) CD // AB .理由如下：连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，由图(1)可得， ∆ADF 与∆BCE 都是等腰直角三角形且全等，则DM ⊥ AF ，CN ⊥ BE ， DM = CN ，如图.∵平面ADF ⊥ 平面ABEF ，交线为AF ， DM ⊂ 平面ADF ， DM ⊥ AF ，∴ DM ⊥ 平面ABEF . 同理得，CN ⊥ 平面ABEF ，∴ DM // CN .又∵ DM = CN ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴CD // MN . ∵ M ，N 分别是AF ，BE 的中点 ∴ M N // AB∴CD // AB ............................................................................... 5 分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP = DF .由图(1)可得， ADFP 为正方形，即AP = FP . ∵ M 为AF 的中点 ∴ MP ⊥ MA .由(1)知， MD ⊥ 平面ABEF ，∴ MA ，MP ，MD 两两垂直.以M 点为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M - xyz ，如图. 设AF = 2 ，则D (0，0，1)， A (1，0，0)， P (0，1，0)， F (-1，0，0)，∴ FD = (1，0，1)， FE = AP = (-1，1，0).⎩ n ⋅⋅ 1+ (1 - m ) ⎨⎩1⎧设平面DFE 的一个法向量为m = ( x ，y ，z ) . 由⎪FD⋅ m = 0 得⎧ x + z = 0.令x = 1 ，则y = 1，z = -1 ，∴m = (1，1，-1).⎨⎪⎩ F E ⋅ m = 0⎨-x + y = 0 由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为= (0，1，0).设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ ，则cos θ = cos < m ，n > = m n 3 =， m n 3∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为 3........................................................... 12 分319.(本小题满分12 分) 解:(1)设直线l 的方程为y = 1x + m .设A ( x ，y )， B ( x ，y ).2⎧ x 2 + y 2 = ⎪ 1 1 2 2由⎨ 4 3 得x 2 + mx + m 2 - 3 = 0 ，则x + x = -m ，x x = m 2 - 3 . 1 2 1 2 ⎪⎪⎩ y = 2x + m 由∆ = m 2 - 4 (m 2 - 3)> 0 ，解得-2 < m < 2 . 又∵点P (1， 3)在直线l 的左上方，∴-2 < m < 1 . 2若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点F 2 ，则 AF 2 ⋅ BF 2 = 0 ，即(1- x 1，- y 1 ) ⋅ (1 - x 2，- y 2 ) = 0 ， 化简得7m 2 + 4m -11 = 0 ，解得m = -11，或m = 1 (舍).7∴直线l 的方程为y = 1 x - 11 ..................................................................................................5分2 73 - y 3 - y 3 - 1 x - m 3 - 1 x - m ⎛ ⎫ (2)∵k + k = 2 1 + 2 2 = 2 2 1 + 2 2 2 = 1+ (1 - m ) 1 + 1 ⎪ PA PB 1- x 1 - x 1- x 1 - x 1 - x 1 - x1 2 1 2⎝ 1 2 ⎭ = 2 - ( x 1 + x 2 ) 1- ( x 1 + x 2 ) + x 1x 2 = 1+ (1- m ) 2 + m = 1+ 1+ m + m 2 - 3 -m 2 - m + 2m 2 + m - 2= 0 ，∴直线x = 1 平分∠APB ，即∆PAB 的内切圆的圆心在定直线x = 1 上. ....................................................... 12 分20.(本小题满分12 分)⎧0 < p < 1解:(1)∵⎪0 < 2 p ≤ 1 ⎪0 ≤ 1 - 3 p < 1，解得0 < p ≤ 1 . 3 E ( A ) = 1400 p + 400 -1200 p - 400 p = 400 - 200 p ，E ( B ) = 1200 p + 300 - 900 p -100 p = 300 + 200 p ，E ( A ) > E ( B ) ⇒ 0 < p < 1 ； E ( A ) = E ( B ) ⇒ p = 1 ；E ( A ) < E ( B ) ⇒ 1 < p ≤ 1. 4 4 4 3∴当0 < p < 1 时，应选择方案A ；当1 < p ≤ 1时应选择方案B ；4 4 3 当 p = 1 时，既可以选择方案A 也可以选择方案B ................................................................5 分4(2)因为 p =0.2 ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为y = 2x 3 - 8x 2 +10x +160 . 1 3设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为ξ1 ，ξ2 和ξ3 ，则1max x⎛ ⎫2 ⎪ ξ = 60x - y ，ξ = ⎛ 60 -3 x ⎫x - y ，ξ = (60 - x ) x - y ，1 12 4 ⎪ 13 1 ⎝⎭∴ξ 的分布列为ξ60x - y 1⎛60 - 3 x ⎫ x - y 4 ⎪ 1⎝ ⎭(60 - x ) x - y 1p0.4 0.40.2E ξ = 0.4 ⨯ (60x - y ) + 0.4 ⨯ ⎡⎛ 60 - 3 x ⎫ x - y ⎤+ 0.2 ⨯ ⎡(60 - x ) x - y ⎤1 41 ⎣ 1 ⎦ ⎣⎝ ⎭ ⎦=- 2 x 3 + 15x 2 + 50x -160 ..................................................................................... 9 分 3 2设 f ( x ) = E ξ = - 2 x 3 + 15x 2 + 50x -160 ，0 < x ≤ 20 ，∴ f '( x ) = -2x 2 +15x + 50 .3 2f '( x ) > 0 ⇒ 0 < x < 10 ， f '( x ) < 0 ⇒ 10 < x < 20 .∴ f ( x ) 在(0，10)上单调递增，在(10，20] 上单调递减，∴当x = 10 时， f ( x ) 取得最大值，即年产量为10 万件时， E (ξ ) 取得最大值，此时 f ( x ) = f (10) ≈ 423.3 (万元).由(1)知，预期平均年利润的期望E ( A ) = 400 - 200 p = 360 (万元). 因为423.3 > 360 ，所以在年产量为10 万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.……………………………12 分21.(本小题满分12 分) 解：(1) f ( x ) = e x sin x ，定义域为R .f '( x ) = e x (sin x + cos x ) =π2e sin x + .4 ⎪ ⎝ ⎭ 由 f '( x ) < 0 解得sin ⎛ x + π ⎫ < 0 ，解得2k π + 3π < x < 7π + 2k π ( k ∈ Z ). 4 ⎪ 4 4⎝ ⎭ ∴ f ( x ) 的单调递减区间为⎛ 3π + 2k π 7π + 2k π ⎫( k ∈ Z ) ............................................. 4 分4 ， 4 ⎪ ⎝ ⎭(2)由已知g (x ) = e x sin x - ax ，∴ g '( x ) = e x (sin x + cos x ) - a .令h ( x ) = g '( x ) ，则h '( x ) = 2e x cos x .∵ x ∈(0，π ) ，∴当x ∈⎛ 0 π ⎫ 时，h '( x ) > 0 ；当x ∈⎛ π ，π ⎫时，h '( x ) < 0 ，， ⎪⎪ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭∴h ( x ) 在⎛ 0 π ⎫ 上单调递增，在⎛ π ，π ⎫上单调递减，， ⎪ ⎪⎝ 2 ⎭ ' ⎛ 0 π ⎫⎝ 2 ⎭⎛ π ⎫即g ( x ) 在 ， ⎪ 上单调递增，在 ，π ⎪ 上单调递减.⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∵ g '(0) = 1- a ， g '(π ) = -e π - a < 0 .①当1- a ≥ 0 ，即0 < a ≤ 1 时， g '(0) ≥ 0 ，∴ g '⎛ π ⎫> 0 ⎝ ⎭ ∴∃x ∈⎛ π ，π ⎫，使得g '( x ) = 0 ，0 2 ⎪ 0⎝ ⎭∴当x ∈(0，x 0 ) 时， g '( x ) > 0 ；当x ∈( x 0，π ) 时， g '( x ) < 0 ，∴ g ( x ) 在(0，x 0 ) 上单调递增，在( x 0，π ) 上单调递减. ∵ g (0) = 0 ，∴ g ( x 0 ) > 0 .又∵ g (π ) = -a π < 0 ，∴由零点存在性定理可得，此时g ( x ) 在(0，π ) 上仅有一个零点. ②若1 < a < 3 时， g '(0) = 1- a < 0 ，' ⎛ π ⎫⎛ π ⎫ '⎛ π ⎫ π又∵ g ( x )在0，⎪ 上单调递增，在 ，π ⎪ 上单调递减，又g ⎪ = e 2 - a > 0 ,⎝ 2 ⎭ ⎝2 ⎭ ⎝2 ⎭36 + 36 49⎨⎪⎨ abc abc ∴∃x ∈⎛ 0 π ⎫， x∈⎛ π ，π ⎫ ，使得g '( x ) = 0 ， g '( x ) = 0 ， 1 ， ⎪ 2 ⎪ 1 2⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭且当x ∈(0，x 1 ) 、x ∈( x 2，π ) 时， g '( x ) < 0 ；当x ∈( x 1，x 2 ) 时， g '( x ) > 0 .∴ g ( x ) 在(0，x 1 ) 和( x 2，π ) 上单调递减，在( x 1，x 2 ) 上单调递增. ∵ g (0) = 0 ，∴ g ( x 1 ) < 0 .⎛ π ⎫ π π π 3π ∵ g ⎪ = e 2 - ⎝ 2 ⎭a > e 2 - > 0 ，∴g ( x 2 ) > 0 . 2 2 又∵ g (π ) = -a π < 0 ，由零点存在性定理可得， g ( x ) 在( x 1，x 2 ) 和(x 2，π ) 内各有一个零点， 即此时g ( x ) 在(0，π ) 上有两个零点. 综上所述，当0 < a ≤ 1 时， g ( x ) 在(0，π ) 上仅有一个零点；当1 < a < 3 时， g ( x ) 在(0，π ) 上有两个零点 ....................................................................................... 12 分22.(本小题满分10 分)⎧x = 3cos ϕ - 4 s in ϕx 2 y 2(1) 曲线C 的参数方程⎪ y = ⎩ 12 cos ϕ + 95 5 sin ϕ 消去参数ϕ 得，曲线C 的普通方程为 + = 1 . 25 9 ∵ ρ sin ⎛θ + π⎫ = ，∴ 3ρ cos θ + ρ sin θ - 2 = 0 ，3 ⎪ ⎝ ⎭ ∴直线l 的直角坐标方程为 3x + y - 2 ⎧x = 2 - 1 t= 0 ............................................................................. 5 分(2) 设直线l 的参数方程为⎪ 2⎪ y = 3 t⎩ 2( t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得7t 2 - 6t - 63 = 0 ，∴t + t = 6，t t = -9 .∵ M 点在直线l 上，∴ MP + MQ = t 1 - t 2 = 1 2 71 2= = 30 2.................................................. 10 分 723.(本小题满分10 分)3(1)由题意知， 2 为方程 x -1 + 3x - 5 = m 的根，∴ -1 + - 5 = m ，解得m = 1 .由 x -1 + 3x - 5 < 1解得， 3< x < 7，∴n =7 ......................................................... 5 分244(2)由(1)知a + b + c = 1 ，b 2 +c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 2bc 2ac 2ab ∴ + + ≥ + + .a b c a b c = 2 (a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ) = 1 ⎡⎣(a 2b 2 + b 2c 2 ) + (b 2c 2 + c 2a 2 ) + (c 2a 2 + a 2b 2 )⎤⎦ ， ≥ 1 (2ab 2c + 2bc 2a + 2ca 2b ) = 2abc (a + b + c ) = 2 ， abc abc b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b 2 ∴ + + ≥ 2 成立 ................................................................................................................... 10 分a b c3 3 3 ( ) t + t - 4t t 21 2 1 23 2 9 2。
合肥二模理科数学带解析之欧阳德创编
合肥市2015年高三第二次教学质量检测数学试题（理） 第Ⅰ卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数i iz 2143-+=（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数=z （ ）A ．i 21-- B.i 21+- C.i 21+ D.i 21-解析：i ii i i i i i z 215105)21)(21()21)(43(2143+-=+-=+-++=-+=∴共轭复数i z 21--=，选A 2.若集合}11|{<=x x M ，则=M C R （ ）A.}1|{≤x xB.}10|{≤<x xC.}10|{≤≤x xD.}1|{<x x解析：011<⇒<x x 或1>x∴}10|{≤≤=x x M C R ，选C3.双曲线1222=-y x 的离心率是（ ） A.23B.26 C.3 D.3解析：由双曲线方程知22,1==b a 26=⇒c∴26==a c e ，选B4.某空间几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的弧线为四分之一圆），则该几何体的表面积为（ ）A.45+πB.48+πC.125+πD.128+π解析：由三视图可知，该几何体是底面为41圆的柱体1253)4(4222+=⋅++⋅⋅=πππ表S ，选C5.“1=a ”是“直线01:1=-+y ax l 与直线05)3(4:2=++++a y a x l 平行”的（ ）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：直线01:1=-+y ax l 与直线05)3(4:2=++++a y a x l 平行，则a a a +-≠+=51314解得1=a ，∴是充要条件，选C6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5326243=-+a a a ，则=7S （ ）A.28B.21C.14D.7解析：411112435155)(3)3(2)2(6326a d a d a d a d a a a a =+=+-+++=-+∴14=a ，∴7747==a S ，选D 7.已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，若果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有)2015()()(11+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小正值为（ ）A.20151B.2015πC.40301D.4030π解析：)4sin(2cos sin )(πωωω+=+=x x x x f ，∴ωπ2=T由题意，)(1x f 为最小值，)2015(1+x f 为最大值则Z k T k ∈+=,)21(2015，解得)21(20152+=k πω当0=k 时，2015πω=，选B8.如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A.7B.8C.9D.10解析：29log 9log 6log 5log 4log 385438543==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= a a a a T∴当10log 3=T 时，2>T ，此时10=n ，选D9.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ）A.330种B.420种C.510种D.600种解析：分三类：①甲、乙、丙三人每人都只选1门，有6035=A 种；②三人中一人选2门，另两人选1门，有180232513=⋅⋅A C A 种；③三人中一人选1门，另两人选2门，有90241513=⋅⋅C C A 种。