专业大类教育平台课程教学大纲-湖南大学数学与计量经济学院
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数学与计量经济学院
本科教育课程教学大纲Syllabus for Undergraduate Programs
专业大类教育平台课程
2005．03
专业大类教育平台课程
A组课程
《高等代数》课程教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《计算方法》课程教学大纲
《最优化原理》课程教学大纲
《运筹学》课程教学大纲
《现代数学选讲》课程教学大纲
B组课程
《数学模型》课程教学大纲
《组合数学》课程教学大纲
《偏微分方程》课程教学大纲
《专业英语》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲
课程编号：10115，10124
课程名称：高等代数
英文名称：Higher Algebra
学时：160
学分：10
适用专业：数学与应用数学专业，信息与计算科学专业
课程类别: 专业大类A组
先修课程：初等数学
一、课程的性质及教学目标
高等代数是数学类专业三大重要基础理论课程之一。通过高等代数课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念，基本定理及它的思想方法和运算技能，为学生进一步学习后继及相关课程，进一步深入各领域的研究等奠定必要的代数与几何基础。
通过高等代数的整个教学过程提高学生的数学素质与能力特别是培养提高逻辑推理的能力，抽象思维能力，观察分析概括类比能力，学习理解能力及各种解题技能等。充分开发学生的自学、创新潜能，以利于他们今后进一步地学习新知识，开发研究新问题。
二、课程的教学内容及基本要求
1．多项式理论
掌握一元多项式的整除，最大公因式、互素多项式、不可约多项式、多项式的因式分解，重因式等基本概念及其性质，理解多项式的根（重根）与它的一次因式（重因式）间的关系，掌握多项式的是否有重因式的判别法，实、复系数多项式的不可约多项式的形式及标准分解式的形式及有理系数多项式的不可约充分判别法，掌握求多个多项式的最大公因式，求整系数多项式的有理根等基本方法，了解多元多项式的基本概念其主要性质。
2．行列式
理解、掌握n级排列的逆序数，对换，奇偶性及n级行列式的概念，熟悉、掌握行列式的性质及按行列展开定理，能熟练综合运用行列式性质及展开定理计算、讨论行列式，能运用克兰姆法则求解某些特殊的线性方程组。
3．线性方程组
理解掌握n维向量空间，n维向量组的线性相关性，n维向量组的秩、向量组的等价，矩阵的秩等基本概念及性质及该部分各定理、命题的证明推导过程，能运用向量组的线性相关性理论讨论线性方程组的解的各种情形及解的结构，并能用矩阵的初等变换解线性方程组。
4．矩阵
理解、掌握矩阵的概念及矩阵运算定义及运算性质，方阵乘积的行列式、可逆矩阵定义及其充要条件，逆矩阵的求法，初等矩阵的定义及性质，分块矩阵的概念及运用技巧。5．线性空间
理解、掌握线性空间、线性空间的基与维数、子空间、子空间的交、和、直和以及线性空间的同构等基本概念及其有关性质、定理及一些重要的线性空间实例，能熟练地运用线性空间的基变换与坐标变换公式和子空间的维数公式解决有关问题。
6．线性变换
理解、掌握线性变换及其运算的概念、性质以及与矩阵间的联系，熟练掌握线性变换的特征多项式、特征值与特征向量的概念，性质及其求法以及相关的哈密尔顿－凯莱定理，掌握线性变换的不变子空间概念及其与线性变换的矩阵化简之间的联系，熟悉几类重要的不变子空间、线性变换的值域、核、特征子空间。能从线性变换的特征向量、特征子空间或最小多项式等不同角度来判断线性变换（或矩阵）是否可对角化，了解线性变换的根子空间的概念及把V分解为线性变换的根子空间的直和等有关知识。
7．λ－矩阵
理解掌握λ－矩阵的标准形、不变因子、行列式因子及数字矩阵或线性变换的不变因子、行列式因子及复数域上数字矩阵或线性变换的初等因子，若当标准形等概念及其相互间的关系，熟知矩阵相似与其特征矩阵等价之间的联系，能熟练地运用初等因子理论来求复数域上线性变换或矩阵的若当标准形。
8．欧氏空间
理解掌握内积、欧氏空间的概念及性质，向量的长度、夹角、正交、距离等度量概念，熟悉柯西－布涅科夫斯基不等式及其有关应用实例，掌握标准正交基的概念，性质及用施密特正交化过程求标准正交基的方法，掌握欧氏空间的子空间的正交补，欧氏空间的同构等知识，并熟悉欧氏空间的两类重要变换：正交变换与对称变换，掌握正交变换的几个等价条件和用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法，了解最小二乘法及酉空间的基本知识。
9．双线性函数及二次型
能熟练写出二次型的矩阵形式，并掌握运用矩阵的合同变换化二次型为标准形和正交变换化实二次型为标准形的方法。熟悉标准形“唯一性”及实二次型的正定性判别方法。
掌握线性函数、对偶空间、双线性函数、对称、反对称双线性函数等基本概念及其性质，以及对称双线性函数与二次型，对称矩阵之间联系。
四、教学及考核方式
教学以课内讲授为主，可配合少数课堂讨论等其它形式，学生课外安排一定量的自学内容及习题，课内与课外的时间比为1:2。
考试：闭卷笔试80％，平时作业20％。
五、推荐教材及主要参考书目
1．推荐教材：
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组：高等代数（第2版），高等教育出版社，1988 2．主要参考书：
1)张禾瑞、郝鈵新：高等代数(第4版)，高等教育出版社，1995
2)邱维声：高等代数(上、下册)，高等教育出版社，1995
3)孟道骥：高等代数与解析几何（上、下册）（第2版），科学出版社，2004
4)邱维声：高等代数学习指导书(上、下册)，清华大学出版社，2005
《空间解析几何》课程教学大纲
课程编号：10125
课程名称：空间解析几何
英文名称：Analytic Geometry of Space
学时：40
学分：2.5
适用专业：数学与应用数学专业，信息与计算科学专业
课程类别：专业大类A组
先修课程：初等数学
一、课程的性质及教学目标
解析几何就是用代数方法来研究几何图形、解决几何问题。它是大学数学类各专业的一