材料力学专项习题练习 弯曲应力
弯曲应力
1. 圆形截面简支梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹性模量2B A E E =。求在外力偶矩e M 作用下，A 、B 中最大
正应力的比值max
min
A B σσ有4个答案： (A)16； (B)14； (C)18
； (D)110。
答：B
2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E 大于材料的抗压弹性模量c E ，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：
答：C
3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢
尺点A 处的应变为1
1000
-，则该曲面在点A 处的曲率半径
为 mm 。 答：999 mm
4. 边长为a 的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大
正应力之比max a max b ()
()σσ= 。
答：2/1
5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。
证：4
12, (d ) 1 8203B A z z z
My M Mt M y yb y I I I σ==?=?? 4
690z I t =, 414
1
1 82088%3690M t M t =??≈
其中：积分限1 , 22
h h
B t A M =+=为翼缘弯矩
(a)
6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。
解：1M EI
ρ= 而M Fa = 4840.78510 m , 0.654 kN 64d EI I F a
πρ-==?==
33
max 8
0.654100.22010
2220.78510M d Fad I I σ--?????=
===??
7. 钢筋横截面积为A ，密度为ρ，放在刚性平面上，一端加力F ，提起钢筋离开地面长度/3l 。试问F
解：截面C 曲率为零
2
(/3)0, 326
C Fl gA l gAl
M F ρρ=-==
8. 矩形截面钢条长l ，总重为F ，放在刚性水平面上，在钢条A 端作用/3F 向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。
解：在截面C 处， 有 10C M
EI ρ==
2
(
)2 0, 323AC C AC AC l F F l M l
l l =
?-?==即 AC 段可视为受均布载荷q 作用的简支梁
2max max
22
()/8/63AC M q l Fl
W bt bt σ===
9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。已知：钢和铝的弹性模量关系为s a 3E E =；在纯弯曲时，应力在比例极限内。试求铝管和钢杆的最大线应变之比s a /εε及最大正应力之比s a /σσ。 解：a ε=s , a ερ2a
ρ=
a ε∶s ε=2∶
1 又E σε=
a σ∶s σ=[a E a ε?] ∶s [E s ε?2]3
=
M e M e
10. 一根木梁的两部分用单排钉连接而成，已知惯性矩64113.510 m z I -=?， 3 kN F =，横截面如图示，每个钉的许用剪力S []700 N F =，试求钉沿梁纵向的间距a 。（C 为形心） 解：缝间水平切应力
**
S 29
36
3 000[20050(87.525)50(87.550)/2]10
0.33 MPa
5010113.510z z
z z
F S FS bI bI ττ---?'===
???-+?-?=
=???
令 S []700 N ba F τ'== 则 S []700
42.4 mm F a b τ==='
11. No.28a 机自重P =10 kN F =，[]100MPa τ=(解：(586D M =-max ()()D M =全梁Smax 58 kN, F τ=
12. 布载荷作用，力τ解：))y y ττ'(=(
13.
证：p M 2S p s
M M 14. 32x qx
bh
τ=
为(x
x ττ''故 S 0 0A F =这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡，2
N 3ql F =
15. 图示等厚度t ，长l ，变宽度矩形截面板条，受轴向拉力F 作用。设横截面上的正应力均匀分布。试按材料力学方法证明任意x 处横截面上切应力τ的
分布规律表达式为：2
()
Fly
tb l x τ=+。 证：从板条上x 附近取一微段d x 如图示，从中再截一小块(见图中阴影处)。设一对轴向拉
力为F 。由该小块的静力平衡条件0x F ∑=，得 **S N1
N2d 0F F F '+-= 其中 1
*
2N1
1 1
11
d d 2b A y F F Fy F A t y b t b σ===-??
2
*2N2
2 2 22
d d 2b A y F F Fy F
A t y b t b σ===-??
S 21d d d d , d b x
F t x t x b b b l
ττ''==-== 解得 (1/)[(1/)d ]Fy
t x l b x l b l
τ=+??++
略去d b 项，得 2()Fly
tb l x τ=+
16. 图
z I =(1) (2) 解：B F 截面B 截面C max τ
17. 矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开,列出图示下半部分的平衡条件并画出其受力图。 解：中性层以下部分的受力图如图所示。 其静力平衡条件为
2 00: d 2
h y F
F b y τ∑==??，
2 22
0d 224h z F F b h y b y bI ??=?- ???
?
2max 00: d h
x F bl b y τσ∑=?=?
， 2 03d 2h
z
Fl Fl yb y h I =? 20 00: d 02
h
Fl M yb y σ∑=-+=?， 22 0d 2h z Fl Fl by y I =? 18. 小锥度变截面悬臂梁如图，直径2b a d d =，试求最大正应力的位置及大小。 解：在距截面A 为x 的截面上
33
()(1)32π)(1/)x b a x a a a M Fx
d d x x d d d l l
M Fx W d x l σ=-=+
=+==
(+ 由
d 0d x σ=，即 33
d 32(1/3/)0d π)(1/)a
Fx x l x l x d x l σ+-==(+ 可求得 2l
x = 对应的max 3
12827π)a Fl
d σ=
(发生在梁中间截面的上、下边缘，上拉下压。
/2
4 1.34 1.34
W ??所以 1.385 m 1.3
l
a l =-=
23. T 字形截面外伸梁如图示，已知[]3[]σσ-
+
=。试求该梁最合理的外伸长度。 解：
截面C ，
截面B
两截面均是拉应力较危险
令它们相等 002C B M y M y I I ?=
得 4
l
a = 24. 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力S F 的方向垂直向下，试画出切应力流的方向。
答：弯曲中心A 以及切应力流方向如图示
25. 注明以下薄壁截面杆弯曲中心的大致位置。
答：弯曲中心的大致位置如图中点A 所示
26. 图示薄壁截面梁
(1)若剪力S F 方向向下，试画出各截面上切应力流的方向；
(2)标出各截面弯曲中心点A 的大致位置。
答：图中点A
27.
大致位置。
答：图中点A
28.
解：3S
πz
z O
I r t
I t
=,=
切应力对O
29. 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力的变化将有4种答案：
(A)不变；(B)增大一倍；(C)减小一半；(D)增大三倍。
答：B
30. 图示矩形截面采用两种放置方
式，从弯曲正应力强度条件，承载
能力(b)是(a)的多少倍？
(A) 2；(B) 4；(C) 6；(D) 8。
答：A
31. 图示梁，采用加副梁的方法提高承载能力，若主梁和副梁材
料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度有4种答案：
(A)；(B)；(C)5/l；(D)2/l。
答：D
A
(a)(b)
40
20
20
40
a
l/2
a
l/2
F
32.
面内作用有正弯矩M，绝对值最大的正应力位置有4
(A)点a；(B)点b；(C)点c；(D)点d。
答：A
33. 图示三种截面梁，材质、截面内
max
M、
max
σ全相同，试求三梁的重
量比，并指出哪种截面最经济。
解：
233
(2)π
6632
b b a d
==
22
123
π
2,
4
d
a d A
b A a
=====
123
::1:1.26:1.41
A A A=矩形截面梁最经济。
34. 矩形截面梁顶面与底面受有大小相等方向相反的均布载荷(kN/m)
q作用。若梁截面的正应力公式/
M y I
σ=和关于切应力沿截面宽度方向均匀分布的假设仍成立，试证明梁横
截面上的切应力公式为：/()/
z z
qhS bI q b
τ=-。
证：
***
1
N1
d d d z
A A A
z z z
MS
My M
F A A y A
I I I
σ
====
???
**
2
N2
(d)
d
d d z
A A
z z
M M S
M M
F A y A
I I
σ
+
+
===
??
由0
x
F
∑=得
21
N N S
d d0
F F F q x
---=
利用τ互等定理，
S
d d d
F A b x
ττ
'
==
又考虑
d
,
d
M
M qxh qh
x
==代入平衡方程，整理得横截面上τ公式：z
z
qhS q
I b b
τ=-
35. 图示矩形截面叠层梁材料相同，若不计梁间的摩擦力，试求梁中最大切应力。
解：
1212
111
,,
z z
M
I I M M
EI
ρρρ
12
====
由得
又Smax
12
S1S2S1S2
d d
,
d d24
F
M M ql
F F F F
x x
=====
得
S1
1max2max
1
33
24
F ql
A bh
ττ===
36. 自由叠合梁如图，材料的弹性模量均为E ，已测得在力偶e M 作用下，上、下梁在交界面AB 处的纵向变形后的长度之差为δ，若不计梁间的摩擦力，试求力偶e M 的大小。 解：设上下梁的弯矩分别为1M 和2M
e 121211
, , 2M I I M M ρρ12==== 两梁上下边缘应变为 max
e
2M E
EW
σε=±
=±
上梁下边缘：e 112M l
l l EW ε?=-=-
下梁上边缘：e 22
2M l
l l EW ε?==
2
e e 211212max , 2224
M l M l I bh l l W W EW EW y δ=?-?=+===
又 代入上式得：2e 24Ebh M l
δ
=
37. 材料相同的自由叠置梁尺寸及受力如图，已知材料的弹性模量E ，许用应力[σ]。试求： (1) 许可载荷[]F ；
(2) 在[]F 作用下，两梁在交界面AB 处的纵向长度之差δ（不计梁间摩擦）
解：(1) 1211, , I I ρρ12==则1max 2max 2Fl
M M ==
1max 1max 2max 2
112[M Fl W bh σσσ===≤] , 2[[]12bh F l σ]
=
(2) 1122
112, 222M M Fx Fx
M M E EW Ebh σε1======
2
22
0 0126d d l
l
F Fl x x x Ebh Ebh δεδ12====-??
2212[|||Fl l
Ebh E
σδδδ12]=|+==
38. 矩形截面简支梁如图所示。梁上缘的温度为0t ，下缘的温度为1t 。10120t t -=℃且沿梁的高度按线性规律变化，材料线膨胀系数为/l α-6=12?10℃，试求由温度场引起的梁的曲率半径ρ。 解：1010
1
d d d l l l l t t x h x h
ααθρ?-?-===
得 10694)
l h
h t t ρα==(-
/2/2
39. 图示简支梁。若横截面高度h 保持不变，试根据等强度的观点确定截面宽度()b x 的变化规律。为了保证剪切强度，该梁的最小宽度min b 应为多少？（假
设材料的[σ]、[τ]为已知）
解：AC 段 max 2()3(), ()[2()()Fx M x Fx M x x W x b x h σσ====] ，2
3()[Fx
b x h σ=]
BC 与AC 段对称，()b x 相同。
S max min 3()33()[, (), 2()4[4[F x F F
x b x b A x h h ττττ=
≤]≥=]]
40. 图示圆截面梁，已知材料的许用应力[σ]及许用切应
力[τ]，试按等强度梁决定梁的形状。
解：AB 段 3111111max 13
11|()|32π
(), ()[d()], ()[()πd()]M x aFx a M x Fx W x x x l W x l x σσ=-====]32[
1()d x =
BC 段：22
22max 23
22|()|32(), ()[]()πd()]
M x Fx M x Fx x W x x σσ=-=
==[同理
2()d x =
当1x l =或2x a =时
max B d d ==
端面A
：S1max 21416[ 33π[d()]A
F aF d A l x ττ=
=≤],≥端面C
：S2max 22416()[ 33π[d()]c
F l a F d A l x ττ+=
=≤],≥41. 矩形截面木梁，200 mm b =，300 mm h =，因强度不足，在梁顶与梁底各加200 mm 10 mm ?的钢板加固，木材与钢材的弹性模量之比12/1/20n E E ==，木材的许用应力[ MPa σ]=10，钢的许用应力[ MPa σ]=140，试求梁能承受的最大弯矩。 解：复合梁分区线性变化。 1212, , E y E y y
εσσρρρ
===
由1
2
1
2
1212d d A A E E y A y A I I M σσρ
ρ
+=
+
=??
中性层曲率 1122
1
M
E I E I ρ=+
得1max
1max
1max 11122
[], 158.1 kN m E y ME y M E I E I σσρ
=
=≤≤?+
2max
2max
2max 21122
[], 103.8 kN m E y ME y M E I E I σσρ
=
=
≤≤?+
取max 103.8 kN m M =?
42. 理想弹塑性材料梁，在极限弯矩作用下，截面上的中性轴位置有4种答案： (A) 不存在； (B) 不过截面形心；
(C) 过截面形心； (D) 将截面分成面积相等的两部分。 答：D
43. 矩形截面悬臂梁受均布载荷q 的作用，跨度为l ，材料的许用应力为[]σ，截面宽度b 不变，为使此梁为等强度梁，高度h 的变 化规律为()h x = 。
答：()h x =44. 变截面梁的主要优点是 ；等强度梁的条件是 。
答：在一定的强度、刚度条件下，节省材料，减轻自重。max ()
[]()M x W x σσ==
45. 图示悬臂梁截面有两种构成方式(A)、(B)，若材料相同，从强度观点出发，梁的均布许可载荷之比[]/[]A B q q = 。 答：n 。
46. 梁的截面如图示。材料为理想弹塑性材料，屈服极限为s σ，则此梁的极限弯矩u M = 。 答：s
u ()2
bh h b M σ+=
。
x
)
47. 图示由木、钢两种材料组成的矩形截面弯曲梁，木、钢的弹性模量分别为110 GPa E =，2210 GPa E =，则木材与钢
材所受弯矩之比12:M M = 。 答：4.2。
48. 梁受力如图所示。当载荷增大时，可能出现塑性铰的截面为 。 答：截面A ，B 。
49. 由理想弹塑性材料制成的梁，当截面B 各点全部处于屈服状态时，A 处支反力为 , 设, , , F l b h ，屈服极限s σ为已知)。
答：
2
s
24bh F l
σ-
。 50. 纯弯曲梁，由二种弹性模量不同(12E E >)的材料粘成一整体，横截面如图所示，变形仍符合平截面假定，试证明中性轴不通过形心C 。 证：设中性轴通过形心，则横截面轴力N 0F =
而 1
2
121122N d d A A E y E y E S E S
F A A ρ
ρρρ
=+=+??
因 12S S =-, 而 12E E ≠
则 11220E S E S
ρρ
+≠
即 N 0F =不满足，中性轴必不通过形心。
51. 某矩形截面梁，其材料的应力应变关系在弹性范围内为n E σε=，设平面假定成立，
试证明该梁横截面上的最大正应力公式为：max 22(21)n M
n bh
σ+=?。
证：设弯曲时的曲率为k ，则
, ky εσ==故
d d A
M y A A σ==?
(21)2n M nb +=
故
max 2
2(21)n M
nbh σ+==
E
52. 自由叠合梁尺寸及受力如图所示，材料的许用应力[]8 MPa σ=，若不考虑两梁之间的摩擦，问许用载荷[]q 为多大？
解：因 121122
11
M M EI EI ρρ=≈=，
故 11221
8
M I M I ==， 又 12M M M +=
得 128, 99
M M
M M ==
上梁 max 1max
max 111()()9M M W W σ==
下梁 max 2max
max 222
()8()9M M W W σ==
max 1max 2()1
()2
σσ=
max 2()[]σσ≤， 222
3[]
[]12 kN/m 2bh q l σ==
53. 梁由上、中、下三层牢固粘合而成，上下层材料的弹性模量为2E ，中间层的弹性模量为1E ，推导此梁在纯弯曲时，横截面上正应力的计算公式。
解：对各层均有 y
ερ
=
中间层中 1
11yE E σερ
== 上下层中 2
22yE E σερ
==
由 3
21212 0
22()d 2()d (7)3h h
h
bh M yb y yb y E E σσρ
=+=+??
?
113122231232(7)
32(7)
ME y bh E E ME y
bh E E σσ=
+=
+
54. 纯弯曲矩形截面梁，用应力应变关系为n B σε=的材料制成，其中B 、n 均为常数。若平面假设成立，且中性轴仍过截面形心，试导出n 为奇数时正应力的计算公式。 解：由 y
ερ=, 得 n
y B σρ??
= ???
又
12 2d d h
n h n
A
Bb
M y A y y σρ
+-==
??
当n 为奇数时，2
2[(2)](/2)n n Bb
M n h ρ+=
+
2
(2)22n n B
M n b h ρ++??= ???
2
(2)22n n M n y b h σ++??
= ?
??
=50=100
e
55. 某材料拉伸时的应力应变曲线为：212B B σεε=-，1B 、2B 是材料常数，压
缩时的应力应变曲线与拉伸相同。若平面假设成立，最大线应变为1ε，试导出
矩形截面梁所受弯矩M 的公式。
解：因 y ερ=， 当 2
h
y =时，有 max 11, 22h h εερρε===
221212121 0
d 2()d 6
8h
A B B M A y b B B y y bh εσεεε??
=?=-=- ?
???? 56. 一简支梁跨度 4 m l =，中间承受集中力F ，截面为矩形，高100 mm h =，宽50 mm b =，设材料为理想弹塑性，其屈服极限s 240 MPa σ=
(1) 梁中间截面完全屈服时F 是多大；
(2) 若将F 卸至零，梁内残余最大正应力和边缘正应力各为多少。
解：(1) 由 2s 44bh Fl σ?=， 得 2s 30 kN bh F l
σ==
(2) 弹性卸载30 kN m M =?
(边缘)2s s
max 2/43/62
bh bh σσσ==
， (中间)
0σ= 两图相减
最大残余应力在中性轴处 max s ||240 MPa σσ== 边缘残余应力 s
||120 MPa 2
σσ=
=
57. 一T 形截面梁，设t a =。梁材料为理想塑性其屈服极限为s σ，试求此梁的极限弯矩s M 与刚出现塑性变形时的弯矩s M 之比。 解：由 222
C a t
at at y at ?
-?=?
， 略去2
t 项，得 4
C a
y ≈
2
2
3351244224z ta a a t I at at ta ????=+++≈ ? ?????
又由 s s 33/45/24M a ta σ= 得 2
s s 518
M ta σ=
极限状态，中性轴在翼腹交界处，
由 2s s s u 222
at a at t a t M σσσ????=+≈
(略去2t 项) 得 u s 11818 1.82510M M =?== σ
1
58. 图示矩形截面简支梁，材料为理想弹塑性，在外力F 作用达到极限弯矩时，中间形成塑性铰，试求塑性区半长C ，其b 、h 、l 、F
解：跨中截面： u s 212M Fl
S S bh
σσ'===+
距跨中为c
的截面：s 2
3(0.5)
c M F l c W bh
σσ-''=== 因 σσ'''=, 得 6l
c =
59. 图示矩形截面简支梁，已知理想弹塑性材料的屈服极限s 250 MPa σ=，试求使跨中截面顶部及底部的屈服深度达到10 mm 时的载荷值。
解：由 28ql M =
2p s p p (2)(2)6h h M b h h h σ??
-=-+ ? ???
故 2s p p p 2
8[()()/6]
118 kN m b h
h h h h q l σ-+-==?
60. 图示箱式截面梁，已知材料为理想弹塑性且屈服极限s 240 MPa σ=，试求： (1) 极限弯矩u M ； (2) 弹性最大弯矩e M ； (3) 二者的比值。7
解：u max s 294.1 kN m M S σ==?
e s 69.6 kN m M W σ==?
u
e
1.35M M = 61. 已知某材料为理想弹塑性材料，屈服极限s 240 MPa σ=，安全因数 1.5n =，试按极限弯矩设计矩形截面尺寸。设2h b =。 解：梁内 max 10 kN m M =?
极限弯矩 2u s max 260M S bh σ==
由 u max , 2M
M h b n ==
得 40 mm, 80 mm b h ==
62. 矩形截面纯弯曲梁如图示。已知材料的拉伸弹性模量为1E ，压缩弹性模量为2E ，且124E E =。设纯弯曲时平面假设仍成立，已知梁截面宽度b ，高h ，受拉边高1h ，受压边
高2h ，试导出中性轴位置及弯曲正应 力公式。
解：几何关系：y
ερ
=
物理关系：12t 1c 2 (0), (0)E y E y
y h y h σσρρ
=
<≤=
>≥-
由 0X ∑=
1
2
d d 0A A A A σσ+-+=?
?
解得 212h h = 122, 33h h
h h ==
由 0z M ∑= 1212()()z z E E
I I M ρρ
?+?=
而 33
128(), ()8181z z bh bh I I ==
故 3
21274M E bh ρ=
解得 1
133
2727 (0), (0)4My My y h y h bh bh σσ+-
=≤≤=≥≥- 63. 图示矩形纯弯曲梁是由两种材料牢固粘合而成，它们的弹性模量分别为1E 和2E ，若以胶合面为中性层，试计算1h 和2h 的比值。
解：由N 0F = 12 1122
12 0
d d h h E y b E y b y y ρ
ρ
=??
故
12
h h =
64. 一正方形截面梁，其水平对角线为中性轴，若削去顶和底的棱角，是否可以提高梁的强度？当α为何值时，其弯曲截面系数z W 最大？ 解：小棱角对z 轴的惯性矩为 44
222
*(12/3)236
2
z
b b I ααα-=
+
削去顶和底的棱角后的面积对z 轴的惯性矩为
*41
2212
z
z I b I =-
对应的弯曲截面系数
z W ==
令
d 0d z W α=，得 1
9
α=
e
材料力学A弯曲应力作业答案
1. 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2 kN ，F 2=5 kN ，试计算梁 内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩（位于F 2作用点所在横截面）： M max =2kNm (3) 计算应力： 最大应力：MPa W M Z 9.4661080401029 23 max max =???==-σ K 点的应力：MPa I y M Z K 2.3512 1080401021233 max =???== -σ 1 z
5. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl ]=40 MPa ，许用压应力[σc ]=160 MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T 形截面倒置成为⊥形，是否 合理？何故？ 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 mm A y A y i Ci i C 5.15730 20020030100 3020021520030=?+???+??=∑∑= 4 6232 310125.60200 30)1005.157(12 2003020030)5.157215(1230200m I zC -?=??-+?+??-+?=(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C C C zC M y MPa I σσ-??===?p B 截面的最大拉应力 3max 6 (0.23)2010(0.230.1575) 24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--?-===?p C 截面的最大拉应力 3max 6 10100.157526.2 []60.12510 C C t t zC M y MPa I σσ-??===?p 梁的强度足够。 (4) 讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C t t ZC M y MPa I σσ-??===?f 梁的强度不够。 x
材料力学复习总结
材料力学复习总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
《材料力学》第五版 刘鸿文 主编 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定 性要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足 够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性 假设和各向同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定 只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ=≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ=≤
一定要有结论 2.设计截面[],max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε?=没有量纲、泊松比'εμε =没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA ?= 注意当杆件伸长时l ?为正，缩短时l ?为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相 应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。 会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。 九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l l δ-?=??及断面收缩率1100A A A ?-?=??，工程上把5δ?≥?的材料称为塑性材料。 十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。对没有明显屈服极限的塑性材料，如 何来确定其屈服指标见课本第24页。 十一、 重点内容：1.画轴力图；2.利用强度条件解决的三种问题；3.强 度校核之后一定要写出结论，满足强度要求还是不满足强度要求；4.利用胡克定律N F l l EA ?=求杆的变形量：注意是伸长还是缩短。 典型例题及习题：例 例 习题 第三章 扭转 一、如何根据功率和转速计算作用在轴上的外力偶矩，注意功率、转速和外力偶矩的单位。9549e P M n = 二、扭矩及扭矩图：利用右手螺旋规则（见课本75页倒数第二段）判断的是扭 矩的正负号而不是外力偶矩的正负号，扭矩是内力而外力偶矩是外力 。
材料力学习题解答弯曲应力
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试确 定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
材料力学复习总结
《材料力学》第五版 刘鸿文 主编 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性 要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够 的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能 力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假 设和各向同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只 适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ=≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ=≤ 一定要有结论 2.设计截面[],max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε?=没有量纲、泊松比'εμε =没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA ?= 注意当杆件伸长时l ?为正，缩短时l ?为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应 的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服
材料力学习题弯曲应力
弯 曲 应 力 基 本 概 念 题 一、择题(如果题目有5个备选答案，选出2～5个正确答案，有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 弯曲正应力的计算公式y I M z = σ的适用条件是（ ） 。 A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B ．粱内最大应力不超过材料的比例极限 C ．粱必须是纯弯曲变形 D ．粱的变形是平面弯曲 E ．中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M z = σ中，I z 为粱的横截面对（ ）轴的惯性矩。 A . 形心轴 B ．对称轴 C ．中性轴 D ．形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面，如图所示，则梁的抗弯截面模量W 为（ ）。 A . 32 3 D π B ． )1(32 4 3 απ-D C ． 32 3 d π D ． 32 32 3 3 d D ππ- E ．2 6464 44 D d D ππ- 题3图 题4图 4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，S *z 表示 的是（ ）对中性轴的静矩。 A ．面积I B ．面积Ⅱ C ．面积I 和Ⅱ D ．面积Ⅱ和Ⅲ E ．整个截面面积 -21-
5．欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，b 应取（ ）。 A ．上翼缘宽度 B ．下翼缘宽度 C ．腹板宽度 D ．上翼缘和腹板宽度的平均值 6．图为梁的横截面形状。那么，梁的抗弯截面模量W z ＝（ ）。 A . 6 2 bh B ．32632d bh π- C ．2641243h d bh ? ??? ??-π D ．??? ? ?-???? ??-22641243d h d bh π 7．两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦)，如图所示。那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( ) A . 62bh B ．??? ? ??622 bh C ．)2(612 h b D ．h bh 21222???? ?? 8．T 形截面的简支梁受集中力作用(如图)，若材料的[σ]- ＞[σ]+，则梁截面位置的合理放置为( )。 -22-
材料力学知识点总结.doc
一、基本变形 轴向拉压材料力学总结 扭转弯曲 外外力合力作用线沿杆轴 力线 内轴力： N 规定： 力拉为“ +” 压为“-” 几 变形现象： 何 平面假设： 应 方应变规律： 面 d l 常数 dx 力 应 力 N 公 A 式 力偶作用在垂直于轴 的平面内 扭转： T 规定： 矩矢离开截面为“ +” 反之为“ - ” 变形现象： 平面假设： 应变规律： d dx T T I P max W t 外力作用线垂直杆轴，或外力偶作用 在杆轴平面 剪力： Q 规定：左上右下为“ +” 弯矩： M 规定：左顺右逆为“ +” 微分关系： dQ ; dM q Q dx dx 弯曲正应力 变形现象： 平面假设：弯曲剪应力 应变规律： y My QS*z I Z I z b M QS max max max W Z I z b
应 力 分 布 应 等直杆 用 外力合力作用条 线沿杆轴线 件 应力-应 E 变 （单向应力状态）关系 强N max 度 A max u 条 n 件塑材：u s 脆材：u b 圆轴平面弯曲 应力在比例极限内应力在比例极限内 G （纯剪应力状态） 弯曲正应力 T 1．t c max 弯曲剪应力W t max max 2． t c Q max S max max I z b t max t cmac c 轴向拉压扭转弯曲刚 度T 180 0 y max y max GI P 条注意：单位统一max 件 d l N ; L NL d T 1 M ( x) EA 变dx EA dx GI Z ( x) EI TL y '' M (x) GI P EI EA—抗拉压刚度GI p—抗扭刚度EI —抗弯刚度
材料力学习题册答案-第5章 弯曲应力
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 （ × ） 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （ √ ） 3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。（ × ） 4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。 （ √ ） 5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ） 二、填空题 1、应用公式y I M z = σ时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。 A 同时破坏； B （a）梁先坏； C （b）梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ） A B C D A B D x
材料力学习题弯曲变形
弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 （）。 题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26-
题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27-
材料力学答案
弯曲应力 6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 1010 64 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.20108.490104105.28 2 3=????=--σ （压）
MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????= --σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.38106.251099.01018 2 3=????= --σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 6 1002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??= -σ MPa 26.55max =σ 6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： Mpa 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ （拉）
材料力学试题及答案73241
一、判断题（正确打“√”，错误打“X ”，本题满分为10分） 1、拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力的存在。( ) 2、圆截面杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在横截面离圆心最远处。( ) 3、两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。( ) 4、交变应力是指构件内的应力，它随时间作周期性变化，而作用在构件上的载荷可能是动载荷，也可能是静载荷。( ) 5、弹性体的应变能与加载次序无关，只与载荷的最终值有关。（ ） 6、单元体上最大切应力作用面上必无正应力。( ) 7、平行移轴公式表示图形对任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（ ） 8、动载荷作用下，构件内的动应力与材料的弹性模量有关。( ) 9、构件由突加载荷所引起的应力，是由相应的静载荷所引起应力的两倍。( ) 10、包围一个点一定有一个单元体，该单元体各个面上只有正应力而无切应力。( ) 二、选择题（每个2分，本题满分16分） 1．应用拉压正应力公式A F N =σ的条件是（ ）。 A 、应力小于比例极限； B 、外力的合力沿杆轴线； C 、应力小于弹性极限； D 、应力小于屈服极限。 2．梁拟用图示两种方式搁置，则两种情况下的最大弯曲正应力之比 ) (m ax )(m ax b a σσ 为 （ ）。 A 、1/4； B 、1/16； C 、1/64； D 3 A B C 、有应力不一定有应变，有应变一定有应力； D 、有应力一定有应变，有应变一定有应力。 4、火车运动时，其轮轴横截面边缘上危险点的应力有四种说法，正确的是 。 A ：脉动循环应力： B ：非对称的循环应力； C ：不变的弯曲应力；D ：对称循环应力 5、如图所示的铸铁制悬臂梁受集中力F 作用，其合理的截面形状应为图（ ） 6、对钢制圆轴作扭转校核时，发现强度和刚度均比规定的要求低了20%，若安全因数不 (a (b
材料力学有答案2
材料力学二 1、横力弯曲梁，横截面上（）。[C] A、仅有正应力 B、仅有切应力 C、既有正应力，又有切应力 D、切应力很小，忽略不计 2、一圆型截面梁，直径d=40mm，其弯曲截面系数W Z为（）。[B] A、1000πmm3 B、2000πmm3 C、400πmm2 D、400πmm3 3、弯曲梁上的最大正应力发生在危险截面（）各点处。[B] A、中性轴上 B、离中性轴最远 C、靠近中性轴 D、离中性轴一半距离 4、考虑梁的强度和刚度，在截面面积相同时，对于抗拉和抗压强度相等的材料（如碳钢），最合理的截面形状是（）。[D] A、圆形 B、环形 C、矩形 D、工字型 5、两梁的横截面上最大正应力相等的条件是（）。[B] A、M MAX与横截面积A相等 B、M MAX与W Z（抗弯截面系数）相等 C、M MAX与W Z相等，且材料相同 D、都正确 6、提高梁的强度和刚度的措施有（）。[c] A、变分布载荷为集中载荷 B、将载荷远离支座 C、将梁端支座向内侧移动 D、撤除中间支座 7、一铸铁梁，截面最大弯矩为负，其合理截面应为（B）。 A、工字形 B、“T”字形 C、倒“T”字形 D、“L”形 8、图示三种截面的截面积相等，高度相同，试按其抗弯截面模量由大到小依次排列（ B ） A、ABC B、CBA C、CAB D、BAC 9、几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根为钢材，若两根梁受力状态也相同，则它们的（ A ） A、弯曲应力相同，轴线曲率不同 B、弯曲应力不同，轴线曲率相同 C、弯曲应力和轴线曲率均相同 D、弯曲应力和轴线曲率均不同 10、设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面 A、对称轴 B、靠近受拉边的非对称轴 C、靠近受压边的非对称轴 D、任意轴 11、关于图示梁上a点的应力状态有下列四种答案：正确答案是（ D ）
材料力学习题集解答(弯曲应力)
. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[]=10 MPa ，试确 定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33232 336 912[]29 9910104416 2[]21010 277ql M ql h W h ql h mm b mm σσσ= ==?≤???∴≥==??≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[]=160 MPa ，试求许可载荷。 q b h M ql 2 /2 (- x
解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = . 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 No20a M x
解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 4 M x
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3 +=
（↓） 则截面C 处挠度为： (A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323??? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓） ； (C)2 e 3 322)3/(323??? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b) 刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1w '=0；x =2a ，w 2=0 =2a ， 32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
材料力学习题解答弯曲应力
6.1.矩形截而悬臂梁如图所示，已知1=4 b/h=2!3, q二10 kN/m, [cr]=10 MPa,试确 定此梁横截面的尺寸. max 2 (2)计算抗弯截面系数 2,3 W 如31" yy = ----- = ------- =— 6 6 9 (3)强度计算 0尸 max W M 2 h3~[ T /9X10X103X42心 /. h > / —— = 3 ------------------- - - =416〃〃〃 \2[(T] V 2xl0xl06 b > 277mm 62 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[a]=160 MPa,试求许可载荷。 由弯矩图知:
2P = = J_.pgE W W 3W .? A 哄=3x237xl0F60>d。”= %.8 球 2 取许可载荷 [P] = 57AN 解：(1)画梁的弯矩图 M c M c 32xl.34xl03 =—=—Y = :— = 63.2MPa W c诚;. n x 0.06? "3T B截面: 0.9xlO3 5 z 4——；------------ -- = 62.1 MPa 力以八d；、〃x0.06 〃 0.045、 ---- U ——r)------------ (1 —----- r-) 32 矶32 0.064 (3)轴内的最大正应力值 (2)查表得抗弯截面系数 (3)强度计算 2P 、=—— W =237x10^7/1 max bfmax 63.图示圆轴的外伸部分系空心轴.试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力. 由弯矩图知：可能危险截面是C和B截而 (2)计算危险截而上的最大正应力值 C截面：
材料力学习题册答案弯曲变形
第六章弯曲变形 一、是非判断题 1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为 零。（×） 两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相 同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是 否相同无关。（×） 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等 于零的截面处。（×） 若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面 的挠度相等，转角不等。（√） 简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨 度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×） 当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每 一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√） 8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、选择题 1. 梁的挠度是（D）
A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移 D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2
材料力学习题解答(弯曲应力)
6、1、 矩形截面悬臂梁如图所示,已知l =４ m , b / ｈ =2/3，q =10 kN/m ,[σ]=１0 MPa , 试确定此梁横截面得尺寸。 解：(１) 画梁得弯矩图 由弯矩图知： (2) （3) 强度计算 6.２. 20a 工字钢梁得支承与受力情况如图所示，若[σ］=160 M Ｐa ,试求许可载荷。 解:(1） 由弯矩图知: (2） (３) 强度计算 取许可载荷 6、３、 图示圆轴得外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图,并求轴内最大正应力。 解：(1) (2) Ｃ截面: B 截面： 3 max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (３) 轴内得最大正应力值 ６、５、 把直径ｄ=１ m 得钢丝绕在直径为2 ｍ得卷筒上,设E =2００ GP ａ，试计算钢 丝中产生得最大正应力。 解:（1） 由钢丝得曲率半径知 （2） 钢丝中产生得最大正应力 No20a x x ql x
6、８、压板得尺寸与载荷如图所示。材料为45钢,σｓ＝380 MPa,取安全系数n=1、5。试 校核压板得强度。 解：(1） (2） 3 63 3 12 ) 1.56810 20 m - -=? (3) 强度计算 许用应力 强度校核 压板强度足够. ６、12、图示横截面为⊥形得铸铁承受纯弯曲,材料得拉伸与压缩许用应力之比为[σt]/［σc］=1/4。求水平翼缘得合理宽度ｂ。 解：(1) (2) 6、1３、MPa,许用压应力为 [σc]=16０MＰa,截面对形心z c zｃ1=96.4 mm，试求梁得许用载荷Ｐ。 解：（1） （２） A A C截面得最大拉应力 取许用载荷值 ６、14、铸铁梁得载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力［σl］=40 MPａ，许用压应力[σｃ]=1６0MＰa.试按正应力强度条件校核梁得强度。若载荷不变,但将 T形截面倒置成为⊥形,就是否合理？何故? A-A x
材料力学专项习题练习 弯曲应力
弯曲应力 1. 圆形截面简支梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹性模量2B A E E =。求在外力偶矩e M 作用下，A 、B 中最大 正应力的比值max min A B σσ有4个答案： (A)16； (B)14； (C)18 ； (D)110。 答：B 2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E 大于材料的抗压弹性模量c E ，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案： 答：C 3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢 尺点A 处的应变为1 1000 -，则该曲面在点A 处的曲率半径 为 mm 。 答：999 mm 4. 边长为a 的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大 正应力之比max a max b () ()σσ= 。 答：2/1 5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。 证：4 12, (d ) 1 8203B A z z z My M Mt M y yb y I I I σ==?=?? 4 690z I t =, 414 1 1 82088%3690M t M t =??≈ 其中：积分限1 , 22 h h B t A M =+=为翼缘弯矩 (a)
6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。 解：1M EI ρ= 而M Fa = 4840.78510 m , 0.654 kN 64d EI I F a πρ-==?== 33 max 8 0.654100.22010 2220.78510M d Fad I I σ--?????= ===?? 7. 钢筋横截面积为A ，密度为ρ，放在刚性平面上，一端加力F ，提起钢筋离开地面长度/3l 。试问F 解：截面C 曲率为零 2 (/3)0, 326 C Fl gA l gAl M F ρρ=-== 8. 矩形截面钢条长l ，总重为F ，放在刚性水平面上，在钢条A 端作用/3F 向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。 解：在截面C 处， 有 10C M EI ρ== 2 ( )2 0, 323AC C AC AC l F F l M l l l = ?-?==即 AC 段可视为受均布载荷q 作用的简支梁 2max max 22 ()/8/63AC M q l Fl W bt bt σ=== 9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。已知：钢和铝的弹性模量关系为s a 3E E =；在纯弯曲时，应力在比例极限内。试求铝管和钢杆的最大线应变之比s a /εε及最大正应力之比s a /σσ。 解：a ε=s , a ερ2a ρ= a ε∶s ε=2∶ 1 又E σε= a σ∶s σ=[a E a ε?] ∶s [E s ε?2]3 = M e M e
材料力学习题解答(组合变形)
材料力学习题解答(组合变形)
9.3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车 等）为P =40 kN ，横梁AC 由两根No18槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力 [ ]=120MPa 。试校核梁的强度。 解：(1) 受力分析 当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁AC 的受力为 由平衡方程求得 No18×
注：对塑性材料，最大应力超出许用应力在5%以内是允许的。 9.5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图 所示。P =1600 kN ，材料的许用应力[σ]=160 MPa 。试校核立柱的强度。 解：(1) 计算截面几何性 ()()2 12 2212 1.40.86 1.204 1.40.050.0160.8620.016 1.105 0.099 ABCD abcd A A m A A m A A A m ==?===--?-?==-= 截面形心坐标 1122 1.40.050.0161.2040.7 1.1050.0520.51 0.099c c c A y A y y A m +=--???+?+ ???== 截面对形心轴的惯性矩 I 截面I-I
()()()234324 4 10.86 1.40.70.51 1.2040.24 1210.8620.016 1.40.050.01612 1.40.050.0160.050.51 1.1050.211 20.240.2110.029 I zc II zc I II zc zc zc I m I m I I I m = ??+-?==?-??----??++-?= ??? =-=-= (2) 内力分析 截开立柱横截面I-I ，取上半部分 由静力平衡方程可得 ()1600 0.92256c N P kN M P y kNm ===?+= 所以立柱发生压弯变形。 (3) 最大正应力发生在立柱左侧 []33max 2256100.511600100.0290.099 39.6716.1655.83 160C t zc My N I A MPa MPa σσ???=+=+=+==p 力柱满足强度要求。 9.6. 图示钻床的立柱为铸铁制成，P =15 kN ，许 用拉应力为[σt ]=35 MPa 。试确定立柱所需I N P 900 M y
材料力学习题解答弯曲应力
. . . . 6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试 确定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
材料力学答案(1)
2-1 （a ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- 02222=+-=-F F N （2）作轴力图 F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F a a F F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x a F F x N ?- =)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。 [习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3 /35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( ) (942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 8.935.210)114.323(10002 ????+?--= )(942.3104kN -= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-== σ
[习题2-5] 图示拉杆承受轴向拉力kN F 10=，杆的横截面面积2 100mm A =。如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求当o o o o o 90,60,45,30,0=α时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解：斜截面上的正应力与切应力的公式为： ασσα20cos = αστα2sin 2 = 式中，MPa mm N A N 1001001000020===σ，把α的数值代入以上二式得： 轴向拉/压杆斜截面上的应力计算 题目 编号 习题2-5 10000 100 0 100 100.0 0.0 10000 100 30 100 75.0 43.3 10000 100 45 100 50.0 50.0 10000 100 60 100 25.0 43.3 10000 100 90 100 0.0 0.0 [习题2-6] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量GPa E 10=。如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。 解：（1）作轴力图 kN N AC 100-= )(260160100kN N CB -=--= 轴力图如图所示。 （2）计算各段上的应力 MPa mm N A N AC AC 5.2200200101002 3-=??-==σ。 )(0MPa σ)(MPa ασ)(MPa ατ)(o α) (N N ) (2mm A