高中数学立体几何单元测试卷

高一2011-2012学年度单元测试题

数 学 立体几何部分

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分），考生作答时请将答案答在答题纸上，答在试卷或草纸上无效，考试时间120分钟，满分150分。

参考公式：柱体体积V Sh =，其中S 为柱体底面积，h 为柱体的高。

球体体积34

3V R π=

，其中π为圆周率，R 为球体半径。 椎体体积1

3

V Sh =，其中S 为锥体底面积，h 为锥体的高。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列说法正确的是

A.两两相交的三条直线共面

B.两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线

C.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行

D.不共面的四点中，任何三点不共线

2.设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C A.不共面

B.当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面

C.当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面

D.不论A ，B 如何移动都共面

3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.2 B.1 C.

23 D. 1

3

第3题图 第4题图 4.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 中点。将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上

折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为 A.

327π B. 62π C. 68π D. 624

π

5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B.若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α

C.若l ∥α，m ?α，则l ∥m

D.若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 第6题图 6.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在 A.直线AB 上 B.直线BC 上 C.直线AC 上 D.△ABC 内部 7.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ， 且EF=

1

2

，则下列结论中错误的是 A. AC ⊥BE B.EF ∥平面ABCD

C.三棱锥A-BEF 的体积为定值

D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 第7题图

9.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 2S S 2S S π4

S

S 4S S π10.如图所示，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体B 1EF －C 1HG 后得到的几何

体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中 不正确的是

A.EH ∥FG

B.四边形EFGH 是矩形

C.Ω是棱柱

D.Ω是棱台 第10题图 11.如图所示，定点A 、B 都在平面α内，定点P ?α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC 。那么，动点C 在平面α内的轨迹是

A.一条线段，但要去掉两个点

B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点

D.半圆，但要去掉两个点

第11题图 第12题图

12.如图所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP+D 1P 最短，则AP+D 1P 的最小值为

22+26

+22

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为平行选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ， ∠A 1AD=∠A 1AB=60°，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是_________

14.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103h=______ 第13题图

第14题图 第15题图

15.如图所示，在正三角形ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中有阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比是

A

C

A 1

B 1

C 1

B

D

A 11

B 1

C D

C

P

F

E

②在正方体内任意画一条线段l ，则该正方体的一个面上总存在直线与线段l 垂直 ③若平面β⊥平面α，平面γ⊥α，则平面β∥平面γ

④若直线a ⊥平面α，直线b ∥平面α，则直线b ⊥直线a 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）

在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB=CC 1=1，BC=2. （1）求证：A 1C 1⊥AB ；

（2）求点B 1到平面ABC 1的距离.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC =90°， BC=

1

2

AD ，PA=PD ，Q 为AD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PBQ ；

（2）若点M 在棱PC 上，设PM=tMC ，试确定t 的值，使得PA//平面BMQ ．

19.（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB= 1

2

PD ． （1）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（2）求棱锥Q －ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．

20.（本小题满分12分）

在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=1，底边AB 上有且只有一点M 使 得平面D 1DM ⊥平面D 1MC. （1）求异面直线CC 1与D 1M 的距离； （2）求二面角M －D 1C －D 的大小.

21.（本小题满分12分）

已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长和侧棱长均为13，E 、F 分别是PA 、BD 上的点， 且

8

5

==FD BF EA PE . （1）求证：直线EF ∥平面PBC ；

（2）求直线EF 与平面ABCD 所成的角；

A

A 1

C

C 1

B B 1

在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题所得的分计分。

22.（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 是边长为2的菱形， ∠B 1BC=60°， 侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ，∠ACB=90°，二面角A-B 1B-C 为30°. （1）求证：AC ⊥BB 1C 1C ；

（2）求AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正切值；

（3）在平面AA 1B 1B 内找一点P ，使三棱锥P-BB 1C 为正三棱锥，并求 该棱锥底面BB 1C 上的高.

23.（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；

（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；

（3）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。

24.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。 （1）试确定PB P A 1的值，使得PC⊥AB；

（2）若

3

2

1 PB P A ，求二面角P —AB —C 的大小； （3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离

数学试卷答题纸

姓 名：__________ 班 级：__________ 考 场：__________ 座位号：准考证号

18.（本小题满分12分）

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框19.（本小题满分12分）

A

A

1

C C

1

B B

1

高一2011-2012单元检测题参考答案及评分标准

一、选择题，每小题5分，选错或不选不得分

13.a 14. 3 15.

5

8

16.②④ 三、解答题，考生必须写出解题步骤或证明步骤，只写答案不得分，答题前不写“解”或“证明”字样的扣一分，写了不给分，答题纸上未标注选择哪一道题选做题的不得分，答案答错区域的不得分，超出答题区域的答案不予以审批。

17.（本小题满分10分）

证明：（1）连结B A 1，则11AB B A ⊥

又∵11BC B A ⊥∴⊥1B A 平面11BC A ∴ 111C A AB ⊥………4分

又∵111BB C A ⊥ ∴⊥11C A 平面1ABB

∴AB C A ⊥11 …………………4分 （2）由（1）知AC AB ⊥ ∵1AC AB ⊥ ∵1=AB 2=BC

∴3=

AC 21=AC

∴11=?ABC S …………………6分 设所求距离为d ∵1

11

1ABB C ABC B V V --=

∴11113

1

31C A S d S ABB ABC ?=??? ∴

32

1

31131??=??d ∴23=d …………10分 18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =

1

2

AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，

∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分 （Ⅱ）当t=1时，PA //平面BMQ ． 连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．

题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C B A 题号 7 8 9 10 11 12 答案

D

B

D

D

B

A

C

A 1

B 1

C 1

∵BC 1

2

DQ，

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

∵点M是线段PC的中点，

∴MN // PA．

∵MN平面BMQ，PA

平面BMQ，

∴PA // 平面BMQ．……………………12分19.（本小题满分12分）

解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分

（II）设AB=a.

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积

由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=，△DCQ 的面

积为，

所以棱锥P —DCQ 的体积为

故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 20.（本小题满分12分） 证明:(1)过D 作M D DH 1⊥于H

∵平面⊥DM D 1平面MC D 1且平面I DM D 1平面

又∵1DD MC ⊥ ∴⊥MC 平面DM D 1 ∴DM MC ⊥…………………2分 又∵满足条件的M 只有一个

∴以CD 为直径的圆必与AB 相切， 切点为M ，M 为的AB 中点

∴

AD CD =2

1

∴2=CD ………4分 ∵⊥MC 平面DM D 1，∴M D MC 1⊥

又∵MC CC ⊥1，所以MC 为异面直线1CC 与M D 1的公垂线段 CM 的长度为所求距离 2=CM …………………6分

（2）取CD 中点E ，连结ME ，则⊥ME 平面CD D 1 过M 作C D MF 1⊥于F ，连结EF ，则1CD EF ⊥

∴MFE ∠为二面角D C D M --1的平面角…………………9分 又∵1=ME ,530=

MF 在MEF Rt ?中630

sin ==∠MF ME MFE

∴6

30

arcsin

=∠MFE …………………12分 21.（本小题满分12分） 证明：（1）连结AF 并延长与BC 交于G ∵ADF ?∽GBF ?

∴

85

==FA GF FD BF ∴FA

GF

EA PE =

∴EF ∥PG ………………5分 又∵?EF 平面PBC

∴EF ∥平面PBC ……………6分

（2）∵EF ∥PG

∴EF 、PG 与平面ABCD 所成的角相等…………………8分 设AC 、BD 交于O ，连结PO 、OG

∵ABCD PO 平面⊥，∴PGO ∠为所求的角……………9分 ∵

85=

=AD BG FD BF ∴85

13?=BG 在OBG ?中

1781322851322132851322132

2=????-??? ?

?

?+???

??=OG …………10分 又∵13=PA 2213=

OA ∴22

13=OP 在POG Rt ?中 344

2

213

tan ===∠PO PGO

C

∴3417

4

arctan

=∠PGO …………………12分 22.（本小题满分12分）

证明：（1）∵平面⊥C C BB 11平面ABC

平面I C C BB 11平面BC ABC = 又∵BC AC ⊥ ?AC 平面ABC ∴⊥AC 平面C C BB 11…………………4分

（2）取1BB 的中点D ，则1BB CD ⊥ ∵⊥AC 平面C C BB 11 ∴1BB AD ⊥

∴CDA ∠为二面角C BB A --1的平面角 ∴?

=∠30CDA ∵3=

CD ∴1=AC …………………6分

连结C B 1，则C AB 1∠为1AB 与平面C C BB 11所成的角 在1ACB Rt ?中 2

1

tan 11==∠C B AC C AB …………………8分 （3）在CD 上取一点O 使

2

1

=OC DO ，过O 作AC 的平行线与AD 交于P ，则点P 为所求 …………………10分 ∵AC ∥OP ∴⊥OP 平面C BB 1且O 是正C BB 1?的中心 ∴C BB P 1-为正三棱锥 ∴所求高为3

1

31==

AC OP …………………12分 23.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图1，取PD 的中点E ，连EO ，EM 。

∵EO//PB ，EO=

21PB ，MA//PB ，MA=2

1

PB ， ∴EO//MA ，且EO=MA

∴四边形MAOE 是平行四边形， ∴ME//AC 。

又∵AC ?平面PMD ，ME ?平面PMD ，

∴AC//平面PMD …………………………3分 （Ⅱ）如图1，PB ⊥平面ABCD ， CD ?平面ABCD ， ∴CD ⊥PB 。 又∵CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面PBC 。

∵CD ?平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD 。 过B 作BF ⊥PC 于F ，则BF ⊥平面PDC ，连DF ，

A 1

C

C 1

B

B 1D P

O

不妨设AB=2，则在Rt △BFD 中，BD BF 21=， ∴∠BDF=6

π ∴直线BD 与平面PCD 所成的角是

6

π

………7分 （Ⅲ）解：如图3，分别延长PM ，BA ，设PM ∩BA=G ，连DG ， 则平面PMD ∩平面=ABCD=DG 过A 作AN ⊥DG 于N ，连MN 。 ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴MN ⊥DG

∴∠MNA 是平面PMD 与平面ABCD 所成

的二面角的平面角（锐角） …………………………9分 在Rt △MAN 中，2

2

tan ==

∠NA MA MNA ， ∴∠MNA=arctan

2

2

∴平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）

大小是arctan 2

2

…………………………………………12分

24.（本小题满分12分）

解法一：（1）当

11=PB

P

A 时，PC ⊥A

B 取AB 的中点D ′，连结CD ′、PD ′ ∵△AB

C 为正三角形， ∴C

D ′⊥AB 。

当P 为A 1B 的中点时，PD ′//A 1A ， ∵A 1A ⊥底面ABC ， ∴PD ′⊥底面ABC ， ∴PC ⊥AB ……………………2分 （2）当

3

2

1=PB P A 时，过P 作PD ⊥AB 于D ， 如图所示，则PD ⊥底在ABC

过D 作DE ⊥AC 于E ，连结PE ，则PE ⊥AC ∴∠DEP 为二面角P —AC —B 的平面角。 又∵PD//A 1A ， ∴

231==PA BP DA BD ， ∴a AD 5

2

= ∴ .5

3

235260sin a a AD DE =?=

??= 又∵

a PD A A PD 5

3

,5

3

1=

∴= ∴ 3tan ==

∠DE

PD

PED ∴∠PED=60° 即二面角P —AC —B 的大小为60° …………………………6分

又PE=a a a DE PD 5

32)53()53(2222=+=+2 ∴

DE S d S ACC PAC ?=???13

1

31 ∴a a d a a 5

3

)21(31)5322

1(312?=??

解得 2

a d =

即C 1到平面PAC 的距离为

a 2

1

…………………………12分