多边形的Voronoi图及其研究应用
voronoi多面体细分法
voronoi多面体细分法
Voronoi 多面体细分法是一种几何建模技术，它基于 Voronoi 图或 Voronoi 分割，用于将空间分割成不同的区域。
这种方法在计算机图形学、计算机辅助设计和计算机模拟等领域被广泛应用。
Voronoi 多面体细分法的基本原理是根据一组离散的点（称为种子点）来定义空间中的分割。
每个种子点将空间分割为一个以该点为中心的区域，该区域内的所有点到该种子点的距离都比到其他种子点的距离近。
这样的分割产生了一组多边形，这些多边形的边界由相邻的种子点之间的垂直平分线组成。
Voronoi 图也被称为Dirichlet 分割。
在计算机图形学中，Voronoi 多面体细分法可以用于生成复杂的地形、自然景观和纹理。
它还可以用于分割空间以进行碰撞检测和路径规划。
在计算机辅助设计中，Voronoi 多面体细分法可以用于生成艺术品、建筑和产品设计的复杂结构。
在计算机模拟中，Voronoi 多面体细分法可以用于模拟流体动力学、颗粒材料和生物组织的行为。
Voronoi 多面体细分法的优点之一是它能够生成具有高度复杂
性和真实感的结构，而且可以通过调整种子点的位置和数量来控制分割的精细程度。
然而，Voronoi 多面体细分法也有一些局限性，例如在处理大规模数据时可能会导致计算复杂度增加，以及在某些情况下可能会产生不均匀的分割。
总的来说，Voronoi 多面体细分法是一种强大的工具，可以用于各种领域的建模和仿真，它提供了一种灵活和有效的方法来处理空间分割和结构生成的问题。
voronoi原理和应用
voronoi原理和应用
Voronoi原理，又称为Voronoi分割，是一种常见的空间分割方法。
该方法将空间分割成一系列不规则的多边形，这些多边形的边缘是由空间中的点所决定的。
这些点被称为Voronoi点或Voronoi生成点。
Voronoi原理的应用十分广泛，例如：
1. 计算几何学：Voronoi分割可用于计算几何学中的距离计算、最近邻搜索、凸包计算等。
2. 数值模拟：Voronoi分割可用于模拟材料的结构和性质，以及流体的流动和传输过程。
3. 图像处理：Voronoi分割可用于图像分割、边缘检测和形态学操作等。
4. 地理信息系统：Voronoi分割可用于地图数据的处理和分析，例如用于寻找最近的医院或最近的加油站等。
5. 人工智能：Voronoi分割可用于机器学习中的聚类分析和分类问题。
Voronoi原理虽然简单，但应用十分广泛且十分重要。
研究Voronoi原理和其应用，可以帮助我们深入了解空间分割方法和数学模型，从而在实际问题中更好地解决一些复杂的空间分割问题。
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空间分析-Voronoi图构建方法与应用
湖北大学资源环境学院
i 1
王新生 2019/3/9
点集分布的判别标准
当某个点集的空间分布为规则分布时，CV是 低的。当为集群分布时，在集群（“类”）内的 Voronoi多边形面积较小，而在集群间的面积较大， CV是高的。但是，应该注意的是，规则的周期结 构也会导致较高的CV值；周期性重复出现的集群 分布也会形成高的CV值。 Duyckaerts and Godefroy （2000）提出了三 个建议值，当点集为随机分布时，CV值为57% （包括从33%到64%）；当点集为集群分布时， CV值为92%（包括大于64%）；当点集为规则分 布时，CV值为29%（包括小于33%）
湖北大学资源环境学院
的随机分布，不同于泊 松分布的两种情况是空间规则分布和集群分布。 Voronoi分割可以帮助我们判断点集的空间分布属 于那一种形式。当点集在平面上呈现泊松分布时， Voronoi多边形面积是有变化的，有些是面积大的 Voronoi多边形，有些是面积小的Voronoi多边形。 Voronoi多边形面积的变化性是很容易通过其方差来估 计的。变异系数（the coefficient of variation, CV）是 Voronoi多边形面积的标准差与平均值的比值，它可以 衡量现象在空间上的相对变化程度。 n 标准差计算公式： 2
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王新生 2019/3/9
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王新生 2019/3/9
任意形状发生元Voronoi图构建的栅格方法
1 d ( p ,p d ( p ,p w , w i) i) i 2 w i 1
wi1>0、wi2是加权Voronoi图的权重。 当 wi2=0 时 产 生 倍 增 的 加 权 Voronoi 图
Voronoi图泰森多边形法在角规测树中的应用
第3期
冯仲科等 :Voronoi 图 — 泰森多边形法在角规测树中的应用
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1 Voronoi 图及泰森多边形概念 Voronoi 图又称为 Dirichlet 镶嵌 ( tessellation ) ,
广泛应用 。
2 Voronoi 图 — 泰森多边形在角规测树中的实现
其概念由 Dirichlet 于 1850 年首先提出 ; 1907 后俄 国数学家 Voronoi 对此作了进一步阐述 , 并提出高 次方程化简 ; 1911 年荷兰气候学家 A1 H1 Thiessen 为提高大面积气象预报的准确度 , 应用 Voronoi 图 对气象观测站进行了有效区域划分
[3]
。角规在所有的测树工具中属于较优秀
的一种 ,在现代森林调查中 ,特别是在森林资源二类 清查中 ,发挥了积极作用 。 以往角规测树时 , 往往在林分内设置若干个角 规点 ,以所有角规点每公倾蓄积量算术平均值代替 整个林分平均蓄积量 , 从而估算出整个林分蓄积总
。Voronoi 图 - 泰森
多边形法 ,考虑了林分蓄积的空间分布不均匀特点 , 以各角规点的控制面积为权重 , 比算术平均法更合 理 ,蓄积总量估测精度更高 。
[4]
方法 以往人们大多采用求积仪求取各角规点的控制 面积 ,但是在考虑的林分较大 ,角规点也很多的情况 下 ,所组成的多边形面积小 、 个数多 , 用求积仪求面 积操作起来不方便
[7]
。因此在二维
空间中 ,Voronoi 图也称为泰森 ( Thiessen) 多边形 。 简单地说 ,Voronoi 图是平面的一个划分 , 其控 制点集 P = {p1 ,p2 , …,p n}中任意两点都不共位 ,且 任意四点不共圆
角规测树原理与技术方法 , 自奥地利林学家比 特里希 ( W ・ Bitterich ) 1947 年发明以来得到了广泛 的应用
voronoi单元
Voronoi单元1. 引言Voronoi单元是一种几何概念，它在计算几何、计算机图形学和空间分析等领域中具有广泛的应用。
本文将详细介绍Voronoi单元的定义、性质和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。
2. 定义和性质2.1 定义Voronoi单元，又称为Voronoi多边形或Dirichlet单元，是由空间中一组点集构成的分割，使得每个点的Voronoi单元是由与其距离最近的点组成的区域。
换句话说，Voronoi单元是由与每个点最近的其他点之间的垂直平分线构成的多边形。
2.2 性质Voronoi单元具有以下性质： - 每个Voronoi单元都是凸多边形或凸多面体。
- Voronoi单元的边界由两个点之间的垂直平分线组成。
- Voronoi单元的顶点是其对应点的最近邻点。
- Voronoi单元的内部点到其对应点的距离小于到其他点的距离。
3. Voronoi图Voronoi图是由一组点集的Voronoi单元构成的图形表示。
在二维空间中，Voronoi图由一组多边形组成，每个多边形都是一个Voronoi单元。
在三维空间中，Voronoi图由一组多面体组成。
Voronoi图具有以下特点： 1. 每个点都是一个Voronoi图中的顶点。
2.Voronoi图中的边界线是相邻Voronoi单元之间的分界线。
3. Voronoi图中的每个边都与两个Voronoi单元相邻。
4. Voronoi图中的每个顶点都是三个或更多Voronoi单元的交点。
4. 应用领域Voronoi单元在许多领域中都有广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。
4.1 计算几何在计算几何中，Voronoi单元被用来解决最近邻问题和空间索引问题。
通过构建Voronoi图，可以快速找到离给定点最近的点或对象。
4.2 计算机图形学在计算机图形学中，Voronoi单元可以用来生成自然景观、地形和城市布局等。
通过设定一组点的位置和权重，可以生成具有真实感的地理特征。
简要描述泰森多边形的特点和应用。
简要描述泰森多边形的特点和应用。
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维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现
维诺图（VoronoiDiagram）分析与实现一、问题描述1.Voronoi图的定义又叫泰森多边形或Dirichlet图，它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。
2.Voronoi图的特点（1）每个V多边形内有一个生成元；（2）每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离；（3）多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；（4）邻接图形的Voronoi多边形界线以原邻接界线作为子集。
3.Voronoi的应用在计算几何学科中的重要地位，由于其根据点集划分的区域到点的距离最近的特点，其在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域具有广泛的应用。
如在障碍物点集中，规避障碍寻找最佳路径。
二、算法分析与设计Voronoi图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。
生成V图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。
1.建立Voronoi图方法和步骤本次实验采用的是Delaunay三角剖分算法。
主要是指生成Voronoi图时先生成其对偶元Delaunay三角网，再找出三角网每一三角形的外接圆圆心，最后连接相邻三角形的外接圆圆心，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。
如下图所示。
建立Voronoi图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。
建立Voronoi图的步骤为：（1）离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。
对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。
（2）计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。
（3）遍历三角形链表，寻找与当前三角形pTri三边共边的相邻三角形TriA，TriB和TriC。
（4）如果找到，则把寻找到的三角形的外心与pTri的外心连接，存入维诺边链表中。
如果找不到，则求出最外边的中垂线射线存入维诺边链表中。
（5）遍历结束，所有维诺边被找到，根据边画出维诺图。
voronoi图的原理和应用
Voronoi图的原理和应用1. 什么是Voronoi图Voronoi图，也被称为泰森多边形、Dirichlet图或Voronoi多边形，是一种在计算几何学中被广泛应用的图形。
它是由若干个点在平面上产生的一系列曲线分隔而成的区域。
该图形以每个点为中心，将离得最近的点组成的区域划分开来。
2. Voronoi图的原理•步骤1：给定一组点集P，例如2D平面上的点•步骤2：对于每个点p∈P，根据离该点最近的点q∈P，生成一条从点p到点q的线段•步骤3：根据所有的线段形成的区域，将平面划分成多个区域，每个区域都由一个独立的点p∈P和其离该点最近的点q∈P确定3. Voronoi图的性质•Voronoi图是一种分割几何空间的图形，它将平面划分成若干个不重叠区域•每个Voronoi图的区域都由一个独立的点和最近的点共同确定•Voronoi图中的每条边都是由两个不同点之间的中垂线构成•Voronoi图的边界是由无穷远处的点所确定•Voronoi图满足唯一性，即给定一组点集，对应的Voronoi图是唯一的4. Voronoi图的应用4.1 计算几何学Voronoi图在计算几何学中有着广泛的应用。
它可以用于解决近似最近邻问题、最近点问题、空间索引和空间分析等。
通过构建Voronoi图，可以有效地进行空间数据查询和分析，以及空间关系的判断。
4.2 计算机图形学Voronoi图在计算机图形学中也有着重要的应用。
例如，在计算多边形的外包围盒时，可以使用Voronoi图的性质来进行快速计算。
利用Voronoi图生成的泰森多边形，可以用于三角剖分、分形图像生成和模拟等方面。
4.3 地理信息系统在地理信息系统中，Voronoi图被广泛应用于空间数据的分析和处理。
例如，通过构建基于Voronoi图的空间索引，可以实现快速的空间查询和聚类分析。
同时，Voronoi图还可以用于边界识别、地块划分和地理信息可视化等方面。
4.4 无线通信Voronoi图还可以用于无线通信系统中的基站规划和覆盖范围分析。
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多边形的Voronoi图及其研究应用
Voronoi图是计算几何的重要几何结构之一，也是计算几何的重要研究内容之一。
它按照对象集合中元素的最近属性将空间划分成许多单元区域。
由于Voronoi图具有最近性、邻接性等众多性质和较完善的理论体系，如今已经在图形学、机械工程、虚拟现实、地理信息系统、机器人、图像处理、CAD等领域得到广泛应用，也是解决距离计算、碰撞检测、路径规划、Delaunay三角化、骨架计算、凸包计算以及可见性计算等计算几何其它问题的有效工具，因而受到人们的广泛关注。
目前，对Voronoi图的研究工作，从所在空间上来说，更多的集中在2维上；从生成对象上来说，更多的集中在离散点集上；在研究内容上来说，主要集中在其构造算法和相关应用研究上。
对于多边形的Voronoi 图来说，则主要集中在多边形的内部Voronoi图的构造和相关应用上。
本论文对多边形的内部和外部Voronoi图的相关性质进行了较为深入的研究，并以此为基础研究解决在图形图像、虚拟现实等方面的研究工作中遇到的可见性计算、距离计算以及骨架计算等问题。
本论文的贡献主要有：
1、分析了M.Held给出的关于多边形内部Voronoi图顶点和边数的上界所存在的局限性：只适用于单边界多边形，对多边界多边形则不适用；给出了新的可适用于单边界和多边界多边形的内部Voronoi图顶点和边数上界估计；同时给出了多边形的外部Voronoi图顶点和边数上界估计；并对多边形的内部和外部Voronoi图的每一个Voronoi区域所包含的顶点和边数的平均值进行了估计。
2、提出了一种基于Voronoi图的计算多边形可见性的算法。
我们用多边形的Voronoi图建立多边形的骨架，利用Voronoi图的邻近属性和最近特性等性质，沿着骨架在局部范围内确定可能产生遮挡的对象，从而确定多边形内任意一点的可见边。
在预先建立一个多边形的骨架后，可在时间内确定多边形内任一观察点的可见边，其中为搜索过程中涉及到的Voronoi图中的骨架元素的数目。
大部分情况和可见边数接近。
本算法时间复杂度低，适用于任意多边形，且易于理解和编程实现。
3、给出了基于Voronoi图快速计算两个分离凸多边形距离的算法。
算法利用两个分离凸多边形P和Q的外部Voronoi图的性质及其相互间的位置关系，采用二分法逐渐缩小搜索范围来快速查找最短距离对象对。
算法首先根据多边形外部Voronoi图的性质确定最短距离对象对所在的初始搜索范围P(和Q(；然后取P(和Q(的中间顶点对象pm1和qm2，它们分别将P(，Q(平分成和，和四个子搜索范围，并根据pm1和qm2及其所在Voronoi 区域的位置关系，确定可删除的一个或两个子搜索范围；然后在剩余的子搜索范围继续用二分法查找最短距离
对象对，从而在时间内快速计算两个分离凸多边形的距离，其中、分别为两个多边形的边的数目。
本算法简单且易于编程实现，不需要任何预处理和特殊的数据结构。
4、提出了基于多边形划分的带状图像及其骨架表示模型，并分别以一般的多边形划分和多边形的约束Delaunay三角化为基础，设计并实现了两种骨架化算法。
对于一个带状图像，我们可以将其分割成许多色带，每条色带又可以分为若干区域，每个区域都用一个三角形、梯形、平行四边形或扇形来近似，因而带状图像的骨架可以通过计算这些三角形、梯形、平行四边形或扇形等区域的骨架求得。
对于不同类型的区域，根据其形状及相应邻接关系，采用不同的方法计算其骨架。
基于本论文的工作，可以把Voronoi图理论扩展到场景的表示、光线跟踪、阴影生成等方面，为系统化地解决三维虚拟场景快速绘制问题提供了一定的理论基础。
这些工作的成果，可用在我们研发的“数字博物馆应用支撑平台”、“集成化计算机辅助图案设计制版系统”等系统中，有非常重要的理论意义和实际应用价值。
关键词：计算几何、多边形、Voronoi图、可见性计算、距离计算、骨架、Delaunay三角化。
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