线段的垂直平分线课件
时线段的垂直平分线的性质与判定课件
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
线段的垂直平分线性质ppt课件
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线课件
探究交流
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶 点的距离相等．
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
探究交流
②直角三角形三边的垂 ③钝角三角形三边的垂直 直平分线交于三角形斜 平分线交于三角形外部 边中点处
探究交流
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条
练习巩固
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分 线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
A
DE
B
C
练习巩固
3.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，A的垂直平分线交BC 于点F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.
P ●
离R为半径作圆，交直线l于A，B.
A
B
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长为半径作
圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线l',此直线为l过P的垂线.
D
练习巩固
1.下列说法错误的是 ( ) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那 么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
第一章 三角形的证明
3.2 线段的垂直平分线
学习目标
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解 决实际问题.(重点) 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
情境导入
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距
线段的垂直平分线ppt课件
C 3. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线上，且∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
D
A
B
变式 如图，在△ABC中，点D是△ABC三边的垂直平分线 的交点，若∠C=60°，则∠D=
C
D
A
B
能力提升
1. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
尺子作图 不精准
尺规作图
探究一：三角形三边的垂直平分线的性质
画出以下三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
ADຫໍສະໝຸດ MBCE
N
O
F
猜想：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点 到三个顶点的距离相等.
证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点 距离相等。
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的 垂直平分线交于P点.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC
归纳小结
三角形三边的垂直平分线的性质定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点
的距离相等.
A
几何语言： ∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点 B ∴ PA =PB=PC．
P C
探究二：尺规作图
议一议：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
的距离相等.
2. 尺规作图
2. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，AB的垂直 平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG.
(1)求证：BG=CG.
(2)若∠ABC=42°，求∠CGF的大 小.
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
垂直平分线的性质ppt课件
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
《线段的垂直平分线的性质》课件
③作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
新知探究 跟踪训练
如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D
为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD. 证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，
A
D为AE上一点，∴AB=AC，BD=DC.
在△ABD和△ACD中，
D
AB=AC，
BD=CD， AD=AD，
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线. 因此，只要能找到一对对应点，作出连接它 们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个 图形的对称轴.
例2 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作
出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线
段AB的垂直平分线，就可以得到点A和 A
P B
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵l⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
P
PA=PB，
PO=PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
A
OB
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,
l
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
新知探究 知识点2 线段的垂直平分线的判定
AD为BC的垂直平分线
∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.
2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分
别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8 cm，求线
段AC的长.
解：∵DE为线段BC的垂直平分线，
A
∴CD=BD.
D
∴△ACD的周长为AC+AD+CD
数学 3线段垂直平分线-课件
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
A
B
M PN l
课堂小结
原理
到一条线段两端距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
Байду номын сангаас
用尺规 作线段
1.分别以点A，B为圆心，以大于
1 2
AB
1 B．以点M为圆心，大于 2 AB的长为半径画弧
C．以点M为圆心，适当长为半径画弧 D．过点M作直线AB的垂线
3.下列作图方法中，能确定线段AB的中点的是( B ) A．作线段AB的垂线 B．作线段AB的垂直平分线 C．过点A作线段AB的垂线 D．过线段AB的中点作线段AB的垂线
4.平面内与A，B，C三点等距离的点( D ) A．只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
作法：（1）找出五角星的一对对应点A和
B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就
A
是这个五角星的一条对称轴．
l B
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所 以五角星有五条对称轴．
【名师点睛】对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连 线段的垂直平分线，即可得到此图形的对称轴.
归纳
1.作对称轴常用的画法有两种： (1)找一组对应点→画对应点的连线→作所连线段的垂直平分线； (2)找两组对应点→分别取两组对应点连线的中点→过两中点作直线．
2.轴对称图形的对称轴可能不止一条，因此作对称轴时，选取的对应点 不同，作出的对称轴可能也不同．
知识点 2 作线段垂直平分线的应用
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线段的垂直平分线
授课教师:杨婷
一.教学目标
1.知识与技能目标
(1)理解和掌握线段的垂直平分线的定义、性质定理及性质定理的逆定理；
(2)能利用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算。
2.过程与方法目标
(1)利用情景探究线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
(2)培养学生建模能力，形象思维力，进一步渗透数学思想和方法。
3.情感态度与价值观目标
通过生活实例，让学生感受数学中的对称美，使学生认识到数学来源于生活又服务于生活，培养学生应用数学的意识。
二.教学重点与难点
1.重点:线段垂直平分线的定义、性质定理及性质定理的逆定理；
2.难点:线段垂直平分线的应用。
三.教学方法
多媒体演示法、举例练习
四.教学程序
(一)导入新课
运用剪纸，展示剪纸的一部分，同学们猜一猜老师剪的是何种图形？
将剪纸展开，那么这个剪纸是我们学过的什么图形？
生：(轴对称图形)。
且折痕为这个图形的对称轴。
任意选择一对对应点AA’，连接AA’，对称轴记为直线l，那么直线l与线段AA’有怎样的关系呢?
生：(l垂直平分AB)。
符号语言可以表示为：AD=A’D,l⊥AA’
(二)探究新知
垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。
即l是线段AA’的垂直平分线。
探究猜想证明图形
在线段AB的垂直
平分线l上任取一
点P，连接PA、PB，线段PA、PB之间有什么关系？PA=PB
作关于直线l的轴反射,由于l
是线段AB的垂直平分线,因此
A点与B点重合.则PA与PB
重合,故PA=PB.
结论线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
A B
C
P
l
符号语言 ∵l ⊥AB ，AC=BC ，点P 为l 上任意一点
∴PA=PB.
如果一点P 到线段AB 两端的距离PA 与PB 相等,那么点P 在线段AB 的垂直平分线上吗？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上. (1) 当点P 在线段AB 上时,因为
PA=PB ，所以点P 为线段AB
的中点,故点P 在线段AB 的垂直平分线上; (2) 当点P 在线段AB 外时,PA=PB,△PAB 为等腰三角形,过点P 作PC ⊥AB,垂足为点C,又∵PA=PB ∴AC=BC;PC ⊥AB （三线合一）
故点P 在线段AB 的垂直平分
线上。
结论
线段垂直平分线的性质定理的逆定理: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言 ∵PA=PB,
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.
(三)典例研析
例1:已知，如图，在△ABC 中，AB ，BC 的垂直平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC.
求证：点O 在AC 的垂直平分线上.
证明 ∵点O 在线段AB 的垂直平分线上，
∴ OA=OB.同理OB=OC. ∴ OA=OC.
∴ 点O 在AC 的垂直平分线.
例2:在三角形ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，AB=8cm ，△ACD 的周长为10cm ，
求△ABC 的周长。
分析：∵△ACD 的周长=AC+CD+AD=10 而AD=BD (垂直平分线的性质)
∴AC+CD+BD=AC+BC=10
∴△ABC 的周长=AC+BC+AB=10+8=18
例3:老师课间听到两位同学对话，小红说:我家距学校500m ，小强说:我家距学校也是500m 呀，可是我们俩家并不在一起啊？你知道学校的位置在哪吗？ 那么怎样做已知线段的垂直平分线呢？
生:先取线段AB 的中点O ,在过点O 作AB 的垂线；
生:用尺规作图法； 生：…
师生共同作图
①分别以线段两端点为圆心，以大于线段AB 一半的长为半径画弧，两弧相交于两点；②过两弧的交点作直线即为线段的垂直平分线。
A B C P O C B A C A E D B B A
(四)课堂训练
1.如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
2.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE 的度数。
3.若P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB ＝6 cm ，则PA ＝________cm.
4.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D ，E ，∠B=30°，∠BAC= 80°，求∠CAE 的度数。
5.已知，如图，点C ，D 是线段AB 外的两点，且AC =BC ，AD=BD ，AB 与CD 相交于点O. 求证：AO=BO.
(五) 课堂小结
畅所欲言：这节课你学到了哪些知识呢？
①垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
③到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
④…… A B C D E A B C D P 第1题图 第2题图 E D C B A D C B A O。