锐角三角函数全章同步练习含答案
4.1 第1课时 正 弦
一、选择题
1．2017·日照在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.
513 B.1213 C.512 D.125
2．如果把一个锐角三角形ABC 的三边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( )
A ．扩大为原来的3倍
B ．缩小为原来的13
C ．没有变化
D ．不能确定
3．如图K －30－1所示，已知点P 的坐标是(a ，b )，则sin α等于( )
图K －30－1
A.a b
B.b a
C.
a a 2
＋b
2
D.b a 2
＋b
2
4．如图K －30－2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若CD ∶AC ＝2∶3，则sin ∠BCD 的值是( )
图K －30－2
A.
55 B.23 C.1313 D.2
13
5．如图K －30－3，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )
图K －30－3
A.
3 1010 B.12 C.13 D.10
10
二、填空题
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，sin A ＝3
5，则AB 的长是________ cm.
7．直角三角形ABC 的面积为24 cm 2
，其中一条直角边AB 的长为6 cm ，∠A 是锐角，则sin A ＝________.
8．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图K －30－4所示，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度
h 是________.
图K －30－4
9．如图K －30－5，点P (12，a )在反比例函数y ＝60
x
的图象上，PH ⊥x 轴于点H ，则sin
∠POH 的值为________．
图K －30－5
10．已知AE ，CF 是锐角三角形ABC 的两条高，若AE ∶CF ＝3∶2，则sin BAC ∶sin ACB ＝________．
三、解答题
11．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝15，AC ＝8，求sin A ＋sin B 的值．
12．如图K－30－6，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
图K－30－6
13、探究题如图K－30－7，在平面直角坐标系中，点A，B，C为第一象限内圆弧上的点，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F.
(1)试根据图形比较sin∠AOD，sin∠BOE，sin∠COF的大小，并探究当0°＜α＜90°时，正弦值随着锐角α的增大的变化规律；
(2)比较大小：sin10°________sin20°.
图K－30－7
1．[解析] B Rt △ABC 的斜边长为13，根据勾股定理，求得∠A 的对边BC ＝12，利用正弦的定义得sin A ＝12
13
.
2．[答案] C 3．[答案] D 4．[答案] B
5．[解析] D 过点B 作OA 边上的高h ， 由等面积法可得S △AOB ＝12×2×2＝1
2×2 5h ，
解得h ＝2 5
5
，
所以∠AOB 的正弦值为h OB ＝
10
10
.故选D.
6．[答案] 10
[解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝6 cm ，sin A ＝35＝BC
AB ，∴AB ＝10 cm.
7．[答案] 4
5
[解析] 直角三角形ABC 的直角边AB 为6 cm ，∠A 是锐角，则另一直角边是BC ，∠B 是直角．由直角三角形ABC 的面积为24 cm 2
，得到12AB ·BC ＝24，因而BC ＝8 cm ；根据勾股
定理，可得斜边AC ＝10 cm ，∴sin A ＝BC AC ＝
810＝45
. 8．[答案] 4 m 9．[答案] 5
13
[解析] ∵点P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，∴a ＝60
12
＝5.∵PH ⊥x 轴于点H ，
∴PH ＝5，OH ＝12.在Rt △PHO 中，由勾股定理，得PO ＝52＋122
＝13，∴sin ∠POH ＝PH PO
＝513
.
10．[答案] 2∶3
[解析] 如图，由正弦的定义可知，∵sin BAC ＝CF AC ，sin ACB ＝AE AC
，∴sin BAC ∶sin ACB ＝
CF AC ∶AE
AC
＝CF ∶AE ＝2∶3.故答案为2∶3.
11．解：由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝152＋82
＝17，所以sin A ＝1517，sin B ＝817，
所以sin A ＋sin B ＝1517＋817＝23
17
.
12．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝4x . ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ＝2x ，
∴CE ＝（3x ）2
＋（4x ）2
＝5x ，EM ＝x 2
＋（2x ）2
＝5x ，CM ＝（2x ）2
＋（4x ）2
＝2 5x ，
∴EM 2
＋CM 2
＝CE 2， ∴△CEM 是直角三角形， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝
55
. 14、解：(1)sin ∠AOD ＜sin ∠BOE ＜sin ∠COF ；当锐角α逐渐增大时，sin α也随之增大．
(2)＜
第2课时 特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值
一、选择题
1．sin60°的值为( ) A.12 B.32 C.
22 D.33
2．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝3
2
，则α等于( ) A ．50° B．60° C ．70° D．80°
3．用计算器求sin50°的值，按键顺序是( ) A.50sin ＝ B.sin 50＝
C.sin 05＝
D.）sin 50＝
4．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足????
??
sin A －22＋(sin B －22)2＝0，则对△ABC 的形状描述最确切的是( )
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 二、填空题
5．运用科学计算器计算：3 17×sin73°52′≈________．(结果精确到0.1) 6．如图K －31－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值为________．
图K－31－1
7．如图K－31－2，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为________ .
图K－31－2
8．如图K－31－3，P是∠AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则∠AOx ＝________°.
图K－31－3
三、解答题
9．用计算器求下列锐角的正弦值(精确到0.0001)．
(1)68°；(2)81°53′；(3)76°10′.
10．已知下列正弦值，用计算器求锐角的度数(精确到1′)：
(1)sin A＝0.7321；(2)sin A＝0.9538.
11．计算：
(1)2sin60°－2sin 2
45°；
(2)sin60°sin 245°－(sin30°sin60°)2
.
12阅读理解我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
图K－31－4
类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sad)．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作
sad A，这时sad A＝底边
腰
＝
BC
AB
.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定
的．
根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)sad60°的值为( ) A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 (2)对于0°＜∠A ＜180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________． (3)已知sin A ＝3
5
，其中∠A 为锐角，则sad A 的值是________．
1．[答案] B 2．[答案] C
3．[解析] B 根据用计算器计算三角函数值的方法：先按键“sin ”，再输入角的度数，再按键“＝”，即可得到结果．
4．[解析] C 由????
??
sin A －
22＋(sin B －22)2＝0，得sin A ＝22，sin B ＝22，所以∠A ＝45°，∠B ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．
5．[答案] 11.9 6．[答案]
32 7．[答案]
22
[解析] 连接AC ，AB 2
＝32
＋12
＝10，BC 2
＝22
＋12
＝5，AC 2
＝22
＋12
＝5， ∴AC ＝BC ，BC 2
＋AC 2
＝AB 2
，∴∠BCA ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∴∠ABC 的正弦值为22
. 8．[答案] 60
[解析] 过点P 作PB⊥x 轴于点B.∵点P 的坐标为(1，3)，∴OB ＝1，PB ＝3，∴OP ＝2，∴sin ∠AOx ＝PB OP ＝3
2
，∴∠AOx ＝60°.故答案为60.
9．解：(1)sin 68°≈0.9272. (2)sin 81°53′≈0.9900. (3)sin 76°10′≈0.9710. 10．解：(1)∠A≈47°4′.
(2)∠A≈72°31′. 11．解：(1)原式＝2×
32－2×(22
)2
＝3－1. (2)原式＝
32（
22
）2－(
12
3
2
)2
＝3－13＝3 3－13.
12、[答案] (1)B (2)0 105 [解析] (1)当等腰三角形的顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°， 则此三角形为等边三角形，则sad 60°＝1 1＝1.故选B . (2)当∠A 接近0°时，sad A 接近0， 当∠A 接近180°时，等腰三角形的底边长接近于腰长的2倍，故sad A 接近2. 于是sad A 的取值范围是0＜sad A ＜2. 故答案为0＜sad A ＜2. (3)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝3 5. 在AB 上取点D ，使AD ＝AC ， 过点D 作DH⊥AC，垂足为H.令BC ＝3k ，AB ＝5k ， 则AD ＝AC ＝（5k ）2 －（3k ）2 ＝4k. 又∵在△ADH 中，∠AHD ＝90°，sin A ＝3 5. ∴DH ＝AD·sin A ＝12 5k ， ∴AH ＝AD 2－DH 2 ＝165 k. 则在△CDH 中，CH ＝AC －AH ＝4 5k ， CD ＝DH 2＋CH 2 ＝4 105 k. ∴在△ACD 中，AD ＝AC ＝4k ，CD ＝4 10 5k. 由正对的定义，可得sad A ＝ CD AD ＝105 ， 即sad A ＝ 105 . 4.2 正 切 一、选择题 1．如图K －33－1，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( ) 图K －33－1 A. 513 B.1213 C.512 D.125 2．若tan(α＋10°)＝ 3，则锐角α的度数是( ) A ．20° B．30° C．35° D．50° 3.2017·宜昌△ABC 在网格中的位置如图K －33－2所示(每个小正方形的边长均为1)， AD ⊥BC 于点D ，则下列四个选项中错误的是( ) 图K －33－2 A ．sin α＝cos α B ．tan C ＝2 C ．sin β＝cos β D ．tan α＝1 4．在△ABC 中，若锐角A ，B 满足??? ? ??cos A －32＋(1－tan B )2 ＝0，则∠C 的大小是( ) A ．45° B．60° C．75° D．105° 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝2 3，那么tan B 的值是( ) A. 52 B.53 C.2 55 D.23 6．如图K －33－3，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD (D 为底边的中点)的长是( ) 图K －33－3 A ．5sin36°米 B ．5cos36°米 C ．5tan36°米 D ．10tan36°米 7如何求tan75°的值，按下列方法作图可解决问题．如图K －33－4，在Rt △ABC 中， AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为( ) 图K －33－4 A ．2－ 3 B ．2＋ 3 C ．1＋ 3 D.3－1 二、填空题 8．如图K －33－5所示，BC 是一条河的直线河岸，A 是河岸BC 对岸上的一点，AB ⊥BC 于点B ，站在河岸的C 处测得∠BCA ＝50°，BC ＝10 m ，则桥长AB 的长约为______m(用计算器计算，结果精确到0.1 m)． 图K －33－5 9．如图K －33－6，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝1 2∠BAC ，则tan ∠BPC ＝ ________. 图K －33－6 10．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝________． 三、解答题 11．计算：(1)3sin60°－cos30°＋2tan45°； (2)tan45°tan30°－cos45°sin 60°·tan60°. 12．如图K －33－7，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AB ＝2，CD ＝8，tan ∠BAC ＝ 2，求tan D的值. 图K－33－7 13．如图K－33－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB 于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)． (1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan∠CAE的值． 图K－33－8 14．如图K －33－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，tan A ＝3 3 ，AD ＝20.求BC 的长． 图K －33－9 15．已知：如图K －33－10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝4 5 ，求tan ∠AEC 的值及CD 的长． 图K －33－10 16新定义问题在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°.若定义cot A ＝∠A 的邻边∠A 的对边＝b a ，则称它为锐角A 的余切．根据这个定义解答下列问题： (1)cot30°＝__________； (2)已知tan A ＝3 4，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值； (3)求证：tan A ＝cot(90°－∠A )． 人教版 九下数学《锐角三角函数》单元测试卷及答案【3】 一、填空题：（30分） 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 3、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 4、cos 2(50°＋α)＋co s 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 5、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 6、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 8、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题：（30分） 11、sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ x O A y B 锐角三角函数 单元测试 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1． 60cos 的值等于（ ） A ． 2 1 B ．22 C ． 2 3 D ．1 2.在Rt △ABC 中， ∠C=90?，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（ ） A ．154 B ．1 4 C ．15 D ．４ 3．已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于( ) Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 4．已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ） A ．sin 40m B ．cos 40m C ．tan 40m D ． tan 40 m 5.在Rt ABC △中，90C ∠=，5BC =，15AC =，则A ∠=（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30 6.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ） A ．250m. B ． 250.3 m. C ．500.33 m. D ．3250 m. 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ． 24 7 B ． 73 C ． 724 D ． 13 8．因为1 s i n 302= ，1sin 2102 =-，所以s i n 210s i n (18030)s i n =+=-； 因为2s i n 452 = ，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240= （ ） 6 8 C E A B D （第7题） 第6题 锐角三角函数检测1 1、 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA=_____ sinB=______． 2、 如图(2)，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA=_____ sinB=_____ 3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2 3，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．4 3 D ． 5 4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ） A ．a b B ．b a C 22 22D a b a b ++5在Rt △ABC 中，∠C=900 ，sinA=5 3,求sinB 的值. 6如图，Rt △ABC 中，∠C=900 ，CD ⊥AB 于D 点，AC=3，BC=4，求sinA 、sin ∠BCD 的值. 7在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AC=5cm,BC=3cm,则sinA=______,sinB=________. 8在Rt △ABC 中，∠C=900 ，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A 、扩大两倍 B 、缩小两倍 C 、没有变化 D 、不能确定 9在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AB=15，sinA=3 1 ，则AC=_______，S △ABC =_______. 10在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300 ,BD 平分∠ABC 交AC 边于D 点， 则sin ∠ABD 的值为___ B A A B C D O A B D · ∠A的邻边b ∠A的对边a 斜边c C B A 图2 图1 13 4 C A C B 课题锐角三角函数——正弦 一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 二、教学重点、难点 重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 三、教学过程 （一）复习引入 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测 算出旗杆的大致高度； 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度。 这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析： 问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ? 锐角三角函数（一） 一、课前预习 (5分钟训练) 1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB 上有一点B′，B′C′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________. 2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( ) A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA= 53 ，则sinB 等于( ) A.52 B.53 C.54 D.4 3 二、课中强化(10分钟训练) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB= 2 5 ，则cosA 等于( ) A. 25 B.35 C.552 D.3 2 2.如果α是锐角,且sinα= 5 4 ,那么cos(90°-α)的值为( ) A.54 B.4 3 C.53 D.51 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( ) A. 210 B.510 C.515 D.5 15 3 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 13 5 ,BC=15,则AC=______________. 5.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值. 图28-1-1-2 图28-1-1-1 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图28-1-1-3,已知菱形A BCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 2 A 等于( ) A. 53 B.54 C.343 D.34 5 图28-1-1-3 图28-1-1-4 2.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB= 2 2 ，则Rt △ABC 的面积是___________. 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c. 7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=5 3 ，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长. 图28-1-1-5 人教版初中数学锐角三角函数的单元检测附答案一、选择题 1．如图，在扇形OAB中，120 AOB ∠=?，点P是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重 合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33 CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题． 【详解】 解：如图作OH⊥AB于H． ∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63 ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33 ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ AH AO ， ∴AO＝ 33 6 sin3 AH AOH == ∠， ∴扇形AOB的面积为： 2 1206 12 360 π π = g g ， 故选：A． 【点睛】 本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（） A．πB．2πC．3πD．(31)π + 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积． 【详解】 解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 ==． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（） 《锐角三角函数》A 姓名_____________ 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ， 2．在Rt △ABC 中，sin A =5 4 ，AB =10，则BC =______，cos B =_______． 3．在△ABC 中，∠C =90°，若cos A =2 1 ，则sin A =__________． 4． 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______． 5、=???45cos 2 260sin 2 1 . 6、∠B 为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B ＝ . 7、等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 . 8、如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60，已知测角仪AB 的高为1.5米，则旗杆CE 的高等于 米． 三、选择题 D 60 9、在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 10．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 12、 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( ) A. 3 B. 300 C. 50 3 D. 15 14．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于1 2 C ．大于3 D ．小于3 15．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ． 23 16．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83 17．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） 锐角三角函数全章教案 单元要点分析 内容简介 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用． 相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础． 本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．教学目标 1．知识与技能 （1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角． （3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题． （4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法 贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中． 3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形培养学生数形结合的思想． 重点与难点 1．重点 （1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，?应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 （1）锐角三角函数的概念． （2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，?解决问题的能力． 教学方法 在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．?讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，?再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，?增加探索性问题的比重．课时安排 本章共分9课时． 28．1 锐角三角函数4课时 28．2 解直角三角形4课时 小结1课时 28．1 锐角三角函数 内容简介 本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完 第二十八章 锐角三角函数全章测试 一、选择题 1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,3 2sin =A 则AC 的长为( ) A ．6 B ．52 C ．53 D ．132 2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( ) A ．2 sin 2α R B ．2R sin α C ．2 cos 2α R D ．R sin α 3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．348 4．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( ) A ． m sin 100 α B ．100sin α m C ． m cos 100 β D ．100cos β m 5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15m B ．12m C ．9m D ．7m 6．P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ． α α tan sin R B ． α α sin tan R C ． α α tan sin 2R D ． α α sin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( ) A ．a sin 2β B ．a cos 2β C ．a sin β cos β D ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么 AB DC 的值为( ) A ．sin ∠APC B ．cos ∠APC C ．tan ∠APC D ． APC ∠tan 1 9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( ) 锐角三角函数 【巩固练习】 一、选择题 1. （2016?乐山）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2.（2015?山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ） A ．2 B ． C ． D ． 3. 已知锐角α满足sin25°＝cos α，则α＝( ) A ．25° B ．55° C ．65° D ．75° 4．如图所示，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为 ( ) A ． 12 B ．34 C D ．45 第4题 第5题 5．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是( ) A ．7 D ．14 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( ) A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变 7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝ 3 ，则边BC 的长为( ) A ．cm B ．．． 第7题 第8题 8. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( ) A ． 23 二、填空题 9．（2016?临夏州）如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α= ，则t 的值是 ． 10. 用不等号连接下面的式子． (1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21° 11．在△ABC 中，若2 sin cos 0A B ?=???? ，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________． 13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是________． 第12题 第15题 14．如果方程2 430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A ，那么tanA 的值为 ________． 锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 4 3，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323 C ．10 D ．12 2、已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A 等于（ ） A ．30°B ．45° C ．60° D ．75° 4、化简2)130(tan - ＝（ ）。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足02 2=--b ab a ，则tanA 等于（ ） A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是（ ）A ．1 4 B ． 13 C ．1 2 D ．2 (1) (2) (3) 7、如图2所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P?是AB?延长线上一点，?BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ） A ． 32 B ．23 C ．2 D ．1 2 8、如图3，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ） A ．（30+20）m 和36tan30°m B ．（36sin30°+20）m 和36cos30°m C ．36sin80°m 和36cos30°m D ．（36sin80°+20）m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向 走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中，若│sinA-1│+（3 -cosB ）=0，则∠C=_______ 第四章《锐角三角函数》单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是 （） A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1 2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（） A．B．C．D． 3．已知sinα?cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（） A．B．﹣C．D．± 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（） A．B．C．D． 6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（） A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA 8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（） A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90° 9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（） A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60° 10．下面四个数中，最大的是（ ） A ． B ．sin88° C ．tan46° D ． 二．填空题（共8小题） 11．用“＞”或“＜”号填空： 0． 12．已知∠A 为锐角，且，那么∠A 的范围是 ． 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ． 14．如上图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值 是 ． 15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B 到A 行走了26米时，小杰实际上升高度 AC= 米．（可以用根号表示） 16．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB=，EC=2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值 是 ． 17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm ，∠CBD=40°，则点B 到CD 的距离为 cm （参考数据 sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm ，可用科学计算器）． 18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A 看地面上的一点B ，俯角 为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ，那么楼的高度AC 为 m （结果保留根号）． 三．解答题（共8小题） 19．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ， 求证：=． 第16题 第17题 初四数学假期作业锐角三角函数 命题人 班级 姓名 家长签名 2014.9.29 一、填空题： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 3、已知tan α＝12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 4、cos 2(50°＋α)＋co s 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 5、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 6、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 8、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯 子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题： 11、sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ 12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值 （ ） A.也扩大3倍 B.缩小为原来的3 1 C. 都不变 D.有的扩大，有的缩小 13、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一x O A y B 1 锐角三角函数专项练习题 在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： ) 正切的邻边的对边Atan??baA?tan0tan?A (∠A为锐角) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 30°、45°、60°特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° ?cos232221 ?tan33 1 3 基础练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD等于( ) A．43； B．34； C．53； D．54 2．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( ) A． sinA=135； B．cosA=1312； C． tanA=1213； D．tanB=125 )90cot(tanAA???)90tan(cotAA??? BAcottan? BAtancot?)90cos(sinAA???)90sin(cosAA??? BAcossin?BAsincos?A90B90??????????得由BA 对边 邻边斜边 A C B b a c A90B90??????????得由BA D C A B 2 3 ..在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=4,BC=3,则sinA=（）. A. 43; B. 34; C. 53; D. 54. 4 在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=22,则cosB的值是( ). A. 21; B. 23; C.1; D. 22. 5. 4sintan5????若为锐角,且，则为( ) 933425543ABCD． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式 是（） A． c =sinaA B． c =cosaA C．c = a·tanA D． c = tan aA 7、??45cos45sin?的值等于（） A.2 B. 213? C. 3 D. 1 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，2sin3A?，则边AC的长是（） A5 B．3 C43 D13 9．如图，两条宽度均为40m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图 中阴影部分)的路面面积是（） A.?sin1600(m2) B.?cos1600(m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝31，则 tanA＝（） 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 28.1 锐角三角函数——正弦、余弦、正切 一、基础·巩固达标 1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( ) A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定 2.已知α是锐角，且cosα= 5 4 ，则sinα=( ) A. 259 B.5 4 C.53 D.2516 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________. 4.设α、β为锐角，若sinα= 23，则α=________；若tanβ=3 3 ，则β=_________. 5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________. 6.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=3 4 ，求AD 、AC 、BC. 二、综合?应用达标 7.已知α是锐角，且sinα= 5 4 ，则cos(90°－α)=( ) A. 54 B.4 3 C.53 D.51 8.若α为锐角，tana=3，求α αα αsin cos sin cos +-的值. 9.已知方程x 2－5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα. 10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？ 图28.1－14 三、回顾?展望达标 11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( ) A. 43 B.34 C.53 D.5 4 图28.1－15 图28.1－17 图28.1－16 12.如图28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径2 3 r ，AC=2，则cosB 的值是( ) A. 23 B.35 C.25 D.3 2 13.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 3 1 ，则BC=( ) A.45 B.5 C. 51 D.45 1 14.如图28.3－16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( ) A. 53 B.43 C.34 D.5 4 2021-2022人教版九年级数学下册 第二十八章锐角三角函数 一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 1．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，tan A＝，则下列判断正确的是( ) 图1 A．∠A＝30° B．AC＝ C．AB＝2 D．AC＝2 2．在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC的形状是( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 3．如图2，直线y＝x＋3分别与x轴、y轴交于A，B两点，则cos∠BAO的值是( ) 图2 A. B. C. D. 4．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，坝顶BC宽10米，坝高BE为12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( ) 图3 A．26米 B．28米 C．30米 D．46米 5．如图4，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP的值为( ) 图4 A. B．2 C. D. 6．如图5，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( ) 图5 A. B. C. D. 7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米处的点C处测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D处测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：≈3.162)( ) 图6 A．15.81米 B．16.81米 C．30.62米 D．31.62米 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 8．计算：cos30°＋sin30°＝________. 9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝，则α＝__________. 10．如图7，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cos A＝________． 图7 第28章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA=sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c =a ·tanA D ．c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 5．已知△ABC 中，∠C=90°，设sinA=m ，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜12 B ．0＜m ＜22 C ．0＜m ＜33 D ．0＜m ＜32 6．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ． 3 米 C ．2 3 米 D ．23 3 米 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ． 32 3 C ．10 D ．12 8．sin 2θ＋sin 2 (90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ） A 0 B 1 C 2 D 2sin 2 θ 9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC= 35 ，则BC 的长是（ ） A 、4 cm B 、6 cm C 、8 cm D 、10 cm 10．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一 点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α) （附加）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．（7+3）米 D ．（14+23）米 二、填空题：（每题3分，共30分） 1．已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A ＝ . 2．已知α为锐角，且sin α =cos500 ，则α ＝ . 3．已知3tan A -3=0，则∠A ＝ . （第9题） （附加题） 锐角三角函数基础练习 题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 《锐角三角函数》A 姓名_____________ 一、 填空 二、 练习 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ， 2．在Rt △ABC 中，sin A =5 4 ，AB =10，则BC =______，cos B =_______． 3．在△ABC 中，∠C =90°，若cos A =2 1 ，则sin A =__________． 4． 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______． 5、=???45cos 2 260sin 2 1 . 6、∠B 为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B ＝ . 7、等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 . 8、如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60，已知测角仪AB 的高为1.5米，则旗杆CE 的高等于 米． 三、选择题 9、在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 10．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+ ∠B=90° 11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 12、 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1人教版 九下册《锐角三角函数》单元测试及答案
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