2020新课标高考数学二轮习题：小题强化练(一) Word版含解析

小题强化练 小题强化练(一)

一、单项选择题

1．i 为虚数单位，a ∈R .若z ＝a －i

a ＋i ＋i 为实数，则实数a ＝( )

A ．－1

B ．－12

C ．1

D ．2

2．已知集合U ＝{x |x 2≥2x }，A ＝{x |log 2x ≥2}，则?U A ＝( ) A ．{x |x ≤0或2≤x <4} B ．{x |x ≤－2或0≤x <4} C ．{x |x ≤0或1≤x <2}

D ．{x |x ≤－2或x >4}

3．已知数列{a n }为等差数列，若a 3＋6＝2a 5，则3a 6＋a 10＝( ) A ．18 B ．24 C ．30

D ．32

4.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，则AC →·AB →

的值为( )

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－8

5．若将函数f (x )＝sin ????2x ＋π

6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于y 轴对

称，则当φ最小时，函数g (x )＝cos ????12x ＋2φ－1图象的一个对称中心的坐标是( )

A.????

π3，0 B.????－π

3，－1 C.???

?－π

3，1 D.???

?π

3，－1 6．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a ，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( )

A.2

12 B.312 C.26

D.36

7．已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，

垂足为A ，交一条渐近线于点B ，O 为坐标原点．|OF |＝|FB |，则C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±3

3

x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±3x

D ．y ＝±x

8．已知函数f (x )＝?

????|ln x |，x >0，

x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1

则x 1f (x 2)的取值范围是( )

A ．[－2，0]

B ．[－1，0] C.????－2

3，0 D.???

?－1

2，0 二、多项选择题

9．(2020·山东省普通高等学校统一考试)下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．

根据该折线图可知，该地区2006年～2018年( ) A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大

10．函数f (x )＝x

1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )

A ．f (x )＝f ????

1x B ．－f (x )＝f ????

1x C.1f （x ）＝f ???

?1x D ．f (－x )＝－f (x )

11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为f (α)，则下列关于函数f (α)的说法错误的是( )

A ．f (α)的定义域是????

??α??α≠2k π＋π

2，k ∈Z

B ．f (α)的图象的对称中心是????k π＋π

2，0，k ∈Z

C ．f (α)的单调递增区间是[2k π，2k π＋π]，k ∈Z

D ．f (α)对定义域内的α均满足f (π＋α)＝f (α)

12．已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个

结论中，所有正确的结论是( )

A ．|OA |·|O

B |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥2 2

C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点

D ．O 到直线AB 的距离小于等于1 三、填空题

13．已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，f (e x )＝x

e x ，则

f ′(e)的值为________．

14．若α∈????0，π2，cos ???

?π

4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________．

15．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n

＝________，T n ＝________．

16．在三棱锥D -ABC 中，DC ⊥底面ABC ，AD ＝6，AB ⊥BC ，且三棱锥D -ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________．

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1．解析：选C.因为z ＝a －i a ＋i ＋i ＝（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＋i ＝a 2－1－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋（a －1）2

a 2

＋1i ，所以由z 为实数得（a －1）2

a 2＋1

＝0，解得a ＝1，故选C.

2．解析：选A.U ＝{x |x 2≥2x }＝{x |x ≤0或x ≥2}，A ＝{x |log 2x ≥2}＝{x |x ≥4}，则?U A ＝{x |x ≤0或2≤x <4}，故选A.

3．解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＋6＝2a 5，得a 1＋2d ＋6＝2(a 1＋4d )，整理得a 1＋6d ＝6，所以3a 6＋a 10＝3(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝4(a 1＋6d )＝4×6＝24，故选B.

法二：由等差数列的性质知a 3＋a 7＝2a 5，结合条件a 3＋6＝2a 5，得a 7＝6，则3a 6＋a 10＝2a 6＋(a 6＋a 10)＝2a 6＋2a 8＝4a 7＝24.

4．解析：选D.由AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，得AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝(AB →＋3BD →)·AB →＝|AB →|2＋3AB →·BD →＝|AB →|2－3|AB →|·|BD →|cos ∠ABD ＝|AB →|2－3|AB →|2＝－2|AB →

|2＝－2×22＝－8，故选D.

5．解析：选D.将函数f (x )＝sin ????2x ＋π

6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得函数的

解析式为h (x )＝sin ????2（x ＋φ）＋π6＝sin ????2x ＋2φ＋π

6.又函数h (x )的图象关于y 轴对称，所以

2φ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π6(k ∈Z )．又φ>0，则当k ＝0时，φmin ＝π

6

，此时函数

g (x )＝cos ????12x ＋2×π6－1＝cos ????12x ＋π

3－1.由12x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋

π3(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝π

3，由选项知A ，B ，C 中的点均不是函数g (x )图象的对称中心，故

选D.

6.解析：选A.如图，在三棱锥A -BCD 中，设AD ＝a ，BC ＝2，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥．易知BD ⊥CD ，AB ⊥AC .将△BCD 看作底面，假设平面ABD ⊥平面BCD ，因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面ABD ，所以CD ⊥AD .在△ACD 中，已知

AC ＝CD ＝1，所以CD ⊥AD 不成立，即平面ABD 不垂直于平面BCD .同理可知平面ACD 不垂直于平面BCD .则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h ＝22.△BCD 是等腰直角三角形，则S △BCD ＝12×1×1＝12.所以此三棱锥的体积的最大值为13×12×

22＝2

12

，故选A. 7.解析：选A.如图，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为D .双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ，则点F (c ，0)到渐近线的距

离d ＝

|bc |

a 2＋

b 2

＝b ，即|F A |＝|FD |＝b ，则|OA |＝|OD |＝a .又|OF |＝|FB |，则|AB |＝b ＋c .△OFB 为等腰三角形，则D 为OB 的中点，所以|OB |＝2a .在Rt △OAB 中，则|OB |2＝|OA |2＋|AB |2，即4a 2＝a 2＋(b ＋c )2，整理得c 2－bc －2b 2＝0，解得c ＝2b .又c 2＝a 2＋b 2，则4b 2＝a 2＋b 2，即b a ＝33，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3

3

x ，故选A.

8.解析：选B.作出函数f (x )＝?

????|ln x |，x >0，

x ＋2，x ≤0的图象，如图所示．由题

设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，由图易知m ∈(0，2]，且x 1∈(－2，0]，x 2∈???

?1

e 2，1，x 3∈(1，e 2]．则由

f (x 1)＝m ，得x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2，所以x 1f (x 2)＝(m －2)·m ＝(m －1)2－1，则当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1，当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0，所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1，0]，故选B.

9．解析：选AD.根据题目提供的图表分析题目，区分好两条折线即可．故选AD. 10．解析：选AD.根据题意得f (x )＝x 1＋x 2，所以f ????1x ＝1x

1＋???

?1x 2＝x 1＋x 2，所以f (x )＝f ????1x ；

f (－x )＝－x 1＋（－x ）2＝－x

1＋x 2

＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．故AD 正确，BC 错误． 11．解析：选ACD.由三角函数的定义可知P (cos α，sin α)，则以点P 为切点的圆的切线方程为x cos α＋y sin α＝1，由已知有cos α≠0，令y ＝0，得x ＝1cos α，即函数f (α)＝1cos α

.

由cos α≠0，得α≠2k π±π2，即函数f (α)的定义域为????

??α??α≠2k π±π

2，k ∈Z ，故A 错误；

函数f (α)的对称中心为???

?k π＋π

2，0，k ∈Z ，故B 正确；

由复合函数的单调性可知，函数f (α)的增区间为?

???2k π，2k π＋π

2，

???

?2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故C 错误；

由函数的周期T ＝2π

ω

可得f (α)的周期为2π，故D 错误．

12．解析：选ABD.设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 2

2)，则OA →·OB →＝0，即x 1x 2·(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1

x 1

.对于A ，|OA |·|OB |＝

x 21（1＋x 2

1）·1x 21???

?1＋1x 21＝1＋x 21＋1

x 21

＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝????x 1－1x 1

(x －x 1)，不过点????0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：?

???x 1－1x 1

x －y ＋1＝0的距离d ＝

1

?

???x 1－1x 12

＋1≤1，正确． 13．解析：因为f (e x )＝x e x ，所以f (x )＝ln x

x (x >0)，

所以f ′(x )＝1

x ·x －ln x x 2＝1－ln x

x 2，

所以f ′(e)＝0. 答案：0

14．解析：由已知得

2

2

(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝1

4，

由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈????0，π

2，所以cos α＋sin α＝0不满足

条件；

由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝1

16，

所以sin 2α＝15

16.

答案：1516

15．解析：由题意有a 1＝1－a 1，故a 1＝1

2.当n ≥2时，由?

????S n ＝1－a n ，S n －1＝1－a n －1

两式相减得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，1

2为公比的

等比数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 2

4，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝116??

??1－116n 1－116

＝115????1－116n . 答案：12n 1

15?

???1－116n 16．解析：取AD 的中点为E ，连接EC ，EB .因为DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以在Rt △ACD 中，EA ＝ED ＝EC .因为AB ⊥BC ，且BC ∩DC ＝C ，所以AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥DB ，所以在Rt △ABD 中，EA ＝ED ＝EB ，所以球心O 与AD 的中点E 重合，所以球O 的半径为3，所以球O 的表面积为4π×32＝36π.

答案：36π