假设法解决问题

第五讲：数学思维训练之假设法解决数学问题
一、鸡兔同笼问题
1、知识介绍：
大约在1500多年前，我国的大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干
只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？这就是“鸡兔同笼”问题，它是我国古代著名趣题之一。

同学们，你会解答这个问题吗？你道古人是怎样解决的吗？今天我们将会用怎样的方法去解决呢？这就是这专题学习的一个重点，巧用假设法去解此类问题是非常简单的，也很好理解。

在日常生活有
关鸡兔同笼的问题很多，如运输打坏玻璃如何赔偿、两种钱放在一起如何分开，考试中答错答对问题等等这些问题，用假设方法去解答，能化难为易。

2、探索题目：
小梅数她家的鸡与兔，数头有8个，数脚有26只。

问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
解法一：（古人解法）提足法：
我们先了解古人在解决此类问题的方法。

原来，孙子在解决时大胆的设想，先让每只鸡
提起一只脚，每只兔提起两只脚。

这样，每只鸡则变成了“独脚金鸡”了，而每只兔则变成了“双脚怪兔”了。

这样，现在脚的总数只有原来的一半了。

我们再让它们提一次脚，让每只鸡和每只兔都提起一只脚来，现在每只鸡则变成“无脚鸡”，而每只兔则变成了“独脚兔”
了。

这样，它们又提起了8只脚，所剩下的脚就只有兔子的脚了，从而求出了兔的只数来，再求鸡的只数就非常简单了。

［解答］兔的只数：
鸡的只数：
解法二：画图法（画头添足法）
根据画图的过程列出算式：
［解答］兔的只数：
鸡的只数：
5
解法三：假设法
因为有8头，说明鸡和兔的总只数为8只，我们不妨假设笼子里全部者是兔子，1只兔子有4只脚，所以共有32只脚，而实际只有26只脚，从中多出了6只脚来，为何多出 6 只脚呢？是因为我们把笼子里的鸡当成了兔子造成的。

而我们每只鸡只有2只脚，从而多算
了2个脚来，由此可求出鸡的只数来，再求出兔子的只数，问题就解决了。

当然还可假设笼
子里全都是鸡来解决，请小朋友去完成吧。

［解答］假设8只全都是兔子。

鸡的只数：
兔的只数：
2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共
得了70分，他做对了几道题？
分析：
假设他做对了10道题，那么应得10X 10= 100 （分），而实际只得70分，少30分，这是因为每做
错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10+ 5 = 15 （分）, 看30分里面有几个15分，就错了几题。

解：（10 X 10—70 ）- （ 10 + 5 ）
=30- 15
=2 （道）------ 错题
10 —2= 8 （道）
答：他做对了8 道题。

3、有面值5元和1 0元的钞票共1 00张，总值为800元。

5元和1 0元的钞票各是多少张？分析：
假设 1 00张钞票全是5元的，那么总值就是5X100= 500 （元），与实际相差800—500=300 元
差的300 元，是因为将10 元 1 张的算作了 5 元的，每张少计算10—5= 5 （元），差的300 元里面有多少个 5 元，就是多少张10 元的钞票。

解：（800 —5X 10 ）十（10 — 5 ）
=300+5
= 60 （张） --------- 10 元面值
100—60= 40 （张）
答：有10 元的钞票60 张， 5 元的钞票40 张。

4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？（蜘蛛8 条腿，蜻蜓6 条腿2 对翅膀，蝉6 条腿1 对翅膀）
分析：
假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是 6 条腿，那么总腿数是6X21=126 （条），比实际少140—126= 14（条），这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8—6=2 （条），少算的 1 4条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14+2=7 （只）。

从总只数里减7只蜘蛛，就得21—7=14 （只）是蜻蜓和蝉的和。

再假设这1 4只全是蜻蜓，那么翅膀应是2X14=28 （对）比实际多28—23=5 （对），这是因为蝉是1 对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1 对翅膀多出的这5 对翅膀里面有几个 1 对，就是几只蝉。

求出了蝉，蜻蜓可求。

解：（ 140 —6X 21 ）+ （ 8 — 6 ）
= 14+2
= 7 （只） ----- 蜘蛛
21 —7= 14 （只）
（ 2X14—23 ）+（ 2—1 ）
= 5+1
=5 （只） ----- 蝉
14—5=9 （只） ---- 蜻蜓
答：蜘蛛7 只，蜻蜓9 只，蝉 5 只。

小试牛刀：
1 ）、大油瓶每瓶装4 千克，小油瓶每瓶装
2 千克，现有200 千克油装了共60 个瓶子。

问大小油瓶各多少个？
2）、龟鹤共有100 个头,350 只脚.龟, 鹤各多少只？
3）、学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋
6 人下一副. 象棋和跳棋各有几副？
4）、松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20 个,雨天每天只能采12 个. 它一连几天采了112 个松籽,平均每天采14 个. 问这几天当中有几天有雨？
5）、某小学举行一次数学竞赛考试，共15 道题，每做对一题得8 分，每做错一道题倒扣4
分，小明得了72 分，他做对了多少道题？
6）、有50 元人民币和100 元人民币共43 张，共3400 元，问50 元人民币和100 元人民币各多少张？
附：练习题
1、盒子里有大、小两种钢珠共30 个，共重266 克，已知大钢珠每个11 克，小钢珠每个7 克。

盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？
2、一个集邮爱好者买了10 分和20 分的邮票共100 张，总值18 元8 角。

这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
3、学校买来3 个排球和2 个足球，共花去111 元。

每个足球比每个排球贵3 元。

每个排球和每个足球各多少元？
4、鸡兔同笼，头共20 个，足共62 只，求鸡与兔各有多少只？
5、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32 辆。

其中汽车有4 个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108 个轮子。

求汽车和摩托车各有多少辆？
6、全班46人去划船，共乘12 只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？
7、东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10 分，答错一道不但不得分，还要扣去 3 分，这 3 名同学都回答了所有的题目，小明得74 分，小华得22 分，小红得87 分，他们三人共答对多少题？
8、在知识竞赛中，有10 道判断题，评分规定：每答对一题得 2 分，答错一题要倒扣一分。

小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14 分，请问，他答错了几题？
9、某运输队为超市运送暖瓶500 箱，每箱装有6 个暖瓶。

已知每10 个暖瓶的运费为5 元，损坏一个的话不但不给运费还要陪成本10元，运后结算时，运输队共得1350元的运费。

问、共损坏了多少只暖瓶？
10、蜘蛛有8 条腿，蜻蜓有6 条腿和2 对翅膀，蝉有6 条腿和1 对翅膀。

现在这三种小虫
16 只，共有110 条腿和14 对翅膀。

问，每种小鸟各几只？
11、螃蟹有10条腿，螳螂有6 条腿和1对翅膀，蜻蜓有6 条腿和2 对翅膀。

现在这三种动物37 只，共有250 条腿和52 对翅膀。

每种动物各有多少只？
12. 12 张乒乓球台上共有34 人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有几张？
16. 鸡与兔共有100 只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
17. 大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3 个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛．小明数了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只？
18. 动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类，规定老虎、狮子一类的大动物每次喂肉每头三斤，狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤．该动物园共有这两类动物100 头，每次需喂肉100 斤，问大、小动物各多少？
19、. 在很久很久以前，传说有九头一尾的九头鸟和九尾一头的九尾鸟。

有一次这两种鸟栖息在树林里，一位猎人经过此地数了数，这两种鸟头共268 个，尾332 个，那么有九头鸟和九尾鸟各多少只？
20、、昆虫笼里有蜘蛛、蜻蜓、蜜蜂共
62只，下有脚400只，上有翅膀76 对，问蜘蛛、蜻
蜓、蜜蜂各多少只？
21、犀牛，羚羊，孔雀三种动物共有头26 个，脚80 只，犄角20 只。

已知犀牛有四只脚1
只犄角，羚羊有4支脚2只犄角孔雀有2支脚，犀牛，羚羊，孔雀各多少只
22、100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃4个,小和尚4人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？
23、鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。

数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？
24、今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏免各几何？
25、一队强盗一队狗，两队并作一队走，数头一共有三百六，数脚一共八百九，多少强盗多少狗？。