2016-2017年最新审定北师大版数学必修四：2.6《平面向量数量积的坐标表示》ppt(优秀课件)
高中数学平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修四
0 0 1 2
例6:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的 夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例7：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
证明：
平面向量数量积的 坐标表示
复习：
⑴a与b的数量积的定义 ？
已知两个非零向量a和b，它们的夹角 为，我们把数量|a|· |b|· cosθ叫做a与b 的数量积（或内积），记作a· b ，即 a· b=|a||b|cos
(
2)向量的运算有几种?应怎样计算?
探索1: 已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2) ，平 面向量的 数量积怎样用a 与 b的坐标表示呢？
1 2
设向量m与n夹角为，因为m n | m || n | cos , 从而 3 1 1 ( ) ( 7 ) 2 4 cos 2 3 1 ( ) 1 ( 7 ) 4
2 2 2 2
3 m (1, )和n (1,7) 4
所以 45 ，即直线l 和l 的夹角为45 .
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
根据圆的切线方程，有 CP l ,即CP P P 0
0 0 0
2-6 平面向量数量积的坐标表示 课件高中数学必修4(北师大版)
自学导引 1．平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝ x1x2＋y1y2 ， 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 ． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， x x ＋y y ＝0 则a⊥b⇔ 1 2 1 2 .
3．平面向量的模 (1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
2 x2 ＋ y 1 1 .
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→ B |＝ x2－x12＋y2－y12 .
：向量模的坐标运算的实质是什么？ 提示 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐 已知a＝(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标． [思路探索] 设b＝(x，y)为所求单位向量，由a⊥b及|b|＝1的坐 标形式，得到关于x，y的方程组，进而求出b的坐标． 解 设b＝(x，y)为所求单位向量，则x2＋y2＝1 又因为a⊥b，所以a· b＝0，即4x＋2y＝0 x＝ 5， 5 联立①②解得 2 5 y＝－ 5 ，
2|b|＝2 2 的一
1 半，故c＝ (a＋b)＝ 2
－
3＋1 3－1 1 或c＝－ (a＋b)＝ ， 2 2 2
3＋1 3－1 . ，－ 2 2
规律方法 涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌 握数量积坐标运算公式a· b＝x1x2＋y1y2以及相关的模长公式或 夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意 的是，对于一些向量数量积的坐标运算的问题，有时考虑其几 何意义可使问题快速获解，如本题的方法二．这也告诉我们， 在考虑向量的数的特征时不能忽视其形的特征．
，
数学北师大版必修4课堂导学：2.6平面向量数量积的坐标
课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标【例1】 已知：a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)求证：a +b 与a -b 互相垂直.思路分析：要证（a +b ）⊥(a -b ),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识 证法一：由已知a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),有a +b =(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a -b =（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,又(a +b )·(a -b )=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=0,所以（a +b ）⊥(a -b ).证法二：∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).友情提示两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一. 各个击破类题演练 1已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证：△ABC 是直角三角形证明:∵AB =（2-1，3-2）=（1，1）,AC =（-2-1，5-2）=（-3，3）, ∴·=1×(-3)+1×3=0, ∴⊥即AB ⊥AC∴△ABC 是直角三角形.变式提升 1已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.解析：设b =(x,y)为所求单位向量则x 2+y 2=1①又∵a ⊥b∴a ·b =(4,2)·(x,y)=4x+2y=0∴4x+2y=0② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.552,55552,55y x y x 或∴b =(552,55-)或b =(552,55-). 2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想【例2】 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b |，有|a|2=|b |2，又由|b |=|a -b |,得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2，∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则 cosθ=23||3||||21||||||)(22=+=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.∵|a |=|b |，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即||=||=||.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°. 友情提示本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会类题演练 2已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.解析：建立如右图所示的坐标系.则A （4，0），B （0，6），E （2，0），F （0，3）.=（-4，3），=（2，-6），||=5，||=102，cos ∠501013101026||||-=-=BE AF . ∴两中线所成钝角的余弦值为501013-. 变式提升 2设a =(4,-3),b =(2,1)，若a +t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值.解析:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a +t b )·b =(4+2t,t-3)·（2，1）=5t+5,|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=-++t t t .由（a +t b ）·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(5252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去.∴t=1.3.向量垂直的等价条件的应用【例3】 如右图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点C 的坐标是()A.（2，7）B.（23，215） C.（3，6） D.（25，213） 思路分析：欲求点C 的坐标，可设点C 为（x ，y ），然后利用条件建立x 、y 的方程组.注意到四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，且|AB |=|BC |，可用它们建立x 、y 的方程组. 解：设C 点坐标为（x ，y ），则AB =（4，3），BC =（x-5，y-3）.∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC ，|AB |=|BC |. ∴⎩⎨⎧=+--+=+⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+=-+-∙.09610,2934,)3()5(34,0)3(3)5(4222222y x y x y x y x y x 即解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,87,2y x y x 或 又∵C 点在第一象限，∴⎩⎨⎧-==.1,8y x 舍去. 答案：A友情提示求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM ⊥x 轴于点M ，DN ⊥x 轴于点N ，易得△ABM ≌△DAN ，可得D 点坐标为（-2，4），然后利用=+，易得C 点坐标.类题演练 3如右图，已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），AD 是BC 边上的高，求及点D 的坐标.解析：设D 的坐标为（x,y ）∵AD ⊥BC,∴AD ⊥BC ,CD 与BC 共线. 又∵AD =(x-2,y+1),BC =(-6,-3),CD =(x+3,y+1).∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=-+⎩⎨⎧=+++-=+---.1,1.012,032.0)1(6)3(3,0)1(3)2(6y x y x y x y x y x 解得即 ∴D 点坐标为（1，1），∴AD =（-1，2）.变式提升 3以原点O 和A （4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°,求B 的坐标和AB 的长.解析：如右图，设B 的坐标为（x,y ）,则OB =（x,y ）,AB =(x-4,y-2).∵∠B=90°,∴⊥,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x 2+y 2=4x+2y.① 设的中点为C ，则C(2,1),=(2,1),=(x-2,y-1).∵△AOB 为等腰直角三角形，∴⊥, 2（x-2）+(x-1)=0,即2x+y=5.②由①②可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,3.3,12211y x y x 或 ∴B 的坐标为（1，3）或（3，-1），AB =（-3，1）或（-1，-3）， ∴|AB|=|AB |=10.。
高一数学北师大版必修4课件2.6 平面向量数量积的坐标表示
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
点评注意向量 0 和实数 0 的区别.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
探究二 向量的垂直问题
两向量互相垂直,则其数量积为零,据此可建立关于未知数的方程,从而 求解,这样就把几何证明问题转化为代数计算问题. 【典型例题 2】 已知平面内三点 A,B,C 在一条直线 上,������������=(-2,m),������������ =(n,1),������������ =(5,-1),若������������ ⊥ ������������ ,求实数 m,n 的值.
思考 1 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则������������ ·������������ =(
A.-1 B.0 C.1 D.2
)
提示:易知 ������������ =(1,1),������������ =(-3,3), ∴ ������������ ·������������ =1×(-3)+1×3=0,故选 B.
思考 2 已知 a=(3,y),|a|=5,则 y=
提示:| a|= 32 + ������ 2 = 9 + ������ 2 =5,解得 y=± 4.
.
3.向量的夹角 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=
������1������2+������1������2
2 2
=
2 π .∵ θ∈[0,π],∴ θ= . 2 4
3.两个向量垂直 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
北师大版数学必修四课件：平面向量数量积的坐标表示
.. 导. 学 固思
2 2
整理得 25x +48xy+25y =1, 2 即 x(25x+24y)+24xy+25y =1. ② 2 由①②有 24xy+25y =1, ③ 将①变形代入③可得 y=± ,
7 5
, ������ = - , 35 再代回①得, 或 5 ������ = ������ = .
【解析】设 P(x,y),则������������ =(x-a,y),������������ =(-a,a), 由������������ =t������������ 得, ������-������ = -������������,解得 ������ = ������-������������, ������ = ������������, ������ = a������, ∴������������ =(a-at,at),又∵������������=(a,0), ∴������������ ²������������ =a -a t,∵a>0,可得-a <0,又 0≤t≤1, ∴当 t=0 时,������������ ²������������ =a -a t 有最大值 a .
【解析】∵a=(1,1),b=(-1,2), ∴a²b=(1,1)²(-1,2)=-1+2=1.
1
.
.. 导. 学 固思
4
已知 a=(1, 3),b=( 3+1, 3-1),求 a 与 b 的夹 角.
【解析】由 a=(1, 3),b=( 3+1, 3-1)得, a²b= 3+1+ 3( 3-1)=4,|a|=2,|b|=2 2. 记 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = 又∵0≤θ ≤π ,∴θ = .
§2.6 平面向量数量积的坐标表示 课件 高中数学必修四(北师大版)
ab 4 1 cos , 则 60. a b 2 4 2
例2 已知直线 l1 : x 2 y 0和 l2 : x 3 y 0, 求直线l1和l2的夹角 .
解：在l1上任取两点，如(2,1),(0,0),记向量a=(2,1) (0,0)=(2,1); 在l2上任取两点，如(3,-1),(0,0),记向量b=(3,-1) (0,0)=(3,-1),
解 : BC AC AB (1, k 3).
又ABC是直角三角形， 若B 90, 则BA BC,即BA BC 0，
即(2, 3) (1, k 3) 0
11 2 3(k 3) 0， k . 3
a b x1 x2 y1 y2 .
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
问题3： 已知两个非零向量 a （x1，y1），b （x2，y2）
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b a b 0 a b x1 x2 y1 y2 0
(2)两平面向量共线条件的坐标表示
总结提升：按照多项式的乘法法则展开后，进行坐标运算.
变式练习: 已知a (1, 3), b (2, 2 3).
(1)求a b； （2）求a与b的夹角 .
解： (1)a b=(1, 3) (-2,2 3)=1 (-2)+ 3 2 3 4.
（2） a 12 ( 3)2 2, b (2)2 (2 3)2 4，
a / /b（b 0） 存在唯一的 使得a b；
若a = （x1，y1），b = （x 2，y2），则a|| b ⇔ x1y2 - x 2 y1 = 0.
高中数学北师大版必修四《平面向量数量积的坐标表示》课件
已知在ABC中，AB a, AC b, 当a • b 0时ABC是什么三角形？
当a • b 0ABC是什么三角形？
为总结出数量积随夹角的变化规律 做准备
探究2：数量积的随夹角的变化规律
探究3：两向量的垂直：
两非零量垂直的充要条件
a b a•b 0
规定:零向量垂. 直于任意向量.
1.零向量垂直于任意向量。这一结论不 要忽视
2.完成例四时再次强调要找清两向量的 夹角
概念判断题
许多知识点诸如零向量问题，向量垂直问题， 相等向量问题，数量积的定义巩固练习 .
小结
1.要求掌握平面向量的 数量积的物理意义，定义，重要 性质，并能解决相关的问题 2.本节内容是本章的重点内容，许多的知识可
以在本节交汇，未来高考也是必考的内容。
a • b a b cos
1.注意两个向量的数量 积的正确的书写情势
2.例一是基础题，用来 熟悉数量积的定义
探究1：向量夹角的概念及范围
给出夹角的概念便于讨论出 夹角的范围
已知ABC中，BC 5, CA 8,C 60
求BC • CA
通过例二的错解，提醒学生做两个 向量数量积运算时会找两个向量的 夹角
谢谢大家
课后反思 ：
1.正确理解向量夹角定义非常重要，两向量的夹角指从同一点 出发的两个向量所构成 的较小的非负角，因此对向量夹角 定义理解不清而造成解题误是一些易见的错误。 见例2例４ ２.两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学 过的的数的乘法是有区分的，书写时严格区分,决不可混淆。
北师大版 高中数学
北师大版 高中数学
平面向量的 数量积
知识目标： 1.掌握平面向量的数量积及其物理意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质； 3.会用平面向量的数量积解决简单问题； 能力目标： 1.提高逻辑思维能力; 2.应用数形结合思想分析问题解决问题的能力情感目标; 3.激发学生的科学精神和创新意识。由特殊到一般再由一般 到特殊的辨证唯物主义思想.
高中数学北师大版必修四 2-6平面向量数量积的坐标表示
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即 x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，
∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.
②
由①②可得xy＝＝11，， ∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5， 即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12 ＝5(t－2)2－8. ∴当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2)．
(2)由(1)知O→C＝(4,2)，
∴C→A＝(－3,5)，C→B＝(1，－1)，
∴|C→A|＝ 34，|C→B|＝ 2，C→A·C→B＝－3－5＝－8.
(2)求＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29.
(2)由 a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝
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§6 平面向量数量积的坐标表示
[学习目标] 1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量
积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间
的距离公式． 3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
[知识链接] 1．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标
规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应 注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是 坐标式，两者互相补充．
北师版高中数学高一北师大版必修4课件 2.6 平面向量数量积的坐标表示
明目标、知重点
又O→B＝(x,y),A→B＝(x－5,y－2),且O→B⊥A→B, ∴O→B·A→B＝0,∴x(x－5)＋y(y－2)＝0,
即x2－5x＋y2－2y＝0,②
由①②解得xy11＝ ＝3272，，
或xy22＝ ＝72－，32.
明目标、知重点
∴B32，72或72，－32. ∴A→B＝－72，32或A→B＝－32，－72.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知a＝(3,－1),b＝(1,－2),则a与b的夹角θ为( B )
π
π
A.6
B.4
π
π
C.3
D.2
解析 ∵|a|＝ 10,|b|＝ 5,a·b＝5.
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝
5 10×
5＝
2 2.
又∵a,b的夹角范围为[0,π]. ∴a 与 b 的夹角为π4.
y＝1，
即 D 点坐标为(1,1),A→D＝(－1,2). ∴|A→D|＝ －12＋22＝ 5, 即|A→D|＝ 5,D(1,1).
明目标、知重点
反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是 一种常见题型,其处理方法：设出点的坐标,利用垂直及模 长列出方程组进行求解.
明目标、知重点
跟踪 训练 3 以 原点 和 A(5,2) 为两 个顶 点作 等 腰直角 △OAB,∠B＝90°,求点 B 和A→B的坐标. 解 设 B(x,y),则|O→B|＝ x2＋y2, ∵B(x,y),A(5,2),∴|A→B|＝ x－52＋y－22. 又∵|A→B|＝|O→B|,∴ x－52＋y－22＝ x2＋y2.
明目标、知重点
1234
4.已知平面向量a＝(2,4),b＝(－1,2),若c＝a－(a·b)b,则|c|＝_8__2__. 解析 ∵a＝(2,4),b＝(－1,2), ∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6, ∴c＝a－6b, ∴c2＝a2－12a·b＋36b2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝ 8 2 .
2.6平面向量数量积的坐标表示 课件 高中数学必修四(北师大版)
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积 平面向 量的模 a· b＝ x1x2＋y1y2 ，两个向量的数量积 等于 相应坐标乘积的和
(2)∵a 与 b 的夹角为锐角， ∴cos θ>0，且 cos θ≠1， ∴a· b>0 且 a 与 b 不同向． 1 因此 1＋2λ>0，∴λ>－2. 又∵a 与 b 共线且同向时，λ＝2. 1 ∴a 与 b 的夹角为锐角时，λ 的取值范围为(－ ，2)∪(2， 2 ＋∞)．
由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ 满足 0° ≤θ≤180° ，所 a· b 以用 cos θ＝ 去判断 θ 的取值时，一定要注意(1)cos θ<0 |a ||b | 且 cos θ≠－1，θ 为钝角；(2)cos θ>0 且 cos θ≠1 ，θ 为锐角．
若本例条件不变， 如何求 a 与 b 的夹角为钝角时， λ 的取 值范围？
【解】 ∵a 与 b 的夹角 θ 为钝角， ∴cos θ<0 且 cos θ≠－1， ∴a· b<0 且 a 与 b 不反向． 1 由 a· b<0 得 1＋2λ<0，故 λ<－2， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向，所以 λ 的 1 取值范围为(－∞，－2).
向量平行和垂直的坐标的应用
已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量 c 满足(c ＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求 c 的坐标．
【思路探究】
【自主解答】 设 c 的坐标为(x，y)，则 a＋ c＝(1＋x,2 ＋y)． ∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即 3x－2y＝ 1. 又∵a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0. ① ②
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x1 x2i i x1 y2i j x2 y1 j i y1 y2 j j
x1 x2 y1 y2 .
这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积 的和,即
a b x1x2 y1 y2 .
练一练：求值
设a (5, 7), b (6, 4), 求a b.
最新审定北师大版数学必修四优秀课件
平面向量数量积 的坐标表示
如果没有运算，向量只是一个“路标”，因
为有了运算，向量的力量无限.
下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺
利起航吧！
1.掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重 要的知识点.（重点） 2.会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关
知识解决实际问题.如判断垂直、求模、夹角等.
提升总结: 将相关向量用坐标表示，根据互相垂 直的向量的数量积等于零，写出表达 式.
直线的方向向量
由解析几何知，给定斜率为k的直线l，则向量 m =（1，k）与直线l共线，我们把与直线l共线的非
零向量 m 称为直线l的方向向量.
例4
已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求
2 2
2 3 2 1 1 7 4 所以 45，即直线l1和l2的夹角为45.
2 , 2
提升总结:
利用斜率为k的直线l的方向向量为 m =
（1，k），写出直线l1和l2的方向向量， 然后运用向量的夹角公式计算出夹角的 余弦值，从而求出夹角. 注意：直线的夹角取值范围[0,
提升总结:
设圆上任意一点M（x，y），构造向
量 MC ，利用向量的模为定值，列出
相等关系，化简即得所求曲线的方程.
例3 已知圆C:（x-ɑ)2+(y-b)2=r2，求与 圆C相切于点Po（xo,yo)的切线方程.(如图) 解: 设P（x,y)为所求直线 l上一点.
y
C.
.
P0
l P
坐标表示为： 设 a ( x, y )，则 |a|= x 2 y 2 .
特别地：
若A( x1 , y1 )，B(x2 , y2 ),则 AB x2 x1, y2 y1 ,
A，B两点间的距离d | AB|
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 .
，求向量 a 与 b 的
解：设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
2 2 2 2
26 , 26
26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
技巧方法:
1.细心代入，精确计算.
2.分步计算，化整为零.
解：x1 5, x2 6; y1 7, y2 4. 所以a b x1 x2 y1 y2 5 6 7 4 30 28 2.
区分好横纵坐标， 准确代入数值， 精心计算.
思考2：如何用向量的坐标来表示两向量数量积
（难点）
思考1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标 语言”表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来 表示？
若两个向量 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) ?
设非零向量a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), a与b的夹角为，则
a b cos | a || b |
(3)夹角公式：
坐标表示为： cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
例1 已知 a 3, 2 ，b 1, 1 夹角的余弦值.
o
x
根据圆的切线性质，
有CP0 ⊥ l ，即CPo · P0 P =0, 因为 CP0 =(xo-ɑ,yo-b), P0 P =(x-xo,y-yo),所以(xo-ɑ)(x-xo)+(yob)(y-yo)=0.
特别地：
若ɑ=0，b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2，与它相切于 P0（x0，y0）的切线方程为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0， 由于x02+y02=r2，故此方程可化为x0x+y0y=r2.
例2
求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程.
M C
即 CM · CM = r2.
解：设M（x,y)是圆C上任意一点， y
则| CMb), CM
o
x
所以(x-a)2+(y-b)2=r2,
即圆的标准方程.
特别地：如果圆心在坐标原点上，这时a=0,b=0 ， 那么圆的标准方程为 x2+y2=r2.
【探索练习】
设x轴上单位向量为 i ,
y轴上单位向量为 j ,
y
b
j
a
i
o
x
请计算下列式子：
① ③
i i = ij=
1 0
② ④
j j j i
= =
1 0
所以 a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
的相关性质？ (1)垂直的充要条件：
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则
a b a b 0.
坐标表示为： a b x1 x2 y1 y2 0.
(2)求模公式：
| a | a a .
直线l1和l2的夹角.
解: 任取直线l1和l2的方向向量
3 m 1, 和n 1, 7 . 4 设向量m与n夹角为，因为m n m n cos ，从而 cos 3 11 7 4