导数的应用：导数及其应用PPT课件
合集下载
5.2.1基本初等函数的导数课件(人教版)
5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为
p(t)= p0(1＋5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品
的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的
速度大约是多少(精确到0.01元/年)？
解 : 依题意得p(t ) 1.05 , p' (t ) 1.05 ln 1.05
, 其中a 0且a 1.
x ln a
1
特别地, 若f ( x) ln x, 则f ' ( x) .
x
巩固1：求函数的导数
1.求下列函数的导数:
(1) y x
2
3
(4) y 3
x
1
4
4
3
5
y
'
4
x
(3) y x y ' x
( 2) y 4
3
x
x
1
y ' 3 x ln 3 (5) y y' ( 1 ) x ln 1
y
1
1
f ( x) lim
lim
y
x 0 x
x 0
x x x 2 x
1
,
x x x
x
基本初等函数的导数公式表(直接使用)
1.若f ( x) c, 则f ' ( x) 0.
如 : f ( x) x , 则f ' ( x)
1
2 x
2.若f ( x) x , 则f ' ( x) x 1.
,
x
x
x
x( x x)x x( x x)
p(t)= p0(1＋5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品
的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的
速度大约是多少(精确到0.01元/年)？
解 : 依题意得p(t ) 1.05 , p' (t ) 1.05 ln 1.05
, 其中a 0且a 1.
x ln a
1
特别地, 若f ( x) ln x, 则f ' ( x) .
x
巩固1：求函数的导数
1.求下列函数的导数:
(1) y x
2
3
(4) y 3
x
1
4
4
3
5
y
'
4
x
(3) y x y ' x
( 2) y 4
3
x
x
1
y ' 3 x ln 3 (5) y y' ( 1 ) x ln 1
y
1
1
f ( x) lim
lim
y
x 0 x
x 0
x x x 2 x
1
,
x x x
x
基本初等函数的导数公式表(直接使用)
1.若f ( x) c, 则f ' ( x) 0.
如 : f ( x) x , 则f ' ( x)
1
2 x
2.若f ( x) x , 则f ' ( x) x 1.
,
x
x
x
x( x x)x x( x x)
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
1.1.3 导数的几何意义 课件(24张)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x 0
处的导数的方法之一。
课堂小结
１、导数的几何意义
２求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程 ①先求出该点的导数即切线的斜率；
kf(x0)
②再利用点斜式求出切线方程
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )
练习题
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
x
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x ) f(x )
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
A．4
B．16
C．8
D．2
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几 何意义是（ C ）
处的导数的方法之一。
课堂小结
１、导数的几何意义
２求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程 ①先求出该点的导数即切线的斜率；
kf(x0)
②再利用点斜式求出切线方程
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )
练习题
1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0
x
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x ) f(x )
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点
A处的切线斜率为（ C ）
A．4
B．16
C．8
D．2
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几 何意义是（ C ）
高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版2
-15考点1
考点2
考点3
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
2
-∞,
3
x
g'(x)
+
0
单调递增↗
g(x)
2
,4
3
2
3
68
27
则函数 g(x)的极大值为 g
-
4
(4,+∞)
0
+
-m 单调递减↘ -16-m 单调递增↗
2
3
=
68
27
-m,极小值为 g(4)=-16-m.
∴要使 g(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,
则欲证
12 - 22
>2a,
只需证 2a(12 − 22 )>3x2-x1.
只需证 2a(12 − 22 )>2(x2-x1)+(x1+x2).
只需证 a(x1-x2)+
1 - 2
1 + 2
1
> .
2
因为 f'(x1)=0,f'(x2)=0,ax1=-ln x1,ax2=-ln x2,
(3)证明：由题设c>1,
设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g'(x)=c-1-cxln c,
ln
令 g'(x)=0,解得 x0=
-1
ln
ln
.
当 x<x0 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知 1<
-1
ln
新教材适用2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
[解析] 对于 A，y＝cos 1x，则 y′＝x12sin 1x，故错误； 对于 B，y＝sin x2，则 y′＝2xcos x2.故正确； 对于 C，y＝cos 5x，则 y′＝－5sin 5x，故错误； 对于 D，y＝12xsin 2x，则 y′＝12sin 2x＋xcos 2x，故错误，故选 ACD.
π 3.(
×
)
(5)(2x)′＝x·2x－1.( × )
(6)[ln(－x)]′＝1x.( √ )
[解析] (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过 点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．
(2)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．
(3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线． (6)[ln(－x)]′＝－1x×(－1)＝1x.
[解析] (1)由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图
象的切线的斜率先增大后减小，故选B. (2)由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3
处切线的斜率等于－13，∴f′(3)
＝－13.
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知 f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.
角度 2 求切线方程 例3 (1)(2021·全国甲，13)曲线 y＝2xx＋－21在点－1，－3处的切线
方程为____y_＝__5_x_＋__2____. (2)已知函数 f(x)是奇函数．当 x>0 时，f(x)＝xex＋1，则 f(x)的图象在
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.1.2《导数的概念及其几何意义》课件PPT
作业设计
课本P70.
习题5.1： 1、2、3、4、5、6、7.
在PPT软件中双击图标ห้องสมุดไป่ตู้开配套教案
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
目 录
01
学习目标
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课程小结
第一部分
学习目标
学习目标
1. 理解函数在0处的瞬时变化率即导数的概念并会求其值.
2.理解导数的几何意义，并会应用之求切线方程.
3.感受新概念的定义、运动变化的数学思想方法，从而
温馨提示：直接利用概念求平均变化率，先求出表达
式，再直接代入数据就可以得出相应的导
数的值.
跟踪练习
解析：当自变量从0变化到0＋Δ时，函数的平均变化
Δ+0 − 0
△
率为 ＝
△
Δ
＝
= 30 2 +30 △ + △
2
0 +△ 3 −0 3
Δ
当0＝1，Δ → 0时,
1
∆
2
1
∆)=1−2
2
1
2
× 22 )
课堂互动
∴物体在时刻t=2处的瞬时速度是1−2 .
课堂互动
3.已知 ＝2－3，则 在 = 0处的切线的方程
(
3 + = 0
解析： ′(0)＝
)
Δ
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线 上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线 的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.