自动控制原理终值定理
大学《自动控制原理》期末复习重点
一阶系统的单位斜坡响应 c(t) (t T ) Tet /T , (t 0)
时间常数 T 反映系统的惯性，惯性越小，响应过程越快。
5.二阶系统的时域分析 1）二阶系统的数学模型
传递函数为：
(s) C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
结构图如下图 3-3：
图 3-3 二阶系统结构图
2．信号流图的绘制 1）由微分方程绘制信号流图：首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量
的因果关系，从左向右顺序排列。再用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量 正确连接。 2）由系统结构图绘制信号流图：在结构图的信号线上用节点标志所传递的信号，用支路代 替结构图中的方框。
六．MASON 增益公式 梅森公式可以直接从系统的结构图或信号流图得到系统输出量与输入量之间的传递函数。 设系统的传递函数为 P,则梅森公式为
延迟时间 td
td
1 0.7 n
上升时间 tr
tr
d
峰值时间 tp 超调量σ%
tp d % e / 1 2 100%
调节时间 ts
ts
3
(3 23)
3） 比例－微分控制系统：系统结构图如图 3-5
R(s)
E(s)
1
Td s
n2 s(s 2n )
3-5 PD控制系统与原系统比较如下
闭环传递函数
n2 s2 2ns n2
n2 s2 2tns n2
其中
t＝
n Kt 2
，表明测速反馈控制不改变系统的自然频率，但可增大
阻尼比。测速反馈控制增大开环增益，加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
7.稳定性分析 1）稳定性的基本概念
稳定性：是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 线性控制系统的稳定性：在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰 减并趋于零（原平衡点），则称系统渐近稳定。
自动控制原理 控制系统的数学模型
3)
s(s
1)2 (s
3)
c2 t r 1et (r 1)!
1 tet 2
c1 3 et
(s 1)
4
c3 2
s
3
c4 1 e3t (s 3) 12
f (t) 2 1 et (t 3) 1 e3t
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
4）积分定理：
L[
f
(t )dt ]
1 s
F (s)
5）初值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)
的初值为
f
(0
)
lim
t 0
f (t) lim sF (s) s
6）终值定理：
若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚
轴的右半平面内无极点，则函数 f(t) 的终值为
20
5.非线性元件(环节)微分方程的线性化
经典控制领域，主要研究线性定常控制系统
线性定常系统：描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程。可以应用叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入 引起的输出叠加得到。
对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取
前面的线性项，得到等效的线性环节。
y
设具有连续变化的非线性函数:y=f(x)
输入（充分激励）
自动控制原理(3-4)
式中Φn(s)——系统的扰动误差传递函数。
Φn
(s)
=
1+
Gc
Go (s) (s)Go (s)H
(s)
=
Go (s) 1+ G(s)
五、给定稳态误差终值的计算
Er
(s)
1
1 G(
s)
R(s)
esr
lim e(t)
t
lim
s0
sEr
(s)
lim s s0 1 G(s)
R(s)
esr为给定稳态误差的终值；G(s)为开环传递函数。
Er
(
s)
1
1 G(s)
R(s)
e
(s)R(s)
假定输入信号r(t)是任意分段连续函数，则可以利用
卷积公式计算给定误差：
式中
t
er (t) 0e (t) r(t ) d
er
(t)
1
2
j
c j
E c j r
(
s)
e
st
ds
e
(t)
1
2
j
c j
3.对于给定输入为抛物线函数时
r(t) Rt 2 2
R R(s) s3
则
esr
lim
s0
1
s G(s)
R(s)
lim
s0
s2
R s2G(s)
R Ka
式中
Ka
lim s2 G(s) s0
Ka为加速度误差系数，或称抛物线误差常数。
自动控制原理B2讲解
s0
t
有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点） 和右半平面上没有极点。
初值定理： lim sF (s) lim f (t)
s
t 0
卷积定理：
已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为
f (t) g(t) 0 f (t )g( )d 0 f ( )g(t )d
0
f
(t )e st
dt
------F (s)为f (t)的拉氏变换,也称F (s)为f (t)像函数
f (t) 1
2 j
j j
F
(s)est
ds----f
(t )为F
(s)的拉氏反变换,也称f
(t )为F
(s)的原函数
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
其中，
a1,..., an1, an , b0, b1,..., bm1, bm是实常数，m, n是正整数，通常m n
实行分母因式分解
F(s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm A(s) (s s1)(s s2)....(s sn )
2.出现r个重根及n个非重根时，象函数因式分解结果的表达式为：
F (s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm
A(s)
(s s1)(s s2 )....(s sn )
=
cr (s s1)r
+
(s
cr 1 s1)r1
+...+
s1
1) 2
s(s
s2 1)2 (s
终值定理的使用条件
终值定理的使用条件终值定理是现代控制理论中的重要概念，它可以帮助我们预测系统的行为和性能，并优化系统的控制方式。
然而，要正确地使用终值定理，我们需要满足一定的使用条件。
本文将介绍终值定理的定义、证明以及使用条件，并通过实例来说明这些条件的重要性。
一、终值定理的定义和证明终值定理是控制理论中的一个基本概念，它指出了一个系统在稳定状态下，输出信号的最终值与输入信号的最终值之间的关系。
具体地说，如果一个系统的传递函数为H(s)，输入信号为u(t)，输出信号为y(t)，那么终值定理可以表示为：lim(t->∞) y(t) = lim(s->0) sH(s)u(s)这个公式的意义是，当系统达到稳定状态后，输出信号的最终值等于输入信号的最终值乘以传递函数在s=0处的值。
这个公式的证明可以通过拉普拉斯变换和极限的定义来进行，这里不再赘述。
二、终值定理的使用条件虽然终值定理可以帮助我们预测系统的行为和性能，但是要正确地使用它，我们需要满足一定的使用条件。
下面是终值定理的使用条件：1. 系统必须是稳定的终值定理只适用于稳定的系统，也就是说，系统的输出信号必须在某个时刻后趋于稳定，并且保持稳定状态。
如果系统不稳定，那么输出信号将会发散，终值定理就失去了意义。
2. 输入信号必须是有限的终值定理只适用于有限的输入信号，也就是说，输入信号必须在某个时刻后趋于零，否则输出信号将会发散，终值定理也就无法使用。
这个条件通常可以通过设计合适的控制器来满足。
3. 传递函数必须是真实可行的终值定理只适用于真实可行的传递函数，也就是说，传递函数必须在系统的工作范围内是连续的、有限的、单值的、解析的，并且没有极点或零点与系统的边界相交。
如果传递函数不满足这些条件，那么终值定理也就无法使用。
三、终值定理的实例分析为了更好地理解终值定理的使用条件，我们可以通过一个实例来说明。
假设我们要控制一个机器人的位置，机器人的传递函数为H(s)=1/(s^2+2s+3)，输入信号为u(t)=sin(t)，我们想要预测机器人在稳定状态下的位置。
5.自动控制原理考试复习笔记--本科生总结
自动控制原理复习总结笔记一、自动控制理论的分析方法：（1）时域分析法；（2）频率法；（3）根轨迹法；（4）状态空间方法；（5）离散系统分析方法；（6）非线性分析方法二、系统的数学模型(1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数(2)图形表达：动态方框图（结构图）；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；单位阶跃响应曲线时域响应分析一、对系统的三点要求：K(1)必须稳定，且有相位裕量γ和增益裕量g(2)动态品质指标好。
p t 、s t 、r t 、σ%(3)稳态误差小，精度高二、结构图简化——梅逊公式例1、解：方法一：利用结构图分析：()()()()[]()()[]()s X s Y s R s Y s X s R s E 11--=+-=方法二：利用梅逊公式 ∆∆=∑=nk KK P s G 1)(其中特征式 (11),,1,1+-+-=∆∑∑∑===Qf e d fedMk j kjNi i LL L LL L式中：∑iL 为所有单独回路增益之和∑jiLL 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和∑fedLL L 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和其中，k P 为第K 条前向通路之总增益；k ∆ 为从Δ中剔除与第K 条前向通路有接触的项；n 为从输入节点到输出节点的前向通路数目对应此例，则有：通路：211G G P ⋅= ，11=∆特征式：312131211)(1G G G G G G G G ++=---=∆则：3121111)()(G G G G P s R s Y ++∆= 例2：[2002年备考题]解：方法一：结构图化简继续化简：于是有：结果为其中)(s G =…方法二：用梅逊公式[]012342321123+----=∆H G G H G G G H G G通路：1,1321651=∆=G G G G G P1232521,H G G G P +=∆=1,334653=∆=G G G G P于是：()() (3)32211=∆∆+∆+∆=P P P s R s Y三、稳态误差（1）参考输入引起的误差传递函数：()HG G s R s E 2111)(+=； 扰动引起的误差传递函数：()()HG G H G s N s E 2121+-=（2）求参考输入引起的稳态误差ssr e 时。
自动控制原理复习题(选择和填空)
第一章 自动控制的一般概念1.如果被调量随着给定量的变化而变化，这种控制系统叫（ ）A. 恒值调节系统B. 随动系统C. 连续控制系统D.数字控制系统2.主要用于产生输入信号的元件称为（ ）A.比较元件B.给定元件C.反馈元件D.放大元件3.与开环控制系统相比较，闭环控制系统通常对（ ）进行直接或间接地测量，通过反馈环节去影响控制信号。
A.输出量B.输入量C.扰动量D.设定量4. 直接对控制对象进行操作的元件称为（ ）A.给定元件B.放大元件C.比较元件D.执行元件5. 对于代表两个或两个以上输入信号进行（ ）的元件又称比较器。
A.微分B.相乘C.加减D.相除6. 开环控制系统的的特征是没有（ ）A.执行环节B.给定环节C.反馈环节D.放大环节7. 主要用来产生偏差的元件称为（ ）A.比较元件B.给定元件C.反馈元件D.放大元件8. 某系统的传递函数是()s e s s G τ-+=121，则该可看成由（ ）环节串联而成。
A.比例.延时 B.惯性.导前 C.惯性.延时 D.惯性.比例10. 在信号流图中，在支路上标明的是（ ）A.输入B.引出点C.比较点D.传递函数11.采用负反馈形式连接后，则 ( )A.一定能使闭环系统稳定；B.系统动态性能一定会提高；C.一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除；D.需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。
第二章 自动控制的数学模型1. 已知)45(32)(22++++=s s s s s s F ，其原函数的终值=∞→t t f )(（ ） A.0 B.∞ C.0.75 D.32．正弦函数sin ωt 的拉氏变换是（ ）3．传递函数反映了系统的动态性能，它与下列哪项因素有关？（ ）A.输入信号B.初始条件C.系统的结构参数D.输入信号和初始条件4．对复杂的信号流图直接求出系统的传递函数可以采用( )A.终值定理B.初值定理C.梅森公式D.方框图变换5．采用系统的输入.输出微分方程对系统进行数学描述是（ ）A.系统各变量的动态描述B.系统的外部描述C.系统的内部描述D.系统的内部和外部描述6．拉氏变换将时间函数变换成（ ）A ．正弦函数B ．单位阶跃函数C ．单位脉冲函数D ．复变函数7．线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下（ ）A ．系统输出信号与输入信号之比B ．系统输入信号与输出信号之比C ．系统输入信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比D ．系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比8．方框图化简时，并联连接方框总的输出量为各方框输出量的（ ）A ．乘积B ．代数和C ．加权平均D ．平均值9. 某典型环节的传递函数是()151+=s s G ，则该环节是（ ）A.比例环节B.积分环节C.惯性环节D.微分环节10. 已知系统的微分方程为()()()()t x t x t x t xi 2263000=++ ，则系统的传递函数是（） ω+s A 1.22.ωω+s B 22.ω+s s C 221.ω+s DA.26322++s s B.26312++s s C.36222++s s D.36212++s s11. 引出点前移越过一个方块图单元时，应在引出线支路上（ ）A.并联越过的方块图单元B.并联越过的方块图单元的倒数C.串联越过的方块图单元D.串联越过的方块图单元的倒数12. 某典型环节的传递函数是()Tss G 1=，则该环节是（ ） A.比例环节 B.惯性环节 C.积分环节 D.微分环节13. 已知系统的单位脉冲响应函数是()21.0t t y =，则系统的传递函数是（ ） A. 32.0s B.s 1.0 C.21.0s D.22.0s14. 梅逊公式主要用来（ ）A.判断稳定性B.计算输入误差C.求系统的传递函数D.求系统的根轨迹15. 传递函数只取决于系统或元件的（ ） ，而与系统输入量的形式和大小无关，也不反映系统内部的任何信息。
自动控制原理知识点汇总
自动控制原理总结第一章绪论技术术语1. 被控对象:是指要求实现自动控制的机器、设备或生产过程。
2. 被控量：表征被控对象工作状态的物理参量(或状态参量)，如转速、压力、温度、电压、位移等。
3. 控制器：又称调节器、控制装置，由控制元件组成，它接受指令信号，输出控制作用信号于被控对象。
4. 给定值或指令信号r(t)：要求控制系统按一定规律变化的信号，是系统的输入信号。
5. 干扰信号n(t)：又称扰动值，是一种对系统的被控量起破坏作用的信号。
6. 反馈信号b(t)：是指被控量经测量元件检测后回馈送到系统输入端的信号。
7. 偏差信号e(t)：是指给定值与被控量的差值，或指令信号与反馈信号的差值。
闭环控制的主要优点：控制精度高，抗干扰能力强。
缺点：使用的元件多，线路复杂，系统的分析和设计都比较麻烦。
对控制系统的性能要求:稳定性快速性准确性稳定性和快速性反映了系统的过渡过程的性能。
准确性是衡量系统稳态精度的指标，反映了动态过程后期的性能。
第二章控制系统的数学模型拉氏变换的定义:几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(t)2.单位斜坡函数3.等加速函数4.指数函数e-at5.正弦函数sin ωt6.余弦函数cos ωt7.单位脉冲函数(δ函数)拉氏变换的基本法则1.线性法则2.微分法则3.积分法则4.终值定理5.位移定理传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为系统(或元部件)的传递函数。
动态结构图及其等效变换1.串联变换法则2.并联变换法则3.反馈变换法则4.比较点前移“加倒数”；比较点后移“加本身”。
5.引出点前移“加本身”；引出点后移“加倒数”梅森（S. J. Mason）公式求传递函数典型环节的传递函数1.比例(放大)环节2.积分环节3.惯性环节4.一阶微分环节5.振荡环节6.二阶微分环节第三章时域分析法二阶系统分析二阶系统的单位阶跃响应1.过阻尼ξ>1的情况：系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。
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自动控制原理终值定理
引言：
自动控制原理终值定理是控制工程中的重要理论基础之一。
它是描述在稳态条件下，系统输出的最终值与输入信号以及系统参数之间的关系。
终值定理在控制系统设计和分析中具有重要的应用价值，能够帮助工程师更好地理解系统行为和性能特点，优化系统设计和调节方法。
本文将详细介绍自动控制原理终值定理的基本概念、数学表达和应用实例。
一、自动控制原理终值定理的基本概念
自动控制原理终值定理是指在稳态条件下，系统的输出信号的最终值与输入信号和系统参数之间的关系。
简单来说，终值定理可以用来计算系统在稳态时输出的最终值，而不需要考虑系统的初始状态。
这一定理适用于线性时不变系统，并且要求系统具有稳定性。
二、自动控制原理终值定理的数学表达
设系统的输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，系统的传递函数为
G(s)，终值定理可以表示为以下公式：
lim(t→∞) y(t) = lim(s→0) sY(s)
其中，Y(s)为系统的输出信号的拉氏变换，s为复平面上的复变量。
终值定理通过计算复变量s趋于零时的拉氏变换，得到系统输出信号的最终值。
三、自动控制原理终值定理的应用实例
1. 电路分析
终值定理可以应用于电路分析中，用于计算电路中电流和电压的稳态值。
通过计算电路的传递函数，可以得到系统的终值表达式，从而快速估算电路的稳态行为。
2. 机械系统控制
在机械系统控制中，终值定理可以用来计算系统的位置、速度和加速度等稳态参数。
通过分析系统的传递函数，可以得到系统输出信号的最终值，从而得到稳态下的运动特性。
3. 过程控制
终值定理在过程控制中也有广泛的应用。
例如，在温度控制系统中，可以通过分析系统的传递函数，计算系统的终值，从而得到稳态下的温度值。
这对于工业过程的稳定性和性能优化具有重要意义。
4. 机器人控制
在机器人控制领域，终值定理可以用来计算机器人末端执行器的位置和姿态。
通过分析机器人系统的传递函数，可以得到执行器的最终位置和姿态，从而实现精确控制和运动规划。
结论：
自动控制原理终值定理是一项重要的理论工具，用于描述系统的稳态行为。
通过分析系统的传递函数，可以快速计算系统输出信号的
最终值，而不需要考虑系统的初始状态。
终值定理在电路分析、机械系统控制、过程控制和机器人控制等领域都有广泛的应用。
掌握终值定理可以帮助工程师更好地理解系统行为和性能特点，优化系统设计和调节方法。