有理数域的认识

楚雄师范学院

《现代数学观点下的中学数学》研究论文

学校：楚雄师范学院

系院：数学系

班级： 08 级（2）班

姓名：郭仓云

学号： 20081021206

2011年12月7日

摘要：

有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。有理数可分为整数和分数也可分为三种，一；正数，二；0，三；负数。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。

关键词：

有理数；整数；分数；运算律.

有理数域的认识

1. 有理数域的范围：

有理数包括：(1)整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。(2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。（3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④乘法的交换律ab=ba；⑤乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。

2. 有理数的运算：

加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加，仍得这个数。

减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得零。几个不为零的有理数相乘，负因数有偶数个时积为正，负因数有奇数个时积为负，如果有一个因数为零，积就为零。

除法：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号为负；零除以任意非零的数都得零。

有理数的巧算：

有理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；负有理数，正有理数。

初中数学书中介绍的用计算器做有理数运算

整数和分数统称有理数，有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。凡是不能用a/b 形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。在有理数中，不是无限不循环小数的小数就是分数。

3. 有理数的由来：

古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设p1，p2Z，q1，q2Z-{0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。

4. p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：设p是素数，对任何非零整数a设|a|p= p-n，这里pn是p的最高次幂除a另外|0|p=0。对任何有理数，设。则在上定义了一个度量。度量空间不完备，它的完备集是p进数域。一个困难的问题：有理数的边界在哪里？根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

参考文献：

[1] 《现代数学观点下的中学数学》, 高等教育出版社, 胡炳生，吴俊编；

[2]《数学基础知识及其教学的再认识》，人民教育出版社，章建跃；

[3]《教师职业素养考查设计与研究》，华东师范大学出版社，朱建明；

[4]《数学“分层自学辅导”教学实验与思考》，北京师范大学出版社，王力；

[5]《课改实验状况与思考史青山》，人民教育出版社，王从珍；

[6]《关于教育观念的几个案例分析》，华东师范大学出版社，黄秦安；

[7]《数学课程标准》，北京师范大学出版社；

[8]《普通高中数学课程标准》，人民教育出版社。

附录：

0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数，正整数的绝对值是它本身。整数还包括正数、负数和0。

正数和负数相加：同号相加，取相同的符号，把两数相加并加上符号。异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。正数和负数是两种意义相反的量。对一些具有相反意义的量可人为规定其正负。0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。整数可以看做分母为1的分数。整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为“有理数”。（Rational number）实数=整数+分数=正数+零+负数=有理数+无理数有理数。