初中数学1_数怎么又不够用了_教案2
数怎么又不够用了(一)
●教学目标
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.
●教学重点
1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数.
●教学难点
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数.
●教学过程
一、.创设问题情境,引入新课
同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?
（在小学我们学过自然数、小数、分数.在初一我们还学过负数.）
对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
二.讲授新课
1.问题的提出
请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？
经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.
现在我们一齐把大家的做法总结一下：
下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？
（1.a是正方形的边长，所以a肯定是正数.2.因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2. 3.由a2=2可判断a应是1点几.）
大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.
(我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.
，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.)
经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.
2.做一做
(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
请大家先回忆一下勾股定理的内容.
(在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.)
在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.
(因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数;没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数;因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数)
大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.
（可以给学生讲述无理数的发现的典故，见书上30页）
三.课堂练习
(一)课本P25随堂练习和习题
(二)补充练习
1.为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？
解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.
四、.课时小结
1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断一个数是否为有理数.
五.活动与探究
下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.
解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数. AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.
AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.
五、作业
习题2.1 第1、2题
初中数学十大常见解题方法
初中数学十大常见解题方法 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，
而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的
新人教版初一数学不等式练习题
不等式练习题 一、 选择题 1．下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2．下列不等关系中，正确的是（ ） A 、 a 不是负数表示为a ＞0； B 、x 不大于5可表示为x ＞5 C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0； D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜0 3．若m ＜n ，则下列各式中正确的是（ ） A 、m －2＞n －2 B 、2m ＞2n C 、－2m ＞－2n D 、2 2n m ＞ 4．下列说法错误的是（ ） A 、1不是x ≥2的解 B 、0是x ＜1的一个解 C 、不等式x ＋3＞3的解是x ＞0 D 、x ＝6是x －7＜0的解集 5．下列数值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x ＋3＞2成立的数有（ ）个. A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 6．不等式x －2＞3的解集是（ ）A 、x ＞2 B 、x ＞3 C 、x ＞5 D 、x ＜5 7．如果关于x 的不等式（a ＋1）x ＞a ＋1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ＞0 B 、a ＜0 C 、a ＞－1 D 、a ＜－1 8．已知关于x 的不等式x －a ＜1的解集为x ＜2，则a 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 9．满足不等式x －1≤3的自然数是（ ） A 、1，2，3，4 B 、0，1，2，3，4 C 、0，1，2，3 D 、无穷多个 10．下列说法中：①若a ＞b ，则a －b ＞0；②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；③若ac ＞bc ，则a ＞b ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b.正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 11．下列表达中正确的是（ ） A 、若x 2＞x ，则x ＜0 B 、若x 2＞0，则x ＞0 C 、若x ＜1则x 2＜x D 、若x ＜0，则x 2＞x 12．如果不等式ax ＜b 的解集是x ＜ a b ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0 二、 填空题 1．不等式2x ＜5的解有________个. 2．“a 的3倍与b 的差小于0”用不等式可表示为_______________. 3．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x ，则x 的取值范围是______________. 4．在－2＜x ≤3中，整数解有__________________. 5．下列各数0，－3，3，－0.5，－0.4，4，－20中，______是方程x ＋3＝0的解； _______是不等式x ＋3＞0的解；___________________是不等式x ＋3＞0. 6．不等式6－x ≤0的解集是__________.
初中数学解题技巧(超级完整)
初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时
数怎么不够用了——教案
第一课时数怎么不够用了 吴俊成 教学目标 知识与能力要求： 借助生活中的实例理解有正是数的意义；会判断一个数是正数还是负数，能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量；会将有理数正确分类。 教学思考 体会负数引入的必要性，感受有理数应用的广泛性，并领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的相互联系。 重点和难点 重点：能应用正负数表示具有相反意义的量；判断一个数是正数还是负数。 难点：运用有理数表示实际生活问题中的量。 创设情景、导入新课 1、我们在小学教学里学过哪些数呢？看图片回忆 我们小学学过整数（0），分数（小数）。 2、这些数是否能满足我们生活的需要呢？ 看温度计零下5℃与海拔以下155米，用小学的数无法表示。 探究新知、学习新课 1、看书37页，出示课件，引导学生观察，讨论并回答下列问题： 每一队的最后得分是多少？你是怎么表示的？ 红色所表示的得分比0分低；带“－”的得分比0分低 这里出现了比0分低的得分，我们可以用带有“－”号的数来表示，如－10（读作：负10）表示比0分低10分的数； 对于比0分高的得分，可以在前面加上“＋”号，如＋10（读作：正10）表示比0分高10的数。 现在我们可以用带有“＋”号和“－”号的数表示各队每道题的得分情况.试完成下表 2、议一议：生活中你见过带有“－”号的数吗?
用正、负数表示开始的零上5℃和零下5℃（+5℃、-5℃） 3、获得新知 零上与零下、盈利与亏损、加分与扣分、高出与低于→具有相反意义的量 具有相反意义的量：上升与下降、增与减、收入与支出、胜与负、进与退、多与少、盈利与亏损向东与向西、顺与逆、过剩与不足、重与轻等。 我们数学上都是用正、负数来表示这些具有相反意义的量的→正数和负数可以表示具有相反意义的量 像10、1.2、17…这样的数叫做正数，它们都比0大 在正数前面加上“－”号的数叫做负数，例如－10，－3 …，它们都比0小 0既不是正数，也不是负数，它是区分正、负数的基准 为突出正号，我们可以在正数前加“+”号，如：+5，+1.2，…但为求简便我们也可以忽略不写。 4、尝试应用 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 5 .3,157, 25.31,274, 301,0,10 9,25.9,7--- - 5、知识运用: 例１:(1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10 分,那么扣20分怎样表示? (2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆 时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转 了12圈怎样表示? (3)在某次乒乓球量检测中,一只乒乓 球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么 -0.03克表示什么? 解 :(1)扣20分记作－20分; (2)沿顺时针方向转12圈记作－12圈; (3)－0.03克表示乒乓球的质量低于 标准质量0.03克. 问：如果向东运动4m 记作+4m ，那么向西运动7m 应记作什么？若在原地不动呢？ 6、随堂练习 （1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作__________. （2）东、西为两个相反方向，如果－4米 表示一个物体向南运动4米，那么＋2米表
第五讲 2.1数怎么又不够用了
1-1第五讲 2.1 数怎么又不够用了 学习重点： 1.数的范围的扩充 2.无理数概念的探索过程. 3. 掌握估算的方法，会进行无理数的估算，并从中体会无限逼近的思想. 4.了解无理数与有理数的区别，会判断一个数是有理数还是无理数. 一、温故知新 有理数可以分为 和 和 ；又可以分为 和 二、 有理数为什么不够用了 1. 将两个边长为1的正方形剪一剪拼一拼，得到一个大的正方形.设大正方形的边长为a ，则a 满足什么条件？a 会是整数吗？a 会是分数吗？为什么？ 事实上，在等式22 a 中，a 即不是 ，也不是 ，所以a 不 是 . 2. 在右图中 （1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积 是多少？ （2）设该正方形的边长为b ，b 满足个么条件？ （3）b 是有理数吗？为什么？ 在上面的两个问题中，数a ，b 确实存在，但都不是有理数. 3.下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，作出 以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几 条？长度不是有理数的有几条？
通过上面的几个问题我们发现：有理数 三、无理数概念的探究和数的估算 我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？ 1.探究活动 （1）如图1—2，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. （2）面积为2的正方形的边长a介于哪两个整数之间？ （3）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ （4）还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 事实上，利用计算器可知a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数；上述过程就是数学中估算的方法，体现了无限逼近的思想，即随着估算位数的增加，这个估算值越来越接近准确值. 2.做一做 （1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到十分位）. 事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数.
初中数学专题 不等式及其解集试题及答案
第九章不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 要点感知1 用__________表示大小关系的式子,叫做不等式,用__________表示不等关系的式子也是不等式. 预习练习1-1 下列式子中是不等式的有__________. ①3<4；②2x2-3>0；③5y2-8；④2x+3=7；⑤3x+1<7. 1-2 “b的1 2 与c的和是负数”用不等式表示为__________. 要点感知2使不等式__________的未知数的__________叫做不等式的解. 预习练习2-1以下所给的数值中，是不等式-2x+3＜0的解的是( ) A.-2 B.-1 C.3 2 D.2 2-2 不等式3x<9的解的个数有( ) A.1个 B.3个 C.5个 D.无数多个 要点感知3一个含有未知数的不等式的__________,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做__________. 预习练习3-1(20**·宿迁)如图，数轴所表示的不等式的解集是__________. 知识点1 不等式 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 3.用不等式表示： (1)x的2倍与5的差不大于1； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5； (4)a的20%与a的和大于a的3倍. 知识点2 不等式的解集 4.下列说法中，错误的是( )
A.x=1是不等式x＜2的解 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x＞9的解集是x=-3 D.不等式x＜10的整数解有无数个 5.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是( ) A.x>-2 B.x<-2 C.x≥-2 D.x ≤-2 6.如图所示，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则( ) A.9＜x＜10 B.10＜x＜11 C.11＜x＜12 D.12＜x＜13 7.在下列各数：-2，-2.5，0，1，6中，不等式2 3 x>1的解有__________；不等式- 2 3 x>1的 解有__________. 8.由于小于6的每一个数都是不等式1 2 x-1<6的解,所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法 对不对？ 9.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为( ) A.1 2 x+3>0 B. 1 2 x+3<0 C. 1 2 (x+3)<0 D.1 2 (x+3)>0 10.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.下列说法正确的是( ) A.2是不等式x-3<5的解集 B.x>1是不等式x+1>0的解集 C.x>3是不等式x+3≥6的解集 D.x<5是不等式2x<10的解集 12.下列不等式中，4,5,6都是它的解的不等式是( ) A.2x+1>10 B.2x+1≥9 C.x+5≤10 D.3-x>-2 13.(20**·长春改编)不等式x＜-2的解集在数轴上表示为( )
初中数学一题多变、一题多解
C B A S 2 S 3 S 1 C B A S 3 S 2 S 1 S 3 S 2S 1 C B A 一题多解、一题多变 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ …… 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则 321S S S 、、之间的关系是 图1 图2 图3
E S 3 S 2 S 1 D C B A S 3S 2 S 1 A B C D A B C D S 3S 2 S 1 变式1：如图2，如果以Rt ?ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式2：如图3，如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式3：如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。 ,2,90,//,44321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 图4 图5 图6 ,2,90,//,55321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以 且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 ,2,90,//,66321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，?ACM 、?CBN 是等边三角形。
初中数学不等式知识点
初中数学不等式知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
不等式 性质 ①如果x>y，那么y 不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（×÷负数要变号） 解集 确定： ①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）； ②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）； ③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。 三个或三个以上成的不等式组，可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法：根据a-b>0a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； 第 1 节数怎么不够用了 一、知识要点 1.正负数的意义. 2.有理数的概念及分类 二、典型例题与分析 例1：用正数和负数表示下列具有相反意义的量。 （1）股市涨100点记作+100点，则跌20点记作 （2）-5米表示向东5米，则向西30米表示为 （3）高于海平面200米记为+200米，则低于海平面50米记为 （4）上升-5米表示 5米. 跟踪练习一： 1.如果提高10分记为+10分，那么下降8分记为_______，不升不降用_______表示. 2.如果向南走5 km记为－5 km，那么向北走10 km记为____. 3.某乒乓球比赛用+1表示赢一局，那么用-2表示_______. 4.如果气温是零上50C,那么气温比00C 低30C则记作 . 例2：把下列各数进行分类。 -3，2，-1 4，-1，-0.58，-3.14，13 9 ， 0，0.75，8 解：正整数集合：｛｝负整数集合：｛｝正分数集合：｛｝负分数集合：｛｝跟踪练习二： 1.下列各数，负数一共有（） －11,0,-0.2,3,+1 7,-2 3 ,1,－1 A.5个 B.6个 C.4个 D.3个 2.在0，1 2，－1 5 ，－8，+10，+19， +3，－3.4中整数的个数是（） A.6 B.5 C.4 D.3 三、基础训练 1、用正、负数表示：盈利6000元可记作_____元,亏损500元可记作_____ 元. 2、甲、乙两厂本月产值与上月相比，甲厂增产3%可记作_____.乙厂减产1.2%可记作____. 3、如果“–2”表示比95小2的数，那么“+1”表示的数是_____;"–5"表示的数是______. 4、如果把上升10m记作十10 m，那么–3m表示______. 5、0是（） A、正数 B、正整数 C、整数 D、负有理数 6、下面说法中正确的是（） A、在有理数中，0没有意义 B、正有理数和负有理数组成全体有理数 C、0.3既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数 D、0既不是正数，也不是负数 7、下列说法正确的是（） A、3.14不是分数 B、正整数和负整数统称为整数 C、正数和负数统称为有理数 D、正数和分数统称为有理数 8、下列四种说法，正确的是（） A、所有的正数都是整数 B、不是正数的数一定是负数 C、正有理数包括整数和分数 D、0不是最小的有理数 9、在-70，+3.14，+5 2 ，101，-0.5， -5 4 ，+3中，整数有（）个 A、6 B、5 C、4 D、3 四、拓展提高： 1.在“学雷锋活动月”活动中，甲乙两组同学上街清扫街道，它们分别在街道的两端同时相向开始打扫，街道总长1200米，两组会合时甲组向南清扫了500米，记作+500米，则乙组向北清扫了_____米，应记作_____ 《解决问题（例6）》教学设计 教学内容： 人教版一年级数学下册21页例6用数学。 教学目标： 1、使学生初步学会比较两数多少的方法． 2、使学生初步学会解答求一个数比另一个数多几的应用题，初步培养分析推理能力． 3、经历“求一个数比另一个数多几（少几）”的问题转化成“求几比几多几（少几）”的过程，学生能感受转化的数学思想。 教学重点：了解求一个数比另一个数多几（少几）的问题结构特征，理解数量关系，并能正确解答。 教学难点：理解一个数比另一个数多几（少几）的含义。 教学准备：课件、学具盒 教学过程： 一、创设情景，生成问题 游戏导入： 1、摆一摆，说一说 第一行摆5个三角形。 第二行摆圆，要求是和三角形同样多。同学们，边摆边想，怎样摆能让大家一眼就看出来圆和三角形同样多呢？（一一对应） 咦，我一眼就发现甲摆的是同样多，不用数就发现了，甲，你来告诉大家，你是怎么摆的好吗？ 2、看大屏幕，是这样摆的吗？你们发现圆形个数和三角形的个数怎么样呀？（圆形的个数和三角形的个数同样多） 3、再摆2个三角形，现在你发现了什么？（板书：三角形比圆形多）谁少？我们可以怎么说呢？（板书：圆形的比三角形少） 4、小结：用一一对应的摆法，就能看出谁比谁多，谁比谁少。 摆一摆的活动先进行到这里，赶快把学具盒收起来。看哪一组的同学最能干，收得最快。 同学们，我们一起去游乐园看一看吧！（课件出示例6）从图中你得到了哪些信息？ 二、探索交流，解决问题 根据这两个信息，你们能提出什么数学问题？ 小华比小雪多套中了几个? 小雪比小华少套中了几个？小华和小雪一共多少朵？ 2、一个数比另一个数多几的问题。 好，一个一个问题的解决。小华比小雪多套中了几个? 怎么列算式呢？（12-7） 确定吗？有多确定，非常有把握能做对吧，胸有成竹吧。那好，老师还没想清楚呢，你们这么明白，告诉我，凭什么非得用12-7 ， 讨论：7表示什么？ 顺着学生的说法，演示：7表示的是小雪套中的个数，那12减7就是拿走小雪套中的个数，好，咱们把小雪套中的个数拿走，能得到小华比小雪多套中了5个? 刚才还夸大家像数学家呢，像数学家那样思考，7除了表示小雪套中的个数，还表示什 不等式和不等式组 知识点： 一、不等式与不等式的性质 1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。 2、不等式的性质： （l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数?a ＋c ＞b ＋c （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0?ac ＞bc 。 （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc. 注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）： （1）a – b ＞0? a ＞b （2）a – b=0?a=b （3）a –b ＜0?a ＜b 4、（1）a ＞b ＞0? b a > （2）a ＞b ＞0?22b a < 二、不等式（组）的解、解集、解不等式 1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。 不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。 2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。 三、不等式（组）的类型及解法 1、一元一次不等式： （l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。 （2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组： （l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 （2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。 注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。 典型例题： 1、判断正误： （1）若a ＞b ，c 为实数，则2ac ＞2 bc ； （2）若2ac ＞2bc ，则a ＞b 2、若a ＜b ＜0，那么下列各式成立的是（ ） A 、b a 11< B 、ab ＜0 C 、1 b a 3、如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 4、若x y >，则下列式子错误的是（ ） A ．33x y ->- B ．33x y ->- C ．32x y +>+ D ．33x y > ____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A 求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________ 教学时间 第二课时 课题 §2.1.2 数怎么又不够用了(二) 一．教学目标 (一)教学知识点 1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想. 2.会判断一个数是有理数还是无理数. (二)能力训练要求 1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力. (三)情感与价值观要求 1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力. 2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力. 二．教学重、难点 重点： 1.无理数概念的探索过程. 2.用计算器进行无理数的估算. 3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 难点： 1.无理数概念的建立及估算. 2.用所学定义正确判断所给数的属性. 三．教学方法 老师指导学生探索法 四．教具准备 计算器. 投影片三张： 第一张：补充练习(记作§2.1.2 A); 第二张：补充练习(记作§2.1.2 B)； 第三张：补充练习(记作§2.1.2 C). 五．教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目. Ⅱ.讲授新课 1.导入 ［师］请看图 大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. ［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大. ［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？ ［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几. ［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. ［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1. ［生］因为 1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4. ［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2. ［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来. ［师］还可以继续下去吗？ ［生］可以. ［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？ ［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数. ［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会 初中数学中一题多解的能力培养分析 一、前言 随着教育改革的步伐不断深入，初中学校均纷纷进行教学改革，在初中数学教学改革中，已经逐渐将传统的教学方式摒弃，开始应用现代化教学模式，例如多媒体教学模式、小组合作模式、一题多解模式等，为了探索初中数学教学方法，为今后提高今后教学水平，本文就一题多解教学模式在初中数学中的应用展开探究。一题多解教学方法的本质是通过让学生去探究发现解题方法，进而掌握解题的关键。一题多解有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点；一题多解有利于调动学生的学习积极性，在初中数学教师的启发、引导下，学生主动探究一道题的解法，进而可能提出两种、三种甚至更多种解法，使课堂成为同学们合作、竞争、探究、互助的场所，大大地提高学生学习数学的兴趣；一题多解有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已学的知识不断提高自身解题能力；一题多解有利于培养学生的创新思维，使学生不满足于得出一道习题的答案，进而去追求更快捷、更简单的解题方法[1]。总而言之，一题多解有利于提高学生数学思维能力。 二、一题多解在初中数学教学中的应用 （一）激发学生学习兴趣 一题多解可以充分调动学生参与课堂讨论的积极性，激发学生的学习兴趣，通过营造一个活跃的课堂氛围，让学生更加投入到一题多解方法当中。初中数学教师可以适当收集一些一题多解的题目，然后让学生进行解题方法探讨，最后选出最适合自己掌握的且简单的解题方法。例如，教师可以出一个这样的题目：小夏是一名初中生，她们宿舍一共有8个女生，根据小夏调查发现，大家的体重都差不多，分别是44kg、40kg、46kg、43kg、47kg、40kg、44kg，加上小夏自己是42kg，请计算一下小夏宿舍女生的平均体重。首先，教师应让学生提出自己的思路，然后由学生自行探究寻找多种解题方法。最后将学生的解题方法罗列出来，一共有两种解法，一种是直接将所有的体重相加然后除以8得出答案，另一种是通过观察发现8个女生的体重都是在40kg幅度围绕，因此，分别将8个女生的体重减去40kg所得的数相加起来再除以8，最后得到的数加上40kg就是所要求的平均数。通过学生的发言发现，绝大多数学生都是想到第一种方法，只有少数学生想到第二种方法，经过大家讨论认为第二种解法比第一种解法较为简单便捷，因此，最后一致选择第二种解法当做今后解题的主要解法。通过一题多解方法可以激发学生对问题的思考，相互学习，取长补短，不但可以锻炼学 《数怎么不够用了》教学反思今天我上了北师大七年级数学上册《数怎么不够用了》第一课时完成教学目标并反思如下： 教学目标： 1、借助实际问题理解有理数的意义，体会引入负数的必要性，感受符号的优越性。 2、会用正数和负数表示生活中相反意义的量。 3、掌握有理数的分类方法。 4、感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣，并结合资料对学生进行爱国主义思想教育。 课后反思： 开课伊始，我引出对立的一组矛盾，用一个数无法表达两种相反意义的量，怎么办？学生利用已有的生活经验解决矛盾，在数的前面用不同符号表达两种相反意义的量，使这对矛盾在符号化的思想下得到统一，让学生感受到符号的作用。 数学活动需要通过学生的操作实验、思考讨论、合作交流等一定的形式来完成，恰当的活动形式有利于数学活动的开展，有利于学生感悟数学思想与方法。但是，数学活动不是教学形式的“花样翻新”，更不是“作秀”。因此，在课堂我让学生通过对话、倾听、欣赏、互动和共享，实现了数学活动的有效性。 我设计了三个活动进行教学。 1、从同学们举的事例中抽象出正数和负数的定义，揭示课题； 简述负数的发展史。让学生既有生活体验，又有数学内涵 2、提供学生合作学习的机会，引导学生用数学的眼光观察生活，感受数学与现实的联系。 3、从图表中获取信息，理解符合所表示的数量关系；会进行符合（数、图形）间的转换。 实践让我深深体会到：数学活动必须关注全体学生，充分调动他们主动参与数学活动的积极性，使他们真切地体验、感悟和理解数学，引发数学思考，有效地建构数学知识。这样的活动才是数学课堂所需要的有效活动，才能全面地实现数学教学的目标。 培养学生的符号感就得鼓励学生创造性地使用自己的独特符号，在使用自己的符号时，最能体会符号的价值，最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积累使用符号的经验。这正是符号感最重要的部分。 初中数学不等式试题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 初中数学不等式试题及答案 A 卷 1．不等式2(x + 1) - 12 732-≤-x x 的解集为_____________。 2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和5 23x x -<的整解为______________。 3．如果不等式3 3 131++ >+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。 4．不等式2 2 )(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。 5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。 6．关于x 的不等式组?? ?<->+2 53 32b x x 的解集为-1数怎么不够用了
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