2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法高效测评新人教A版选修2-2资料

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(新)高中数学第二章推理与证明2_3数学归纳法课堂探究新人教B版选修2-2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究新人教 B版选修 2-2探究一利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与 n 的关系是什么，由 n＝k 到 n＝k＋1 时项数增加多少项，增加怎样的项等．【典型例题 1】用数学归纳法证明：1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋1 3n－2 3n＋1＝n 3n＋1(n∈N＋)．证明：(1)当n＝11111时，左边＝1×4＝4，右边＝3×1＋1＝4，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋1 3k－2 3k＋1＝3kk＋1，则当 n＝k＋1 时，111111×4＋4×7＋7×10＋…＋ 3k－2 3k＋1 ＋ 3k＋1 3k＋4k13k2＋4k＋1＝3k＋1＋ 3k＋1 3k＋4 ＝ 3k＋1 3k＋4＝3k＋1 3k＋1k＋1 3k＋4＝3kk＋＋14＝3k＋1 k＋1＋1.所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)知等式对 n∈N＋成立．探究二用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明．【典型例题 2】用数学归纳法证明：1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞23nn(其中 n∈N＋，n＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由 n＝k 证 n＝k＋1 成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋ 1 ，右边＝ 22，1＋ 12－2＝1－ 22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！1所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

高中数学第二章推理与证明2-3数学归纳法学案含解析新人教A版选修2_2

2.3数学归纳法在学校，行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n ＝k ＋1时命题也成立，而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2(其中n ∈N *)．(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2 2n －1 2n ＋1 ＝n n ＋1 2 2n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＝k k ＋1 2 2k ＋1，则121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3＝k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 2 2k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋2 2 2k ＋3 ，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的n ∈N *等式都成立.。

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法测标题(无答案)新人教A版选修2-2(2021年整

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数学归纳法本试卷满分55+5分一．选择题（每小题5分，共30分）1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a错误!=错误!（a≠1，n∈N)”时,在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1错误!+错误!错误!+…+错误!=2（错误!+错误!+…+错误!）时,若已假设n=k(k≥2的偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立D．n=2（k+2)时等式成立3．用数学归纳法证明1+错误!+错误!+…+错误!〈n（n N﹡，且n>1）时，第一步即证下述哪个不等式成立 ( ）A．1〈2 B．1+错误!<2 C．1+错误!+错误!〈2 D．1+错误!<24．设S（n）=错误!+错误!+错误!+错误!+…+错误!,则 ( ）A．S（n)共有n项，当n=2时， S(2)=12 +13B．S(n）共有n+1项，当n=2时， S（2)=错误!+错误!+错误!C．S(n)共有n2-n项，当n=2时, S（2）=错误!+错误!+错误!D．S（n)共有n2—n+1项,当n=2时， S(2)=错误!+错误!+错误!5．某个命题与正整数n有关，如果当n=k(k N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得 ( ) A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=8时该命题不成立D．当n=8时该命题成立6．用数学归纳法证明不等式错误!+错误!+错误!+…+错误!〉错误!（n≥2）的过程中，由n=k递推到n=k+1时的不等式左边（ ) A．增加了1项错误!B．增加了2项错误!+错误!C．增加了错误!+错误!，又减少了错误!D．增加了错误!，减少了错误!二．填空题（每小题5分,共5分）7．用数学归纳法证明1+2+22+…+2n—1=2n1(n N+)的过程如下:①当n=1时，左边=1，右边=21=1,等式成立；②假设当n=k时，等式成立,即1+2+22+…+2k—1=2k1,则当n=k+1时，1+2+22+…+2k—1+2k=1-2k+11—2=2k+1 1 所以当n=k+1时等式成立.由此可知对任意的n N+,等式都成立。

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课时作业含解析人教A版选修2_2.doc

第二章 2.3请同学们认真完成练案[18]A级基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n ＝k＋1时论断也成立”的过程中(A)A．必须运用假设B．可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A，B，C均可[解析]由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．2．(2020·嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(A)A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2kC．(5－2)(5k－2k)D．2(5k－2k)－3×5k[解析]假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k，故选A．3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(D)A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D ．4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立[解析] 对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误．对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误．对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D ．5．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，则从k到k ＋1时左边添加的项是( D )A ．12k ＋1B ．12k ＋2－12k ＋4C ．－12k ＋2D ．12k ＋1－12k ＋2[解析] 当n ＝k 时，等式的左边为1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，当n ＝k ＋1时，等式的左边为1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2，故从“n ＝k 到n ＝k ＋1”，左边所要添加的项是12k ＋1－12k ＋2. 6．用数学归纳法证明“2n >2n ＋1，对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( B )A ．2B ．3C ．5D ．6[解析] ∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立；n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立，∴n 的第一个取值n 0＝3. 二、填空题7．(2020·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n ＝k (k ∈N )时命题成立可以推出n ＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(填上所有正确命题的序号)①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．[解析]由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，可得P(n)对n＝9不成立，同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．故答案为③.8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是__(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k__.[解析]当n＝k时成立，即f(k)＝1＋12＋13…＋12k－1，则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋2k－1，所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k.三、解答题9．在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列(n∈N*)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论．[解析]由已知得2b n＝a n＋a n＋1，a2n＋1＝b n b n＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即a k＝k(k＋1)，b k＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝2b k－a k＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，b k＋1＝a2k＋1b k＝(k＋1)2(k＋2)2(k＋1)2＝(k＋2)2.∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．10．(2020·汉阳期中)已知{f n(x)}满足f1(x)＝x1＋x2(x>0)，f n＋1(x)＝f1(f n(x))．(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想f n(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对f n(x)的猜想．[解析](1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1(x)1＋f21(x)＝x1＋2x2，f3(x)＝f1[f2(x)]＝f2(x)1＋f22(x)＝x1＋3x2猜想：f n(x)＝x1＋nx2，(n∈N*) (2)下面用数学归纳法证明，f n(x)＝x1＋nx2(n∈N*)①当n＝1时，f1(x)＝x1＋x2，显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即f k(x)＝x1＋kx2，则当n＝k＋1时，f k＋1＝f1[f k(x)]＝x1＋kx21＋(x1＋kx2)2＝x1＋(k＋1)x2，即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想f n(x)＝x1＋nx2对一切n∈N*都成立．B级素养提升一、选择题1．(多选题)用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝n2(n2＋1)2时，下列说法错误的是( ABC )A ．当n ＝1时，命题的左边为1＋1B ．当n ＝k ＋1时，命题的左边为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k ＋1)2C ．当n ＝k ＋1时，命题左端在n ＝k 的基础上增加的部分有(k ＋1)2－(k 2＋1)项D ．当n ＝k ＋1时，命题左端在n ＝k 的基础上增加的部分是(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2 [解析] 用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n 2＝n 2(n 2＋1)2时，当n ＝1时，命题的左边为1，所以A 不正确；n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，命题左端在n ＝k 的基础上增加的部分是(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.所以选项D 正确，C 不正确，选项B 不正确；故选ABC ．2．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．关于上述证法，下列说法错误的是( ABC ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[解析] 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．故选ABC ．二、填空题3．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为__当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立__.[解析] ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．当n ＝1时，左≥右，不等式成立．4．在证明1＋2＋22＋23＋…＋25n －1(n ∈N *)是31的倍数时，k 到k ＋1增加的表达式是__25k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4__.[解析] 当n ＝k 时，原式＝1＋2＋22＋23＋…＋25k －1，当n ＝k ＋1时，原式1＋2＋22＋23＋…＋25k －1＋25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4. 则从k 到k ＋1增加的表达式是25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋35k ＋3＋25k ＋4. 故答案为：25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4. 三、解答题5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N *)．(1)分别求出a 2，a 3，a 4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式； (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想． [解析] (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N *)．当n ＝1时，a 2＝2a 12＋a 1＝2×12＋1＝23；当n ＝2时，a 3＝2a 22＋a 2＝2×232＋23＝12；当n ＝3时，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25；所以a 2＝23，a 3＝12＝24，a 4＝25，猜测 a n ＝2n ＋1；(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，21＋1＝1，所以a 1＝1，所以n ＝1时，等式成立； ②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝2k ＋1，则a k ＋1＝2a k 2＋a k ＝22k ＋12＋2k ＋1＝42k ＋4＝2k ＋2＝2(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时，等式成立．综合①和②可知，对于任意的n ∈N *，a n ＝2n ＋1均成立．6．(1)用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [解析] (1)①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)－k 2 ＝(－1)k ·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n ∈N *等式成立．(2)①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)．当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．。

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法讲义新人教A版选修22

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法讲义新人教A 版选修221．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，能够证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n ∈N *且n ≥n 0的所有正整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据． 3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度) (3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n ＝1时，结论成立；(2)假设当n ＝k 时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也必定成立．当n ＝1时结论成立――→利用2当n ＝2时结论成立――→利用2当n ＝3时结论成立――→利用2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )共有________项，f (2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1] . (3)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示)．答案 (1)n 2－n ＋1 12＋13＋14 (2)2×3n －1(3)S k ＋12k ＋1－12k ＋2探究1 用数学归纳法证明等式问题例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．故当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立．拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立．探究2 用数学归纳法证明不等式问题例2 证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． [证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k 2＋k ＋12＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )>g (k )，求证f (k ＋1)>g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，1＋12≤1＋121≤12＋1∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n ∈N *都成立．探究3 用数学归纳法证明整除性问题例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *. [证明] 证法一：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)，因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．所以当n ＝k ＋1时命题也成立，由①②知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．证法二：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2(42k ＋1＋3k ＋2)．因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，所以42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N*.证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1.数列中的归纳—猜想—证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即 k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程中未用到(2)中假设，所以不正确，故选D. 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13(n ∈N *)时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析当n ＝k (k ∈N *)时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)，故答案为2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝13＝1，右边＝14×12×(1＋1)2＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，。

高中数学第二章推理与证明综合法和分析法高效测评新人教A版选修_1

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法高效测评新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．欲证不等式3－5<6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2<(6－8)2B ．(3－6)2<(5－8)2C ．(3＋8)2<(6＋5)2D ．(3－5－6)2<(－8)2解析：要证3－5<6－8成立，只需证3＋8<6＋5成立，只需证(3＋8)2<(6＋5)2成立．答案： C2．使不等式1a <1b成立的条件是( )A ．a >bB ．a <bC ．a >b 且ab <0D ．a >b 且ab >0解析：要使1a <1b ，须使1a －1b <0，即b －aab<0.若a >b ，则b －a <0，ab >0. 若a 0，ab <0. 答案： D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析： ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 答案： C 4．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－x 2＋4x －2(x ＞0)，则( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q解析： p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2＋2＝4.q ＝2－x 2＋4x －2＝2－(x －2)2＋2≤4.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________ . 解析： a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C .证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，因sin(B －C )＝0，因为－π0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明：方法一：(综合法)因为a >0，b >0，所以a b ＋b a－a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝a －b2a ＋bab≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .方法二：(分析法)要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，所以a －b 与a －b 符合相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．尖子生题库☆☆☆(10分)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 证明：证法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 只需证明b a ＋c a－1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2. ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6. ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证．证法二：(综合法) ∵a ，b ，c 全不相等∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等． ∴b a ＋a b>2，c a ＋a c>2，c b ＋b c>2，三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，∴⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋ab －1＋⎝⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3. 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3.。

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明测试理新人教A版选修2-2

第二章推理与证明微测试1 2.1.1合情推理一、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，...，一直数到2017时，对应的指头是A ．小指B ．中指C ．食指D ．大拇指2．已知下列等式：===则推测=+b a A ．109 B ．1033 C ．199D ．293．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，…用你所发现的规律可得20172的末位数字是 A ．2 B ．4 C ．6D ．84．设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r这个结论可知：四面体P ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，内切球的半径为r ，四面体P ABC -的体积为V ，则r = ABCD二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上．5．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A B C 、、做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A B C 、、三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_____________． 6．观察下列各式：2251233++<；222111712344+++<；……照此规律，当n ∈*N 时，1(1)n +++． 7．设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ，c 为斜边长，则给出四个命题： ①a b c h +>+； ②2222a b c h +<+； ③3333a b c h +>+； ④4444a b c h +<+．其中真命题的序号是_____________，进一步类比得到的一般结论是_____________．三、解答题：本大题共2小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(,)(3)N nk k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：正方形数：2(,4)N n n =；六边形数：2(,6)2N n n n =-；……由此推测(,)(3)N n k k ≥的表达式，并求(10,24)N 的值．9．（1）试计算下列各式：（只需写出计算结果，不需写出计算过程）222sin 45sin 105sin 165︒+︒+︒=_____________； 222sin 30sin 90sin 150︒+︒+︒=_____________； 222sin 15sin 75sin 135︒+︒+︒=_____________．（2）通过观察上述各式的计算规律，请你写出一般性的命题，并给出你的证明．1．D 【解析】由题意得，大拇指对应的数是18n +，其中n ∈N ，因为201725281=⨯+，所以数到2017时，对应的指头是大拇指．故选D ．2．A 【解析】分析所给的等式，中，10a =，210199b =-=，于是109a b +=．故选A ．3．A 【解析】通过观察可知，末尾数字周期为4，201745041=⨯+，故20172的末位数字是2．故选A ． 4．C 【解析】ABC △的三条边长a ，b ，c 类比为四面体P ABC -的四个面的面积1S ，2S ，3S ，4S ，12343V S S r S S +++=．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，则12343V S S r S S +++=．故选C ．5．甲【解析】由题知B 、C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B 、C 谁对，A 必是一对一错，假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C 的预测是对的，所以甲是冠军．故填甲． 6．211n n ++ 【解析】观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是21n +的形式，分母是1n +的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是211n n ++．故填211n n ++．7．②④ ()n n n n a b c h n +<+∈*N 【解析】在直角三角形ABC 中，sin a c A =，cos b c A =，ab ch =，所以sin cos h c A A =．于是(sin cos )nnnnna b c A A +=+，(1sin cos )nnnnnc h c A A +=+．因为(sin cos 1sin cos )sin 1)1cos )0n n n n n n n n n n n na b c h c A A A A c A A +--=+--=--<（（，所以n n n n a b c h +<+． 891cos(2)1cos(2)1cos 233222ααα---+-=++ 3122[cos(2)cos 2cos(2)]2233αααππ=--+++ 3.2=微测试2 2.1.2演绎推理一、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“马有四条腿，白马是马，白马有四条腿”，此推理类型属于 A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理D ．归纳推理2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数3．在ABC △中，30A ∠=︒，60B ∠=︒，求证：a b <．证明：30A ∠=︒，B ∠60=︒，A B ∠<∠∴，a b <∴．其中画线部分是演绎推理的A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论4．有一段“三段论”，其推理是这样的：“对于可导函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3)(x x f =满足0)0(='f ，所以0=x 是函数3)(x x f =的极值点”，以上推理A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上． 5．下面说法正确的有____________个． ①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． 6．下面几种推理是演绎推理的是____________．（填序号） ①由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电； ②猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为32+=n a n ； ③由正三角形的性质得出正四面体的性质；④半径为r 的圆的面积2πS r =⋅，则单位圆的面积πS =．7．“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分”该推理中“正方形是平行四边形”是“三段论”的____________．（选填“大前提”“小前提”“结论”）三、解答题：本大题共2小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．如图，已知在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC DA ==，AC 和BD 是梯形的对角线．用三段论证明：AC 平分BCD ∠，DB 平分CBA ∠．9．在数列{}n a 中，11a =1．A 【解析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看它是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．在推理过程“马有四条腿，白马是马，白马有四条腿”中：“马有四条腿”是大前提，“白马是马”是小前提，“白马有四条腿”是结论，故此推理为演绎推理．故选A ．2．B 【解析】对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大前提错误．故选B ．3．B 【解析】题目给出了一个典型的三段论推理，推理的大前提是“三角形中，大角对大边”，小前提是上述定理的一种特殊情况即“30A ∠=︒，B ∠60=︒，A B ∠<∠∴”，结论是“a b <”，故选B ．4．A 【解析】由题意得，大前提：“对于可导函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点”不是真命题，因为对于可导函数)(x f ，如果0)(0='x f ，其满足当0x x >时和0x x <时的导函数值异号时，那么0x x =是函数)(x f 的极值点，所以大前提错误，但是推理形式正确．故选A ．【方法点晴】本题主要考查了三段论推理的结构，其中三段论推理属于演绎推理，演绎推理是一种必然性的推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，已有前提是真实的，推理的形式是正确的，那么得出的结论必定是真是滴，但错误的前提会导致结论的错误，本题的推理中，给出的大前提是错误的，所以得到的结论不一定是正确的．5．3 【解析】①③④正确，②错误，因为演绎推理的结论要为真，必须前提和推理形式都为真．故填3． 6．④ 【解析】由演绎推理的定义可知它的推理为由一般到特殊，与归纳推理相反．分析可知：④是演绎推理，而①②为归纳推理，③为类比推理．故填④．7．小前提【解析】因正方形是平行四边形的一种特殊形式，所以“正方形是平行四边形”是“三段论”的小前提．8．【解析】∵等腰三角形两底角相等，（大前提）ADC △是等腰三角形，1∠和2∠是两个底角，（小前提） ∴12∠=∠．（结论）∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，（大前提） 1∠和3∠是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，（小前提） ∴13∠=∠．（结论）∵等于同一个角的两个角相等，（大前提）21∠=∠，31∠=∠，（小前提） ∴23∠=∠，即AC 平分BCD ∠．（结论）同理可证DB 平分CBA ∠． 9【解析】因为在数列{}n a 中，11a =一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，（大前提）∵11a =（小前提）（结论） 21n a n =+．微测试3 2.2.1综合法和分析法一、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=”的证明过程：22244cos sin (cos sin )(cos θθθθθ-=-222sin )cos sin cos 2θθθθ+=-=，其应用了A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．无法确定20)a <≥，可选择的方法有多种，其中最合理的是A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法3．已知0y x >>，且1x y +=，那么A B CD 4．设lg 2lg5a =+，e (0)xb x =<，则a 与b 大小关系为 A ．a b > B ．a b < C ．a b =D ．a b ≤二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上．5_____________．（用“>”或“≥”或“=”连接）6．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=索的因应是_____________．①0a b ->；②0a c ->；③()()0a b a c -->；④()()0a b a c --<．7．如图所示，在直四棱柱1111A B C D ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件_____________时，有111A C B D ⊥（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）．三、解答题：本大题共2小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．已知实数a ，b 满足||2a <，||2b <，证明：2|||4|a b ab +<+．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+，1n a ≥，n ∈*N ．（1）猜想{}n a 的通项公式，并加以证明；（2）设0x >，0y >，且1x y +=，证明：1．B 【解析】这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用的是综合法．故选B ．2．C 【解析】<只需证7722a a ++<++，(7)(3)(4)a a a a +<++，只需证012<，故选用分析法最合理．故选C ．3．D 【解析】解法一：因为0y x >>，且1x y +=D ．解法二：可采用分析法进行证明，请同学们自行进行证明，此处不再赘述．4．A 【解析】利用对数的运算性质化简a ，利用指数函数的单调性即可求出b 的范围，进行比较即可．因为lg 2lg5lg101a =+==，而0e e 1x b =<=，故a b >．故选A ．5解析】由分析法可得，4240>6．③ 【解析即222222()02000()()0a c c a a b c a a b c a a b a c b c a b a c -+>⇔+>⇔++>⇔--+>⇔-->，故填③．7．BD AC ⊥ 【解析】本题答案不唯一，要证111AC B D ⊥，只需证11B D 垂直于1A C 所在的平面11A CC ，因为该四棱柱为直四棱柱，所以111B D CC ⊥，故只需证1111B D A C ⊥即可．故填BD AC ⊥． 8．【思路分析】有已知条件||2a <，||2b <，可得42<a ，42，展开进行整理即可．【解析】解法一：因为||2a <，||2b <，所以42<a ，42-a ，042>-b ，所以22(4)(4)0a b -->，即044162222>+--b a b a ，所以22221644b a b a +<+，所以2222816484b a ab b ab a ++<++，即22(22)(4)a b ab +<+，所以2|||4|a b ab +<+．解法二：要证2|||4|a b ab +<+，只需证2222448168a b ab a b ab ++<++，只需证22224416a b a b +<+，只需证222216440a b a b +-->，即证22(4)(4)0a b -->．因为||2a <，||2b <，所以42<a ，42成立．故2|||4|a b ab +<+．9．（1）n a n =，证明见解析；（2）证明见解析．【思路分析】（1）分析前几项，然后进行猜想，利用1(2)n n n a S S n -=-≥化简，再结合等差数列的概念即可得证；（2）利用分析法和基本不等式易证．【解析】（1）易得11a =，22a =，33a =，…，由此猜想n a n =．证明如下：由22n n S a n =+，可得21121(2)n n S a n n --=+-≥，两式作差，得22121n n n a a a -=-+，即221(1)n n a a --=(2)n ≥，∵1n a ≥，∴11n n a a --=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 是首项为1、公差为1的等差数列，∴n a n =．（2代入1x y +=，即证224(1)(2)n xy n n ++≤+，即证41xy ≤， ∵0,0x y >>，且1x y +=，∴，即41xy ≤，得证．微测试4 2.2.2反证法一、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，则sin 0θ≥且cos 0θ≥”时，下列假设的结论正确的是A ．sin 0θ≥或cos 0θ≥B ．sin 0θ<且cos 0θ<C ．sin 0θ<或cos 0θ<D ．sin 0θ>且cos 0θ>2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③3．设a ，b ，c1b c +，1c a+ A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．已知332p q +=，关于p q +的取值范围的说法正确的是A ．一定不大于2 BC．一定不小于D ．一定不小于2二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上．5．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．6．与两条异面直线AB ，CD 都相交的两条直线AC ，BD 的位置关系是________________．7．在解决问题：“证明数集{|23}A x x =<≤没有最小数”时，可用反证法证明．请根据题意在下面的空白处填上合适的内容．假设(23)a a <≤是集合A 中的最小数，则取与假设中“a 是A 中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集}n m <是集合B 中的最大数，则可以找到x '=________________（用0m ，0n 表示），由此可知x B '∈，x x '>，这与假设矛盾！所以数集B 没有最大数．三、解答题：本大题共2小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．若函数()f x 在区间[],a b 上的图象连续，()0f a <，()0f b >，且()f x 在[],a b 上单调递增，求证：函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点．9．已知a ，b ，c 223b y z π=-+，226c z x π=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．1．C 【解析】若用反证法证明，只需要否定命题的结论，sin 0θ≥且cos 0θ≥的否定为sin 0θ<或cos 0θ<，故选C ．2．C 【解析】因为反证法证明命题时，需要利用结论的否定出发，利用已知的结论、公式、公理或者条件，推出矛盾即可．易知可以作为条件使用的为①②③．故选C ．3．D 【解析】首先选项D 1b c +，1c a+均小于2，则1b c +，1c a+至少有一个不小于2．故选D ．4．A 【解析】假设2p q +>，则3()8p q +>，因为3322338p q p q pq +++>，332p q +=，所以33()2pq p q p q +>=+，又0p q +>，所以22pq p pq q >-+，所以2()0p q -<，这与2()0p q -≥矛盾，故假设不成立，所以2p q +≤．故选A ．5．a ，b 都不能被5整除【解析】用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，反设的内容应为：a ，b 都不能被5整除．6．异面【解析】假设直线AC 与BD 共面于平面α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，所以AB α⊂，CD α⊂，这与AB ，CD 异面相矛盾，故直线AC 与BD 异面．7（注：所填答案符合题意即正确）8．【解析】因为函数()f x 在[],a b 上的图象连续，且()0f a <，()0f b >，所以()0)·(f a f b <，所以()f x 在(),a b 内至少存在一个零点，设零点为x m =，则()0f m =，假设()f x 在(),a b 内还存在另一个零点x n =，即()0f n =，则n m ≠．若n m >，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m >，即00>，矛盾；若n m <，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m <，即00<，矛盾．因此假设不成立，故函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点．9．【解析】假设a ，b ，c 均不大于0，即0a ≤，0b ≤，0c ≤，则0a b c ++≤，223b y z π=-+，226c z x π=-+，所以222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z πππ++=-++-++-+=-+-+-+π-，显然2(1)0x -≥，2(1)0y -≥，2(1)0z -≥，30π->，故0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个大于0．微测试5 2.3数学归纳法一、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 （1）当1n =时，（2）假设n k =()k ∈*N 时，不等式成立，即则1n k =+时，所以当1n k =+时，不等式成立．则上述证法 A ．过程全部正确B ．1n =验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n k =到1n k =+的推理不正确2．用数学归纳法证明“对一切n ∈*N ，都有222n n >-”这一命题，证明过程中应验证 A ．1n =时命题成立 B ．1n =，2n =时命题成立 C ．3n =时命题成立D ．1n =，2n =，3n =时命题成立3时，由n k =到1n k =+，不等式左端应增加的式子为ABC ．1(1)(2)k k ++D 4121n++-的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上．5．用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____________．61n a+++=”时，在验证1n =成立时，左边应该是_____________．7．用数学归纳法证明：(1)(2)()213(21),n n n n n n n +++=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈*N 时，从“k 到1+k ”左边需增加的代数式是_____________．三、解答题：本大题共2小题，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 8．131n +++n 都成立，猜想正整数a 的最大值，并证明结论．9．已知2012(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+-+-++-，其中n ∈*N ．（1）令12n n s a a a =+++，求0a 及n s ；（2）试比较n s 与2(2)22nn n -⋅+的大小，并说明理由．1．D 【解析】1n =的验证及归纳假设都正确，但从n k =到1n k =+的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选D ．2．D 【解析】假设n k =时不等式成立，即222k k >-，当1n k =+时，1222k k +=⋅>22(2)k -，2222(2)(1)2230k k k k -≥+-⇒--≥(1)(3)03k k k ⇔+-≥⇒≥，因此需要验证1n =，2，3时命题成立．故选D ．3．C 【解析】当n k =时，左边1111122334(1)k k =++++⨯⨯⨯⨯+L ，当1n k =+时，左边112=+⨯ 11112334(1)(1)(2)k k k k ++++⨯⨯⨯++⨯+L ，所以由n k =递推到1n k =+时等式左边增加了1(1)(2)k k ++．故选C ．4．D 【解析】当n k =121k ++-，当1n k =+时，不等式的左侧为111112122121k k k k +++++++-+-，所以n k =变成1n k =+时，左边增加了1121k +++-，共有2k 项．故选D ． 5．5 【解析】由于1n =时，221n n =+；2n =时，221n n <+；3n =时，221n n <+；4n =时，221n n <+；5n =时，221n n >+，所以当5n ≥时，221n n >+成立．故填5．6．21a a ++【解析】1n a+++=(1,a n ≠∈*N )”时，在验证1n =成立时，将1n =代入，左边以1即0a 开始、以112a a +=结束，所以左边应该是21a a ++．故填21a a ++． 7．24+k 【解析】用数学归纳法证明(1)(2)()213(21),n n n n n n n +++=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈*N 时，从k 到1k +时左边需增乘的代数式是．故填24+k ．8．正整数a 的最大值为25，证明见解析．【解析】当1n =26a <，而a 是正整数，所以取25a =． 131n +++ ①当1n =； ②假设当()n k k =∈*N 131k +++则当1n k =+13(1)k +++11113133341k k k k =++++++-++++ 因为211323491883(1)k k k k k +=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++，所以当1n k =+时，不等式也成立．由①②知，对一切正整数n 131n +++ 所以正整数a 的最大值为25．9．（1）02na =，32n n n s =-；（2）当1n =或4n ≥时，2(2)22n n s n n >-⋅+；当2n =，3时，2(2)22nn s n n <-⋅+．【解析】（1）取1x =，得02n a =；取2x =，则013n n a a a +++=，所以1232n n n n s a a a =+++=-．（2）要比较n s 与2(2)22nn n -⋅+的大小，即比较：3n 与2(1)22nn n -⋅+的大小，当1n =时，23(1)22nnn n >-⋅+；当2n =，3时，23(1)22nnn n <-⋅+；当4n =，5时，23(1)22nnn n >-⋅+；猜想：当4n ≥时，23(1)22nnn n >-⋅+．下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，当4n =时，23(1)22nnn n >-⋅+成立；假设当(4)n k k =≥时结论成立，即23(1)22k k k k >-⋅+，两边同乘以3得：1233(1)26k k k k +>-⋅+=12222(1)[(3)2442]k k k k k k k +⋅+++-+--，因为4k ≥时，(3)20kk -⋅>，22442444420k k --≥⋅-⋅->，所以2(3)24420k k k k -+-->，所以112322(1)k k k k ++>⋅++．故1n k =+时结论也成立，所以当4n ≥时，23(1)22n n n n >-⋅+成立．综上可得，当1n =或4n ≥时，23(1)22n n n n >-⋅+；当2n =，3时，23(1)22n n n n <-⋅+．故当1n =或4n ≥时，2(2)22n n s n n >-⋅+；当2n =，3时，2(2)22n n s n n <-⋅+．。

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章推理与证明2.3数学归纳法 Word版含解析

【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n(n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设) ＝1kk ＋1k(变形)＝1k ＋1(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k (k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立．探究点三用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k－12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对答案 B解析由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C解析因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3D.22n－1答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1)＋(k －1)]·(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________．答案缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2. ＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *).三、探究与拓展13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1). 下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1，所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．。

2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2

解析： 1 ； k 2 －1
1 1 1 当 n＝k 时，不等式左端为 1＋2＋3＋4＋„＋
1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，不等式左端为 1＋2＋3＋„＋ k ＋2k＋„ 2 －1 1 1 1 ＋ k＋1 增加了2k＋„＋ k＋1 项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k 项． 2 －1 2 －1
然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是
用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
用数学归纳法证明几何问题
1 用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数是2 n(n－3)．
[思路点拨]
假设验证n＝3时成立 ――→ 假设n＝k时成立
递推 ――→ n＝k＋1时成立 ―→ 结论
用数学归纳法证明几何问题的关键是 “ 找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分析不出来的情况下，将 n ＝ k＋ 1 和 n＝ k 分别代入所证的式子，
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤
进行：第一个值n0 (n0∈N*) 时命题成 1 ． ( 归纳奠基 ) 证明当 n 取 ___________ 立； n＝k(k≥n0，k∈N*) 时命题成立，证 2．(归纳递推)假设 ___________________ n＝k＋1 时命题也成立．明当__________ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
用数学归纳法证明等式或不等式
1 1 1 用数学归纳法证明：＋＋＋„＋ 2×4 4×6 6×8 1 n ＝ . 2n×2n＋2 4n＋1
[思路点拨]
1 1 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝＝8，右边 2×4 1 ＝8，等式成立． (2)假设当 n＝k 时，等式成立， 1 1 1 1 k 即＋＋＋„＋＝成立． 2×4 4×6 6×8 2k×2k＋2 4k＋1

高中数学第二章推理与证明 2_3 数学归纳法高效测评新人教A版选修2-2

2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法高效测评新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4解析：将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.答案： C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)，从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需要增乘的代数式为( )A ．2(2k ＋1)B ．2k ＋1C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时，等式左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左端为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(2k ＋2)， ∴从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需增乘的式子为2(2k ＋1)．答案： A3．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立．则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．答案： C4．k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为(k ≥3，k ∈N *)( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．解析： ∵210＝1 024>103,29＝512<93， ∴填10. 答案： 106．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)．证明： (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对所有n ∈N ＋都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明： (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．尖子生题库☆☆☆(10分)是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6a 1＋2a 2＝24a 1＋2a 2＋3a 3＝60解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3. 故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立． ①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＝k (k ＋1)(k ＋2)．那么当n ＝k ＋1时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＋(k ＋1)a k ＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋3] ＝(k ＋1)(k 2＋2k ＋3k ＋6) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2] 所以当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．欢迎您的下载，资料仅供参考！。

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2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法高效
测评新人教A 版选修2-2
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2
＋…＋a 2n ＋1
＝1－a 2n ＋2
1－a
(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端
计算所得项为( )
A ．1＋a
B ．1＋a ＋a 2
C ．1＋a ＋a 2
＋a 3
D ．1＋a ＋a 2
＋a 3
＋a 4
解析：将n ＝1代入a 2n ＋1
得a 3
，故选C.
答案： C
2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n
·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)，从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需要增乘的代数式为( )
A ．2(2k ＋1)
B ．2k ＋1
C ．2k ＋1k ＋1
D ．2k ＋3k ＋1
解析：当n ＝k 时，等式左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，
当n ＝k ＋1时，等式左端为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(2k ＋2)， ∴从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需增乘的式子为2(2k ＋1)．答案： A
3．若命题A (n )(n ∈N *
)n ＝k (k ∈N *
)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *
)时命题成立．则有( )
A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确
解析：由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．
答案： C
4．k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为(k ≥3，k ∈N *
)( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k
D ．f (k )＋k －2
解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3
”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．
解析： ∵210
＝1 024>103,29
＝512<93
， ∴填10. 答案： 10
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22
＋…＋2
n －1
＝2n －1(n ∈N *
)的过程如下：
(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即1＋2＋22
＋…＋2
k －1
＝2k
－1，则当n ＝k ＋1时，
1＋2＋22＋…＋2
k －1
＋2k
＝1－2k ＋1
1－2
＝2k ＋1
－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任
何n ∈N *
，等式都成立．
上述证明的错误是________．
解析：本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案：未用归纳假设
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n (n ∈N ＋)．
证明： (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2
＝右边，等式成立．
(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1
2k .
当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1
2k ＋
12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
，即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，知等式对所有n ∈N ＋都成立．
8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12
＋n (n ∈N *
)．
证明： (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝1
2
＋1，
∴32≤1＋12≤3
2
，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12
＋k ，
则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1
＝1＋k ＋1
2. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，
即n ＝k ＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *
都成立．尖子生题库
☆☆☆
(10分)是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n
＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．
解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：
⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝6a 1＋2a 2＝24a 1＋2a 2＋3a 3＝60
解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，
设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3. 故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立． ①当n ＝1时，结论显然成立．
②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *
)时，等式成立，即a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＝k (k ＋1)(k ＋2)．那么当n ＝k ＋1时，
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＋(k ＋1)a k ＋1
＝k (k ＋1)(k ＋2)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋3] ＝(k ＋1)(k 2
＋2k ＋3k ＋6) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)
＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2] 所以当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，
使得对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立．。