高二数学上学期(期末)考试试题文2
2022年辽宁省抚顺市第六中学高二数学文上学期期末试题含解析
2022年辽宁省抚顺市第六中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则当时，的展开式中常数项为（）A. B. C.D.参考答案：C略2. 已知椭圆，，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆上存在点使得，则，可得，整理得：，结合可得，问题得解。
【详解】依据题意作出如下图象：由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆上存在点使得，则所以即：，整理得：又，即：所以所以椭圆离心率的取值范围为故选：D【点睛】本题主要考查了转化能力及椭圆的简单性质，还考查了计算能力，属于难题。
3. 计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．4. 的展开式中的系数等于10，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C5. 已知直线l1经过两点，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝( )．A．2 B．－2 C．4 D．1参考答案：A略6. 复数z=1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】利用虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=1﹣2i的虚部是﹣2．故选：A．7. 用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是（）A．成立 B．成立C．或成立 D．且成立参考答案：C略8. （5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）C从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．9. “”是“函数有零点”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A10. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（）A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75参考答案：D【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则P （C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.5）=0.8；则目标是被甲击中的概率为P==0.75；故选D．【点评】本题考查条件概率的计算，是基础题，注意认清事件之间的关系，结合条件概率的计算公式正确计算即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的离心率____；参考答案：12. 在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的”。
2022-2023学年四川省遂宁市安居区育才中学校高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省遂宁市安居区育才中学校高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】求得倾斜角的正切值即得．【详解】k =tan120°=故选：B ．2．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为1100000，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是（ ） A ．② ③ B ．③④ C ．①②③④ D ．②【答案】D【解析】根据随机事件、必然事件的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾，所以①不是必然事件； 因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件； 因为某彩票中奖的概率为1100000，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件. 故选：D .3．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．250x y --= B ．270x y -+= C ．210x y +-= D ．250x y +-=【答案】B【分析】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，将点(1,3)-代入即可求解. 【详解】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠， 直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=， 故选：B ．4．已知O 的圆心是坐标原点O ，且被直线250x y -+=截得的弦长为4，则O 的方程为（ ） A ．224x y += B ．228x y += C ．228x y += D ．229x y +=【答案】D【分析】设圆O 的方程为222x y r +=，结合圆的弦长公式，列出方程，求得2r 的值，即可求解. 【详解】由题意，设圆O 的标准方程为222x y r +=， 则圆心(0,0)O 到直线250x y -+=的距离为22552(1)d ==+-，又由圆O 被直线250x y -+=截得的弦长为4， 可得2224r d -=，化简得22(5)4r -=，解得29r =， 即圆的方程为229x y +=. 故选：D.5．如图，长方体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（ ）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【分析】先求出点B 和点D 的坐标，再利用中点坐标公式即可求解.【详解】长方体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12， 所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD'的中点P点坐标为010010012,,222P+++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.6．某农村中学高中部有高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为（）A．100 B．120 C．140 D．160【答案】C【分析】根据分层抽样的性质即可求解.【详解】由表格中，可得样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：20614-=人，所以，该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：1420014020⨯=人.故选:C.7．若实数x、y满足约束条件20x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则12yzx+=-的最小值为（）A．-2 B．3 2 -C．-1 D．1 2 -【答案】A【解析】画出约束条件20x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，再由12yzx+=-为点()x y，与点P()21-，确定的直线的斜率求解.【详解】画出约束条件2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图所示阴影部分：因为12y z x +=-可以看作经过点()x y ，与点P ()21-，的直线的斜率， 结合图像易知，当直线经过点()11A ，时，斜率最小， 所以12y z x +=-的最小值为11212+=--， 故选：A8．某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是（ ） A ．16B ．25C ．35D ．23【答案】C【分析】根据条件列举出所有的情况，找出其中恰好为1名医生1名护士的种类数，相除即可. 【详解】设5名医护人员，2名医生a ，b ，3名护士c ，d ，e ，则抽调2人的情况有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种不同结果， 其中恰好为1名医生和1名护士的不同结果有6种， 故所求概率为63105= 故选：C.9．下列推理错误的是（ ）A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈⇒l ⊂α B ．A α∈，A β∈，B α∈，B β∈⇒AB αβ=C ．l α⊄，∈A l ⇒A αD ．∈A l ，l α⊂⇒A α∈ 【答案】C【分析】根据公理1，判断A ，C ，D ，根据公理2，判断B ，【详解】由 ∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈根据公理1可得l ⊂α，A 对， 由∈A l ，l α⊂根据公理1可得A α∈，D 对， 由l α⊄，∈A l 可得A α或A α∈，C 错， 由A α∈，A β∈，B α∈，B β∈根据公理2可得AB αβ=，B 对，故选：C10．已知直线l 经过两直线l 1：3x ﹣y +12＝0，l 2：3x +2y ﹣6＝0的交点，且与直线x ﹣2y ﹣3＝0垂直，则坐标原点O 到直线l 的距离为（ ） A ．255B ．2C ．55D ．3【答案】A【分析】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程，进而利用点线距离公式即可得解.【详解】联立方程组可得31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，故交点A 的坐标为()2,6-，因为直线x ﹣2y ﹣3＝0的斜率为12，又直线l 与直线x ﹣2y ﹣3＝0垂直，所以直线l 的斜率为﹣2， 故直线l 的方程为()622y x -=-+，即2x +y ﹣2＝0；所以原点O 到直线l 的距离为222010225521d ⨯+⨯-==+. 故选：A.11．圆22(1)1x y -+=及22(1)1y x +-=围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形OACB 中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为（ ）A ．13π- B ．12π- C ．4π D ．5π【答案】B【分析】利用几何概型的概率公式即可求解.【详解】圆22(1)1x y -+=及22(1)1y x +-=分别以1,0A 和()0,1B 为圆心， 半径都是1.连接OC ，可知阴影部分由分别以,A B 为圆心， 1为半径的两个四分之一弓形组成，阴影部分的面积为2111π21111422S π⎛⎫=⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭，正方形的面积为111S =⨯=， 所以质点落在阴影部分区域的概率为1π12S S =-， 故选：B.12．已知点(1,0)P 及圆22:2C x y +=，点 M ，N 在圆C 上，若PM PN ⊥，则||MN 的取值范围为（ ） A ．[31,31]-+ B ．[22,22]-+C ．[23,23]-+D ．[22,23]-+【答案】A【解析】如图所示，当四边形PMQN 为正方形且MN OP ⊥时，||MN 取得最小值或最大值，求出M 的坐标即可得出答案． 【详解】如图所示，当四边形PMQN 为正方形且MN OP ⊥时，||MN 取得最小值或最大值． 由图可知PM 所在直线斜率1k =，则PM 方程为1y x =-，则PM 与圆222x y +=的两个交点分别为M 、M '，2221x y y x ⎧+=⎨=-⎩，解得M xM x '所以M，M '， 则||MN的最小值为：2||1M y =，最大值为：2||1M y '=， 所以||MN的取值范围为11]． 故选：A ．【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM 的方程，进而可求得M 点坐标，即可求得答案，考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题．二、填空题13．在区间[0,4]上随机地取一个数x ，则事件“111x -≤-≤”发生的概率为___________ 【答案】12##0.5【分析】利用几何概型求解即可. 【详解】在区间[0,4]的长度为4，111x -≤-≤，解得[]0,2x ∈，长度为2， 故在区间[0,4]上随机地取一个数x ， 则事件“111x -≤-≤”发生的概率为2142P ==. 故答案为：1214．设x ，y 满足约束条件2120y x y x x ≥-⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，则x y +的最大值为________．【答案】8【分析】作出可行域，平移目标函数找到取最大值的点，代入可求最大值. 【详解】作出不等式组表示的可行域,如图，设z x y =+，由图可知，当直线z x y =+经过点A 时，取到最大值，联立212y x y x =-⎧⎨=+⎩可得(3,5)A ，代入可得z 取得最大值8．【点睛】本题主要考查线性规划求解最值，作出可行域先确定最值点是求解关键，侧重考查直观想象，逻辑推理的核心素养.15．已知直线:1l y kx =-与圆22:430C x y x +-+=相切，则正实数k 的值为___________.【答案】43【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】:110l y kx kx y =-⇒--=， ()2222:43021C x y x x y +-+=⇒-+=，圆心为()2,0，1r =，22111k k -=+，解得43k =或0k =，所以正实数k 的值为43故答案为：4316．设,,αβγ为两两不重合的平面， ,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,//,//m n m n ααββ，则//αβ； ②若,m n αβ⊥⊥且,m n ⊥则αβ⊥ ③若l //,ααβ⊥，则l β⊥； ④若,,,l m n l αββγγα===//γ ，则m //n则上述命题中正确的是_________【答案】②④【分析】根据平行垂直的判定与性质逐项分析即可.【详解】对于① 由于不确定m,n 是否相交，所以推不出//αβ ②因为,m n ⊥m α⊥，所以n ⊂α或//n α， 可知α必过β的一条垂线，所以αβ⊥正确.③若l //,ααβ⊥,可能l //β，推不出l β⊥④,,,l m n l αββγγα===//γ，可推出//,//l m l n ，所以m //n 正确.故填②④.【点睛】本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面垂直，面面平行的判定和性质，属于中档题.三、解答题17．如图所示的多面体中, AC ⊥BC ,四边形ABED 是正方形,平面ABED ⊥平面ABC ,点F ,G ,H 分别为BD ,EC ,BE 的中点,求证:(1) BC ⊥平面ACD (2)平面HGF ∥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用面面垂直的性质证得AD ⊥平面ABC ，得出AD BC ⊥即可； （2）利用中位线关系证明,HG HF 平行于平面ABC 即可. 【详解】（1）由题：平面ABED ⊥平面ABC ,交线为AB ， 四边形ABED 是正方形,所以AD AB ⊥，AD ⊆平面ABED ， 所以AD ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，AD BC ⊥， 由题AC ⊥BC , ,AD AC 是平面ACD 内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACD（2）在EBC ∆中,H G 分别是,EB EC 的中点，所以//HG BC ，HG ⊄平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，所以//HG 平面ABC ，在EBD ∆中,H F 分别是,EB DB 的中点，所以//,//HF ED ED AB ， 所以//HF AB ，HF ⊄平面ABC ，⊆AB 平面ABC ，所以//HF 平面ABC ，,HF HG 是平面HGF 内两条相交直线，所以平面HGF ∥平面ABC.【点睛】此题考查通过面面垂直的性质证明线面垂直，通过线面平行关系证明面面平行. 18．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=．(1)求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85；(2)过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程． 【答案】(1)()1,2，3430x y +=-或34190x y +-= (2)240x y +-=【分析】（1）消掉直线中的参数即可得定点，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）直线1l ：20mx y m +--=， 即()120m x y -+-=，令10x -=，求得1x =，2y =，可得直线1l 的定点()1,2P ．定点()1,2P 到直线2l ：340x y n +-=的距离为85=∴3n =或19n =，故直线2l ：3430x y +=-或34190x y +-=．（2）设过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 设(),0A a 、()0,B b ，则P 、A 、B 三点共线，202110ba --=--， ∴2ab a b =+≥令0t ab =>，则有：280t t -≥， 解得：0t <（舍）或8t ≥， ∴t 的最小值为：8.∴AOB 面积为12ab 最小值为：4，此时，2a =，4b =，直线l 的斜率为2-， 直线l 的方程为：()221y x -=--， 即240x y +-=．19．已知直线l 经过两点()2,1A --，()6,3B (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心C 在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程； (3)若过B 点向（2）中圆C 引切线BS ，BT ，S ，T 分别是切点，求ST 直线的方程． 【答案】(1)20x y -= (2)22(2)(1)1x y -+-= (3)42110x y +-=【分析】(1)根据直线方程的两点式求解 （2）设出圆心(2,)C b b ，根据圆与x 轴相切求解. (3) 四点,,,B S C T 四点共圆，两个圆公共弦所在直线方程.【详解】（1）由题可知：直线l 经过点A ()2,1--，B （6，3），由两点式可得直线l 的方程为：()()()()123162y x ----=----，整理得：20x y -=．（2）依题意，可设圆C 的圆心为(2,)C b b ，圆的方程为：222(2)()x b y b r -+-=， ∵圆C 与x 轴相切于点(2,0)，∴22b =，解得1b =，∴半径1r =， ∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=．（3）由于,CS BS CT BT ⊥⊥，则四点,,,B S C T 四点共圆，这个圆以BC 为直径其方程为()()22425x y -+-=，ST 为两圆的公共弦， 把两圆方程化为一般方程224240x y x y +--+=和2284150x y x y +--+=， 两式相减得公共弦方程：42110x y +-=．20．芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x （亿元）与收益y （亿元）的数据统计如下：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）根据折线图的数据，求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到整数部分）；（3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.附：样本(),(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅的相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑线性回归方程y bx a =+中的系数()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，当||[0.75,1]r ∈时，两个变量间高度相关.参考数据：()()71400i i i x xy y =--≈∑，()72198i i x x=-≈∑，()7211800i i y y=-≈∑.【答案】（1）答案见解析；（2）412y x =+；（3）80亿元. 【分析】（1）计算出0.950.75r ≈>即可得结果；（2）计算出系数b ，a ，即可得y 关于x 的线性回归方程； （3）将16x =代入线性回归方程即可.【详解】（1）()()()()71772211981800iii i i i i x x y y r x xy y===--=⨯-⋅-∑∑∑400200.950.7542021==≈>， 所以y 与x 两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合.（2）因为()()()7172140020049849iii ii x x y y b x x ==--===≈-∑∑， 所以27220046127497a y bx =-=-⨯≈， 故y 关于x 的线性回归方程为412y x =+. （3）当16x =时，4161276y =⨯+=亿元，故当16x =亿元时，公司的实际收益的预测值为76480+=亿元.21．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A 、B 两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.考核成绩 [60,85] [86,100] 考核等级 合格 优秀（1）计算A 、B 两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）由茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）（3）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.【答案】（1）80，80；（2）A 所大学学生的成绩比B 所大学学生的成绩稳定；（3）25.【分析】（1）直接利用平均数公式计算得解；（2）直接观察茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性； （3）直接利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）64757878797285869192800801010A x +++++++++===67627079788784859593800801010B x +++++++++===（2）由茎叶图可知，A 所大学学生的成绩比B 所大学学生的成绩稳定. （3）记事件M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”.本中，A 校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a ，b ，c ，B 校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A ，B ，C ，从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab ，ac ，aA ，aB ，aC ，bc ，bA ，bB ，bC ，cA ，cB ，cC ，AB ，AC ，BC 共15种，而事件M 包含的基本事件是ab ，ac ，bc ，AB ，AC ，BC 共6种， 因此()62155P M ==. 【点睛】方法点睛：求古典概型的概率的解题步骤：（1）求出总的基本事件的总数；（2）求出事件A 的基本事件的总数；（3）代入古典概型的概率公式求解.22．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)若1t =，求PA ，PB 所在直线方程； (2)若两条切线P A ，PB 与y 轴分别交于S ､T 两点. ①求PST 面积的最小值.②在①的条件下，过点P 的直线1l 与圆22():21M x y -+=相交，且圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，求此时直线1l 的方程. 【答案】(1)1y =，3410x y +-= (2)2②351)y x =+【分析】(1)根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解；(2) ①分别表示出S ､T 的坐标，从而表示ST 的长度，从而可讨论三角形面积的最值；②由于圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，所以圆心M ()2,0到直线1l 的距离等于圆M 半径的一半，即可求解.【详解】（1）由圆()22:21M x y -+=的方程可知：圆心()2,0M ，半径为1，过点(1,1)P -引圆M 的切线方程斜率显然存在可设为：()11y k x =++，所以圆心(2,0)M 到直线()11y k x =++的距离1d =，229611k k k ++=+，2860k k +=，∴0k =，或34k =-，由图可有0PA k =，所以直线PA 的方程为1y =；又34PB k =-，所以直线PB 的方程为3(1)14y x =-++，即3410x y +-=.（2）(2)①设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故圆心(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，1212|()||∣∴=+-+=-==ST k t k t k k∴当0=t 时，ST .又点P 到直线ST （y 轴）的距离为1，所以PST 面积的最小值112=， ②由①知(1,0)P -，直线斜率显然存在，所以设直线1l ：(1)y k x =+， 要使圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，则需圆心M ()2,0到直线1l 的距离等于圆M 半径的一半，12=，解得k =1l 的方程为1)y x =+.。
2022山西省高二上学期数学(理)期末考试试卷 (2)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、抛物线x 2＝－8y 的准线方程是( )A.y ＝－2B.y ＝－4C.y ＝2D.y ＝4 2、已知向量）（0,1,1=a ，则与a 共线的单位向量=e ( ) A.)0,22,22(- B.)0,22,22( C.)0,1,0( D.)1,1,1( 3、下列说法中正确的是( )A.若，则A,B,C,D 四点构成一个平行四边形B. 若，，则C.若和都是单位向量，则D.零向量与任何向量都共线 4、给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b -1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b -1”； ③“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1＜1”； 其中正确的命题的个数是( ) A. 0B. 1C.2D. 35、若椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B. 32C.34D.64 6、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件高二数学（理科）第一学期期末考试试题（时间：120分钟 满分：150分）7、若曲线11122=++-ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围是( )A.1>kB.1-<kC.11<<-kD.01<<-k 或10<<k8、已知平面α内有一个点)2,1,1(-M ,平面α的一个法向量是)2,1,2(-=a ，则下列点P 中，在平面α内的是( )A.P (2,3,3)B.P (－2,0,1)C.P (－4,4,0)D.P (3,－3, 4)9、若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P为双曲线右支的任意一点，则OP FP →→⋅的取值范围为( )A. )323[∞+-，B. )323[∞++，C.7[,)4-+∞ D. 7[,)4+∞ 10、若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A. y 2＝－4xB. y 2＝－8xC.y 2＝4xD. y 2＝8x11、平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123,AC xAB yBC zCC =+-则x y z ++=( )A.1B.76C.56D. 2312、方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是( )A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，如果821=+x x ，则||AB =__________；14、已知1===c b a ，且3,π>=<b a ,2,π>=<c b ,2,π>=<c a ,则=-+c b a 2_____； 15、已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则l 的方程是_________；16、如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面⊥PCD 底面ABCD ,且PC =PD =2， M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点，则点N 到平面MBD 的距离为______.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17、(10分)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的实轴长和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．18、(12分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，ABC BB 平面⊥1，∠BAC =90°，AC =AB =AA 1，E 是BC 的中点． 求证：C B AE 1⊥；求异面直线AE 与C A 1所成的角的大小；19、(12分)如图，在边长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC 的中点，F 是1DD 的中点，（1） 求证：DE A CF 1//平面；（2） 求平面DE A 1与平面DA A 1夹角的余弦值.20、(12分)已知抛物线的焦点，抛物线上一点P 点纵坐标为2，. （1）求抛物线的方程；(2) 已知抛物线C 与直线1+=kx y l ：交于M ，N 两点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有0=+PN PM k k ？说明理由.21、(12分)如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD =PD =2，E 、F 分别为CD 、PB 的中点． （1）求证：平面⊥AEF 平面PAB ；（2）设AD AB 2=，求直线AC 与平面AEF 所成角θ的正弦值．22、(12分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为21，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线m 过点)0,1(-，且与椭圆C 交于P 、Q 两点，求△PQF 2面积的最大值。
湖南省衡阳市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
衡阳市2022级高二期末试题数学（答案在最后）请注意：时量120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i - B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.在等差数列{}n a 中，若36202336a a a a +++=，则13a =（）A ．12B ．18C ．6D ．9【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 中，所以()()36202332362013436a a a a a a a a a +++=+++==，所以139a =.故选：D.4.在()512x +的展开式中，3x 的系数为（）A ．8B ．10C ．80D ．160【答案】CA．10B．5【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得8．函数()f x 是定义在(0,()()ln ln ln ax f ax f x xxax⋅⋅≥在A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．【答案】B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.给出如下四个命题正确的是（）A.方程22210x y x +-+=表示的图形是圆B.椭圆22132x y +=的离心率3e =C.抛物线21=2y x 的准线方程是18x =-D.双曲线2212549x y -=的渐近线方程是57y x=±n n n 1423法正确的是()A.q ＝2B.数列{S n ＋2}是等比数列C.S 8＝510D.数列{lg a n }是公差为2的等差数列答案ABC解析因为{a n }为等比数列，且a 1·a 4＝32，所以a 2·a 3＝32.又a 2＋a 3＝12，2＝4，3＝8，＝22＝8，3＝4，＝12.又公比q 为整数，2＝4，3＝8，＝2，即a n ＝2n，S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.对于A ，由上可得q ＝2，故A 正确；对于B ，因为S n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋22n ＋1＝2，则数列{S n ＋2}是等比数列，故B 正确；对于C ，S 8＝29－2＝510，故C 正确；对于D ，lg a n ＋1－lg a n ＝lg 2，即数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错误.故选ABC.11.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为1C.1AP DC ⋅是定值D.1D P 与AC 所成的角可能是6π设()3,,3P a a -，(03a <<所以11303D AB a P ⋅=⨯+⨯+因为()3,3,0AC =- ，(1D P =所以111cos ,D P AC D P AC D P CA ⋅=同学作答，每人答对的概率均为0．7，两人都答对的概率为0．5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)16.在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，1BC CD DA ===，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.因为ABCD为等腰梯形，AB1B==B=cos BE此时，BC⊥平面ACD，易知，记O为外接球球心，半径为由于BC⊥平面ACD，OBr=四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。
安徽省黄山市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题含答案
黄山市2023-2024学年度第一学期期末质量检测高二数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3103x y -+=的倾斜角等于（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】利用倾斜角和斜率的关系处理即可.【详解】化简得y60︒.故选：B2.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,4,2)M -在坐标平面Oyz 内的射影是点N ，则点N 的坐标为（）A.(0,4,2)-B.(3,4,0)C.(0,4,2)- D.(3,0,2)-【答案】C 【解析】【分析】点在平面Oyz 内的射影是,y z 坐标不变，x 坐标为0的点.【详解】点(3,4,2)M -在坐标平面Oyz 内的射影是点(0,4,2)N -，故点N 的坐标是(0,4,2)-故选：C3.圆22:(2)(1)1M x y -+-=与圆N 关于直线0x y -=对称，则圆N 的方程为（）A.22(1)(2)1x y +++=B.22(2)(1)1x y -++=C.22(2)(1)1x y +++= D.22(1)(2)1x y -+-=【答案】D 【解析】【分析】根据对称性求得圆M 的圆心和半径，进而求得圆N 的方程.【详解】圆22:(2)(1)1M x y -+-=的圆心为()2,1，半径为1，()2,1关于直线0x y -=的对称点是()1,2，所以圆N 的圆心是()1,2，半径是1，所以圆N 的方程为22(1)(2)1x y -+-=.故选：D4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（）A.48里B.45里C.43里D.40里【答案】A 【解析】【分析】设第六天走的路程为x 里，则第五天走的路程为2x 里，依此往前推，第一天走的路程为32x 里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设第六天走的路程为x 里，则第五天走的路程为2x 里，依此往前推，第一天走的路程为32x 里，结合题意可得：2481632378+++++=x x x x x x ，解得6x =，则第三天走的路程为88648x =⨯=里.故选：A.5.对于常数,m n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m 、n 的范围，结合两集合的包含关系判断即可.【详解】因为“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”，则00m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩，又因为000m n mn m n >⎧⎪>⇒>⎨⎪≠⎩，但000m mn n m n >⎧⎪>>⎨⎪≠⎩¿，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B.6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11,BB DD 的中点，则异面直线1C E 与CF 所成角的余弦值为（）A.15B.14C.13D.12【答案】A 【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为求11C E CF C E CF⋅⋅即可.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，则()()1110,1,1,1,1,,0,1,0,0,0,22C E C F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1111,0,,0,1,22C E CF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以111145C E CF C E CF⋅==⋅，即异面直线1C E 与CF 所成角的余弦值为15.故选：A.7.已知向量(2,4,4),(1,2,2)a b =-=rr，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.122,,999⎛⎫-⎪⎝⎭B.122,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.244,,999⎛⎫-⎪⎝⎭D.244,,999⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.【详解】因为向量(2,4,4),(1,2,2)a b =-=r r，所以向量a在向量b上的投影向量为2288244(1,2,2),,144999a b b a b b bb b⋅⋅+-⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪++⎝⎭,故选：D8.如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心，R 为半径的圆与双曲线E 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若21,32AP AQ R OQ OP ⋅=-=-uu u r uuu r uuur uu u r ，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】过点A 作AM PQ ⊥于点M ，求得34OP R =，则可求得AM ，OM 的值，进而求得tan MOA ∠即为渐近线的斜率ba，从而求得离心率．【详解】∵221cos cos 2AP AQ AP AQ PAQ R PAQ R ⋅=⋅∠=∠=- ，∴120PAQ ∠= ，又AP AQ R ==，过点A 作AM PQ ⊥于点M ，在Rt AMQ △中，30AQM ∠= ,12AM R =,∴2QM =，PQ =，又3OQ OP =-，∴144OP PQ R ==，4OQ R =，∴4OM OQ QM =-=,∴2tan 3RAM MOA OM ∠===，∵渐近线方程为by x a =，∴3b a =，3c e a ===.故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若280a a +=，则下列说法正确的是（）A.50a =B.31a a >C.数列{}2na 是等比数列D.当5n =时，n S 最大【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由等差数列性质即可判断；对于B ，对公差分类讨论即可判断；对于C ，由等差等比数列定义即可判断；对于D ，取公差0d >，即可举出反例判断.【详解】对于A ，因为28520a a a +==，所以50a =，故A 正确；对于B ，若公差0d >，则有1350a a a <<=，若公差0d <，则有1350a a a >>=，无论如何都有31a a >，故B 正确；对于C ，112222n n n na a a d a ++-==，其中d 是等差数列{}n a 的公差，即数列{}2n a是等比数列，故C 正确；对于D ，取公差0d >，则有123450a a a a a <<<<=，此时当5n =，n S 最小，故D 错误.故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.点()()111222,,,P x y P x y 是直线l 上不同的两点，则直线l 可以表示为112121y y x x y y x x --=--B.若直线220++=ax y 与直线(1)10x a y +-+=平行，则实数1a =-C.过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为2y x =-+D.直线12,l l 的斜率分别是方程2310x x --=的两根，则12l l ⊥【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，根据两点的横坐标，纵坐标是否相等进行讨论，可得答案；对于B ，利用直线与直线平行的性质直接求解，可得答案；对于C ，分截距为0和截距不为0两种情况，进行求解，可得答案；对于D ，利用根与系数的关系12k k ⋅可进行判断得到答案.【详解】对于A ，当12x x ≠,12y y ≠时，由斜率公式，可得121121y y y y x x x x --=--，可整理为112121y y x x y y x x --=--，当12x x =时，直线l 的方程为1x x =；当12y y =时，直线l 的方程为1y y =，故A 错误；对于B ，直线220++=ax y 与直线(1)10x a y +-+=平行，则(1)21a a -=⨯，解得：2a =或1a =-，当2a =时，两直线重合，舍去，故1a =-时，两直线平行，B 正确；对于C ，当直线在坐标轴上截距为0时，设y kx =，将(1,1)代入得1k =，此时直线方程为y x =，当直线在坐标轴上截距不为0时，设直线方程为1x ya a +=，把(1,1)代入得111a a+=，解得2a =.此时直线方程为221x y+=，即20x y +-=，故过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y x =和2y x =-+，故C 错误；对于D ，设两直线的斜率分别为12,k k ，因为12,k k 是方程2310x x --=的两根，所以利用根与系数的关系得121k k ×=-，所以两直线的位置关系是垂直，故D 正确.故选：BD .11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别是棱111111,,,AA A D B C CC 的中点，点M 满足HM HG λ=uuu u r uuu r，其中[0,1]λ∈，则下列结论正确的是（）A.过M ，E ，F 三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形B.三棱锥1A MEF -的体积为定值C.当12λ=时，//AC 平面MEF D.当1λ=时，三棱锥1A MEF -外接球的表面积为6π【答案】ABD 【解析】【分析】当0λ=时，点M 与点H 重合时，过M ，E ，F 三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，A 正确；根据//GH 平面1ADD A ，得到点M 到平面1ADD A 的距离为定值，可判定B 正确；当12λ=时，因为//AC EH ，而EH ⊄平面MEF ，C 错误；由题意点M 与点G 重合，1A EF 为等腰直角三角形，1A EF 的外接圆半径为12r EF =，由于FG ⊥平面1A EF ，由勾股关系可求外接球半径，从而求解，D 正确.【详解】当0λ=时，点M 与点H 重合时，过M ，E ，F 三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，如图：故A 正确；对于B ，因为HM HG λ=uuu u r uuu r可得点M 是线段GH 上的一个动点，又因为正方体1111ABCD A B C D -中,平面11BCC B ∥平面11,ADD A GH ⊂平面11BCC B ，故//GH 平面1ADD A ，所以点M 到平面1ADD A 的距离为定值，而112EFA S =,所以三棱锥1M EFA V -是定值,又因为11M EFA EF M A V V --=，故三棱锥1A MEF -的体积为定值，B 正确；当12λ=时，点M 为GH 中点，因为//AC EH ，而EH ⊄平面MEF ，所以AC 与平面MEF 不平行，C 错误；当1λ=时，点M 与点G 重合，1A EF 为等腰直角三角形，则1A EF 的外接圆半径为122r EF ==，又因为FG ⊥平面1A EF ，所以三棱锥1A MEF -外接球的半径222131222FG R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则62R =，所以外接球表面积为24π6πR =，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：由条件点M 满足HM HG λ=uuu u r uuu r，其中[0,1]λ∈，先可判断点M 是线段GH 上的一个动点，再根据λ的不同取值确定点M 的位置，从而进行研究问题.12.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l 与抛物线交于,A B 两点，且||||AF BF >，则下列说法正确的是（）A.直线,OA OB 的斜率之积为定值B.直线l 交抛物线的准线于点C ，若3CB BF =下，则直线l的斜率为C.若||4,120AF OFA =∠=︒，则抛物线的准线方程为=1x -D.直线AO 交抛物线的准线于点D ，则直线BD x ∥轴【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A:设直线l ：2px my =+并与抛物线联立，借助韦达定理即可判断；对于选项B:利用BMC FHC，求出3,CF p HC ==，结合斜率公式即可判断；对于选项C:结合题意可得2,2p A ⎛+ ⎝，利用抛物线的定义即可判断；对于选项D:计算点B 的纵坐标与点D 的纵坐标，即可判断.【详解】对于选项A:结合题意：连接,OA OB ，易知直线l 的斜率不为0，故可设直线l ：2px my =+，且设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,,x y x y 联立2,22(0)p x my y px p ⎧=+⎪⎨⎪=>⎩可得2220y mpy p --=，所以22221212440,2,m p p y y mp y y p ∆=+>+==-，所以()2221212121222244p p mp p p x x my my m y y y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21221244OA OBy y p k k p x x -⋅=⋅==-.故选项A正确；对于选项B:过点B 作BM 垂直准线于M ,设准线与x 轴的交点为H ，易得BMC FHC ,因为3CB BF =，所以43HF FC BMBC==,由HF p =，由抛物线的定义可知：34BF BM p ==,所以3,CF p HC ==，直线l 的斜率为tan HC k HFC HFp=∠===,同理结合抛物线的对称性可知：直线l 斜率k =±，故选项B 错误；对于选项C:过点A 作AK 垂直x 轴于点K ，过点A 作AE 垂直准线于点E ,因为||4,120AF OFA =∠=︒，所以60,||2,KFA FK AK ∠=︒==,所以点2,2p A ⎛+⎝，结合抛物线的定义可知||||24,22p pAF AE ==++=解得2p =，故抛物线的准线方程为==12px --，故选项C 正确；对于选项D:设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,,x y x y 因为点A 在抛物线22(0)y px p =>上，所以2112yx p =，所以点211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11211122OA y y p k y x y p===，故直线OA 的方程为12p y x y =，联立122p y x y px ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得212p y y p x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点21,2p p D y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以点D 的纵坐标为21p y -，结合选项A 可知212y y p =-，所以221p y y -=，所以点B 的纵坐标为21p y -，因为点B 的纵坐标与点D 的纵坐标相等，所以直线BD x ∥轴.故选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P 到焦点F 的距离都等于点P 到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计；2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线（或垂直于抛物线对称轴的直线）的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题；3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P 的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知椭圆2221(0)36x y b b+=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则b =_________.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线焦点位置，进而确定椭圆焦点位置，后用椭圆基本量的关系求解即可.【详解】易知在28y x =中，4p =，焦点为(2,0)，故椭圆2221(0)36x y b b+=>的焦点在x 轴上，故2436b +=，解得b =.故答案为：14.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BD C ，90,8,6BDC AB BD ∠=︒==，则点B 到平面ACD 的距离等于_________.【答案】4.8【解析】【分析】设B 到平面ACD 的距离为h ，利用A BCD B ACD V V --=，即可求得点B 到平面ACD 的距离.【详解】因为AB ⊥平面BD C ，所以AB BD ⊥，AB CD ⊥，又=90BDC ∠︒，则CD BD ⊥，AB BD B ⋂=,AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,所以CD ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以CD AD ⊥，因为8,6AB BD ==，所以10AD =，所以1632BDC S CD CD =⨯⨯= ，所以11052ACD S CD CD =⨯⨯= ，设B 到平面ACD 的距离为h ，因为A BCD B ACD V V --=，所以1138533CD CD h ⨯⨯=⨯⨯，解得 4.8h =，故答案为：4.815.已知直线:10l mx y m --+=，当直线l 被圆22(3)9x y -+=截得的弦长最短时，实数m 的值为_________.【答案】2【解析】【分析】分析题意找到直线必过的定点，并判断直线与圆的半径垂直，利用点线距离相等建立方程，求解即可.【详解】易知圆心为(3,0)，3r =，而l 可化为(1)1y m x =-+，故l 必过(1,1)，易得(1,1)在圆内，即直线l 与圆相交，若直线l 被圆22(3)9x y -+=截得的弦长最短，则10mx y m --+=与圆的半径必定垂直，设圆心到l 的距离为d ，则d ===，解得2m =.故答案为：2.16.人教A 版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系Oxyz 中，己知向量(,,)m a b c = ，点()0000,,P x y z ，若平面α经过点0P ，且以m为法向量，点(,,)P x y z 是平面内的任意一点，则平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=”．现己知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是平面20x y -+=与平面210x z -+=的交线，且直线l 的方向向量为(,,)n u v w =，则平面α的一个法向量可以为m =_________，直线l 与平面α所成角的正弦值为_________.【答案】①.(1,1,1)-②.3【解析】【分析】结合题意求出平面的法向量和直线的方向向量，用线面角的向量求法处理即可.【详解】显然平面α的一个法向量可以为(1,1,1)m =-,易知平面20x y -+=的法向量为(1,1,0)-，平面210x z -+=的法向量为(2,0,1)-，且直线l 的方向向量为(,,)n u v w =，故0u v -=，20u w -=，令1u =，解得1v =，2w =，故(1,1,2)n =，设直线l 与平面α所成角为θ，则2sin 3θ==.故答案为：(1,1,1)-；3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知双曲线C 经过点()1,2，且其渐近线方程为0y ±=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线1y kx =+与双曲线C 至少有一个交点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2212y x -=（2）(][),11,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）先判断出焦点在y 轴上，并设双曲线方程为22221y xa b-=，利用待定系数法求解即可；（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消元，借助判别式分类讨论即可.【小问1详解】结合题意可得：点()1,20y ±=的上方，双曲线要经过此点，则焦点在y 轴上，设双曲线方程为22221y x ab-=，则渐近线方程为a y x b=±=，所以ab =，因为双曲线C 经过点()1,2，所以22411a b -=，所以22411ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的标准方程为2212y x -=.【小问2详解】结合（1）问：联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()222210k x kx -+-=，当220k -=时，即k =1y =+与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意；当220k -≠时，即k ≠1y kx =+与双曲线C 至少有一个交点，则()()()22Δ24210k k =--⨯-≥，解得1k ≤-或1k ≥,且k ≠综上所述:实数k 的取值范围为(][),11,∈-∞-⋃+∞k .18.己知数列{}n a 满足：111,21nn n a a a a +==+.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）若122334149100n n a a a a a a a a +++++<L ，求满足条件的最大整数n .【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知的递推式可证得结论；（2）由（1）可求得121n a n =-，则可得111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，然后利用裂项相消法可求得1223341n n a a a a a a a a +++++L ，进而解不等式可求得结果.【小问1详解】证明：因为121nn n a a a +=+，所以1111121n n nn n a a a a a +-=-+211n n na a a +=-2112n na a +-==，因为11a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差，1为首项的为等差数列；【小问2详解】解：由（1）得112(1)21nn n a =+-=-，所以121n a n =-所以111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭，所以1223341n n a a a a a a a a +++++L 1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+由4921100n n <+，得4924.52n <=，因为*N n ∈，所以满足条件的最大整数为24.19.如图，已知点(2,5)P --和圆22:4630M x y x y +---=．（1）求以PM 为直径的圆N 的标准方程；（2）设圆M 与圆N 相交于A ，B 两点，试判断直线,PA PB 是否为圆M 的切线．若是，请求出直线PA 和PB 的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）()22120x y ++=（2）直线,PA PB 是圆M 的切线，:2,:34140PA x PB x y =---=【解析】【分析】（1）由中点坐标公式两点间距离公式确定圆N 的圆心、半径，由此即可得解.（2）由NM NP k k =得PM 为圆N 的直径，由此即可判断，进一步分圆N 的切线斜率是否存在讨论即可求解.【小问1详解】圆22:4630M x y x y +---=即()()22:2316M x y -+-=，所以圆心()2,3M ，半径4R =又(2,5)P --，所以PM 中点为()0,1N -，以PM 为直径的圆N的半径12r PM ===，所以以PM 为直径的圆N 的标准方程为()22120x y ++=.【小问2详解】由()0,1N -，()2,3M ，(2,5)P --，得()()31512,22020NM NP k k -----====---，所以NM NP k k =，所以PM 为圆N 的直径，所以,MA AP MB BP ⊥⊥，即直线,PA PB 是否为圆M 的切线，过点(2,5)P --且斜率不存在的直线为2x =-，而点()2,3M 到直线2x =-的距离满足4d R ==，满足题意，故直线PA 的方程为2x =-；设PB 的方程为()52y k x +=+，点()2,3M 到直线()52y k x +=+的距离满足4d R ===，解得34k =，所以PB 的方程为()3524y x +=+，即34140x y --=.20.北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对上底有ab 个，下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图），可以用公式[(2)(2)]()66n nS b d a b d c c a =++++-求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab ，(1)(1),(2)(2),,(1)(1)a b a b a n b n +++++-+-L 的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式．现已知数列{}n a 为二阶等差数列，其通项(1)n a n n =+，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 和为n T ，且满足231n n T b =-．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）记nn n nS c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．【答案】（1）()2323n n S n n =++（2）7714423nn n H ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦，求出数列{}n a 中的a ,b ,c ,d 代入公式求解.（2）根据,n n b T 的关系求数列{}n b 的通项公式，由（1）求得{}n c 的通项公式，通过错位相减法求得前n 项和n H .【小问1详解】数列{}n a 的通项(1)n a n n =+，因为在数列12⨯，23⨯，34⨯，…，(1)n n +中，1a =，2b =，项数为n ，c n =，1d n =+，所以()()()()2411222132663n n n n S n n n n n n ⎡⎤=++⨯++++-=++⎣⎦．即()2323n n S n n =++【小问2详解】因为数列{}n b 的前n 和为n T ，且满足231n n T b =-．所以当2n ≥时，11231n n T b --=-，两式相减可得1233n n n b b b -=-，即13n n b b -=，令1n =，则11231b b =-，解得11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n b -=.所以()()21132(1)2233(1)3(1)33n n n n nn n n n n n n n S n c a b n n n n --+++++====⋅+⋅+⋅23111111345(1)(2)33333n nn H n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，2341111111345(1)(2)333333nn n H n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+++⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①—②得：23412111111(2)333333n n n H n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111931121313n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-+⨯⎪⎝⎭-()11111=126233nn n +⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1771623n n +⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以7714423nn n H ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21.如图，在矩形ABCD 中，已知24AB AD ==，M ，E 分别为AB ，CD 的中点，AC ，BE 交于点F ，DM 与AE 交于点N ，将ADE V 沿着AE 向上翻折使D 到D ¢（点D ¢不在平面ABCD 内）.（1）证明：平面D MN '⊥平面ABCD ；（2）若点D ¢在平面ABCD 上的投影H 落在梯形．．ABCE 的内部及边界上，当FH 最大时，求平面D AB '与平面D BC '夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】（1）连接EM ，可知四边形ADEM 与四边形MBCE 是全等的正方形，可得AE DM ⊥，进而可证得⊥AE 平面D MN '，由线面垂直的判断定理即可证得结果;（2）首先明确D ¢在平面ABCD 上的投影H 的轨迹，进而判断FH 最大值时H 的位置，建立空间直角坐标系，求得平面D AB '，平面D BC '的法向量，计算得出结果.【小问1详解】连接EM ，因为矩形ABCD 中，已知24AB AD ==，M ，E 分别为AB ，CD 的中点，所以四边形ADEM 与四边形MBCE 是全等的正方形，所以AE DM ⊥,所以AE MN ⊥,AE D N ⊥',MN D N N ⋂'=,MN ⊂平面D MN '，D N '⊂平面D MN '，所以⊥AE 平面D MN '，又因为AE ⊂平面ABCD ，所以平面D MN '⊥平面ABCD ；【小问2详解】由（1）可知，⊥AE 平面D MN '，所以点D ¢在平面ABCD 上的投影H 落在线段MN 上.因为//BE MN ，EN MN ⊥，点D ¢在平面ABCD 上的投影H 落在点N 处，如图建立平面直角坐标系M xy -，则有()()()()()2,0,2,2,2,0,0,2,1,1A C B E N --，直线AC 的方程为：()122y x =+，直线BE 的方程为：2y x =-+，联立解得：24,33F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3FM ==,3FN ==,所以min FH EN =,max FH FN =,所以当FH 最大时，以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()(()2,0,0,2,0,0,1,1,,2,2,0,A B D C '--所以()()((4,0,0,0,2,0,1,1,,3,1,,AB BC AD BD ''====-设平面D AB '的法向量为()1111,,n x y z = ，则110n BD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅='⎪⎩，即11113040x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取11z =，则1y =，10x =，所以()10,n =，设平面D BC '的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅='⎪⎩，即22223020x y y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取23z =，则20y =，2x =)2n = ，所以121212cos ,11n n n n n n ⋅==⋅ .所以平面D AB '与平面D BC '夹角的余弦值11.22.如图，已知曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以原点O 为中心，12,F F 为焦点的双曲线的一部分，A 是曲线1C 和曲线2C 的交点，且21AF F ∠为钝角，我们把曲线1C 和曲线2C 合成的曲线C 称为“月蚀圆”．设12(2,0),(2,0)A F F -.（1）求曲线1C 和2C 所在的椭圆和双曲线的标准方程；（2）过点2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B ，C ，D ，E 四点，记G 为CD 的中点，H 为BE 的中点．问：22CD HF BE GF ⋅⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）椭圆1C 所在的标准方程为2211612x y +=，双曲线2C 所在的标准方程为22122x y -=（2）22⋅⋅CD HF BE GF是定值，为4，理由见解析【解析】【分析】（1）设椭圆所在的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，双曲线所在的标准方程为()222210,0x y m n m n-=>>，根据A 在曲线上、焦点坐标可得答案；（2）设直线BE 的方程为2x my =+，()()()()11223344,,,,,,,B x y E x y C x y D x y ，直线BE 的方程与椭圆方程、双曲线方程分别联立，利用韦达定理求出12y y -、34y y -，由22CD HF BE GF ⋅⋅转化为1234341222y y y y y y y y +-⋅+-化简可得答案.【小问1详解】设椭圆所在的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，双曲线所在的标准方程为()222210,0x y m n m n-=>>，因为(()()12,2,0,2,0A F F -，所以可得22224861a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，22224861m n mn ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得221612a b ⎧=⎨=⎩，2222m n ⎧=⎨=⎩，所以椭圆1C 所在的标准方程为2211612x y +=，双曲线2C 所在的标准方程为22122x y -=；【小问2详解】22CD HF BE GF ⋅⋅是定值，为4，理由如下，由（1）椭圆所在的标准方程为2211612x y +=，双曲线所在的标准方程为22122x y -=，因为直线BE 与“月蚀圆”依次交于B ，C ，D ，E 四点，所以直线BE 的斜率不为0，设直线BE 的方程为2x my =+，()()()()11223344,,,,,,,B x y E x y C x y D x y ，双曲线22122x y -=的渐近线方程为y x =±，所以1m ≠±，可得3434,22x x y y G ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y H ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线BE 的方程与椭圆方程联立22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412360m y my ++-=，所以1212221236,3434m y y y y mm --+==++，所以12y y -=直线BE 的方程与双曲线方程联立222122x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()221420m y my -++=，所以34342242,11-+==--m y y y ym m ，所以34y y -=，所以12223434221222y y CD HF CD HF y y y y BE GFBE GF y y +⋅-=⋅=⋅+⋅-221234441m m m m +==-，所以22CD HF BE GF ⋅⋅是定值24.【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由22CD HF BE GF ⋅⋅转化为1234341222y y y y y y y y +-⋅+-，再利用韦达定理.。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文科)试题
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1洛阳市2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线经过点和，则直线l 的倾斜角为（ ） l (0,A.B.C.D.2π33π4π3π4【答案】D 【解析】【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解. l【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，l k α1k ==则，而，故， tan 1α=[)0,πα∈π4α=故选：D.2. ，则6是这个数列的（ ） A. 第6项 B. 第12项C. 第18项D. 第36项【答案】C 【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.的通项公式为，n a =令解得，6n a ==18n =故选:C.3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程为（ ）2y x =±A. 或B.C. D.2214y x -=221164y x -=221164y x -=2214y x -=2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得，224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩12a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为.2214y x -=故选:C.4. 如图，线段AB ，BD 在平面内，，，且，则C ，D αBD AB ⊥AC α⊥4312AB BD AC ===，，两点间的距离为（ ）A. 19B. 17C. 15D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,AD BD AB⊥5AD ==又因为，,所以， AC α⊥AD α⊂AC AD ⊥所以,13CD ==故选:D .5. “”是“曲线表示椭圆”的（ ）01t <<2211x y t t+=-A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，2211x y t t+=-所以，解得且，101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩01t <<12t ≠所以“”是“且”的必要而不充分条件. 01t <<01t <<12t ≠故选：B6. 设，向量，且，则（ ）,,x y z ∈R (,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥ ∥||a b c ++=A.B.C. 3D. 9【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.,,x y z 【详解】向量，且，(,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥∴，解得， 24201242a c x y z⋅=-+=⎧⎪⎨==⎪-⎩ 1,2,1x y z ==-=∴ (1,1,1),(1,2,1),(2,4,2)a b c ==-=-∴，(4,5,4)a b c ++=-∴.||a b c ++==故选：A ．7. 如果实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ） 22(1)(1)2x y -+-=11y x -+A. B.C.D.[1,1]-(1,1)-,1(),)1(-∞-⋃+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】A【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形即可求解. 11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -【详解】表示圆心为的圆，22(1)(1)2x y -+-=()1,1C 表示上的点与点连线的斜率. 11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -易知直线平行轴，且 AC x 2,AC =当直线为圆的切线时，，,AP C PC =AP =故，此时直线的斜率为1， 45PAC ∠=︒AP 由对称性及图形可得. []11,11y x -∈-+故选:A.8. 已知点为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） ()4,2,A F 24y x =P PA PF +A. 4B. 5C.D.1+【答案】B 【解析】【分析】将转化为点P 到准线的距离，求最值.PF 【详解】抛物线，准线方程为，设P 到准线的距离为d ， 24y x ==1x -则，当直线AP 与准线垂直时，等号成立. 4(1)5PA PF PA d +=+≥--=故选：B.9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头10%牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（ ） {}n c 11200c =10c （参考数据：） 8910111.1 2.144,1.1 2.358,1.1 2.594,1.1 2.853≈≈≈≈A. 1429B. 1472C. 1519D. 1571【解析】【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. {}n c 【详解】由题可知， 11(110%)100 1.1100n n n c c c --=+-=-设， 11.1()n n c k c k -+=+解得.1000k =-即，11000 1.1(1000）n n c c --=-故数列是首项为，公比为1.1的等比数列. {}1000n c -11000200c -=所以，11000200 1.1n n c --=⨯则，1200 1.11000n n c -=⨯+所以. 910200 1.11000200 2.35810001472c =⨯+≈⨯+≈故选：B.10. 若，则的最小值01,01x y <<<<++为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据均值不等式，可得，，≥≥≥.≥【详解】因为， 01,01x y <<<<所以， 10,10x y ->->因为，222x y xy +≥所以， 22222)2((2)≥++=++x y xy x y x y， 2+≥x y，≥，≥≥≥所以两边分别相加得，≥当且仅当，即取等号，1111x y x yx yx y=⎧⎪=-⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩12xy ==的最小值为++故选：C.11. 已知数列满足，且，{}n a ()*11,(02,a mm m =--=≥∈N ()*2πsin3n nn a bn =∈N 则数列的前18项和为（ ） {}n b A. B.C.D.3-54---【答案】D 【解析】【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，求得数列{}n a 的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案.2sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b 【详解】由，则， (10m --=()2211m m m aa m --=即， ()()()2223212222121213111123n n n n aaa a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 显然，满足公式，即， 12111a ==21na n =当时，时，；当时，； 1n =2sin3π=2n =4sin 3π=3n =sin 20π=当时，，当时，时，； 4n =8sin3π=5n =10sin 3π=6n =sin 40π=则数列是以为周期的数列，由，则， 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭32sin 3n n n a b π=22sin 3nn b n π=设数列的前项和为，{}n b n n S 1812318S b b b b =++++22222212304560⎛⎛=+⨯+⨯++⨯+⨯+ ⎝⎝2221617180⎛++⨯+⨯ ⎝)22222212451617=-+-++- ()()()()()()1212454516171617=-++-+++-+⎤⎦)391533=++++ ()33362+⨯==-故选：D.12. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与交于两点，若满足2222:1(0)1x y C a a a -=>+F F l C ,A B 的直线有且仅有1条，则双曲线的离心率为（ ）AB 4=l CA.B.C.D.3232【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线的实轴长和通径长，由题意，过点的最短弦长为，从而求出，以及双曲F 24a =,a c 线的离心率．【详解】双曲线的实轴长为，通径长为2222:1(0)1x y C a a a -=>+2a 222222a a a a a+=+>由题意可得，过点的弦最短时，长为，解得，此时，则双曲线F AB 24a =2a =3c ==C的离心率为 32c a =故选：B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线与直线之间的距离为_____________． 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案. 【详解】直线可化为， 2:2410l x y +-=21202l x y +-=：则直线与直线平行,1:220l x y ++=2:2410l x y +-=故直线与直线之间的距离为， 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=d ==. 14. 设、分别在正方体的棱、上，且，，则直E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =13DF FC =线与所成角的余弦值为_____________． 1B E 1D F 【答案】1517【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值． D 1B E 1D F 【详解】、分别在正方体的棱、上，且，， E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =13DF FC =如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，D设，则，，，，4AB =()14,4,4B ()4,3,0E ()10,0,4D ()0,1,0F ，，()10,1,4B E =-- ()10,1,4D F =-设直线与所成角为，1B E 1D F θ则直线与所成角的余弦值． 1B E 1DF 11111115cos cos ,17B E D F B E D F B E D Fθ⋅====⋅故答案为：． 151715. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A 是椭圆的左顶点，点在1F 2F C 22221x y a b+=0a b >>C P过A 为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______. 12PF F △12120F F P ∠=︒C 【答案】##0.5 12【解析】【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，从而得到22PF c =2Rt PF QPQ =2F Q c =，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率.()2P c AP 2a c =C 【详解】由题意知，直线的方程为：， ()()()12,0,,0,,0A a F c F c --AP ()y x a =+由为等腰三角形，，得，12PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==过作垂直于轴，如图，则在中，， P PQ x 2Rt PF Q218012060PF Q∠=︒-︒=︒故，，22sin 2PQ PF PF c Q =∠==2221cos22F Q PF P c Q F c =∠=⨯=所以，即，()P c c+()2P c 代入直线，即， ):AP y x a =+()2a c =+2a c =所以所求的椭圆离心率为. 12c e a ==故答案为：.12.16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题： {}n a n n S ①若，则； 89S S <910S S <②若，则；110S =2100a a +=③若，则中最大； 13140,0S S ><{}n S 7S ④若，则使的的最大值为11． 210S S =0n S >n 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】【分析】①由题意可以推出，不能推出，判断①错误；②由题意可得，判断出90a >100a >1110a a +=②正确；③由题意可得，判断出③正确；④由题意可得，进而，780,0a a ><670a a +=670,0a a ><判断出④正确．【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故①错误；89S S <90a >100a >910S S <若，则，即，则，故②正确；110S =1111111()02a a S +==1110a a +=2101110a a a a +=+=若，则， 13140,0S S ><113781141371413()14()14()130,0222a a a a a a S a S +++==>==<所以，则中最大，故③正确； 780,0a a ><{}n S 7S 若，则， 210S S =1121045a d a d +=+即， 11167211560a d a d a d a a +=+++=+=因为首项为正数，则公差小于0，则， 670,0a a ><则，，11111611()1102a a S a +==>112126712()6()02a a S a a +==+=则使的的最大值为11，故④正确． 0n S >n 故答案为：②③④．三､解答题：本大题共6个小题､共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步鄹．17. 已知是数列的前项和，且，，设． n S {}n a n 24S =416S =nn S b n=（1）若是等比数列，求；{}n b 10b（2）若是等差数列，求的前项和， {}n a {}n b n n T 【答案】（1）1032b =（2） (1)2n n n T +=【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可． n 【小问1详解】解：已知是数列的前项和，且，，， n S {}n a n 24S =416S =nn S b n=则，4242b b =⎧⎨=⎩又是等比数列，设公比为,则，即； {}n b q 2422b q b ==841022232b b q ==⨯=【小问2详解】解：已知是等差数列，设公差为, {}n a d 又，，则，24S =416S =11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩则，即， 112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-则，2(121)2n n nS n +-==则， nn S b n n==则， (1)123...2n n n T n +=++++=即的前项和．{}n b n (1)2n n n T +=18. 在平面直角坐标系中，已知圆M 的圆心在直线上，且圆M 与直线相切于Oxy 2y x =-10x y +-=点． (2,1)P -（1）求圆M 的方程；（2）过的直线l 被圆M，求直线l 的方程．(0,2)-【答案】（1）()()22122x y -+=+（2）或 2y x =-2y x =--【解析】【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质得出该直线过圆P 10x y +-=心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）根据弦长得出点到直线l 的距离，分类讨论直线l 的斜率，设出方程，利用点到直线的距离列M 式，即可得出答案. 【小问1详解】过点与直线垂直的直线方程为：，即 (2,1)P -10x y +-=12y x +=-3y x =-则直线过圆心，3y x =-解得，即圆心为， 32y x y x =-⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=-⎩()1,2M -则半径为r 则圆M 的方程为：； ()()22122x y -+=+【小问2详解】过的直线l 被圆M ， (0,2)-则点到直线l的距离 M d ==若直线l 的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l 的距离为1，不符合题意； 0x =若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：，2y kx =-则，解得，d ==1k =±则直线l 的方程为：或.2y x =-2y x =--19. 如图， 和所在平面垂直，且．ABC DBC △AB BC BD CBA DBC θ==∠=∠=，（1）求证：； AD BC ⊥（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值． 2π3θ=ABD ABC 【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，由线面垂直的判AD E BE AD ⊥ABC DBC △≌△CE AD ⊥定定理及性质定理可证明；（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，求出AO BC ⊥O O ,,OD OC OA ,,x y z 两个平面的法向量即可求解. 【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,BE CE因为，所以.AB BD =BE AD ⊥因为为公共边， ,,AB BD CBA DBC BC =∠=∠所以，所以,所以.ABC DBC △≌△CA CD =CE AD ⊥因为平面，所以平面， ,,BE CE E BE CE =⊂ BCE AD ⊥BCE 因为平面,所以. BC ⊂BCE AD BC ⊥【小问2详解】 当,可设, 2π3θ=1AB =作于点,连接，易证两两垂直，AO BC ⊥O DO ,,AO OC OD 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，O ,,OD OC OA ,,x y z则, ()130,0,0,,0,,0,0,,0,22O D B C A ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝设平面的法向量为， ABD (),,n x y z =,10,,,2AB AD ⎛== ⎝ 所以，1020n AB y z n AD x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩令,可得.1z =1,x y ==()n =r易知平面，所以平面的法向量为，OD ⊥ABC ABC ()1,0,0m =设平面和平面的夹角为，ABD ABC α则cos ,m n m n m n⋅===⋅ 故平面和平面. ABD ABC 20. 已知直线与抛物线交于A ，B 两点．l 2:2(0)C x py p =>（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C 的焦点，求线段AB 的长； 2p =l （2）若交AB 于，求p 的值．OA OB OD AB ⊥⊥，(2,2)D -【答案】（1）8； （2）. 47【解析】【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式即可求()0,1F l 1y x =+解；（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线上，从而可得直线l y kx m =+1OD AB k k ⋅=-(2,2)D -l l 的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得，代入4y x =+12122,8x x p x x p +==-即可求解.0OA OB ⋅=【小问1详解】若，则抛物线，焦点为， 2p =2:4C x y =()0,1F 故直线的方程为. l 1y x =+设，()()1122,,,A x y B x y 联立，消去，可得，241x y y x ⎧=⎨=+⎩y 2440x x --=，故.()()24414320∆=--⨯⨯-=>12124,4x x x x +==-故.8AB ===【小问2详解】设直线的方程为，，l y kx m =+()()1122,,,A x y B x y 因为交AB 于，所以，且， OD AB ⊥(2,2)D -1OD AB k k ⋅=-1OD k =-所以，直线的方程为.1AB k =l y x m =+又在直线上，所以,解得. (2,2)D -l 22m =-+4m =所以直线的方程为.l 4y x =+由，消去，可得， 224x py y x ⎧=⎨=+⎩y 2280x px p --=则.12122,8x x p x x p +==-因为，OA OB ⊥所以，()()12121212121244280OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=++++=+++=即，解得. ()28280p p ⨯-++=47p =21. 已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S ()*123Nn n a S n +=+∈（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求数列的前项和． 21n nn b a -={}n b n n T 【答案】（1）3nn a =（2） 113n nn T +=-【解析】 【小问1详解】，，，故，即． 123n n a S +=+2n ≥123n n a S -=+12n n n a a a +=-13,2n n a a n +=≥，令，得到．123n n a S +=+1n =2123a a =+是等比数列，公比为3，且，，．{}n a 213a a =13a =1333n n n a -=⋅=【小问2详解】， 21213n n n n n b a --==，．23135213333n n n T -=++++ 234111352133333n n n T +-=++++ 两式相减，得2341212222213333333n n n n T +-=+++++- 231111121233333nn n +-⎛⎫=+⋅+++- ⎪⎝⎭ ， 1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅--111112113333n n n -+-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭122233n n ++=-故 113n nn T +=-22. 已知椭圆，点在椭圆上． 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛⎝C （1）求椭圆的标准方程；C （2）记为椭圆的左顶点，直线的斜率为1且过点，若直线与椭圆交于点（均A l ⎫⎪⎪⎭l ,M N ,M N 不与重合），设直线的斜率分别是，求的值．A ,AM AN 12,k k 12k k +【答案】（1）2212x y +=（2） 23-【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得解；,a b （2）求出直线方程，设，利用韦达定理求得，再结合斜率公式计算整()()1122,,,M x y N x y 1212,x x x x +理即可得出答案. 【小问1详解】由题设得，又，221121a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩222b a c =-解得，222,1a b ==所以椭圆的标准方程为；C 2212x y +=【小问2详解】 由题意设直线，()()()1122:,,,,l y x M x y N x y A =联立，消去得，2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩y 2310x --=故，121213x x x x +==-所以12k k+==1221x x x x ⎛⎛-++ ==．122233⎛⎫⨯--==-故的值为． 12k k +23-。
湖北省荆州中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
荆州中学高二圆月期末考数学（文科）试题一，选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设,则地一个必要不充分款件是（）A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】当时,是成立,当成立时,不一定成立,依据必要不充分款件地判定方式,即可求解.【详解】由题意,当时,是成立,当成立时,不一定成立,所以是地必要不充分款件,故选A.【点睛】本题主要考查了必要不充分款件地判定问题,其中解答中熟记必要不充分款件地判定方式是解答本题地关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2.已知椭圆长轴在轴上,若焦距为4,则等于（）A. 4B. 5C. 7D. 8【结果】8【思路】由椭圆地长轴在y轴上,则a2=m﹣2,b2=8﹣m,c2=a2﹣b2=2m﹣10．由焦距为4,即2c=4,即有c=2．即有2m﹣10=4,解得m=7．故结果为：7.3.已知直线和平面,若,,则过点且平行于地直线（）A. 只有一款,不在平面内B. 只有一款,且在平面内C. 有无数款,一定在平面内D. 有无数款,不一定在平面内【结果】B【思路】【思路】假设m是过点P且平行于l地直线,n也是过点P且平行于l地直线,则与平行公理得出地结论矛盾,进而得出结果.【详解】假设过点P且平行于l地直线有两款m与n,则m∥l且n∥l由平行公理得m∥n,这与两款直线m与n相交与点P相矛盾,故过点且平行于地直线只有一款,又因为点P在平面内,所以过点P且平行于l地直线只有一款且在平面内．故选：B【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间地位置关系,空间中直线与平面地位置关系．过一点有且只有一款直线与已知直线平行．4.已知数列是等差数列,且,则公差（）A. B. 4 C. 8 D. 16【结果】B【思路】试题思路：等差数列中考点：等差数列地性质5.“更相减损术”是《九章算术》中记录地一种求最大公约数地算法,按其算理流程有如下程序框图,若输入地,分别为165，66,则输出地为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【结果】B【思路】【思路】由题中程序框图知,该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量地值,模拟程序地运行过程,思路循环中各变量地变化情况,即可得到结果.【详解】由程序框图可知：输入时,满足,则,满足,则,满足,则,不满足,此时输出,故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构地程序框图地计算与输出问题,其中利用循环结构表示算法,一定要先确定是用当型循环结构,还是用直到型循环结构。
上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案(共3套)
高二第一学期期末考试试卷数学试题注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确．2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分．1．若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =__________．2．求行列式的值：111111124-=__________．3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________．4．椭圆2214y x +=的焦距为__________．5．双曲线221916y x -=的渐近线方程是__________．6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________．7．已知圆()224x a y -+=被直线1x y +=截得的弦长为a 的值为_________．8．将参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件32x y y x+≤⎧⎨≤⎩，则34z x y =+的最大值为__________．10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________．11．过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________．12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则1x yx ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是（ ）（A ）3arctan 4- （B ）3arctan4π+ （C ）3arctan 4π⎛⎫+-⎪⎝⎭（D ）3arctan 24π+14．若点M 在曲线sin 2cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上，则点M 的坐标可能是 （ ）（A ）1,2⎛ ⎝（B ）31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）(（D ）(15．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是 （ ）（A ）,33⎛-⎝⎭ （B ）0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ （C ）3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（D ）13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭16．关于曲线C ：441x y +=，则下列四个命题中，假命题．．．是（ ）（A ）曲线C 关于原点对称（B ）曲线C 关于直线y x =-对称（C ）曲线C 围成的面积小于π （D ）在第一象限中y 随x 的增大而减小三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．17．（本题8分）已知两条直线1l ：5560x my ++=，2l ：()21520m x y m -++=． （1）当m 为何值时，1l 与2l 相交； （2）当m 为何值时，1l 与2l 平行．18．（本题8分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K -，若AK AF =，求AFK △的面积．19．（本题10分）已知点()2,2P ，()0,4Q ，动点M 满足0PM QM ⋅=，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求POM △的面积．20．（本题12分）设椭圆221925x y +=的两焦点为1F 、2F ．（1）若点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积；（2）若AB 是经过椭圆中心的一条弦，求1F AB △面积的最大值．21．（本题14分）抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >； （3）若直线l 的斜率依次为1111,,,,,2482n ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为123,,,,,n N N N N ，求12231111n nN N N N N N -+++．参考答案一、填空题1．121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭2．6-3．()()2210x y --+=4．5．34y x =± 6．线段12F F 7．3或1- 8．2y x =-，[]2,3x ∈9．11 10．a 11．3π 12．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题 13．C14．B15．D16．C三、解答题 17．【解】()()55553215mD m m m ==--+-，()()651033215x mD m m m -==+--，()564322y D m m m-==-+--．当5m =时，两直线平行；当5m ≠且3m ≠-时，两直线相交．18．【解】（1）点A 的轨迹是以点F 为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，所以28y x =．（2）过点A 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，则AH AF =，所以AK =，所以三角形AHK是等腰直角三角形，所以AF KF ⊥，所以三角形AFK 的面积8S =． 19．【解】（1）M 的轨迹是以线段PQ 为直径的圆，所以点M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．（2）设圆心为C ．因为OP OM =，所以()1,3OC =垂直于直线MP ，所以直线MP 的方程为()()2320x y -+-=，即380x y +-=．圆心到直线MP的距离5d =，故弦长5MP =，点O 到直线MP的距离5h =，所以三角形POM的面积1162555S =⋅⋅=．20．【解】（1）设1P F m =，2PF n =，在三角形12PF F 中，由余弦定理，()()2221212122cos 21cos F F m n mn F PF m n mn F PF =+-∠=+-+∠，解得12mn =，所以三角形12F PF的面积121sin 2S mn F PF =∠= （2）因为直线AB 斜率存在，所以设其方程为y kx =，则点1F 到直线AB的距离d =．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆的方程：221925y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x ⇒=．则21AB x x ==-=所以三角形1F AB的面积12S AB d =⋅⋅=，当且仅当0k =时，取得最大值12． 21．【解】（1）1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩()2222204k k x k x ⇒+-+=（*）．因为l 交抛物线于两点，所以0k ≠且二次方程（*）根的判别式0∆>，解得()()1,00,1k ∈-⋃．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，21222k x x k-+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为2221,2k kk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，所以0211322x k =+>． （3）设(),0m m N x ，则142m m x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．高二年级第一学期数学期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ．9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。
西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ， 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。
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2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷（北京卷） 一、选择题：（12小题，共60分） 1. 已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．直线x－√3y＝3的倾斜角的大小为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知抛物线4y＝x2，则它的焦点坐标是( ) A．(0，2) B．(1，0) C．(2，0) D． (0，1) 4. 焦点在y轴上，虚半轴的长为4，半焦距为6的双曲线的标准方程为( )
A.y220－x216＝1 B.y216－x220＝1 C.y216－x236＝1 D.y236－x216＝1 5. 运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( ) A．281 B．58 C．85 D．10 6. 若f(x)＝ax3＋3x2＋2，f′(－1)＝3，则a的值等于( ) A．5 B．4 C．3 D．6 7．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( ) A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量 8. 给出下列命题，其中真命题为( ) A．对任意x∈R，x是无理数 B．对任意x，y∈R，若xy≠0，则x，y至少有一个不为0 C．存在实数既能被3整除又能被19整除
D．x>1是1x<1的充要条件 9．.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+错误！未找到引用源。 B.2+错误！未找到引用源。 C.1+2错误！未找到引用源。 D.2错误！未找到引用源。 10．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（ ） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D． 11．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（ ） A． B．1 C．2 D．4 12．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（ ） A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________. 14．已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p： ．
15．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
16．椭圆x2+9y2=9的长轴长为 ． 三.解答题（六大题，共70分）
17（10分）．已知曲线C：y＝x3+5x2+3x (1)求曲线C导函数.(2)求曲线C在x=1处的切线方程.
18．(12分)(1) 设命题p：(4x－3)2≤1，若p是真命题，求x的取值范围。 (2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
19．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求
从A，B，C区中分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率． 20．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.
21（12分）.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9. (1)判断两圆的位置关系; (2)求直线m的方程，使直线m过圆C1圆心，且被圆C2截得的弦长是6. 22. (12分)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程； (2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程． 2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：
1. 已知椭圆25x2＋16y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 点P到椭圆两个焦点距离之和为2a＝10， ∴10－7＝3. 【答案】 A 3．已知抛物线4y＝x2，则它的焦点坐标是( ) A．(0，2) B．(1，0) C．(2，0) D． (0，1) [答案] D 2．直线x－√3y＝3的倾斜角的大小为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】 A 4. 焦点在y轴上，虚半轴的长为4，半焦距为6的双曲线的标准方程为( )
A.20y2－16x2＝1 B.16y2－20x2＝1 C.16y2－36x2＝1 D.36y2－16x2＝1 【解析】 由双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为a2y2－b2x2＝1(a>0，b>0)． 已知b＝4，c＝6，则a2＝c2－b2＝62－42＝20， 故所求双曲线的标准方程为20y2－16x2＝1.故选A. 【答案】 A 5 运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( ) A．281 B．58 C．85 D．10 【解析】 ∵s′＝6t－2，当t＝10时，s′＝6×10－2＝58. 【答案】 B 6. 若f(x)＝ax3＋3x2＋2，f′(－1)＝3，则a的值等于( ) A．5 B．4 C．3 D．6 【解析】 ∵f(x)＝ax3＋3x2＋2， ∴f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝3，∴a＝3. 【答案】 C 7．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( ) A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量 【答案】 C 8. 给出下列命题，其中真命题为( ) A．对任意x∈R，是无理数 B．对任意x，y∈R，若xy≠0，则x，y至少有一个不为0 C．存在实数既能被3整除又能被19整除
D．x>1是x1<1的充要条件 【解析】 选项A为假命题，例如是有理数；选项B是假命题，若xy≠0，则x，y全都不为0；选项C是真命题；选项D中，x>1是x1<1的充分不必要条件． 【答案】 C 9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
A.1+ B.2+ C.1+2 D.2
解析:该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+. 答案:B 10．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（ ） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D． 【考点】圆的标准方程． 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， 半径为． 故选：D．
11．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】直接利用抛物线方程求解即可． 【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2． 故选：C．
12．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（ ） A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论． 【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为
﹣y2=1，可得a=，b=1，
由双曲线的渐近线方程y=±x， 可得所求渐近线方程为y=±2x． 故选：A．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12 14．已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p： ∃x∈R，x2＜0 ． 【考点】命题的否定． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2
＜0．
故答案为：∃x∈R，x2＜0．
15．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝
________. 【答案】2
16．椭圆x2+9y2=9的长轴长为 6 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a．
【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1， 即有a=3，b=1， 则长轴长为2a=6． 故答案为：6．
三、解答题： 17（12分）．已知曲线C：y＝x3+5x2+3x
(1)求曲线C导函数. (2)求曲线C在x=1处的切线方程. [解析] (1) y′＝3x2+10x+3，
（2）切线斜率k＝y′ￜx=1=16，当x=1时，y=9 ∴切线方程y-9＝16(x-1)， 即3x－y＋2＝0. 18．(12分)(1) 设命题p：(4x－3)2≤1，若p是真命题，求x的取值范围。 (2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． [解析] (1)若命题p为真，则
(2)由x2－x－2>0，得x>2或x<－1，令A＝{x|x>2或x<－1}；由4x＋m<0，得x<－4m，令B＝{x|x<－4m}． 因为p是q的充分条件，所以B⊆A，于是－4m≤－1，得m≥4，所以实数m的取值范围是[4，＋∞)． 19．(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.