《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用
导数偏导数方向导数梯度及其关系
导数：()()()00'000lim limx x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,导数意义为函数变化率。
由定义可知，导数是对应一元函数。
偏导数：()()()0000000,,,limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.偏导数是对应于多元函数。
其意义是：偏导数反应是函数沿坐标轴方向变化率。
方向导数：设l 为xOy平面上以()000,P x y 为始发点一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向单位向量。
则该射线参数方程为：00cos cos x x t y y t αβ=+=+,那么，函数(,)f x y ,在()000,P x y 沿l 方向方向导数为：()()()0000000,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f ltαβ+→++-∂=∂。
从方向导数定义可知，方向导数()00,x y f l∂∂就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 变化率。
方向导数也是对应于多元函数。
方向导数是一个标量值。
方向导数与偏导数关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l方向导数存在，且有()()()000000,,cos ,cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂,其中()cos ,cos l e αβ=为方向l 方向余弦。
（若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则()0000,(,)x x y ff x y l∂=∂，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则()0000,(,)y x y f f x y l∂=∂）.梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
偏导数与方向导数的计算与应用
偏导数与方向导数的计算与应用导数是微分学中的重要概念，它不仅可以对函数进行切线的斜率计算，还可以对多元函数进行求导运算。
在多元函数中，偏导数和方向导数是导数的两种常见形式。
本文将介绍偏导数和方向导数的计算方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、偏导数的计算方法偏导数是多元函数在某个指定变量上的导数。
它的计算方法与普通函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于二元函数f(x, y)，要计算其对x的偏导数∂f/∂x，可以视y为常数，将f(x, y)作为只与x有关的函数进行求导。
同样地，计算其对y的偏导数∂f/∂y时，将x视为常数进行求导。
对于多元函数而言，偏导数可以存在多个，每个偏导数都表示函数在不同变量上的变化率。
通过偏导数的计算，可以得到函数在各个方向上的斜率信息，进而分析函数对各个变量的依赖程度。
二、方向导数的计算方法方向导数是多元函数在某个指定方向上的导数。
它表示函数在该方向上的变化率。
设函数为f(x, y, z)，要计算在点P(x0, y0, z0)处沿着向量u=(a, b, c)的方向导数，可以按照以下步骤进行计算。
1. 求出点P的梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
2. 计算向量u与梯度向量的内积，即求出u与∇f的点积：u·∇f =a(∂f/∂x) + b(∂f/∂y) + c(∂f/∂z)。
3. 将点积的结果与向量u的模长相乘，得到方向导数的值：Duf = u·∇f × ||u||，其中||u||表示向量u的模长。
通过计算方向导数，我们可以研究函数在某个特定方向上的变化情况。
方向导数的大小和正负表明了函数增长或减少的趋势，对于优化问题和梯度下降算法等有重要应用价值。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在数学和物理学中有广泛的应用，以下是其中的几个典型例子：1. 函数极值的判定：通过计算偏导数，可以找到多元函数的极值点。
数学分析17.3多元函数微分学之方向导数与梯度
第十七章 多元函数微分学3方向导数与梯度定义1：设三元函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域U(P 0)⊂R 3有定义，l 为从点P 0出发的射线，P(x,y,z)为l 上且含于U(P 0)内的任一点，以ρ表示P 与P 0两点间的距离. 若极限ρ)f(P -f(P)lim00ρ+→=ρflim 0ρl ∆+→存在，则称此极限为函数f 在点P 0沿方向l 的方向导数，记作0P lz ∂∂,f l (P 0)或f l (x 0,y 0,z 0).若f 在点P 0存在关于x 的偏导数，则f 在P 0沿x 轴正向的方向导数为：P lz ∂∂=P xz ∂∂；当l 的方向为x 轴的负方向时，则有P lz ∂∂=-P xz ∂∂.定理17.6：若函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)可微，则f 在点P 0沿任一方向l 的方向导数都存在，且f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ，其中 cos α,cos β,cos γ是方向l 的方向余弦.证：设P(x,y,z)为l 上任一点，于是有⎪⎩⎪⎨⎧=∆==∆==∆=ρcosγz z -z ρcosβy y -y ρcosαx x -x 000，∵f 在点P 0可微，∴f(P)-f(P 0)=f x (P 0)△x +f y (P 0)△y +f z (P 0)△z+o (ρ)， 两边除以= f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ+ρ)ρ(o ，∴f l (P 0)=ρ)f(P -f(P)lim 00ρ+→=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ.注：二元函数f(x,y)对应的结果是：f l (P 0)=f x (x 0,y 0)cos α+f y (x 0,y 0)cos β， 其中α,β是平面向量l 的方向角.例1：设f(x,y,z)=x+y 2+z 3,求f 在点P 0(1,1,1)沿方向l:(2,-2,1)的方向导数. 解：∵f x (P 0)=1; f y (P 0)=2y|(1,1,1)=2; f z (P 0)=3z 2|(1,1,1)=3; 又cos α=2221)2(22+-+=32; cos β=-32; cos γ=31;∴f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ=32-34+1=31.例2：讨论f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<∞<<其余部分时当，，0x -，x y 012在原点处的方向导数.解：f 在原点不连续，所有不可微. 但在始于原点的任何射线上， 都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上，f 的函数值恒为0. 根据方向导数的定义，在原点处沿任何方向l 都有)(0,0lf∂∂=0.注：例2说明：(1)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，不是必要条件； (2)函数在一点连续既不是方向导数存在的必要条件也不是充分条件.定义2：若f(x,y,z)在点P 0(x 0,y 0,z 0)存在对所有自变量的偏导数，则称向量(f x (P 0),f y (P 0),f z (P 0))为函数f 在点P 0的梯度，记作：gradf=(f x (P 0),f y (P 0),f z (P 0)). 向量gradf 的长度(或模)为：|gradf|=)P (f )P (f )P (f 02z 02y 02x ++. 若记l 方向上的单位向量为：l 0=(cos α,cos β,cos γ)，则方向导数公式可写成：f l (P 0)=gradf(P 0)·l 0=|gradf(P 0)|cos θ，这里θ是梯度向量gradf(P 0)与l 0的夹角. 因此当θ=0时， f l (P 0)取得最大值|gradf(P 0)|，即当f 在点P 0可微时， f 在点P 0的梯度方向是f 的值增长最快的方向，且 沿这一方面的变化率就是梯度的模；而当l 与梯度向量反方向(θ=π)时，方向导数取得最小值-|gradf(P 0)|.例3：设f(x,y,z)=xy 2+yz 3, 求f 在P 0(2,-1,1)的梯度及它的模.解：由f x (P 0)=y 2|(2,-1,1)=1; f y (P 0)=2xy+z 3|(2,-1,1)=-3; f z (P 0)=3yz 2|(2,-1,1)=-3得， f 在P 0的梯度gradf=(1,-3,-3)，模为：222)3()3(1-+-+=19.习题1、求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)沿方向l(方向角分别为60⁰,45⁰,60⁰)的方向导数.解：∵u x (1,1,2)=y 2-yz|(1,1,2)=-1; u y (1,1,2)=2xy-xz|(1,1,2)=0; u z (1,1,2)=3z 2-xy|(1,1,2)=11; cos60⁰=21; cos45⁰=22; ∴f l (1,1,2)=(-1)×21+0+11×21=5.2、求函数u=xyz 在点A(5,1,2)沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数. 解：∵u x (5,1,2)=yz|(5,1,2)=2; u y (5,1,2)=xz|(5,1,2)=10; u z (5,1,2)=xy|(5,1,2)=5; cos α=222)214()14()59(59-+-+--=134; cos β=133; cos γ=1312; ∴f l (5,1,2)=2×134+10×133+5×1312=1398.3、求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在A(0,0,0)及B(5,-3,32)的梯度以及它们的模.解：∵u x (0,0,0)=2x+y-4|(0,0,0)=-4; u x (5,-3,32)=2x+y-4|(5,-3,2/3)=3； u y (0,0,0)=4y+x+2|(0,0,0)=2; u y (5,-3,32)=4y+x+2|(5,-3,2/3)=-5； u z (0,0,0)=6z-4|(0,0,0)=-4; u z (5,-3,32)=6z-4|(5,-3,2/3)=0；∴gradu(0,0,0)=(-4,2,-4)，|gradu(0,0,0)|=222)4(2)4(-++-=6； gradu(5,-3,32)=(3,-5,0)，|gradu(5,-3,32)|=2220)5(3+-+=34.4、设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1, 其中r=222)c z ()b y ()a -(x -+-+, 求u 的梯度，并指出在空间哪些点上等式|gradu|=1成立. 解：u x =x r dr du ∂∂=-r a -x r 1=2r x -a ; u y =y r dr du ∂∂=2ry -b ; u z =z r dr du ∂∂=2r z -c ;∴gradu=(2r x -a ,2r y -b ,2rz-c ). 当|gradu|=1时，由 222222r z -c r y -b r x -a ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222r z)-(c y)-(b x)-(a ++=42r r =r 1=1，知 222)c z ()b y ()a -(x -+-+=1，即空间以(a,b,c)为球心，以1为半径的球面上的所有点，都有|gradu|=1.5、设函数u=22c z -22ax -22b y ，求它在点(a,b,c)的梯度.解：∵u x (a,b,c)=-2a 2x |(a,b,c)=-a 2; u y (a,b,c)=-2b 2y |(a,b,c)= -b 2; u z (a,b,c)=2c2z|(a,b,c)=c 2; ∴gradu(a,bc)=(-a 2,-b 2,c 2).6、证明：(1)grad(u+c)=gradu,(c 为常数)； (2)grad(αu+βv)=αgradu+βgradv ； (3)grad(uv)=ugradv+vgradu ； (4)gradf(u)=f ’(u)gradu.证：设u=u(x 1,…,x n )，v=v(x 1,…,x n )；则 (1)grad(u+c)=(u x1,…,u xn )=gradu.(2)grad(αu+βv)=(αu x1+βv x1,…,αu xn +βv xn )=α(u x1,…,u xn )+β(v x1,…,v xn ) = αgradu+βgradv.(3)grad(uv)=(vu x1+uv x1,…,vu xn +uv xn )=u(v x1,…,v xn )+v(u x1,…,u xn ) =ugradv+vgradu.(4)gradf(u)=(f ’(u)u x1,…,f ’(u)u xn )=f ’(u)gradu.7、设r=222z y x ++, 试求：(1)gradr; (2)grad r1.解：(1)∵r x =rx ; r y =r y ; r z =r z; ∴gradr=r1(x,y,z).(2)令u=r 1, 则u x =dr du r x =-3r x ; r y =-3r y ; r z =-3rz ; ∴grad r 1=-3r 1(x,y,z).8、设u=x 2+y 2+z 2-3xyz, 试问在怎样的点集上gradu 分别满足： (1)垂直于x 轴；(3)平行于x 轴；(3)恒为零向量.解：∵u x =2x-3yz; u y =2y-3xz; u z =2z-3xy; ∵gradu=(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy). (1)当gradu 垂直于x 轴时，∵x 轴的方向向量为(1,0,0)， ∴(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)(1,0,0)=2x-3yz=0，即2x=3yz.(3)当gradu 平行于z 轴时，13yz -2x =03xz -2y =03xy-2z =c(常数)，即 2x-3yz=c, 2y=3xz, 2z=3xy.(3)当gradu 恒为零向量时， (2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)=(0,0,0)，即 2x=3yz, 2y=3xz, 2z=3xy ；解得x 2=y 2=z 2=94.9、设f(x,y)可微，l 是R 2上的一个确定向量. 倘若处处有f l (x,y)=0，试问此函数f 有何特征？解：若f l (x,y)=f x cos α+f y cos β≡0，即(f x ,f y )(cos α,cos β)=0，说明 函数f 在定义域内任一点P(x,y)的梯度向量与向量l 垂直.10、设f(x,y)可微，l 1与l 2是R 2上的一组线性无关向量. 试证明：若i l f (x,y)≡0, (i=1,2)，则f(x,y)≡常数.证：依题意，f l1(x,y)=f x cos α1+f y cos β1=0，f l2(x,y)=f x cos α2+f y cos β2=0， cos α1,cos β1为l 1的方向余弦; cos α2,cos β2为l 2的方向余弦; 又l 1与l 2性线无关，即2121βcos βcos αcos αcos ，，≠0，∴f x =f y =0，∴f(x,y)≡常数.。
方向导数与偏导数关系
方向导数与偏导数关系方向导数与偏导数是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着紧密的关系。
在这篇文章中，我们将生动地解释这两个概念的含义，并探讨它们之间的联系以及在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解方向导数的概念。
方向导数表示函数在给定方向上的变化率。
在二维平面上，我们可以将方向看作是一个角度，而在三维空间中，方向可以由一个向量表示。
方向导数告诉我们如果沿着某个给定的方向移动，函数的值会如何变化。
它可以帮助我们了解函数的变化趋势和最陡峭的方向。
方向导数的计算方法可以通过对函数进行求导来实现，具体的计算公式是：$$D_{\mathbf{u}} f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot\mathbf{u}$$其中，$\nabla f(x,y)$ 是函数 $f$ 的梯度向量，表示函数在点$(x,y)$ 上的变化率最大的方向，$\mathbf{u}$ 是表示给定方向的单位向量。
接下来，我们来讨论偏导数的概念。
偏导数表示一个函数在某个给定变量上的变化率。
它可以帮助我们对多变量函数进行分析和优化。
在二维平面上，函数通常依赖于两个变量 $x$ 和 $y$，我们可以分别对它们求偏导数来了解函数在不同变量上的变化。
在三维空间中，如果函数依赖于 $x$、$y$ 和 $z$，我们可以分别对这三个变量求偏导数。
一般来说，偏导数的计算方法与方向导数类似，只是我们将给定的方向取为坐标轴上的正方向，用单变量函数的导数来表示。
那么，方向导数和偏导数之间存在着怎样的联系呢？实际上，方向导数可以看作是偏导数的特例。
当我们取给定方向为某个坐标轴上的正方向时，方向导数就等于对应坐标上的偏导数。
例如，在二维平面上，我们可以计算函数 $f(x,y)$ 沿着 $x$ 轴的方向导数，这就等于对 $f(x,y)$ 求偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$。
同样，在三维空间中，方向导数 $D_{\mathbf{u}} f(x,y,z)$ 也可以表示为三个偏导数的线性组合：$$D_{\mathbf{u}} f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} u_1 + \frac{\partial f}{\partial y} u_2 + \frac{\partialf}{\partial z} u_3$$其中，$\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 是给定方向的单位向量。
偏导数与梯度
偏导数与梯度在数学和物理学的领域中，偏导数和梯度是两个相互关联的重要概念。
它们在解决多元函数中的极值、导数方向等问题上具有广泛的应用。
本文将介绍偏导数和梯度的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
1. 偏导数的概念偏导数是指多元函数对于其中一个变量的导数。
对于一个函数 f(x1, x2, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi，其中∂ 表示偏导数的符号。
偏导数表示了函数在某一个方向上的变化率。
2. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法与计算普通导数的方法相似，只需要将其他变量视为常数进行求导。
例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，需要计算∂f/∂x 和∂f/∂y，可以按照以下步骤进行计算：- 对于∂f/∂x，将 y 视为常数，对 x 进行求导，得到 2x + 2y。
- 对于∂f/∂y，将 x 视为常数，对 y 进行求导，得到 2x + 2y。
3. 偏导数与方向导数的关系偏导数可以被看作是方向导数在坐标轴上的投影。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，而偏导数为我们提供了函数在坐标轴上的变化率，从而可以用来求解方向导数。
4. 梯度的概念梯度是一个向量，由函数的偏导数组成。
对于一个函数 f(x1, x2, ..., xn)，其梯度表示为 grad(f) 或∇f，其中∇表示梯度的符号。
梯度指向函数上升最快的方向，其大小表示了函数变化率的大小。
5. 梯度的计算方法梯度的计算方法与偏导数的计算方法类似，只需要将所有的偏导数放在一个向量中。
例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，其梯度可以表示为 [2x + 2y, 2x + 2y]。
6. 偏导数与梯度的应用偏导数和梯度在各个领域中都有广泛的应用，以下是其中一些例子：- 在最优化问题中，通过求解函数的偏导数和梯度，可以找到函数的极值点。
- 在物理学中，梯度被用来表示场的变化率，例如电场、温度场等。
偏导数在几何上应用
平面的一般方程 A B x C y D z 0
平面的截距式方程 平面的三点式方程
x yz 1 a bc
xx1 x2 x1 x3 x1
yy1 y2 y1 y3 y1
zz1 z2 z1 0 z3 z1
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一、空间曲线的切线与法平面
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
即 x 2 y 3 z 8 0 .
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特殊地：
xx
1.空间曲线方程为
y z
解 1 直 接 利 用 公 式 ;
解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x 求 导 并 移 项 ， 得
y
dy dx
z dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
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dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
解 3 利用梯度. 记 F x 2 y 2 z 2 6 ,G x y z ,则
gr ( 1 , 2 a , 1 ) d { 2 , 4 , F 2 }g , r ( 1 , 2 a , 1 ) d { 1 , 1 , 1 } G .
由 r(t)所确定的C 空 为光间 滑曲曲 线. 线
7方向导数与梯度
有等值面(等量面)
o
x
(设c1 c2 c3)
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例 5 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
第八章8 方向导数与梯度
2 π π ∂z = cos( − ) + 2 sin( − ) = − . 2 4 4 ∂l
y 点 1， ） 例2 求 数 f ( x, y) = x2 − xy + r 2在 （ ，1） 函 方 夹 为 方 射l 方 导 .并 沿 x轴 向 角 α 的 向 线 的 向 数 并 与 问 怎 的 向 此 向 数 在 样 方 上 方 导 有 2） （1） 大 ； （ ） 小 ； （3） 于 ？ ） 最 值 最 值 ） 等 零
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 为方向导数的最大值
与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C r 在 π上考察 C P0 P的方向与 l 对应
π
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) 表示C 的割线向量
r P0 P 与 l 的交角的正切值
ρ
即
r P0 P关于 的斜率 关于l
当ρ → 0时
即
( x0 + ∆x, y0 + ∆y) →( x0, y0 )
( 1 ,1 )
3π π 7π π （3）当α = ） 和α = 时， 方向导数等于 0. 4 4
5π π （2）当 α = ） 时，方向导数达到最小值− 2 ; 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为 ∂ f = lim f ( x + ∆ x , y + ∆ y , z + ∆ z ) − f ( x , y , z ) , ρ→0 ∂l ρ
§17.3 方向导数与梯度 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
定义1设函数0000(,,)(,,)f x y z P x y z 在点的某邻域00()()lim lim lf f P f P ρρρρ++→→∆-= 记作00000,()(,,).l lP ff P f x y z l∂∂或300()R U P l P ⊂内有定义，为从点出发的射线.0P l 则称此极限为函数f 在点沿方向的若极限00(,,)(),||P x y z l U P P P ρ∈=记，任给不难看出: 若f 在点0P 存在对x 的偏导数，则f在点0P 沿x 轴正方向的方向导数恰为 §3 方向导数与梯度方向导数, 后退前进目录退出存在,对于y z f f 与也有相应的结论．当的方向为x 轴的负方向时，则有ll沿任一方向的方向导数都存在, 0000()()cos ()cos ()cos ,(1)x y z lf P f P f P f P αβγ=++ cos ,cos ,cos αβγ其中为的方向余弦．l证设(,,)P x y z 为上任一点，于是有l§3 方向导数与梯度00()()();x lf P f P l O x ==+ 00()()();x lf P f P l O x =-=-P 若0000(,,)(,,)f x y z P x y z 在点可微，则f 在点且上式左、右两边皆除以,ρ 并根据(2)式可得000cos ,cos ,cos .x x x y y y z z z ραρβργ⎫∆=-=⎪∆=-=⎬⎪∆=-=⎭(2)f 0P 由假设在点可微，则有000()()()()x y f P f P f P x f P y-=∆+∆0()().z f P z o ρ+∆+xyzO图17 –5∙∙x∆y∆z∆0P Pllim ()0,o ρρρ因为所以上式左边的极限存在:+→=()000()lim ()()l f P f P f P ρρ +→=-000()cos ()cos ()cos .x y z f P f P f P αβγ=++000()cos ()cos ()cos ().x y z f P f P f P o ραβγρ=+++()000()()()()x y f P f P f P x f P y ρρρ-=∆+∆0()()z f P z o ρρρ+∆+(,)f x y 对于二元函数来说, 相应于(1) 的结果为,αβ2R l 其中是中向量的方向角．000000(,)(,)cos (,)cos ,(2)x y lf x y f x y f x y αβ=+例1 230(,,),(1,1,1)f x y z x y z f P =++设求在点处 1(3,1,2).P -沿着指向点方向的方向导数解0.f P 易见在点可微故由000()1,()2,()3,x y z f P f P f P ===01(2,2,1)l P P ==-以及的方向余弦0222022cos ,32(2)1pp i pp α ⋅===+-+000021cos ,cos ,33pp j pp k pp pp βγ⋅⋅-====按公式(1) 可求得02211()123.3333lf P ⎛⎫=⋅+⋅-+⋅= ⎪⎝⎭例2 设函数21,0,,(,)0,y x x f x y 当时其余部分.⎧<<-∞<<+∞=⎨⎩已知它在原点不连续(当然也点的充分小的一段,都有(0,0)0.lf = 但在始于原点的l于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方向就不可微)．任何射线上, 都存在包含原在这一段上f 的函数值恒为零.定义2说明(i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；(ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件, 当然也非充分条件( 对此读者应能举出反例)．0000(,,)(,,)f x y z P x y z 若在点存在对所有自变量0000grad ()((),(),()).x y z f P f P f P f P =2220000|grad ()|.()()()x y z f P f P f P f P =++0grad ()f P 的长度(或模) 为0f P 在点的梯度,的偏导数, 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数则称向量记作0(cos ,cos ,cos ),l αβγ=则方向导数计算公式(1) 又可写成0000()grad ()|grad ()|cos .lf P f P l f P θ=⋅=这里θ是梯度向量0grad ()f P 与0l的夹角．当0θ=时, 0()lf P 取得最大值0|grad ()|f P .在定理17.6 的条件下, 若记方向上的单位向量为l §3 方向导数与梯度这就是说，当0f P 在点可微时,0f P 在点的梯度方向因此，是f 的值增长最快的方向, 且沿这一方向的变化率就是梯度的模; l()θπ=与梯度向量反方向而当时，0|grad ()|.f P -方向导数取得最小值处的梯度及它的模.解000()1,()3,()3,x y z f P f P f P 易得所以==-=-0grad ()(1,3,3),f P =--2220|grad ()|1(3)(3)19.f P =+-+-=§3 方向导数与梯度例3230(,,),(2,1,1)f x y z xy yz f P =+-设试求在点。
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《数学分析》教案 §3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用
一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示） 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 1、 参数方程的情形 设空间曲线l的参数方程为 ()()()xxtyytzzt
()atb
其中t的参数。又设,,xyz都在[,]ab连续，并且对每一[,],(),(),()tabxtytzt不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。 向量表示：()()()(),[,]rrtxtiytjztktab。()rt的导数定义为
000()()()limlim()()()()()()lim()()()()tttrrttrtrtttxttxtyttytzttztijktttxtiytjztk
(,,)xyz存在
几何意义：()()rrttrt表示通过曲线l上两点P、Q的割线的方向向量，令0t，即点Q得l通过点P时，rt的极限位置就是曲线l在点P的切向量，即()((),(),())rtxtytzt 有了切向量，就可写出曲线l在任一点0000(,,)pxyz的切线方程：000000()()()xxyyzzxtytzt 法平面：过点0p可以作无穷多条切线与切线x垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L在点0p处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0xtxxytyyztzz 例1 求螺旋线l：cos,sin,xatyatzct，（其中,,abc为常数）在点（a，0，0）的切线方程和法平面方程。 2、 空间曲线l是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？
设有一个方程组（两个曲线方程的联立）0),,(0),,(zyxGzyxF，又设F、G关于x，y，z有连续的偏导数，点
0000(,,)pxyz满足方程组：0),,(000zyxF ，0),,(000zyxG，并且F，G的Jacobi矩阵
xGxF yGyF zGzF 《数学分析》教案 在点0p的秩为2，不妨设 yGyF 00PzGzF。由方程组的隐函数存在定理（P526定理3）知道，在点0p的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数)(xyy，)(xzz从几何上看，即曲面下0),,(zyxF和0),,(zyxG在点0p的近分端定了一条光滑的曲线l（两曲面的交线），其方程为：xx ，)(xyy，)(xzz， 此处x是参数，与该切线l的切向量是))(),(,1(xzxg其中)(),(xzxy的求法可以用上节求法（方程组确定的隐函数求导法求出）
),(),(),(),()(zyGFxzGFxy； ),(),(),(),()(zyGFyxGFxz
例1、 求两柱面的交线112222zxyx在点0p)21,21,21(的切线方程和法平面方程。 二、 曲面的法向量、法线和切平面 1、0),,(zyxF的情形 若光滑曲线S的方程组0),,(zyxF，),,(0000zyxM为曲面上一点，过点0M任做一条在曲面上的曲线l，
设其方程为：)(txx，)(tyy，)(tzz。则切平面方程：0)()()()()()(000000zZFyYFxXFMzMyMx；过
点0M并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点0M的法线，方程为：000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX。 2、),(yxfZ：0),(),,(yxfZzyxF， ),,(000zyx ),(000yxfz 切平面方程：0)()()()()()(0),(0),(0),(000000zZzzyYyzxXxzyxyxyx
法线方程：1)()(0),(0),(00000zZyzyYxzxXyxyx 3、曲面方程由方程组给出： ),(vuxx，),(vuyy，),(vuzz
vu,是参数，并假定Jacobi矩阵 xxux vyuy vzuz的秩为2。
法线方程：000)),(),(()),(),(()),(),((000MMMvuyzzZvuxzyYvuzyxX 例3、求曲面122yxz在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 例4、证明对任何常数,，球面2222zyx和锥面222tgyx正交。 三、 方向导数和梯度 （一）数量场 数量场：设D是nR中的一个区域，f是定义在D内的一个实值函数，即RDf:。则称在D内有一《数学分析》教案 个数量场f，或称f是D内的数量场。 例如：教室中每一点的温度、位置等；点电荷形成的电位切； 磁铁周围磁力的大小。
等量面（等值面）：设f是D内的一个数量场，称})({CxfDxs （C是常数）是数量场f的等量面（等值面），即在S内每一点x处，f所对应的数值是相同的，都等于C。 特别当D是2R中的区域时，称S是等量线（或等值线）。 例如：天气预报中的等温面，等压面；地势图上的等的线（海报相同）。 （二）方向导数 过点0P引出两个模长相同的向量21,ll。 1l 4-1=3 从数量场变化的观点看：当一个动点从0P出发
2l 3-1=2 1、 什么是方向导数？
为方便计，在3R中考虑。定义设D是3R中的一个区域，f是D内的一个数量场，DP0，l是3R中的
一个单位向量，即,1l如果tPftlPft)()(lim000，存在，则称此极限是数量场f在点0P沿方向l的方向导数，记为)(0Plf，即tPftlPfPlft)()(lim)(0000。也称它是函数f在点0P沿方向l的方向导数，它表示数量场f在点0P沿方向l的变化率。 2、 方向导数存在的一个充分条件以及它的求法 定理1、设函数f在点0P可微，则f在点0P沿任何方向l的方向导数存在，并且有
cos)(cos)(cos)()(0000zPfyPfxPfPlf
其中cos,cos,cos是方向l的方向余弦。 3、 定理1应用：
例1、设xzezyxyu2，求u在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。 4、 平面的情形（即2R中的情形） 设D是2R中的一个区域，),(yxf是D内的一个二元可微函数，那么在D内每一点),(yx，f沿单位向量l
的方向导数是sincosyfxflf，其中是x轴的正向（即x轴上单位向量i）和向量l之间的夹角。 （三）梯度 1、引言 在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。 2、梯度的定义 设数量场),,(zyxf定义于某个三维区域D内，又设函数f具有关于各个多元的连续偏导数，称向量
kzzyxfjyzyxfixzyxf
),,(),,(),,(是f在点),,(zyx的梯度，记为),,(zyxgradf，即
kzzyxfjyzyxfixzyxfzyxgradf),,(),,(),,(),,( （它是一个向量，是由数量场f产生的向量）。 3、gradf的性质： 设gf,可微，则 （1）gradggradfgfgrad)(；gradfccfgrad)( （c是常数） 《数学分析》教案 （2）gradfggradgfgfgrad)(； （3）2)()(ggradfgfgradfgfgrad （0g）
（4）),,()()),,(((),,(zyxgradfuzyxfgradzyxfu （)(u在),,(zyxfu可微） 例2、设在空间原点处有一个点电荷q，在真空中产生一个静电场，在空间任一点),,(zyx处的电位是：
rqV，222zyxr
则 （1）V是0\3R内的一个数量场；（2）gradrrqgradV2rzkyjxirq2)(3zkyjxirq 4、gradf的意义 总结：gradf的方向表示数量场f在l分三元沿此方向的方向导数达到最大；gradf的根长就是这个最大的方向导数。
四Taylor公式 1、 复习：一元的情形 定理2（P173）、若)(xf在点a的邻域)(aO上1n次可微，则对每个)(aOx，记xax 存在),(xa
使得
)()(!)()(!2)())(()()()(2xraxnafaxafaxafafxfnnn 1)1()()!1()()(nnnaxnfxr
——（Lcegrarg型余项）1)1()()!1())((nnaxnaxaf，10。
（P169）推论1、设)()(afn存在，则 ))(()(!)()(!2)())(()()()(2nnnaxaxnafaxafaxafafxf （)(xf在a点的是Peano余项的Tayar展开式）。 2、 二元函数Taylet公式
定理1、设函数),(yxf在开圆盘22020)()(),(ayyxxyxD内有关yx,的各个1n阶连续偏导数。对D内任意一点),(yx，设00,yyyxxx，则 ),()(!21),(),(),(),(002000000yxfyyxxyyxyfxyxxfyxfyxf
),()()!1(1),()(!100100yyxxfyyxxnyxfyyxxnnn
nkkkyyxxfyyxxkyxfyyxxk000100),()()!1(1),()(
!
1
3、 peano型余项的Tayot公式 推论1、在定理1的条件下有
)(),()(!1),(),(10000nroyxfyyxxkyxfyxfnkk
其中22yxr 4、 n元函数的Taylar公式（P551）