不定积分教案
不定积分整章教案
不定积分整章教案1 NO.设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,f(x)F(x),x,II都有 , 或 , F(x),f(x)dF(x),f(x)dx则称函数为函数在区间上的一个. F(x)f(x)I2,,例如，cosx是的原函数,因为 .又因为, sinx(sinx),cosx(x),2x222,x ,所以x和x，1都是2的原函数. (x，1),2x一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数, F(x)G(x)f(x)I,, , , (F(x)),f(x)(G(x)),f(x),于是有 ,,. (G(x),F(x)),G(x),F(x),f(x),f(x),0所以 ,或 .G(x),F(x),CG(x),F(x)，C：任意两个原函数相差一个常数。
函数的所有原函数称为的，记作:. f(x)f(x)f(x)dx,其中“x”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称f(x)f(x)dx,为积分变量.由前面的讨论可知：如果是的一个原函数,那么 . F(x)f(x)f(x)dx,F(x)，C,dx 求. 2,1，x11,解由于，所以是的一个原函数，因此 (arctanx),arctanx221，x1，x2 NO.dx . ,arctanx，C2,1，x, 求. dxx,1,，1,,，1,,解当,(x),(,，1)x时,我们知道，，亦有 ,,,,1(x),x,，1 11,,，1,,，1即是的一个原函数，因此 ; xxxdx,x，C,,，1,1，11,当时，我们所要求的不定积分为 .因为，因此 ,,,1dx(lnx),,xx1 ． dx,lnx，C,xd1）或 ; ，，f(x)dx,f(x)，，df(x)dx,f(x)dx,,dx2）, 或. F(x)dx,F(x)，CdF(x),F(x)，C,,如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积 f(x)f(x),，1x, (1) xdx,，C(,,,1),（是常数）; (2) ; kkdx,kx，C,,,，111 (3) ; (4) ; dx,lnx，Cdx,arctanx，C2,,x1，xdx (5) ,arcsinx，C; (6) ; cosxdx,sinx，C,,21,x(7) ; (8) sinxdx,,cosx，C,dx2; ,secxdx,tanx，C2,,cosxdx2 (9) ,cscxdx,,cotx，C; (10) ; secxtanxdx,secx，C,,2,sinxxx （11）; （12）; cscx,cotxdx,,cscx，Cedx,e，C,,3 NO.xaxadx,，C （13）; （14）; (a,1)shxdx,chx，C,,lna（15）. chxdx,shx，C,（1） [f(x)，g(x)]dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,事实上，,,[f(x)dx，g(x)dx],[f(x)dx]，[g(x)dx],f(x)，g(x). ,,,, ：有限个函数的和的情况也有这一性质.（为常数，）. kk,0kf(x)dx,kf(x)dx,,1 求. [3,2x，,5sinx]dx2,x1dx 解 [3,2x，,5sinx]dx,3dx,2xdx，,5sinxdx22,,,,,xx221,，xx ,3(x，C),2(，C)，(，C),5(,cosx，C) 12342,2，112 ,. 3x,x,，5cosx，Cx2xx1，， . dx2,xx(1，)21111xx1，，解 ,(，)dx,dx，dxdx22,,,2,xx1，x1，xxx(1，),. ，Carctanx，lnx4x 求dx. 2,x1，4224,1，1(，1)(,1)，1xxxx 解 dxdxdx== 222,,,x1，1，1，xx4 NO.1122, (x,1，)dx,xdx,dx，dx22,,,,，1，1xx3x ,,x，arctanx，C. 3x2 求 sindx,2x112 解 sindx,(1,cosx)dx,(1,cosx)dx,,,22211 ,. [dx,cosxdx],(x,sinx)，C,,221 已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点P(x,y)k,x45y, ，求此曲线方程． (2)2 1 解设曲线方程为,，由假设， y,f(x)f(x),x4x112故 ,= ，，，，fx,fxdx,xdxx，C ,,84图5.1-1 2x5即 y,，C，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得 C82254x y,，2 ，解得 .因此所求方程为. ,，CC,28282 已知某产品的边际收入函数为,xR(x),60,2x,2x(为销售量),求总收入函数. R(x)2解 , R(x),R(x)dx,(60,2x,2x)dx,,223 . ,60x,x,x，C3当时,,从而,于是 x,0R,0C,0223 R(x),60x,x,x35 NO.求． cos2xdx,1解 x,u ，令2，得 cos2xdx,cos2xd(2x),,2111 , cos2xd(2x),cosudu,sinu，C,2221代回原变量，得 . cos2xdx,sin2x，C,2一般的我们有如下结论：设u是的连续函数，且， f(u)f(u)du,F(u)，C,设,,有连续的导数，则=． u,,(x),(x)F[,(x)]，Cf[,(x)],(x)dx,dF[,(x)]证明只需证明 ,即可． ,f[,(x)],(x)dxdF[,(x)]dF[,(x)],,,,，又由，故 ,F[,(x)],(x)F(u),f(u),f[,(x)],(x)dxdx1 求. dx,3,2x解令，则，故 u,3,2xdu,,2dxdx1d(3,2x)1du11. ,,,,,,lnu，C,,ln3,2x，C,,,3,2x23,2x2u22求,tanxdx．sinx解 = 因为， dx,sinxdx,dcosxtanxdx,,cosx设 u,cosx，则，因此， du,,sinxdxsinxdu ,tanxdx,=. dx,,,lnu，C,,lncosx，C,,cosxu练习：． ,cotxdx,lnsinx，C熟练以后，可直接写出结果:1 求. dx22,，ax6 NO.1111x1x1,dx,d(),arctan，C 解 =. dx,2,22,xxaaaaa，ax221，()1，()aadx 求(a>）. 0,22ax,xd()dx1dxxa 解 ,,,arcsin，C. ,,,22aaxxa,x221,()1,()aa1求. dx22,,xa 1111解由于,所以 ,(,)22ax,ax，a2x,adx111111 ,(,)dx,(dx,dx)22,,,,,，,，2axaxa2axaxa,xa111 ,[d(x,a),d(x，a)],,2ax,ax，a1x,a1 ,, ln，C. [lnx,a,lnx，a]，C2ax，a2a3求. sinxdx,322 解 sinxdx,sinxsinxdx,,(1,cosx)d(cosx),,,132 ,=. ,cosx，cosx，C,d(cosx)，cosxd(cosx),,322求与 . cosxdxsinxdx,,1，cos2x11x12 解 =. dx,dx，cos2xdx,，sin2x，Ccosxdx,,,,22224 1,cos2xx12 . sinxdx,dx,,sin2x，C,,224求. cscxdx,7 NO.xxx2d()secd()dxdx222解 ,,,cscxdx,,,,,,xxxxxsinx22sincostancostan22222xd(tan)x2 ,. ,，Clntan,x2tan2xx22sinsin1,cosxx22又 =. ,,cscx,cotxtan,xsinxsinx2cos2所以上述不定积分又可表示为. cscxdx,lncscx,cotx，C,练习： secxdx,lnsecx，tanx，C,求sin2xcos3xdx. ,解利用积化和差公式1 , sin,cos,,,,sin(,，,)，sin(,,,)21得 , sin2xcos3x,,,sin5x,sinx2111所以 sin2xcos3xdx, (sin5x,sinx)dx,sin5xdx,sinxdx,,,,22211 ,. ,cos5x，cosx，C102设函数,,严格单调、可导且，设具有原函x,,(t),(t),0f[,(t)],(t),1数.则,,(x)f[,(t)],(t)dt]，其中是的反函数. x,,(t)f(x)dx,[,1,,t,,(x) ,1 证设 ,,[F(,(x))，C],f(x)，只需证 f[,(t)],(t)dt,F(t)，C,1ddFtdt(),1而 ,,f[,(t)],(t),,f[,(t)],f(x). F,x,,(()),,(t)dxdtdx8 NO.dx求. ,1，x2 解作变量代换 x,t( 以消去根式)，于是，,从而x,tdx,2tdtdxt1 ,2dt,2(1,)dt ,,,1，t1，t1，x,2t,2ln(1，t)，C,2x,2ln(1，x)，C.22求aa,xdx (>). 0,解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令,,22 ， , 则 ,, x,asint,,t,dx,acostdta,x,acost222222 a,xdx,acost,acostdt,acostdt ,,,21，cos2ta12,, ,adt,t，sin2t，C, ,,,222,,22xx,ax回代变量，由cos,，得 ,, sint,t,arcsintaaa222axxa,x22 故有 a,xdx,(arcsin，)，C 2,2aa2axx22 ,arcsin，a,x，C. 22adx 求> (a0),22x，a22解利用三角公式 1，tant,sect来化去根式，,,2 设 dx,asectdt << ,则 , (,)x,atantt22222222 ,于是 x，a,a，atant,a1，tant,asect9 NO.2asectdx,,dt,,sectdt . ,lnsect，tant，C,22asectx，a22x，xa由 sec,，得 , 因此, tant,taa22xx，adx ,ln(，)，C ,22aax，a22 C,C,lna, 其中 . ,ln(x，x，a)，C11dx 求(a> 0),22xa,解设x>，令， 0x,acht22 利用公式cht,sht,1 有222222 ， dx,ashtdtx,a,a(cht,1),asht,ashtdxasht于是有 ,dt,t，C， ,,22ashtx,a22,xaxt注意：,，,，两边取导数得 eshtchtaa22 t,ln(x，x,a),lnadx22所以 ,ln(x，x,a)，CC,C,lna,其中 . 11,22x,adx求 ,x1，e2dtx2 解为化去根式，令x,lnt,2lnt，则，， dx,e,tt21，,ttdx ,dt,2dt ,,,x(1，)(1，)tttt1，e10 NO.11，， ,2,dt,2[lnt,ln1，t]，C ,,,t1，t，，2t,, . ,ln，C,,1，t,,2x，，edxx将回代得 . ,，Ct,eln,,,xx1，e，e1,,，，dx求 . 2,2x，4x，3dx1dx1dx 解 ,,2,,,31222x，4x，322x，2x，(x，1)，22111x，1 ,d(x，1),,2arctan，C,112222(x，1)，()222,arctan2(x，1)，C . 2dx 求 . ,24x，9dx1d(2x)dx 解 ,,,,,2222224x，9(2x)，3(2x)，312 . ,ln(2x，4x，9)，C211 NO.,,,,,, ，移项得, . (uv),uv，uvuv,(uv),uv对这个等式两边求不定积分，得,,. （1） uvdx,uv,uvdx,,简便起见,公式（1）常写成下面的形式：. （2） udv,uv,vdu,,求. xcosxdx,解这个积分用换元积分法不易求得结果。
高一数学课程教案引入不定积分的应用与计算
高一数学课程教案引入不定积分的应用与计算一、引言数学是一门抽象而又实用的学科，其中不定积分是数学分析中一个重要的概念。
不定积分的应用与计算是高一数学课程中的一个关键部分。
本教案旨在帮助学生了解不定积分的概念、理解其应用领域，并学会正确计算不定积分。
二、概念引入1. 不定积分的定义不定积分，也称为原函数，是函数求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，其原函数F(x)即为满足F'(x) = f(x)的函数。
2. 不定积分与定积分的关系不定积分与定积分是密切相关的。
不定积分可以看做是定积分在积分区间上的一个特殊情况，即取积分上限为x，下限为常数。
三、应用领域1. 面积计算通过不定积分的求解，可以准确计算曲线和x轴围成的图形的面积。
这种方法被广泛应用于工程和科学领域中的曲线面积问题。
2. 弧长计算不定积分可以帮助我们计算曲线的弧长，这在物理学、工程学和计算机图形学中都是重要的应用领域。
3. 定积分的计算不定积分为我们提供了计算定积分的方法，通过求取原函数再进行定积分运算，可以得到一段区间内函数的平均值或总和。
四、计算方法1. 基本积分公式学生需掌握一些常见函数的基本积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等，以便能够正确地进行积分运算。
2. 替换法替换法是一种常用的求不定积分的方法，它通过引入一个新的变量来简化积分计算过程。
例如，将∫f(g(x))g'(x)dx替换成∫f(u)du，其中u=g(x)。
3. 分部积分法分部积分法是另一种重要的积分计算方法，它通过对一个复杂表达式进行拆分，从而转化为两个简单项的积分计算。
例如，∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
五、练习与巩固1. 数学建模问题学生应该通过解决一些数学建模问题来巩固所学知识。
例如，根据已知函数模型，计算实际问题中的相关面积、体积或距离等。
2. 反复练习与实践鼓励学生通过大量的练习和实践，加深对不定积分的理解与掌握。
高等数学教案-不定积分
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握换元积分法
教 学 基 本 内 容
1.定理：（第一换元积分法）设 有原函数 ，且 是可导函数，则 ，该公式称为第一换元公式．
2.几种常用的凑微分求解的积分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
3.若 是 在区间 上的一个原函数，即 = ，则 也是 在区间 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 是 在区间 上的一个原函数，那么 在区间 上的任意一个原函数可以表示为 ，其中 是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果 是 在区间 上的一个原函数，则 在区间 上带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的不定积分，记作 ，即 = ，其中， 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，任意常数 称为积分常数．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8求 ．
例9.建立递推公式 .
《高职应用数学》教案 第24课 不定积分的积分方法
第24课不定积分的积分方法复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33 min）【教师】引入课题——换元积分法和分部积分法利用不定积分的基本积分公式及性质可以求出一些不定积分，但这种方法只能求一些简单的不定积分，对于一些复杂的积分（如2sin5d2e dxx x x x⎰⎰，等），靠上述方法是解决不了的．为了能求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其他方法．本节我们将介绍求不定积分的两种主要方法：换元积分法和分部积分法．换元积分法可分为第一换元积分法（凑微分法）和第二换元积分法（去根号法）两种．【教师】讲解不定积分的第一类换元积分法（凑微分），将凑微分的方法分成三类，针对每一类，从易到难的列举例题，反复讲解，总结被积函数的特点规律，使学生达到熟练掌握的目的定理1（第一换元积分法）设函数()f u具有原函数()F u，且()u xϕ=可导，则函数[()]F xϕ是函数[()]()f x xϕϕ'的原函数，即有换元公式()[()]()d[()]()du xf x x x F x C f u uϕϕϕϕ=⎡⎤'=+=⎣⎦⎰⎰．上述积分方法称为第一换元积分法，也称为凑微分法．求sin5d x x⎰．解将d x进行配凑，因为1d d(5)5x x=，所以1sin5d sin5d(5)5x x x x=⎰⎰5111sin d cos cos5555u x u u u C x C==-+-+⎰还原．（例2～例4详见教材）从以上例子可以看出，第一换元积分法的关键在于“配凑”．为方便计算，下面给出一些常用的凑微分公式供大家学习不定积分的第一类换元积分法（凑微分）和第二类换元积分法。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例11()()d [()]()d t x f x x f t t t ψψψ-=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰，其中，1()t x ψ-=为()x t ψ=的反函数．第二换元积分法主要包括两种方法：简单根式换元法和三角换元法．下面通过例子来介绍这两种方法．1）简单根式换元法求d 1xx+⎰．解 求这个积分的主要困难是x ，所以令x t =，则2x t =，显然d 2d x t t =，于是d 2d 1112d 21d 1111x t t t t t t t t x +-⎛⎫===-⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 2(ln |1|)2(ln |1|)t t C x x C =-++=-++．求1d 21x x +-⎰．解 为了去掉根号，设1t x =-，则21x t =+，d 2d x t t =，于是1222d d 2d 2221t t x t t t t x +-==+++-⎰⎰⎰12d 4d 24ln |2|2t t t t C t=-=-+++⎰⎰214ln |21|x x C =--+-+．2）三角换元法求22d (0)a x x a ->⎰． 解 设sin x a t =，则d cos d x a t t =．令π||2t <，于是得 2222222d sin cos d cos d a x x a a t a t t a t t-=-⋅=⎰⎰⎰221(1cos 2)d sin 2222a a t t t t C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰例12 例11 例10（5）22d arcsinx xC aa x=+-⎰；（6）22d 1arctan x xC a x a a=++⎰； （7）22d 1ln 2x x aC x a a x a-=+-+⎰；（8）22d 1ln 2x a xC a x a a x +=+--⎰；（9）2222d ln ||xx x a C x a =+±+±⎰．【学生】理解、掌握不定积分的第一类换元积分法（凑微分），了解不定积分的第二类换元积分法第二节课讲授新课（22 min ）【教师】讲解不定积分的分部积分法，通过由易到难的例题使学生掌握其应用前面在复合函数微分法的基础上得到了换元积分法，现在我们利用函数乘积的微分运算来推导分部积分法． 设函数()()u u x v v x ==，具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+， 即 ()()[()()]()()u x v x u x v x u x v x '''=-．对上式的两边求不定积分，有()()d [()()]d ()()d u x v x x u x v x x u x v x x '''=-⎰⎰⎰，即 ()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，上式可简记为 d d u v uv v u =-⎰⎰．此公式为分部积分公式．在运用分部积分公式时，应当正确选取函数u 和函数v ，下面举例来说明．求e d x x x ⎰．解 设d e d d(e )x x u x v x ===，，于是d d e x u x v ==，，所以e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．学习不定积分的分部积分法。
高等数学教案-不定积分
du
2
f
(
u )d(
u );
（5）
f
(1) u
1 u2
du
f
(1 )d( u
1 ); u
（6）
f
(ln u)
1 u
du
Байду номын сангаас
f
(ln u)d(ln
u);
（7） f (sin u) cos udu f (sin u)d(sin u);
（8） f (cos u) sin udu f (cos u)d(cos u); （9） f (tan u) sec2 udu f (tan u)d(tan u);
f (u)
二．第二换元积分法
1.定理：（第二换元积分法）设 x (t) 是单调的可导函数，且 (t) 0 ，又设 f [ (t)] (t) 的一个原
函数为 (t) ，则 f (x)dx = [ 1(x)] C ,该公式称为第二换元公式．
2.常用的第二换元积分法：
（1）含有根式 n ax b 时，令 n ax b t ；
新知识课
黑板多媒体结合
作业布置 课后习题
教 学 基本内容
一．分部积分法
1．定理：设 u u(x), v v(x) 在区间 I 上都有连续的导数，则有 u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx ，
简记为 uvdx uv uv dx ，或 udv uv v du ，称为分部积分公式．
数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 f (x) 在区间 I 上的任意一个原函数可以表示 为 F (x) C ，其中 C 是任意常数．
高等数学教案ch 4 不定积分.
高等数学教案第四章不定积分教学目的：第四章不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈I, 都有F '(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sin x)'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为(x)'=1, 所以x是1的原函数. 2x2x提问:cos x和1还有其它原函数吗？ 2x原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ∈I 都有F '(x)=f(x).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则Φ(x)-F(x)=C (C为某个常数).高等数学课程建设组1高等数学教案第四章不定积分定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作⎰f(x)dx.其中记号⎰称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即⎰f(x)dx=F(x)+C.因而不定积分⎰f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以⎰cosxdx=sinx+C.因为x是1的原函数, 所以 2x例2. 求函数f(x)=1的不定积分. x解：当x>0时, (ln x)'=1, x⎰1dx=lnx+C(x>0); x当x<0时, [ln(-x)]'=1⋅(-1)=1, -xx⎰1dx=ln(-x)+C(x<0). x合并上面两式, 得到⎰1dx=ln|x|+C(x≠0). x例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y'=f'(x)=2x,,即f(x)是2x 的一个原函数.因为⎰2xdx=x2+C,高等数学课程建设组2 ⎰1dx=x+C. x高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C.因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C, C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: d[⎰f(x)dx]=f(x), dx或 d[⎰f(x)dx]=f(x)dx;又由于F(x)是F '(x)的原函数, 所以⎰F'(x)dx=F(x)+C,或记作⎰dF(x)=F(x)+C.由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)⎰kdx=kx+C(k是常数), (2)⎰xμdx=1xμ+1+C, +1(3)⎰1dx=ln|x|+C, x(4)⎰exdx=ex+C, x(5)⎰axdx=a+C, lna(6)⎰cosxdx=sinx+C,(7)⎰sinxdx=-cosx+C, (8)⎰1dx=sec2xdx=tanx+C, ⎰cos2x(9)⎰12=⎰csc2xdx=-cotx+C, sinx高等数学课程建设组3高等数学教案第四章不定积分(10)⎰1=arctanx+C, 1+x(11)⎰1=arcsinx+C, -x2(12)⎰secxtanxdx=secx+C,(13)⎰cscxcotdx=-cscx+C,(14)⎰sh x dx=ch x+C,(15)⎰ch x dx=sh x+C.例4例5 ⎰xdx=⎰x-3dx=-3+1x-3+1+C=-2x+C.111⎰x2xdx=⎰5x2dx7+1122=x+C=x2+C=2x3+C. +17725例6 ⎰dx=⎰xx-4x3dx=-4+1x3-+13+C-1=-3x3+C=-3+C. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰[f(x)+g(x)]dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx.这是因为, [⎰f(x)dx+⎰g(x)dx]'=[⎰f(x)dx]'+[⎰g(x)dx]'=f(x)+g(x).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx(k是常数, k ≠0).例7. ⎰x(x-5)dx=⎰5x2dx-725(x21-5x2)dx 5x2dx-51x2dx =⎰⎰15x2dx3=⎰⎰22 =x2-5⋅x2+C. 7332(x-1)3x-3x+3x-1=(x-3+3-1)dx 例8 ⎰dx=⎰⎰22xx2xx=⎰xdx-3⎰dx+3⎰1dx-⎰1=1x2-3x+3ln|x|+1+C. x2xx高等数学课程建设组4高等数学教案第四章不定积分例9 ⎰(ex-3cosx)dx=⎰exdx-3⎰cosxdx=ex-3sinx+C. 例10 ⎰2xexdx=⎰(2e)xdx=xx(2e)x+C=2e+C. ln(2e)1+ln22x+(1+x2)1+x+x 例11 ⎰=⎰=⎰(12+1)dx 22x(1+x)x(1+x)1+xx=⎰12dx+⎰1dx=arctanx+ln|x|+C. x1+x44(x2+1)(x2-1)+1xx-1+1 例12 ⎰=⎰=⎰dx 1+x21+x21+x2=⎰(x2-1+1dx=⎰x2dx-⎰dx+⎰11+x1+x=1x3-x+arctanx+C. 3例13 ⎰tan2xdx=⎰(sec2x-1)dx=⎰sec2xdx-⎰dx= tan x - x + C .例14 ⎰sin2x dx=⎰1-cosxdx=1⎰(1-cosx)dx 222=例15 1(x-sinx)+C. 2⎰1=4⎰12=-4cotx+C. sinxsin2cos222高等数学课程建设组5高等数学教案第四章不定积分 §4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u), u=ϕ(x), 且ϕ(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F[ϕ(x) ]=d F(u)=F '(u)d u= F' [ϕ(x) ] dϕ(x)= F '[ϕ(x) ]ϕ'(x)d x ,所以 F '[ϕ(x)]ϕ'(x)dx= F '[ϕ(x)] dϕ(x)= F '(u)d u= d F(u)=d F[ϕ(x) ],因此⎰F'[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰F'[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰F'(u)du=⎰dF(u)=⎰dF[ϕ(x)]=F[ϕ(x)]+C.即⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=[⎰f(u)du]u=ϕ(x)=[F(u) +C] u = ϕ(x) = F[ϕ(x)]+C.定理1 设f(u)具有原函数, u=ϕ(x)可导, 则有换元公式⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C .被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x)dx =du可以应用到被积表达式中.在求积分⎰g(x)dx时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[ϕ(x)]ϕ'(x)的形式, 那么⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=[⎰f(u)du]u=ϕ(x).例1. ⎰2cos2xdx=⎰cos2x⋅(2x)'dx=⎰cos2xd(2x)=⎰cosudu=sinu+C=sin 2x+C .例2. ⎰3+2x=2⎰3+2x(3+2x)'dx=2⎰3+2xd(3+2x) 11111=1⎰1dx=1ln|u|+C=1ln|3+2x|+C. 2u22例3. ⎰2xexdx=⎰ex(x2)'dx=⎰exd(x2)=⎰eudu=eu+C=ex+C.例4. ⎰x-x2dx=1⎰-x2(x2)'dx=1⎰-x2dx2 22=-1⎰-x2d(1-x2)=-1⎰u2du=-1u2+C 223=-1(1-x2)2+C. 3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案第四章不定积分例5. ⎰tanxdx=⎰sinxdx=-⎰1dcosx cosxcosx =-⎰1du=-ln|u|+C u=-ln|cos x|+C .=-ln|coxs|+C. 即⎰tanxdx类似地可得⎰cotxdx=ln|sinx|+C.熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. ⎰a+xdx=a⎰111dx1+(2a=1⎰1x=1arctanx+C. a1+()2aaaa即 n+C. ⎰a2+x2=aarcta11x例7. ⎰chx=a⎰chxx=a shx+C. aaaa例8. 当a>0时,1=111xdx=⎰dx=arcs+C. ⎰aaaxxa2-x222-(-(aa⎰即⎰1=arcsx+C. 22a-x例9. ⎰x2-a2dx=2a⎰x-a-x+a)dx=2a[⎰x-adx-⎰x+adx] 1111111=1[⎰1d(x-a)-⎰1(x+a)] 2ax-ax+a=1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=1ln|x-a|+C. 2a2ax+a即⎰x-a=2aln|x+a|+C.⎰x(1+2lnx)=⎰1+2lnx=2⎰dxdlnx1d(1+2lnx) 1+2lnx11x-a 例10.=1ln|1+2lnx|+C. 2高等数学课程建设组7高等数学教案第四章不定积分例11. ⎰e=2⎰ed=2⎰e3xdx 3x=2e+C. 3含三角函数的积分:例12. ⎰sin3xdx=⎰sin2x⋅sinxdx=-⎰(1-cos2x)dcosx=-⎰dcosx+⎰cos2xdcosx=-cosx+1cos3x+C. 3例13. ⎰sin2xcos5xdx=⎰sin2xcos4xdsinx=⎰sin2x(1-sin2x)2dsinx=⎰(sin2x-2sin4x+sin6x)dsinx=1sin3x-2sin5x+1sin7x+C. 357例14. ⎰cos2xdx=⎰1+cos2xdx=1(⎰dx+⎰cos2xdx) 22=1⎰dx+1⎰cos2xd2x=1x+1sin2x+C. 2424例15. ⎰cos4xdx=⎰(cos2x)2dx=⎰[1(1+cos2x)]2dx 2=1⎰(1+2cos2x+cos22x)dx 4=1⎰3+2cos2x+1cos4x)dx 422=1(3x+sin2x+1sin4x)+C 428=3x+1sin2x+1sin4x+C. 8432例16. ⎰cos3xcos2xdx=1⎰(cosx+cos5x)dx 2=1sinx+1sin5x+C. 2101dx 例17. ⎰cscxdx=⎰1dx=⎰sinx2sincos22高等数学课程建设组8高等数学教案第四章不定积分dxdtanx=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . =⎰=⎰2tancos2tan222xdx 即⎰csc=ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰secxdx=⎰csc(x+πdx=ln|csc(x+ π)-cot(x+ π)|+C 222=ln |sec x + tan x | + C.xdx 即⎰sec=ln |sec x + tan x | + C.二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t)是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t)≠0. 又设f [ϕ(t)]ϕ'(t)具有原函数F(t), 则有换元公式⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt=F(t)=F[ϕ-1(x)]+C.其中t=ϕ-1(x)是x=ϕ(t)的反函数.这是因为{F[ϕ-1(x)]}'=F'(t)dt=f[ϕ(t)]ϕ'(t)1=f[ϕ(t)]=f(x). dxdt例19. 求⎰2-x2dx(a>0).解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么a2-x2=2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt=a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C. 24因为t=arcsin22x, sin2t=2sintcost=2x⋅a-x, 所以 aaa⎰2a11a-xdx=a(t+sin2t)+C=arcsinx+1xa2-x2+C. 2a224222解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么 22高等数学课程建设组9高等数学教案第四章不定积分⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt2 =a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C=aarcsinx+1xa2-x2+C. 2a224提示:2-x2=a2-a2sin2t=acost, dx=acos tdt .22提示: t=arcsinx, sin2t=2sintcost=2x⋅-x. aaa例20. 求⎰dx(a>0). x2+a2解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22x2+a2=2+a2tan2t=a+tan2t=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是⎰2dxasect=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . =⎰⎰asectx2+a222因为sect=x+a, tant=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C=ln(x+x2+a2)+C=ln(x+x2+a2)+C, 1aax2+a2其中C 1=C-ln a .解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22⎰dx=asec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+C ⎰asect⎰x2+a222xx+a =+)+C=ln(x+x2+a2)+C1, aa其中C 1=C-ln a .提示:x2+a2=2+a2tan2t=asect , dx=a sec 2t dt ,22提示:sect=x+a, tant=x. aa解法二: 设x=a sh t , 那么高等数学课程建设组10高等数学教案第四章不定积分⎰dx=⎰ach t=⎰dt=t+C=arshx+C ach tax2+a2 ⎛⎫ =ln x+(x)2+1⎪+C=ln(x+x2+a2)+C1, a⎝a⎭其中C 1=C-ln a .提示: x2+a2=2sh2t+a2=a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰dx(a>0). x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2x2-a2=a2sec2t-a2=a2t-1=a tan t ,于是⎰dx=⎰asecttant=⎰sectdt= ln |sec t + tan t |+C . atantx2-a222因为tant=x-a, sect=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C =ln|x+x2-a2|+C=ln(x+x2-a2)+C, 1aax2-a2其中C 1=C-ln a .当x<a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a2=-ln(-x+x2-a2)+C=ln(-x-x2-a2)+C1,22-x-x-a=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1, a其中C 1=C-2ln a .综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2高等数学课程建设组11高等数学教案第四章不定积分⎰dx =⎰asecttant=⎰sectdt22atantx-a22 =ln|sect+tatn|+C=lnx+x-a)+C aa(+x2-a2)+C, =lnx其中C 1=C-ln a .当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a22222-x-x-a =-ln(-x+x-a)+C=ln+C a =ln(-x-x2-a2)+C1,其中C 1=C-2ln a .提示:x2-a2=2sec2t-a2=a2t-1=atant .22x-a提示:tant=, sect=x. aa综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2补充公式:(16)⎰tanxdx=-ln|cosx|+C,(17)⎰cotxdx=ln|sinx|+C,(18)⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C,(19)⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C, (20)⎰(21)⎰(22)⎰(23)⎰1=1x+C, aaa+x221=1ln|x-a|+C,2ax+ax-a1=arcsinx+C, aa2-x2 dx=ln(x+x2+a2)+C, x2+a2高等数学课程建设组12高等数学教案第四章不定积分(24)⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2§4. 3 分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv)'=u'v+uv',移项得 uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分, 得⎰uv'dx=uv-⎰u'vdx, 或⎰udv=uv-⎰vdu,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⎰uv'dx=⎰udv=uv-⎰vdu=uv-⎰u'vdx= ⋅⋅⋅.例1 ⎰xcosxdx=⎰xdsinx=xsinx-⎰sinxdx=x sin x-cos x+C .例2 ⎰xexdx=⎰xdex=xex-⎰exdx=xex-ex+C.例3 ⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2=x2ex-2⎰xexdx=x2ex-2⎰xdex=x2ex-2xex+2⎰exdx=x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C.例4 ⎰xlnxdx=1⎰lnxdx2=1x2lnx-1⎰x2⋅1dx 222x=1x2lnx-1⎰xdx=1x2lnx-1x2+C. 2224例5 ⎰arccosxdx=xarccosx-⎰xdarccosx=xarccosx+⎰x1 -x21- =xarccosx-1⎰(1-x2)d(1-x2)=xarccosx--x2+C. 2例6 ⎰xarctanxdx=1⎰arctanxdx2=1x2arctanx-1⎰x2⋅1dx 2221+x=1x2arctanx-1⎰(1-1dx 221+x高等数学课程建设组13高等数学教案第四章不定积分 =1x2arctanx-1x+1arctanx+C. 222例7 求⎰exsinxdx.解因为⎰exsinxdx=⎰sinxdex=exsinx-⎰exdsinx=exsinx-⎰excosxdx=exsinx-⎰cosxdex=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx-⎰exsinxdx,所以⎰exsinxdx=1ex(sinx-cosx)+C. 2例8 求⎰sec3xdx.解因为⎰sec3xdx=⎰secx⋅sec2xdx=⎰secxdtanx=secxtanx-⎰secxtan2xdx=secxtanx-⎰secx(sec2x-1)dx=secxtanx-⎰sec3xdx+⎰secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-⎰sec3xdx,cxdx=1(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. 所以⎰se32例9 求In=⎰dx, 其中n为正整数. (x+a) 解 I1=⎰2dx2=1x+C; ax+aa当n>1时，用分部积分法, 有2dxxx ⎰=+2(n-1)⎰ (x+a)(x+a)(x+a)高等数学课程建设组14高等数学教案第四章不定积分 =x1a2dx, +2(n-1)[-⎰(x+a)(x+a)(x+a)x+2(n-1)(In-1-a2In), 22n-1(x+a)即 In-1=于是 In=1[x+(2n-3)In-1]. 2a(n-1)(x+a)以此作为递推公式, 并由I1=例10 求⎰edx. 1xarctan+C即可得In. aa解令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于⎰edx=2⎰tetdt=2et(t-1)+C=2e(x-1)+C.⎰edx=⎰ed(x)2=2⎰xed=2⎰xdex=2xex-2⎰exdx=2xe-2e+C=2e(x-1)+C.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)令ϕ(x)=u⎰f(u)du,⎰u(x)v'(x)dx=⎰u(x)dv(x) =u(x)v(x)-⎰v(x)du(x).哪些积分可以用分部积分法？⎰xcosxdx, ⎰xexdx, ⎰x2exdx;⎰xlnxdx, ⎰arccosxdx, ⎰xarctanxdx;⎰exsinxdx, ⎰sec3xdx.⎰2xexdx=⎰exdx2=⎰eudu= ⋅⋅⋅ ,⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2= ⋅⋅⋅ .高等数学课程建设组15 22高等数学教案第四章不定积分 §4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:P(x)a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an , =Q(x)b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, ⋅⋅⋅ , an及b0, b1, b2, ⋅⋅⋅ , bm都是实数, 并且a0≠0, b0≠0. 当n<m时, 称这有理函数是真分式; 而当n≥m时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如x3+x+1=x(x2+1)+1=x+1. x2+1x2+1x2+1真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰解 x+3dx. x2-5x+6x+3⎰x-5x+6dx=⎰(x-2)(x-3)dx=⎰(x-3-x-2)dx x+365=⎰6dx-⎰5dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. x-3x-2提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3, =A+B=(x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰解 x-2dx. x+2x+32⎰x2+2x+3dx=⎰2x2+2x+3-3x2+2x+3)dx x-212x+21=1⎰22x+2-3⎰21 2x+2x+3x+2x+3d(x2+2x+3)d(x+1)1 =⎰2 -3⎰2x+2x+3(x+1)2+()2=1ln(x2+2x+3)-3arctanx+1+C. 21(2x+2)-3x-2=1⋅x-2-3⋅1=提示: .x+2x+3x+2x+32x+2x+3x+2x+3例3 求⎰1dx. x(x-1)2高等数学课程建设组16高等数学教案第四章不定积分解⎰x(x-1)2dx=⎰[x-x-1+(x-1)2dx 1111=⎰1dx-⎰1dx+⎰12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. xx-1x-1(x-1)提示: 1=1-x+x=-1+1 x(x-1)(x-1)2x(x-1)2x(x-1)2=-1-x+x+12=1-1+12. x(x-1)(x-1)xx-1(x-1)二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x、cos x表成tanx的函数, 然后作变换u=tanx: 222tanx2tanx==2u, sinx=2sinxcosx=22sec21+tan21+u2221-tan2x=1-u2. cosx=cos2x-sin2x=22sec21+u2变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰1+sinxdx. sinx(1+cosx)2x2u2du. 1-u 解令u=tan, 则sinx=, cosx=, x=2arctan u , dx=2221+u1+u1+u2(1+2u)2du=1(u+2+1)du 于是⎰1+sinxdx=⎰sinx(1+cosx)2⎰u2u(1+1-u1+u1+u1+u21u=(+2u+ln|u|)+C=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 2242222解令u=tanx, 则 2高等数学课程建设组17高等数学教案第四章不定积分(1+2u2 ⎰1+sinxdx=⎰⋅22du 2sinx(1+cosx)2u(1+1-u1+u1+u21+u22 =1u+2u+ln|u|)+C=1⎰(u+2+1du 222u=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 42222说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如, 三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰x-1dx. x解设x-1=u, 即x=u2+1, 则⎰1+sinxdx=⎰1+sinxd(1+sinx)=ln(1+sinx)+C. cosx1⎰x-1dx=u⋅2udu=2u2⎰u2+1⎰u2+1x=2⎰(1-1)du=2(u-arctanu)+C 1+u=2(x-1-arctanx-1)+C.例6 求⎰dx. 1+x+2 解设x+2=u. 即x=u3-2, 则dx=1⋅3u2du=3u2-1+1du ⎰1++2⎰1+u⎰1+u2 =3⎰(u-1+1du=3(u-u+ln|1+u|)+C 1+u2=3x+2)2-x+2+ln|1+x+2|+C. 2例7 求⎰dx. (1+x)x 解设x=t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而高等数学课程建设组18高等数学教案第四章不定积分 dx6t5dt=6t2=6(1-1)dt=6(t-arctant)+C=⎰(1+x)x⎰(1+t2)t3⎰1+t2⎰1+t2=6(x-arctanx)+C.例8 求⎰1+xdx. xx解设+x=t, 即x=21, 于是 xt-1-2t ⎰1+xdx=⎰(t2-1)t⋅xx(t-1)2 =-2⎰tdt=-2⎰(1+1)dt t-1t-1=-2t-ln|t-1|+C t+1=-2+x-ln+x-x+C. x+x+练习1. 求⎰dx. 2+cosx1-t2x2 解: 作变换t=tan, 则有dx=, x=dt, cos1+t221+t22dt221tdx1=⎰1+t2=2⎰⎰ =ddt⎰2t1-t2+cosx3+t31+()22+1+t23=2arctant3+C=231xtan)+C. 232. 求⎰sin5xdx. 4cosx4(1-co2sx)2sin5xsinx 解: ⎰dx=-⎰dcosx=-⎰dcosx cos4xco4sxco4sx21 =-⎰(1-+)dcosx cos2xcos4x=-cosx-3. 求⎰3x+1dx. x2-3x+221++C. 3cosx3cosx高等数学课程建设组19高等数学教案第四章不定积分解: ⎰3x+13x+174=dxdx=(-⎰(x-2)(x-1)⎰x-2x-1)dx x2-3x+211dx-4⎰dx x-2x-1=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax+b的积分 =7⎰1．⎰dx=1ln|ax+b|+C ax+ba2．⎰(ax+b)μdx=3．⎰1(ax+b)μ+1+C(μ≠-1) a(μ+1)xdx=1(ax+b-bln|ax+b|)+C ax+ba224．⎰xdx=13[1(ax+b)2-2b(ax+b)+b2ln|ax+b|]+C ax+ba25．⎰6．⎰7．⎰8．⎰9．⎰dx=-1lnax+b+C x(ax+b)bxdx1+alnax+b+C =-x2(ax+b)bxb2xx1(ln|ax+b|+b)+C dx=(ax+b)2a2ax+bx2dx=1ax+b-2bln|ax+b|-b2)+C (ax+b)2a3ax+bdx11lnax+b+C =-x(ax+b)2b(ax+b)b2xxdx. (3x+4)2例1求⎰解: 这是含有3x+4的积分, 在积分表中查得公式x1b⎰(ax+b)2dx=a2(ln|ax+b|+ax+b)+C.高等数学课程建设组20高等数学教案第四章不定积分现在a=3、b=4, 于是x14⎰(3x+4)2dx=9ln|3x+4|+3x+4)+C. 二、含有+b的积分1．⎰ax+bdx=2ax+b)3+C 3a2．⎰x+bdx=22(3ax-2b)ax+b)3+C 15a3．⎰x2+bdx=4．⎰5．⎰2(15a2x2-12abx+8b2)ax+b)3+C 105a3xdx=2(ax-2b)+b+C 3a2+bx2dx=2(3a2x2-4abx+8b2)+b+C 15a3+b1ln+b-+C (b>0)ax+b+ 2arctanax+b+C (b<0)-b-b⎧⎪6．⎰dx=⎨x+b⎪⎩7．⎰dx=-+b-a⎰dx bx2bx+bx2+b8．⎰+bdx=+b+b⎰dx xx+b9．⎰2+bdx=-+b+a⎰dx xx2x+b三、含x2±a2的积分1．⎰2．⎰3．⎰x2+a2dx=1arctanx+C aadxx2n-3dx =+⎰(x2+a2)n2(n-1)a2(x2+a2)n-12(n-1)a2(x2+a2)n-1dx=1lnx-a+C x2-a22ax+aax+C (b>0)b x-b+C (b<0)x+b四、含有ax2+b(a>0)的积分⎧1arctandx=⎪1．⎰2⎨ax+b⎪1ln⎩2ab2．⎰xdx=1ln|ax2+b|+C ax2+b2a高等数学课程建设组21高等数学教案第四章不定积分 3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰x2dx=x-bdx ⎰2ax+baaax2+bdx1lnx2+C =x(ax2+b)2b|ax2+b|dxx2(ax2+b)1dx =-1-a⎰2bxbax+bdxaln|ax2+b|-1+C =x3(ax2+b)2b2x22bx2dx=x11dx+⎰(ax2+b)22b(ax2+b)2bax2+b五、含有ax2+bx+c (a>0)的积分六、含有x2+a2 (a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=arshx+C=ln(x+x2+a2)+C a1x2+a2dxx+C x2+a2)3a2x2+a2x=x2+a2+Cx2+a2x1dx=-+C x2+a2)3x2+a2x2=xx2+a2-a2ln(x+x2+a2)+C 22x2+a2x2xdx=-+ln(x+x2+a2)+C 22322x+a)x+a22dx=1lnx+a-a+C |x|xx2+a2ax22+a2dx=-x2+C ax2+a2 9．⎰x2+a2dx=xx2+a2+aln(x+x2+a2)+C 222例3求⎰dx. xx2+9dxdx=1⎰, xx2+92xx2+(322解: 因为⎰所以这是含有x2+a2的积分, 这里a=3. 在积分表中查得公式 2高等数学课程建设组22高等数学教案第四章不定积分 dx1ln2+a2-a+C. =⎰xx2+a2a|x|x2+(3)2-3dx+C=1lnx2+9-3+C. 于是⎰=1⋅2ln|x|32|x|xx2+923七、含有x2-a2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=xarch|x|+C=ln|x+x2-a2|+C 1ax2-a2|x|dxx=-+C x2-a2)3a2x2-a2xdx=x2-a2+C 22x-ax1dx=-+C x2-a2)3x2-a2x2dx=xx2-a2+a2ln|x+2-a2|+C 22x2-a2x2xdx=-+ln|x+x2-a2|+C x2-a2)3x2-a2dx=1arccosa+C |x|xx2-a2ax222dx=x2-a+C ax2-a29．⎰2-a2dx=xx2-a2-aln|x+x2-a2|+C 222八、含有2-x2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰dx=arcsinx+C a2-x2dxx=-+C a2-x2)3a22-x2xdx=2-x2+C 22-xx1dx=+C a2-x2)32-x2x2dx=-x2-x2+a2arcsinx+C 22a2-x2x2xdx=-arcsinx+C aa2-x2)32-x2高等数学课程建设组23高等数学教案第四章不定积分 7．⎰8．⎰22dx=1lna--x+C |x|x2-x2ax222dx=-2-x+C ax2-x229．⎰a2-x2dx=x2-x2-aarcsinx+C 22a九、含有ax2+bx+c(a>0)的积分十、含有±x-a或x-a)(x-b)的积分 x-b十一、含有三角函数的积分1．⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C2．⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C3．⎰secxtanxdx=secx+C4．⎰cscxcotxdx=-cscx+C5．⎰sin2xdx=x-1sin2x+C 246．⎰cos2xdx=x+1sin2x+C 247．⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx nn8．⎰cosnxdx=1cosn-1xsinx+n-1⎰cosn-2xdx nn9．⎰sinaxcosbxdx=-1cos(a+b)x-1cos(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)10．⎰sinaxsinbxdx=-11．⎰cosaxcosbxdx=1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)atanx+bdx2=arctan+C (a2>b2) 12．⎰2222a+bsinxa-b-b高等数学课程建设组24高等数学教案第四章不定积分atanx+b-2-a2dx=213．⎰ln+C (a2<b2) a+bsinx2-a2atan+b+2-a2214．⎰dxa+barctan(a-btanx)+C (a2>b2) =2a+bcosxa+ba-ba+b2a+b+C (a2<b2) a+bb-atanx+dxa+bln14．⎰=2a+bcosxa+bb-atanx-2例2求⎰dx. 5-4cosxdx2a+barct(a-btax)+C (a2>b2). a-ba+b25+(-4)5-(-4)x)+C arct(ta5-(-4)5+(-4)2解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式 =⎰a+bcoxsa+bdx2这里a=5、b=-4, a 2>b2, 于是 =⎰5-4coxs5+(-4)=2arctan(3tanx)+C. 32例4 求⎰sin4xdx.解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx, ⎰sin2xdx=x-1sin2x+C. nn24这里n=4, 于是⎰sin4xdx=-1sin3xcosx+3⎰sin2xdx=-1sin3xcosx+3x-1sin2x)+C. 444424高等数学课程建设组25。
教案4-不定积分
第四章不定积分§4、1 不定积分概念微分学得基本问题就是：已知一个函数,求它得导数。
但就是,在科学技术领域中往往还会遇到与此相反得问题:已知一个函数得导数,求原来得函数,由此产生了积分学。
“积分”就是“微分”得逆运算。
一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数得概念时,解决了这样一个问题:已知某物体作直线运动时,路程随时间变化得规律为,那么,在任意时刻物体运动得速度为。
现在提出相反得问题:例1已知某物体运动得速度随时间变化得规律为,要求该物体运动得路程随时间变化得规律。
显然,这个问题就就是在关系式中,当为已知时,要求得问题。
例2已知曲线上任意点处得切线得斜率为,要求此曲线方程，这个问题就就是要根据关系式,求出曲线。
从数学得角度来说,这类问题就是在关系式中,当函数已知时,求出函数。
由此引出原函数得概念。
定义４、1: 设就是定义在某区间Ｉ内得已知函数,如果存在一个函数,对于每一点,都有：或则称函数为已知函数在区间I内得一个原函数。
例如,由于,所以在内,就是得一个原函数;又因为,所以在内,就是得一个原函数;更进一步,对任意常数,有,所以在内，都就是得原函数。
2、原函数性质(1）如果函数在区间内连续,则在区间内一定有原函数;(２)若，则对于任意常数，都就是得原函数。
即如果在上有原函数,则它有无穷多个原函数;(３)若与都就是得原函数,则,(为任意常数)。
即任意两个原函数只相差一个常数。
二、不定积分定义4、2 ：若就是在区间内得一个原函数,则称(为任意常数)为在区间内得不定积分，记为,即。
其中：——为积分号,——被积函数，——被积表达式,——积分变量,——积分常数。
由不定积分得定义可知,计算一个函数得不定积分时,就归结为“求出被积函数得一个原函数再加上任意得常数”即可。
例１计算下列不定积分。
(1)；ﻩﻩ(2); (3)。
解(1)因为,所以就是得一个原函数,由不定积分得定义知：。
（2)因为,所以就是得一个原函数,由不定积分得定义知。
数学分析教案(华东师大版)不定积分
第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么,熟练掌握不定积分的根本积分公式.2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位.要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两局部的乘积, 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步达到快而准的求出不定积分.3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法, 从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时1 / 19教学要求：积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么, 熟练掌握不定积分的根本积分公式.教学重点：深刻理解不定积分的概念.、新课引入：微分问题的反问题,运算的反运算、讲授新课：〔一〕不定积分的定义:1.原函数:例1 填空：〔；〔〕' = -2cosx ;上；'］；•；；；；---' - Al .；；.；' -：二二；ax ax一二.二二.定义. 注意是/⑺的一个原函数.原函数问题的根本内容：存在性,个数,求法原函数的个数：Th假设尸〔工〕是了⑺在区间I上的一个原函数,那么对Vt ,尸㈤+ r都是了〔1〕在区间I上的原函数；假设G⑶也是了⑶ 在区间I上的原函数,那么必有G⑺=户⑺+ c.〔证〕2 / 19可见,假设/⑶有原函数f〔i〕,那么了⑺的全体原函数所成集合为｛产.〕+ “ CFR〕.原函数的存在性：连续函数必有原函数.〔下章给出证实〕.可见,初等函数在其定义域内有原函数；假设/⑴在区间I上有原函数, 那么/⑴在区间I上有介值性.例2. F⑺为/〔工〕=2］的一个原函数,F〔2〕=5 .求网X〕.2.不定积分一一原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 I- ' ,「,•'•一；•,•;J1 + / -〔二〕不定积分的根本性质：以下设了㈤和改力有原函数.〔先积分后求导,形式不变应记牢! 〕.⑵［八］油二网+匕,〔先求导后积分,多个常数需留神！〕⑶时,」^〔二〕后="/〔工心,〔被积函数乘系数,积分运算往外挪！〕〔4〕二+ 一厂【"一厂丁厂由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对YaJeR,有4〔x〕+施〔疝必=aJ/ONx +蚱⑺dx〔当& = /二.时,上式右端应理解为任意常数.〕jy 〔2x-i 〕血=耳/+广二.求/⑴.〔/⑴二2〕..不定积分根本公式： 根本积分表.[1]P180 一 公式1 — 14. 5 12 ..利用初等化简计算不定积分：§ 2换元积分法与分部积分法 〔1 0学时〕4 / 19例4〔三〕例 〔四〕 例6例7例8例9例10例11教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步到达快而准的求出不定积分.教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：〔一〕. 第一类换元法 --------凑微分法：由」「. 一•［二：■ ■：■.：-- - :二. . ■,■1：■：■. T 一：- T. ■Jl0sin12KCC>S2Td二=5J sin4 23(sin 22di =5pin42Kdsin 2AL* 5, ,心........ .—5JV欣-u +c二仙2x + c.引出凑微公式.Thi假设’⑶连续可导,那么该定理即为：假设函数g〔f〕能分解为就有,⑷或"］7［频〕/©应=］7［施〕口的〕5 / 19J 加 + b)牌dx,(3^0.Jcos3xcos 2Kd -J(cos x + CO 65T )H 工=・••常见微分凑法:/Q 工 + S)dx = -f[ax +8)dQ 工+ 3) = -f(u)du|sin 3 xd1= g J(1 — cos x)dx =…=:5聊 2x) +c由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为 /就+b 〕型,然后用凑法1.「 P xd 工 例8 (1)i ——:Jl + V凑法dxJ2 + & + 1)显 x+l…=-arctg —j=r +c港+2z-3(x+3)(x-l) 4,半4 k+3+c, ⑵]4 + X 10凑法2 户了(#)］以= "(/ 例9 Jisin x2a 同. rSin4x , 例10 ——d^J 七dx 例111J业一)例12 fif 5 n -'『-2F +c. ?(/岫」)d W)」血.特别地,有k k)W(x‘)= —f^}du和『(')七=2/(瓜卜瓜.2 Ji伙.•= 2 f—j=£^= = 2 arc sin 正 + e .「芯欣1 . d(7) 5 1 J1 1 V = —_7---------- = - -———====- - ----------------------- auW+D 2k1. u= -In -- +c =2廿+1凑法3 / (sin x) cos xdx = /(sm 1)d sin/ (cos x) sin xdx = -/(cos x)d cos x =J厕sec xdx =拉琬dtgx = f(u)c例13⑴『in'gf疝,⑵ Jsi (彳+1) 2 J 口以+1」b /-In —+ c .2 / +11=/("加-/1)也iu.n * xdx.J-/伽 x)— = /(In /din x = 血.工:cun五)七=/(arcsx x)d arcsin x = f(ii)du;/(arctgx) >“「 上『、,.1+/2 ^arctgtdarctgt = (arctgf)2 + 匕=(平坦金丫 +c其他凑法举例:例20In 彳 + 1 , rdfx =(xln 万一 小 , ^sec x(sec z + igx) , .sec x + sec xfgx , 例 22 sec 彳改= ----= f- —J J £ECX+侬 J sec x + £gx8 / 19例15Jsec 6 xtix例16 仲'皿晨"I —九皿sec" x -1) sec sec x凑法4「二二〞、二‘'士’二.：■：■, .例17 例19十工〕「arctgG 厂『而严恭日 21丁打钎1寸小凑法5例18「 dxJ x(l J 21n x) 凑法6pd(xln x)例21必也"国力 , I.------------------ -- In | sec x + Eg 工 | +c . J seer + tgx小八八 ji cosx + sin z , 例23 _二.J Vsin x-cosx— ,cosx +5sm x s 例24.J sin z + cos x门工 -5, 例26.J? + 2x + 2从积分 心.广£山出发,从两个方向用凑微法计算,即, ------ xiu । -------------- |\/1 - x 2 dx=-== rVl _ sin；j(l + CGS 2)或=：£ Z + G引出拆微原理.Th2设了=0①是单调的可微函数,并且80H.；又 力砒叫d ©具有原 函数.那么有换元公式JV ⑶立=【「【碗4y ⑶(证)9 / 19三、小结〔二〕第二类换元法拆微法:id sin t常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换：⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换〞.是针对型如庐7 〔a〉0〕的根式施行的,目的是去掉根号. 方法是：令了 = 似〉0〕,那么-x2- a cos t f dx = a cos tdt v t =3r osm - a 例271.一」解法一直接积分；解法二用弦换.例28dx时1.psinicosi . . #、、「====2 [ ------------ dt = 2i + c =2arcsin Jx + 匕.例29卜,2 +2x- x2dx = M3 - (A-1)'办====="3-/必=====3jcos2udu 3 3 . _ 3 . x-1 x-1 c - --- 2-..：i ■… ----------- ----------------- .. ■ . 1:,■1.⑵ 正切代换：正切代换简称为“切换〞.是针对型如J/ + / 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式6比.-建〞=1,即1+研=Wf, 令一二. 一二.....出.此时有+ / = aseci,f = wag- 变量复原时,常用所谓辅助三角形法. a例3010 / 19解令x=瓢馆%有dx = 成.利用例22的结果,并用辅助三角形,有= n .: ,, ' . ' . J：：Z?Y例31 |---⑶正割代换：正割代换简称为“割换〞.是针对型如&T 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式$式.7=出"令工二窘ecL有'工」=atgl f dx = xseci ,馆tdt,变量还愿时,常用辅助三角形法.例32〔.＞.〕斛J a a一『dx例33 f—； --------- .J-6-1解法一〔用割换〕J sec2/ /gi 解法二〔凑微〕sccttgtdt P , . 工=——=fsec^Z = In secZ +tgi +r atgt Jx +J- - a2 +c, c =c'-h \a Jcos^z = sin i +c = -1 +u11 / 192,无理代换:假设被积函数是娠,娠,… 倍数,作代换£ =也,有例34 j宁■心.例35 f―竺= === = =假设被积函数中只有一种根式t二产十］.从中解出［来.Vci + e例36 f—r==.例37 J-例38 户〞(例39 Jx\M-ldx = ：P / 4 2 \ j P〔=(t + i )dt = — + — + c =-J 5 3f ,娠的有理式时,设W为々(1.＜上)的最小公、公二履"出,可化被积函数为1的有理函数.6J-——=-6J(1 +£)祖+ 6J-- = ■■■=1十In 1-我+c.j北球+ &或J巴,,可试作代换t = Max+h或Kz + e给出两种解法)■ /~A - 畤=1 1 *了五W/(/)—为/十1)广2位-5 1 3-(?-l)a+-(?-l)a+c.i 3此题还可用割换计算,但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等」去掉型如痴7P的根式.(=achtdl. 如：.11ch t - -{ch2t+1), sh t = 一(e力2l - D,2 2s/x = h(x + $£ +1).r—L --- n-nskl 例40 +工&工呼热23■.我h2tT)d£= 2t +=勺口口+ / + —ln(A + 2 2此题可用切换计算,但归结为积分产题课例3.例41 f-j=S=.才■内触飞应(7小£解/ ---------- 成-『出―"=ln(x + J方『dx例42 ^-===.解/==== f ---- dt = fdt =t+c = ]nJ jsAi J : 品-幽九=1,令x 二a就,可化简时常用到双曲函数的一些恒等式域％ = Ishtcht., achtdl = a \ch tdt =—t +c =2+ /) + c .京曲,该积分计算较繁.参阅后面习r X 卜.；tk ir a +2)+c, r m企.=In | x + 柠 | +u c =c -}n\a\4.倒代换：当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式〞时,可试用倒代换.,二 114 / 195.万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分就有sin x = 2sin -cos-= 坂一八22t——-=——彳2 1 1 + ? ?1 Tcosx = --1+z例44,2激ax =-------------x = 2arctgt.1 + COS J解法 用万能代换21+Z解法用初等化简cos 2- (参[1]P261).令-Jsec 2-1解法三〔用初等化简,并凑微〕,,1-cosx , ? a , 户 dfinx I = ------------ T —dx = esc xdx- ——7—J 1 T CQ j 工 J J 向'工+ c = CSCZ -ctgx + c =Zg — + c2=ln |ig- + l|+c .2代换法是一种很灵活的方法 三、小结〔三〕.分部积分法：导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一股原 那么.1.幕X X 型函数的积分： 分部积分追求的目标之一是：对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幕或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替〔一般会变繁〕,但总体上应使积分简化或能 直接积出.对“幕型的积分,使用分部积分法可使“幕〞降次,或对“ X 求导以使其成为代数函数.例46 1加如〔幕对搭配,取对为u 〕例47 jxcddx 〔幕三搭配,取幕为u 〕例48 产七〔幕指搭配,取幕为u 〕 例49 卜%〞改〔幕指搭配,取幕为u 〕15 / 191=Fgx + ------------ sin 工 例 45" _______ _ _________J1 + sin cosfi 1例51 1皿或gxd工〔幕反搭配,取反为u〕例52 1二…一.•」.•..2 建立所求积分的方程求积分：分部积分追求的另一个目标是：对被积函数两因子之一求导,进行分部积分假设干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1,于是得到关于原积分的一个7例53 僻sin zdx 1例54 求人=卜"附；历威和sin bxdx f〔白工0〕二0sx1解." Q 解得sin bx ~ —I v1i a a例55 J J笳+/d工 0 >0〕解1 =+? - |Y j K dx=J二1Jk + - - 二匚或+ f=Ma2+ x2- Z +/ ln〔工+ J J解得I = -^a2 + A2 + —ln〔A + + 犬2 2,程,从该方程中解出原积分来i sin + acozbx脚—7+L … asm bx -bcosbx " jdx =后+ /d〕+s,〔参阅例41〕〕+ c三、小结§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分〔2学时〕教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的 根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式 的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有 理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分 的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧； 求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初 等函数表示出来17 / 19解得 例 56 「 J ； |L：；・・•・・・：・•..•-「［•,.・・・；==cos xsrn A + x -Jcos 2,j , 工1 •小 .j/ /…一 , 一二」一二. 2 4例57Jsec 5= Jscc A 1sec2xdx= jsecxd£gx = sec A/gx- pgxsec A/gxdx secx/gx'sec 21-l)secxdfx= secxigx- fsec 3xdx+ fstcxdx=工 〞■-；. •.一 飞一.二.、,解得 「I'■'_ 「I 」 '..-' '.22一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：〔一〕有理函数的积分：1.代数知识：[1]P190例1 [1]P190 ,2.局部分式的积分：[1]P192例2 [1]P192例3 [2]P260 E3.〔二〕.三角函数有理式的积分：[1]P194 万能代换. 例4—5 [1]P195 ——〔三〕某些无理函数的积分：[1]P195——198〔四〕一些不能用初等函数有限表达的积分：卜一~工「七必f生, 卜二=等.J Jx Jinx J71 + A4习题课〔2学时〕积分举例：强3* -1以.jy⑴心=句-?+ g求j矿⑴公例5 ,〔工〕=K,求J砒/〕公,例6设/〔彳〕〉0且具有连续导函数.计算积分]7〔力加加/0岫例7 [了⑺威口",求积分产;(“%二. 含有二次三项式的积分：Ec / 二-2 . 1 / 2/1 , 5 P &x例8 ------------------------ '一 ,- ----------- ：；•'「------ J Vx + A +1 2J Vx +x + 1 2JJ/+K+1_ ] "(/+# +1)_5f2 J Jv24- r + 1 2 J」.■一；-・・・:•,,.2 2J(i + -2/5欧=•・-「:.■一.•：(：・一' " =1 士t ____ f__________「二I :.. Ji. .. ■二,!:: 1■.小〕19 / 19。
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第五章不定积分教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念5.2 不定积分的性质5.3 换元积分法5.4 分部积分法学时分配：共6学时。
5.1 不定积分的概念1学时5.2 不定积分的性质1学时5.3 换元积分法2学时5.4 分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。
课堂教学方案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。
教学内容5.1 不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。
但是，在科学、技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。
这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。
定义1 如果函数)(x f 与)(x F 为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 )()('x f x F =或d ()()d F x f x x =,则称)(x F 是)(x f 的一个．．原函数. 根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如x x cos )(sin ='， 故x sin 是x cos 的一个原函数；x x cos )1(sin ='+， 故1sin +x 也是x cos 的一个原函数；x x 2)(2='， 故2x 是x 2的一个原函数；x x 2)2(2='+， 故2x 也是x 2的一个原函数.．．．．．．由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，即)()(x f x F =',则对任意常数C , 由于)())((x f C x F ='+,所以函数C x F +)(都是)(x f 的原函数.这说明如果函数)(x f 有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，那么，)(x f 的其它原函数和)(x F 有什么关系？设()x Φ是)(x f 在同一区间上的另一个原函数，即()()x f x 'Φ=，于是有[()()]()()0,x F x x F x '''Φ-=Φ-=由于导数恒为零的函数必为常数，因此11()()()x F x C C Φ-=为某个常数，即1()().x F x C Φ=+这说明)(x f 的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x f 的全体原函数可以表示为C x F +)( (其中C 为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2 函数)(x f 在某区间内的全体原函数称为)(x f 在该区间内的不定积分,记为()d f x x ，其中记号⎰称为积分号,)(x f 称为被积函数,()d f x x 称为被积表达式,x 称为积分变量.即 ()d ()f x x F x C =+⎰.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C 就可以了.例1 求x x f 2)(=的不定积分.解：因为x x 2)(2=',所以2()d 2d .f x x x x x C ==+⎰⎰例2 求x e x f =)(的不定积分.解：因为x x e e =')(,所以()d d .x x f x x e x e C ==+⎰⎰3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x F y =的图象为)(x f 的一条积分曲线.于是,)(x f 的不定积分在几何上表示)(x f 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C 的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线．例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．解：设所求的曲线方程为)(x f y =,按题设，曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为,2d d x xy = 说明)(x f y =是x 2的一个原函数.因为x 2的全体原函数为C x x x +=⎰2d 2， 所以曲线方程为C x x f y +==2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(=f , ,21=+C 解得1=C ,于是所求曲线为 2()1y f x x ==+.例4 一物体作直线运动，速度为时，物体所经过的当s t s m t t v 1,/12)(2=+=路程为3m ，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为).(t s s =依题意有,12)()(2+=='t t v t s 所以 C t t dx t t s ++=+=⎰3232)12()( 将方程为因此，所求物体的运动代入上式，得,343,1===C s t 3432)(3++=t t t s 一般，若)(x F 是函数)(x f 的原函数，那么)(x F y =所表示的曲线称为)(x f 的一条积分曲线。
不定积分⎰dx x f )(在几何上表示由积分曲线)(x F y =沿y 轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。
这就是不定积分的几何意义。
课堂练习：填空（ 4x ='） （ x 2csc ='） （ x e x+='2）小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。
4.基本积分表及常用的积分公式第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。
列表如下：（1）⎰+=C kx x k d (k 是常数)；（2）C x u x x u u ++=+⎰111d )1(-≠μ； （3）C x x x+=⎰ln d 1； （4）C a ax a x x +=⎰ln 1d )1,0(-≠>a a ； （5）C e x e x x +=⎰d ；（6）C x x x ⎰+-=cos d sin ；（7）C x x x ⎰+=sin d cos ；（8）C x x x x x⎰⎰+==tan d sec d cos 122； （9）C x x x x x ⎰⎰+-==cot d csc d sin 122； （10）C x x x +=-⎰arcsin d 112； （11）C x x x +=+⎰arctan d 112； （12）C x x x x +=⎰sec d tan sec ；（13）C x x x x +-=⎰csc d cot csc ；以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.以上11个公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5求下列不定积分：（1）dx x ⎰ （2）dx x ⎰21 （3） dx e x x ⎰⋅2 解：(1) C x C x dx x dx x +=++==+⎰⎰2312121321121 (2) C x C x dx x dx x+-=++-==+--⎰⎰112111222 (3) C e C e e dx e dx e xx x x x x ++⋅=+==⋅⎰⎰2ln 122ln )2()2(2 5.2 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：性质1 两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即⎰⎰⎰±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([.证明：根据导数的运算法则，),()(])([])([]d )()([x g x f dx x g dx x f x x g dx x f ±='±'='±⎰⎰⎰⎰因此⎰⎰±x x g x x f d )(d )(是)()(x g x f ±的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为)()(x g x f ±的不定积分.证毕.类似可证明如下性质.性质2 不为零的常数因子可以移到积分号前⎰⎰=x x f a x x af d )(d )( )0(≠a例1 求不定积分.d )sin 2(⎰-x x e x解：(2sin )d d 2sin d 2cos x x x e x x e x x x e x C -=-=++⎰⎰⎰.例2 求dx x x )4cos 32(+-⎰解：dx x x )4cos 32(+-⎰=⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 4cos 32=C x x x ++-4sin 322ln 1例3求不定积分x . 解：51532222d 5312x x x x C x C C -+--==+=-+=+-+⎰. 例4 求不定积分2(2)d x x x +⎰.解：22321(2)d 2d d ln 23x x x x x x x x x C +=+=++⎰⎰⎰. 注意：在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。
例5 求dx xx ⎰-2)1( 解：C x x x dx x x dx x x x dx x x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰ln 221)12(12)1222（ 例6求dx x ⎰2tan 解：C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换. 如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.例7求dx x ⎰2cos 2 解：C dx x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2 例8 求不定积分sin 2d cos x x x⎰. 解：sin 22sin cos d d 2sin d 2cos cos cos x x x x x x x x C x x===-+⎰⎰⎰. 例9求不定积分3d x x e x ⎰.解：33d (3)d 1ln 3x xx x xe e x e x C ==++⎰⎰. 例10 求不定积分42d 1x x x +⎰. 解：由于 42221d 111x x x x x=-+++，所以 42221d (1)d 11x x x x x x =-+++⎰⎰3arctan 3x x x C =-++．小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求函数的积分方法。