上海交大附中2022届高三下学期开学摸底考试数学(文理)合卷 Word版含答案
上海市上海师范大学附属中学2022届高三下学期3月月考数学试题+Word版含答案
【答案】B
【15题答案】
【答案】A
【16题答案】
【答案】A
【17题答案】
【答案】 或
【详解】解：如图，分别取 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，连接 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以 为异面直线 与 所成的角，
因为
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）
A. B.
C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”.如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD， ，试求异面直线AC与BD所成角的大小.
18.设函数 如果对任意一个三角形，它的三边长a､b､ ，且f（a）､f（b）､f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.
当 时，由 ， ，
可得 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 ；
当 时，由 ， ，
可得 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 ，
综上可得，异面直线 与 所成的角为 或 ．
18【小问1详解】
解： 不是“保三角形函数”， 是“保三角形函数”，理由如下：
10.已知 ， 是双曲线 的左､右焦点，若点 关于双曲线渐近线的对称点A满足 （O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为___________.
11.已知 ， ， 是空间单位向量， ，若空间向量 满足， （ ， ）， ，则 的最大值是________．
12.已知{ }是公差为 的等差数列，若存在实数 ， ， ，…， 满足方程组： ，则d的最小值为___________
2022届高三下学期二模考试理科数学试题含答案
19【小问1】
取 中点 ，连接 ，∵ 为等边三角形，
中点为 ，∴ ，又∵底面 是菱形，
∴ ，又 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ .
【小问2】
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，∴ 平面 ，
即 ，再由（1）知， 两两垂直，
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）求直线l 普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点 ，求 的值．
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中 的系数为______．
14.已知向量 ， ，若 ，则实数 ______．
15.已知定义域为 的奇函数 ，当x>0时，有 ，则 ______．
16.“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”， 表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如 ，则 ．设 是一个有限“0，1数列”，定义 ，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列” ，则数列 的所有项之和为______．
良好以下
良好及以上
合计
男
25
女
10
合计
70
100
（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有 的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
2022-2023上海交大附中高三上学期开学考数学试卷及答案
1交大附中2022学年第一学期高三年级数学开学考2022.9一、填空题（本题共12小题,前6小题每小题4分,后6题每小题每题5分,请在横线上填完整的结果）1、已如集合{1,2,3,4,5},{2}A B k k A ==-∈∣,则A B ⋂=_____________.2.不等式|1||3|0x x +--≥的解集是_____________.3.已知点(2,3),(1,1)A B --,则AB 的单位向量_____________.4、已知34z i =+,若实数a,b 满足||0z az b z ++=,则a b +=_____________.5、如图ABC中,90,30,ACB ABC BC ︒︒∠=∠==形内挖去一个半圆(圆心O 在边BC 上,半圆与AC,AB 分別相切于点C,M 交BC 于点N ),则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积为_________________.6.设x,y 均为正实数,且2520x y +=,则lg lg x y +的最大值为_________________.7.一个小球作简谐振动,其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛=+ ⎝),其中()x t （单位:cm )是小球相对于平衡点的位移,t (单位:s )为运动时间,则小球在2t =时的瞬时速度为______/cm s .8.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线的焦距为4,则n 的取值范围是_________________.9.将A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排,若A、B、C 均互不相邻且A、B 在C 的同一侧,则不同的排法有_________________.种.(用数字作答)10.若函数1ln 1y a b x=-++是奇函数,则1b a =_________________.211.已知向量,,,a b c d 满足{||,||,||,||}{1,2,3,4},a b c d a b =⊥ 且c d ⊥ ,则||a b c d +++ 最大值是_________________.12.设(),y g x x R =∈是以1为周期的函数，()2()x f x g x =⋅,若函数(),[2,3]y f x x =∈的值域为[1,4],则函数(),[0,5]y f x x =∈的值域为_________________.二、选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分,每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项的代号)13.函数()2ln 28y x x =--的单调调区间是（）A.(,2)-∞- B.(,1)-∞ C.(1,)+∞ D.(4,)+∞14.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立,已知某棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p 且1230p p p <<<,记该棋手连胜两盘的概率为p ,则（）A.该棋手在第二盘与甲比赛,p 最大.B.该棋手在第二盘与乙比赛,p 最大，C.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.D.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关.15.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h ),得如下基叶图,则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60(按四舍五入精确到0.01)C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4D.乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80(按四舍五入精确到0.01)316.()sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x =+++，给出下列四个结论(1)()y f x =是偶函数；(2)()y f x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数;(3)()y f x =在(,2)ππ上为增函数;(4)()y f x =的最大值为;其中所有正确结论的编号是()A.(1) (2) (4).B. (1) (3)(4).C. (1) (2) (3).D. (1) (2) (3) (4).三、解答题（本大题共5小题,满分76分,请写出必要的证明过程或演算步骤)17.(本题满分14分,其中小题（1）满分8分,小题（2）满分6分)已知66014i i i x a x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑,(1)等比数列{}n b 的首项11b a =,公比4q a =,求1ii b ∞=∑的值;(2)等差数列{}n c 的首项15c a =,公差6d a =,求{}n C 的通项公式和它的前2022项和2022S .18.(本题满分14分,其中小题(1)满分7分,小题（2）满分7分)在ABC 中,已知sin()sin()c A B b A C ⋅-=⋅-.其中A、B、C 为的内角,它们的对边分别为a、b、c.(1)判断ABC 的形状;(2)若125,cos 13a A ==求ABC 的的面积.419.(本题满分14分，其中小题（1）满分8分，小题（2）满分6分)已知正方体1111ABCD ABC D -的棱长为1,点M 是棱1AA 的中点,点O 是对角线1BD 的中点.(1)求二面角11M BC B --的大小;(2)求三棱锥M OBC -的体积.20.（本题满分16分,其中小题（1）满分4分,小题（2）满分6分,小题(3)满6分)已知2(),()()xf x x ax bg x e cx d =++=+,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线l ;(1)当2c =时，求,,;a b d (2)求证：当且仅当0c >时,函数()y g x =存在最小值.(3)已知存在m R ∈,使得()()f m g x ≤对一切x R ∈恒成立,求满足的10c Z ∈的c 最小值.521.本题满分18分,其中题（1）满分5分,题（2）满分5分,题（3）满分8分已知椭圆22221:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 与抛物线2Γ的焦点重合，1Γ的中心与2Γ的顶点重合,过2F 且与x 轴垂直的直线交1Γ于$A,B$两点,交2Γ于C,D 两点,且12||||.5CD AB =(1)求1Γ的离心率;(2)设E 是1Γ与2Γ的公共点,若213EF =,求1Γ与2Γ的标准方程;(3)直线:l y kx h =+与1Γ交于M、N,与2Γ交于P,Q,且在直线l 上按M、P、N、Q 顺序排列,若||||||MP PN NQ ==,求2QF6参考答案一、填空题1.{}12.[)1,+∞3.()3,4- 4.15- 5.53276.17.5π8.()1,3-9.9610.1ln 21212.1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题13.D 14.C 15.C16.D 三、解答题17.（1）332（2）204626418.（1）等腰三角形（2）125419．（1）1arccos 3（2）12420.（1）4,2,2a b d ===（2）略（3）1.921.（1）23（2）212221,40225125::x y y xΓ+==Γ（3）略。
2022届上海市复旦大学附属中学高三年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022届上海市复旦大学附属中学高三下学期开学考试数学试题一、填空题1．行列式中， 元素4的代数余子式的值为_________.123456789【答案】6【分析】根据行列式的代数余子式的定义计算可得结果.【详解】元素4的代数余子式的值为．213(1)(2938)6298+-=-⨯-⨯=故答案为：.62．设实数，若函数的最小正周期为，则________0ω>()cos()sin()f x x x ωω=+πω=【答案】2【分析】用辅助角公式化简函数，求出的周期，即可求解.()f x ()fx 【详解】，()cos()sin())4f x x x x πωωω=+=+最小正周期为.2,2ππωω==故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及周期性，属于基础题.3．底面半径和高均为1的圆锥的侧面积为______．【分析】由侧面积公式和勾股定理即可求解.【详解】如图所示：，所以母线1OA OB ==AB ==所以圆锥的侧面积.1S =π⨯=4．设向量，若，则在上的投影为_________.()()2,3,6,a b t ==a b ⊥a ab +【分析】先由平面向量垂直的坐标运算可得，再根据平面向量的投影定义计算即可.4t =-【详解】若，则，所以，所以.a b ⊥ 1230a b t ⋅=+= 4t =-(8,1)a b +=- 所以在上的投影为a ab +()||a ab a b ⋅+=+故答案为5．集合，集合，若，则实数________{}21,3,A a ={1,2}B a a =++B A A ⋃==a 【答案】2【分析】得，由或或，分别求出的值，验证是否B A A ⋃=B A ⊆11a +=13a +=21a a +=a B A ⊆成立，即可求解.【详解】得,可能值为，B A A ⋃=B A ⊆1a ∴+21,3,a 若，，不合题意；11,0a a +=={0,1,3},{1,2}A B ==若；13,2,{1,3,4},{3,4},a a A B B A +====⊆若没有整数解，不合题意.221,10a a a a +=--=综上.2a =故答案为:2【点睛】本题考查集合间的相等关系，求出参数后要注意验证，考查分类讨论思想，属于基础题.6．若变量满足约束条件 则的最小值为_________.,x y 12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤z y x =-【答案】4-【详解】由约束条件作出可行域如图，12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过12 {20x y x y +=-=()84A ，z y x =-y x z =+y x z =+点时，直线在y 轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.()84A ，z 4-4-点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．设是方程的两根，则________12,z z 2230zz ++=12z z -=【答案】【分析】根据实系数一元二次方程求根公式，求出的值，即可求解.12,z z【详解】，，2230z z ++=4128,1z∆=-=-=-不妨设，121,1zz =-=-12||z z ∴-==故答案为:【点睛】本题考查实系数一元二次方程的虚数解，以及模长，属于基础题.8．设是定义在上的奇函数，当时，．则不等式的解为________．()f x R 0x >3(2)xf x =-()5f x <-【答案】(,3)-∞-【分析】根据函数奇偶性的性质求出当的解析式，讨论，解不等式即可．0x <0,0,0x x x ><=【详解】解：若，则，0x <0x ->∵当时，，0x >3(2)xf x =-∴当时，，0x ->()23xf x -=--∵是定义在上的奇函数，()f x R，()23()x f x f x -∴-=-=-则，()23,0xf x x -=-+<当时，不等式等价为即，无解，不成立；0x >()5f x <-235x -<-22x<-当时，不等式等价为即，0x <()5f x <-235x--+<-28x ->得，即；3x ->3x <-当时，，不等式不成立，0x =(0)0f =()5f x <-综上，不等式的解为．3x <-故不等式的解集为．(,3)-∞-故答案为.(,3)-∞-【点睛】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．9．某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可以选择，则不同的染色方案有_________种．【答案】72【分析】分别求解选用4种颜色和3种颜色，不同的染色方案，综合即可得答案【详解】由题知，若选择4种颜色，前后侧面或左右侧面用1种颜色，其他3个面，用3种颜色，所以有种；442A 48=若选择3种颜色，则前后侧面用1种颜色，左右侧面用1种颜色，底面不同色，所以有种，34A 24=综上，不同的染色方案有种，244872+=故答案为：7210．设A 是椭圆上的动点，点F 的坐标，若满足的点A 有且22221(0)4x y a a a +=>-(2,0)-||10AF =仅有两个，则实数a 的取值范围为________【答案】(8,12)【分析】椭圆，长轴为，焦距为为椭圆的焦距，满足点22221(0)4x y a a a +=>-2a 4,(2,0)F -||10AF =有且只有两个，可得，即可得出结论.A 2||2a AF a -<<+【详解】由题意，为椭圆的焦点，因为满足的点A 有且仅有两个，F ||10AF =所以，即，解得.2||2a AF a -<<+2102a a -<<+812a <<故答案为:(8,12)【点睛】本题考查椭圆的焦半径取值范围，解题的关键要确定出点是焦点，属于中档题.F 11．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的()12log ,01,03xx x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩x [()]0f f x =a 取值范围是_________.【答案】(,0)(1,)-∞⋃+∞【分析】令，得到，问题转化为与只有一个交点，分与两种情况，()f x t =1t =1t =()y f x =0a >a<0画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】令，则方程等价为，显然，()f x t =[()]0f f x =()0f t =0a ≠当时，若，，0a >0x ≤1()()03x f x a =⋅>若，由得：，即，作出的图象如图：0x >12()log 0f x x ==1x =1t =()f x 若，则与只有一个交点，恒满足条件，a<01t =()y f x=若，要使与只有一个交点，0a >1t =()y f x =则只需要当时，与，没有交点，0x ≤1t =1()(3xf x a =⋅即此时，即，即，解得：，1()(13x f x a =⋅>(0)1f >01(13a ⋅>1a >综上，或，即实数的取值范围是．1a >a<0a (,0)(1,)-∞⋃+∞故答案为：(,0)(1,)-∞⋃+∞12．如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直O ABCD P O P 'P 线成轴对称，若，则的取值范围是______．AC AQ OP '=PQ【答案】【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求解.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，故，，设，，则，()0,0O )A()0,P x y (),Q x y ()00,P x y '-因，所以，即，AQ OP '=00x x y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩00x x y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩因此，PQ ==又因点是圆上的一个动点，所以，因此，P O 22001x y +=2001y ≤≤，因此的取值范围为.≤≤PQ故答案为：.二、单选题13．设且，“z 是纯虚数”是“”的z C ∈0z ≠2z ∈R A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件条件D ．即非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件的定义，结合“z 是纯虚数”“”二者关系，即可求解.2z ∈R 【详解】z 是纯虚数,则成立，当时，，即，z 不一定是纯虚数，2z ∈R z R ∈2z ∈R 2z ∈R “z 是纯虚数”是“”的充分不必要条件.2z ∈R 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.14．已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则{}n a 0d ≠{}n a 1021A ．B ．C ．D ．0d <0d >160a <160a >【答案】C【分析】设等差数列的前项和为，由并结合等差数列的下标和性质可得出正确选{}n a n n S 1021S S >项.【详解】设等差数列的前项和为，由，{}n a n n S 1021S S >得，可得，()112116211011122021161111211022a a a S S a a a a a +⨯-=++++===< 160a <故选C.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．如图，N ，S 是球O 直径的两个端点，圆是经过N 和S 点的大圆，圆和圆分别是所在1C 2C 3C 平面与垂直的大圆和小圆，圆，交于点A ，B ，圆，交于点C ，D ．设a ，b ，c 分别NS 1C 2C 1C 3C 表示圆上劣弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，则a ，b ，c 的1C CND 2C AB 3C CD 大小为A ．B ．C ．D ．b a c >=b c a =>b a c >>b c a>>【答案】D【分析】设球的半径为，求出，可得,2(02R COD παα∠=<<=2sin ,,sin CD R b R c R αππα==再根据球面距离的定义可得，得出结论.,b c >c a >【详解】设球的半径为，,2(0),2sin 2R COD CD R πααα∠=<<=则，则 是圆上劣弧的弧长，,sin b R c R ππα==,b c >a 1C CND 而圆是大圆，是在球面上距离，是圆上半圆弧的弧长，1C a CD c 3C CD 由球面距离的定义可知，所以.c a >b c a >>故选:D【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.16．对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成R ()f x a b ()()f x a f x b+≤+x R ∈立，则称是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①；②③()f x ()21f x x x =++()f x ；④.是“控制增长函数”的有（ ）()()2sin f x x =()sin f x x x=⋅A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②④【答案】C【分析】假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒恒成立的条件，判断，()()f x a f x b+≤+a 的存在性即可得出答案.b 【详解】解：对于①，可化为：，()()f x a f x b+≤+()()2211x a x a x x b ++++≤+++即，即对一切均成立，22ax a a b ≤--+22a a bx a --+≤x R ∈由函数的定义域为，故不存在满足条件的正常数、，故不是“控制增长函数”；R a b ()21f x x x =++对于②，若“控制增长函数”，则，()f x ()()f x a f x b+≤+∴恒成立，又，22x a x b +≤++x a x a+≤+∴时式子恒成立，22x a x b +≤++2a b <∴“控制增长函数”；()f x 对于③，∵，∴，()()21sin 1f x x -≤=≤()()2f x a f x +-≤∴当时，为任意正数，使恒成立，故是“控制增长函数”；2b ≥a ()()f x a f x b +≤+()()2sin f x x =对于④，若是“控制增长函数”，则恒成立，()sin f x x x=()()sin sin x a x a x x b ++≤+∵，∴，即，()()sin x a x a x a++≤+sin x a x x b x b +≤+≤+a b ≤∴是“控制增长函数”.()sin f x x x=故选：C【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题.三、解答题17．在中，角，，所对边分别为，，，且向量，ABC A B C a b c ()sin ,sin m A B =，满足.()cos ,cos n B A = sin 2m n C ⋅= （1）求角的大小；C （2）若，，成等差数列，且，求边的长.sin A sin C sin B ()18AC AC AB ⋅-=c 【答案】（1）；（2）6.π3【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标表示，并结合三角恒等变换，化简求得，即可求1cos 2C =得角的大小；C （2）首先由正弦定理边角互化，得，再结合数量积公式得，最后根据余弦定理求2c a b =+36ab =边长.c 【详解】解：（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+对于，，，ABC πA B C +=-0πC <<()sin sin A B C ∴+=sin m n C∴⋅=又，sin 2m n C ⋅= ，即，又sin 22sin cos sin C C C C ∴==1cos 2C =()0,πC ∈；π3C ∴=（2）由，，成等差数列，得sin A sin C sin B 2sin sin sin C A B =+由正弦定理得，2c a b =+，()18AC AC AB ⋅-=，18AC BC ∴⋅=得，即，cos 18ab C =36ab =由余弦定理，()22222cos 3c a b ab C a b ab=+-=+-，即，224336c c ∴=-⨯236c =.6c ∴=18．设数列满足，其中A ，B 是两个确定的实数，{}n a 4nn a A Bn =+0B ≠（1）若，求的前n 项和；1A B =={}n a （2）证明：不是等比数列；{}n a （3）若，数列中除去开始的两项外，是否还有相等的两项，并证明你的结论.12a a ={}n a 【答案】（1）（2）证明见解析（3）没有，理由见解析()4141(1)32n n n -++【分析】（1）由，数列的前n 项和为一个等比数列和一个等差数列的前项和，根4n n a n =+{}n a n 据等比、等差数列的前项和公式，即可求解；n（2）用反证法证明，求出，假设是等比数列，由得出关系，化简，123,,a a a {}n a 2213=a a a ,A B 123,,a a a 不满足，所以假设不成立，即可证明结论；2324a a a =（3）由，得出，且，得，设，证明12a a =12B A =-0A ≠(412)n n a A n =⋅-412nn c n =-是递增数列，可得结论.*,4122,n n c n n n =-≥∈N 【详解】（1），故前n 项之和4nn a n =+()2444(12)n n S n =+++++++ ()()441141(1)41(1)41232n n n n n n -=++=-++-（2），，．14a A B =+2162a A B =+3643a A B =+若是等比数列，则{}n a 2(162)(4)(643)A B A B A B +=++即，即．2222256644256763A AB B A AB B ++=++212B AB =因，故，且．0B ≠12B A =0A ≠此时，，，，不满足．240a A =3100a A =4304a A =2324a a a =因此不是等比数列．{}n a （3）即，即，且．12a a =4162A B A B +=+12B A =-0A ≠此时，．(412)nn a A n =⋅-设．*412,n n c n n =-∈N ，111(412(1))(412)341234120n n n n n c c n n ++-=-+--=⋅-≥⋅-=当且仅当时等号成立，故．1n =1234c c c c =<<< 即除外，的各项依次递增．1c {}n c 因此中除去和之外，没有其它的两项相等．{}n a 1a 2a 【点睛】本题考查等差、等比数列的前项和，考查数列的单调性，考查反证法证明方法，解题的n 关键要合理应用通项公式，属于中档题.19．设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有()f x D ()0,1α∈1x 2x D ∈成立，则称为定义在上的下凸函数．()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-()f x D (1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；()()2g x x x =∈R ()()10k x x x =<(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；()()2h x px x =∈R p (3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记()f x R m ()00f =()2f m m=，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．()()()()123f S f f f f m =++++ ()f x fS 【答案】(1)是下凸函数，不是下凸函数，理由见解析()2g x x=()()10k x x x =<(2)0p ≥(3)2m m+【分析】（1）利用下凸函数的定义结合作差法判断可得出结论；（2）利用下凸函数的定义结合作差法可得出，由此可求()()()()()1212110h x x h x h x αααα+----≤得实数的取值范围；p （3）对任意，，取，，，利用下凸函数的定义可得出()0,n m ∈N n ∈1x m =20x =()0,1nm α=∈，取可使得成立，即可求得的最大值.()2f n n≤()2f x x =()2f n n=fS 【详解】（1）解：是下凸函数，证明如下：()2g x x=对任意实数、及，1x 2x ()0,1α∈有()()()()()121211g x x g x g x αααα+----．()()1212212210x x x x αααα=+----=⎡⎤⎣⎦即，所以是下凸函数．()()()()()121211g x x g x g x αααα+-≤+-()2g x x=不是下凸函数，理由如下：()()10k x x x =<取，，，13x =-21x =-12α=则．()()()()()121211k x x k x k x αααα+----()()()11111231022262k k k =-----=-++>即．()()()()()121211k x x k x k x αααα+->+-所以不是下凸函数．()()10k x x x =<（2）解：是下凸函数，则对任意实数、及，()2h x px =1x 2x ()0,1α∈有()()()()()121211h x x h x h x αααα+----()()222121211p x x p x p x αααα=+----⎡⎤⎣⎦．()()()()()222121212112110p x x x x p x x αααααααα=⎣----+=⎡⎤----≤⎦即当时，；0p ≥()()()()()121211h x x h x h x αααα+-≤+-当时，，当且仅当时，等号成立，不合乎题意.0p <()()()()()121211h x x h x h x αααα+-≥+-12x x =所以当时，是下凸函数．0p ≥()2h x px =（3）解：当且，对任意，，取，，．2m ≥N m *∈()0,n m ∈N n ∈1x m =20x =()0,1nm α=∈因为是上的下凸函数，令，且，，()f x R ()n a f n =00a =2ma m =所以．()()()()()()12121122n na f n f x x f x f x m n m αααα==+-≤+-=⨯=那么．()()212212122f m m m S a a a m m m +=+++≤⨯+++==+ 由（1）可知是下凸函数，且使得都成立，()2f x x =()21,2,,1n a n n m ==- 此时；2f S m m=+当时，，合乎题意.1m =()21211f S f ===+综上所述，的最大值为．fS 2m m +【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“下凸函数”，本题第3问求的最大值时，除了利用fS 下凸函数的定义推导出，还应找出相应的下凸函数使得，才能使得的最大值()2f n n≤()2f n n =f S 能取到.20．设双曲线的方程为.过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，Γ2213y x -=F 1l ,A B 直线的方程为， 在直线上的射影分别为.2l x t =,A B 2l,C D (1)当垂直于轴， 时， 求四边形的面积；1lx 2t =-ABDC (2)当， 的斜率为正实数， 在第一象限， 在第四象限时， 试比较和的大0=t 1lA B ||||||||AC FB BD FA ⋅⋅1小， 并说明理由；(3)是否存在实数， 使得对满足题意的任意直线， 直线和直线的交点总在轴上，(1,1)t ∈-1lAD BC x 若存在， 求出所有的的值和此时直线与交点的位置； 若不存在， 说明理由.t AD BC 【答案】(1)24(2)，理由见解析||||1||||AC FB BD FA ⋅<⋅(3)存在，，两直线的交点为12t =5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）当垂直于x 轴，直线方程为，四边形为矩形，将代入双曲线方程，1l 1l2x =ABDC 2x =求出坐标，得出，即可求解；,A B ||AB （2）设的方程为，，设两点的纵坐标分别为，将的方程与双曲线方1l 2x my =+0m >,A B ,A B y y 1l程联立，得到关于的方程，根据韦达定理得出关系，结合，,，将y ,A B y y 0A y >0B y <0A B y y >->根据线段长公式化简,再利用点在双曲线上可得||||||||||||||||||||A B B A x y AC FB AC BF BD FA BD AF x y ⋅=⋅=⋅⋅,A B,即可得出结论；||||A B B A x y x y ⋅==0A B y y >->（3）设，，则，，求出直线和直线的方程，利用两条直(,)A A A x y (,)B B B x y (,)A C t y (,)B D t y AD BC 线相交在轴上，可得，将关系，代入，得对x 2(2)()0A B A B myy t y y +-+=,A B y y 1812(2)0m t m --=一切都成立，有，求出交点的横坐标，即可求解.m ≠12t =【详解】（1）右焦点的坐标为. 故.(2,0)F 1:2l x =由 解得. 故，222,13x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩3=±y ||6AB =又， 故四边形的面积为.||4AC =ABDC 24（2）设的方程为， 这里.1l2x my =+0m >将的方程与双曲线方程联立，得， 1l 223(2)30my y +--=即.22(31)1290m y my -++=由得，120y y <2310m -<此时||||||||||||||||||||A B B A x y AC FB AC BF BD FA BD AF x y ⋅=⋅=⋅⋅==由于， 故， 即， 212031A B my y m -=+>-0AB y y >->||||0A B y y >>故，因此.2211A B y y <||||1||||AC FB BD FA ⋅<⋅（3）设直线，:2AB x my =+与联立得.(有两交点，)2213y x -=22(31)1290m y my -++=m ≠设， ， 则， .(,)A A A x y (,)B B B x y (,)A C t y (,)B D t y 的绝对值不小于， 故， 且. ,A B x x 1A x t ≠B x t ≠又直线斜率不为零， 故.A B y y ≠直线的方程为.AD B A B A y y x ty y x t --=--直线的方程为.BC A B A B y y x ty y x t --=--若这两条直线相交在轴上， 则当时， 两方程的应相同，x 0y =x 即.()()B A A BA B B A y x t y x t x t t y y y y ----=+=+--故，(2)(2)0A B B A y my t y my t +-++-=即. 2(2)()0A B A B my y t y y +-+=而， ，2931A B y y m =-21231A B my y m +=--代入上式，得对一切都成立.1812(2)0m t m --=m ≠即，. 182412t =-12t =此时交点的横坐标为()B A A By x t x t y y --=+-(2)12B A A B my t y y y -+-+=-.2()(2)112522224A B BA B ty y t y t y y -+---=+=+=-综上，存在，，此时两直线的交点为.t 12t =5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2022-2023学年天津高三下学期数学开学考模拟试卷含答案
2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（天津专用）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写 在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知集合{}22A x x =-<<，301x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <<C ．{}23x x -<≤D ．{}23x x -≤<2．（2022春·河南驻马店·高三校联考期中）设a ，b ∈R ，则“9a b +>”是“5a >且4b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）直线:310l x y +-=截圆22:(1)4C x y -+=截得的弦长为（ ） A ．3 B ．2C ．4D ．234．（2022春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()()2211x f x x x -=-B ．()22211x f x x x -=-C ．()2211x f x x x -=-D ．()()22211x f x x x -=-5．（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设0.70.820232020,2021,log 2022a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b<c<aD ．c<a<b6．（2022·安徽·校联考二模）在三棱锥-P ABC中，,12,16,45PA AB PA AB PC PBC ∠⊥====，则三棱锥-P ABC 外接球的体积为（ ）A ．4000π3B ．400πC ．169πD ．169π37．（2023·广西桂林·统考一模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，过F 和()0,2P b 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22122x y -=8．（2022·贵州·校联考一模）以下关于21()sin cos cos 2f x x x x =-+的命题，正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．直线π8x =是函数()y f x =图象的一条对称轴 C ．点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移π8个单位，可得到2y x 的图象9．（2022·重庆江北·校考一模）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦第Ⅰ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10．（2022春·天津南开·高三天津大学附属中学校考期末）已知复数z 满足()1i 1i z ⋅+=+，则z =__________． 11．（2022春·福建福州·高三校联考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c .若28,cos 3a C A ===，则c =______. 12．（2022春·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a ，()2n n ≥，若存在一个整数x ，使得n 整除2x a -，则称a 是n 的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a ，记事件=A “a 与12互质”，=B “a 是12的二次非剩余”，则()|P B A =______．13．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知a 为常数，n *∈N ，3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为32，则展开式中x 的系数为__________（用数字作答）.14．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知0mn >，则当44281m n mn ++取得最小值时，2m =______．15．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）如图，在ABC 中，已知90C =∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B 分别交于D 、E 两点，则CG ED ⋅的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，16题14分、17、18、19均为15分，20题16分，共75分） 16．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 23cos 0C A B ++=. (1)求角C ；(2)当4a =，13c =时，求ABC 的面积.17．（2022春·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，2PA BC ==，1AB =，3PB =.(1)求证：PB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长.18．（2022春·海南·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22:1E x y -=的离心率互为倒数，C 的上顶点为M ，右顶点为N ，O 为坐标原点，MON △22. (1)求C 的方程；(2)斜率为1-的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若在y 轴上存在唯一的点P ，满足2AB AP AP ⋅=，求l 的方程.19．（2022春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n n S a n n=+∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)若23a =，数列{}n b 满足()*113321,1,lg lg 2lg N n n n b a b a b b b n ++==-+=∈，记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：221n n n T T T ++⋅<；(3)在（2）的前提下，记()22167,log ,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n K ，若不等式24(1)41n nn K n λ-+<+对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.20．（2022春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）已知函数()()()e 21,R ,sin xf x ax a bg x x x =--∈=-.(1)当[)0,x ∈+∞对，求函数()g x 的最小值； (2)若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 取值集合； (3)求证：对*N n ∀∈，都有11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（天津专用）数学参考答案1011．3（5分）12．57（5分）13．270（5分）14.12##0.5（5分）15.5分）ABCS=【分析】（）先根据余弦定理求出边ABCS=ABCS=所以ABC的面积的面积为17．(1)见解析； (2)105； (3)73.【分析】（1）根据平面PAB ⊥平面ABCD ,得到BC ⊥平面PAB ，则BC PB ⊥，再利用勾股定理得到PB AB ⊥，最后利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系B xyz -,易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =,求出平面PCD 的一个法向量为(3,3,2)m =,代入公式即可求解；（3）根据点E 在棱PA ,得到,[0,1]AE AP λλ=∈,又//BE 平面,PCD m 为平面PCD 的一个法向量，代入数量积公式即可求解λ值.【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABCD , 且平面PAB ⋂平面ABCD AB =, 又BC AB ⊥,且BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，BC PB ∴⊥.在PAB 中，2,3,1PA PB AB ===，222PA AB PB ∴=+，PB AB ∴⊥，AB BC B ⋂=，且,AB BC ⊂平面ABCD ， PB ⊥平面ABCD .（2）由（1）知,,PB BC AB 两两互相垂直， 所以,建立空间直角坐标系B xyz -,如图所示：所以(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,2,3)A B C D P CD PC --=-=-. 易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =. 设平面PCD 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CD m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即23x y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩,令2z =,则(3,3,2)m =. 则210cos ,||||5334n m n m n m ⋅〈〉===⋅++,即平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值为105. （3）因为点E 在棱PA ,所以,[0,1]AE AP λλ=∈. 因为(1,0,3)AP =.所以(,0,3),(1,0,AE BE BA AE λλλ==+=-m 为平面PCD 所以0BE m ⋅=,即3(1)23λ-+所以2,0,33BE ⎛=- ⎝所以7||3BE BE ==(1)2212x y +=6y +-=（1）利用双曲线得离心率可得椭圆的离心率，结合）根据2AB AP AP ⋅=可得0AP PB ⋅=，结合题意推出以联立椭圆方程得根与系数关系式，求得弦长，利用以1）设C 的半焦距为c (0c > )， 221x y -=的离心率为 2 ，所以22AB AP AP ⋅=得：()0AP AB AP AP PB ⋅-=⋅= .轴上存在唯一的点P 满足2AB AP AP ⋅=，即在y 满足0AP PB ⋅=，AB 为直径的圆与y 轴相切， ()()1122,,y x m A x y B x y =-+：，， ， 21y +=2220mx m +-=，21n c -++，然后求出()1N n +∈2q ，n b =()2121n +-；212462,n n n c Q c c c c -++=++++，()()()1116722221232321n n n n n n n n -+--=--++-，21n c -++2642222222251394143n n n n -⎫⎛⎫⎛⎫+-++-⎪ ⎪ ⎪+-⎭⎝⎭⎝⎭1- n ， 22462n c n ++=++++， ()4111nn n -+++，1n n ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，结合等比数列求和公式证明出1n n ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭sin n ⎛++ ⎝11n n +⎛++ +⎝ 311n n n n +⎛⎫⎛+++ ⎪ ++⎝⎭⎝，)2,3,,n ，则(1e 1,2,3,kn k +=()1123131e ee e 11en n n n n n n +++⎛⎫⎛⎫+++<++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭sin n n ⎛++ ⎝。
上海市上海交通大学附属中学2022届高三上学期开学考试数学试题 Word版含答案
交大附中高三开学考 2021.9 一. 填空题1. 若集合{||2|3}A x x =-<，集合3{|0}x B x x -=>，则A B =2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是3. 已知i 是虚数单位，则2-的平方根是4. 函数2()1f x x =+(0)x <的反函数是 5. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，i P (1,2,,16)i =是上、下底面上其余十六个点，则i AB AP ⋅(1,2,,16)i =的不同值的个数为7. 数列{}n a 满足12n n n a a a --=-(3)n ≥，15a =，其前n 项和记为nS ，若89S =，那么100S =8. 若na 是(2)nx +*(,2,)n n x ∈≥∈N R 开放式中2x项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+= 9. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕπ<，若5()28f π=， ()08f π11=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=10. 已知函数||2,1()2,1x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是11. 函数1()f x x =(0)x >绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共 得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是12. 已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为二. 选择题13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ） A.0543- B. 1024 C. 0543 D. 0543- 14. “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ ） A. 假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ B. 假如[,]x a b ∈，则()0f x < C. 假如()0f x <，则[,]x a b ∈ D. 假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线x π=对称C. 周期为2a π的周期函数D. 周期为2a π的周期函数16. 已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则22||+||PA PB 的值为（ ）A. 32149B. 32449C. 32749D. 33049三. 解答题 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1B C ⋅=，3a =，求ABC ∆的周长.19. （1）请依据对数函数()log a f x x =(1)a >来指出函数()log x g x a =(1)a >的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造. 对数可以将大数之间的乘 除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log a a a x y x y ⋅=+(0,1,,0)a a x y >≠>；（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能. 围棋简单度的上限约为3613M =，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为8010N =. 甲、乙两个同学都估算了MN 的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310. 现有两种定义：① 若实数x 、y 满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；② 若实数x 、y 、m ，且10sx =，10ty =，10um =，满足||||s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任．选取其中一种．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近M N ，并说明理由20. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n ∈*N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ；将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d .（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ；（2）求数列{}n c 的通项公式()f n ； （3）设数列{}n c 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21. 如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”.（1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：{(,)|||||1}x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.2022届交大附中高三第一学期数学摸底测试时间：120分钟满分：150分姓名：__________命题：季风、陈云鹤审题：王敏杰一、填空题（前6题，每题4分；后6题，每题5分，共54分）1、若集合{}23A x x=-<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03xxxB，则A B⋃=____R_______.2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，则该几何体的体积是_____343aπ_____.3、已知i是虚数单位，则-2的平方根是__________.4、函数2()1(0)f x x x=+<的反函数是__1)y x=>____________.5、设x、y满足约束条件2+330233030x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是_____-15__________.6、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,16)iP i =是上、下底面上其余十六个点，则(1,2,,16)iAB AP i⋅=的不同值的个数为______2______ .7、数列{}na满足12=(3)n n na a a n---≥，15a=，其前n项和记为nS，若89S=，那么100S=__3____.8、若na是()()*2,2,nx n N n x R+∈≥∈开放式中2x项的系数，则2323222lim()nnna a a→∞++⋅⋅⋅+=____8_____.9、设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则ϕ=___12π____.10、已知函数||2,1,()2, 1.x xf xx xx+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是_____[2,2]-_______.11、函数1()(0)f x xx=>绕原点逆时针旋转，每旋转15度得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是____1592______.12、已知两正实数a、b，满足4a b+=，则2211a ba b+++的最大值为_____4__________.二、选择题（每题5分，共20分）13、关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D为（ C ）8B111614（A ）0543- （B ）1024（C ）0543（D ）0543-14、“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ D ） （A ）假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ （B ）假如[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）假如()0f x <，则[,]x a b ∈ （D ）假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15、参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ C ）（A ）图像关于原点对称（B ）图像关于直线x π=对称（C ）周期为2a π的周期函数（D ）周期为2a π的周期函数16、已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22||+||PA PB 的值为（ B ）（A ）32149 （B ）32449（C ）32749（D ）33049三、解答题（14+14+14+16+18，共76分） 17（6+8）、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1211AB AD A A ===，，，（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离. 解：由于1111ABCD A B C D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ，----------4分明显B 不在平面1D AC上，于是直线1BC 平行于平面1D AC， --------2分（2）直线1BC 到平面1D AC的距离即为点B 到平面1D AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以面ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=---------3分而1AD C∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆=-----------------2分所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23．---------3分18（6+8）、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长. 解：（1）由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，---3分 依据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=.--------3分 （2）由2sin sin 13cos cos()sin sin cos cos 123cos cos 6B C A B C B C B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩--3分由余弦定理22221cos ()9322b c a A b c bcbc +-==⇒+-=------------------2分 又22=4R sin sin ()sin sin 8sin a bc B c B c A ==所以b c +=--------------------------------------2分故而三角形的周长为分 19（4+4+6）、（1）请依据对数函数()log (1)a f x x a =>来指出函数()log (1)x g x a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减C 11运算， 请证明：log ()log log (0,1,,0)a a a x y x y a a x y ⋅=+>≠>（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能.围棋简单度的上限约为M=3361，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为N=1080. 甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093.现有两种定义： (I): 若实数,x y 满足my m x ->-，则称y 比x 接近m .(II): 若实数,,x y m 且10,10,10s t ux y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m .请你任选取其中一种．．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由. （1） 解：1()log log x a g x a x ==，基本性质为： 定义域：(0,1)(1,)+∞；值域：(-,0)(0,)∞+∞；单调减区间(0,1)(1,)+∞和（推断奇偶性、周期性不予给分）-------------2分（ 渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）-------------------2分（2）证明： 设log ,log ,log ()N M N M N M a a a N x M y x a y a x y a a a N M x y +==⇒==⇒⋅==⇒+=⋅即log ()log log a a a x y x y⋅=+----------------------------------------------4分证明完毕 （3）接受定义（I ）：3617393803=lg 361lg38092.24101010M M M NN N⇒=⋅-≈⇒<<-----------------------2分而361173361173361173153lg(23)lg 2361lg3172.54173lg1023102310+10⋅=+⋅≈<=⇒⋅<⇒⋅<-------2分36136136193737393808080333210+101010101010⇒⋅<⇒-<- --------------------------1分所以甲同学的近似值更接近MN----------------------------1分接受定义（II ）：361803=lg 361lg 38092.2410MMN N⇒=⋅-≈-------------------------------------2分甲的估值107373lg1073⇒=，乙的估值109393lg1093⇒=----------------------------2分由于7393lg10-lglg10-lgM MNN >，------------------------------------------1分所以乙同学的近似值更接近MN -------------------------------------------------1分20（4+6+6）、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d ．（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{c }n 的通项公式()f n ； （3）设数列{c }n 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .解：（1）设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=-------------------2分假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，冲突，2{}n n a b ∉1分所以，21()=63n h n a n -=+ -----------------------------------------------1分（2）21323123n n n n na b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n nc a c b c a c b -----====--------------------------------2分∴ 数列{}n c 的通项公式*63(43)65(42)(),66(41)67(4)k n k k n k f n k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.-------------------4分等价形式：*36(21)()65(42),67(4)k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，*315(21)2316()(42),2314(4)2n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令4-34-24-14+++n n n n ne c c c c =，由（2）得知：{}n e 是等差数列---------------1分∴①当*4()n k k N =∈时，22412333=12334n kk n nS S e e e k k +=++⋅⋅⋅+=+=②当*4-1()n k k N =∈时，2113332=4n n n n n S S c ++++-= ③当*4-2()n k k N =∈时，22213332=4n n n n n n S S c c +++++--= ④当*4-3()n k k N =∈时，23321333=4n n n n n n nS S c c c +++++---=----------4分∴2*2*33344-3()4()=33324-14-2()4n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=∈⎪⎪⎨++⎪=∈⎪⎩，，，，--------------------1分等价形式：22*2212334122774-1()=,1221134-21215184-3k k n kk k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=⎪∈⎨+-=⎪⎪+-=⎩，，，，21（4+6+8）、如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1) 证明：1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“C 1—C 2型点”．解：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，-----------------1分过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；-------------------------3分（2） 直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必需||1k >；-------------------------3分直线y kx =与C 1有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必需212k <------------------------3分故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”． （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为Ω．1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；-------------------------1分2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是()00y y k x x -=-“12C C -型点”，则存在过点P 的直线l ：与1C 、2C 都有公共点．i ）若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设1k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”冲突，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足1k >．-------------------------2分ii ）假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx xy =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解．从方程组得()()()2220000124210k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222222200000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤∆=-++-=-+--⎣⎦．由1k >，001x y +<由于()22000000000(1)(1)y kx y k x y k y k y k k y kx k -≤+⋅<+⋅-=+-<⇒-<所以，222008()+10y kx k k ⎡⎤∆=---<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．------------------------5分证明完毕 另解：()222200008212y kx y k x k ∆=-++-令()()222000012f k x k kx y y =--+，由于001x y +<，所以01x <，即2010x -<．于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为00201x y k x =-，由于()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数．由于()()2200001110f x y x y =--≤+-<，()()2200001110f x y x y -=+-≤+-<，所以对任意1k >，都有()0f k <，()2810f k k ⎡⎤∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．---------------------5分证明完毕。
2022届上海市交通大学附属中学高三上学期开学摸底考数学试题(word版)
①若 为锐角三角形，且满足 ，则
②在 的二项展开式中， 项的系数为
③函数 与函数 关于直线 对称
④设等差数列 前n项和为 ，若 ，则
⑤函数 的最小值为2
11.已知有限集 ，如果A中元素 满足： ，就称A为n元“均衡集”．若 是二元“均衡集”，则 的取值范围是__．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， .
（1）∵函数y＝f（x）满足f（3x）＝3f（x），
又∵当x∈[1，3]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
∴当x∈[31，32]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
当x∈[32，33]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，…
当x∈[3n﹣1，3n]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
此时函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S＝S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ ；
（2）当 时， ， ，
由 可得，
当 时， 时取 ，
当 时， 时取 ，
当 ， 时取 ，
经计算可知 ，且 ，
所以当 时，函数 的最大值为：
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析.
解：（1）数列 为“ 数列”，则 ，
所以 ，两式相减得： ，又 时， ，所以 ，
故 对任意的 恒成立，即 ，故数列 为等比数列，其通项公式为 ．
（2）假设存在这样的数列 ，则有 ，故有 ，
两式相减得， ，则又 ．
同理，由 是“ 数列”可得， ，
所以 对任意的 恒成立，
（1）设 ，将y表示成 的函数关系式，并指出 的范围；
上海市实验学校2022届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
【解析】
【分析】根据题意 ， 得到 ， ，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】解： ， ，故 ， ，
在 中，利用余弦定理得到： ，化简整理得到： ，
又 ，故渐近线方程为： .
故答案为： .
10.若四边形 是边长为 的菱形，P为其所在平面上的任意点，则 的取值范围是___________.
【答案】
（2）若 ，则 ．函数 在 上是增函数，此时 的取值范围是 ；而函数 在 上是减函数，此时 的取值范围是 ．由题意可得 ，解得 ，又 ，所以 ．
综上，所求实数 的取值范围是 ．
故答案为：[-1,5).
【点睛】关键点点睛：数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题.
【答案】
【解析】
【分析】点集 中有9个点，从而在 中随机取出三个点的方式数为 ，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1， 的等腰直角三角形的顶点，有 种情况，三点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率．
则 为直线 与平面 所成角，
因为 ， ，
，
．
即直线 与平面 所成角的大小为 ．
18.已知函数 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）在锐角△ 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，若 ， ，△ 的面积 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简可得 ，由题意可知 ，进而可得 ，分析角可知 ，用两角差的正弦公式即可求得；
年薪（万元）
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上海市高三SOEC (八校联考)数学试卷
一、填空题：
1、已知全集U R =，集合2
{|0}x A x x
+=≤，则集合U C A =
2、若34
6n n P C =，则n 的值为
3、方程19
2327x
x ---⨯=的解为
4、数列{}n a 是等比数列，2516512,124a a a a =-+=，且公比q 为正数，则数列{}n a 的前n 项和n S 的值为
5、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为4，且过点(2,3)A ，则椭圆的方程为
6、在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11,AB B C 的质点，则直线EF 与平面11AA D D 所成的角的大小等于
7、图（1）是某区参与2021年高考的同学身高的条形统计图，从左至右各条形图表示的同学人数依次为
12310,,,
,A A A A (如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150,155内的同学人数)，图（2）是图（1）中统计身高在
肯定范围内同学人数的一个算法流程图，先要统计身高在[)160,180内的同学人数，那么流程图中推断框内整数k 的值为
8、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+， 则()2016f = 9、已知二项式(2)n
a x x
+
开放式的二项式系数之和为64，在呈现的二项式系数中任取两个求和，则和为偶数的概率为
10、如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC =
=，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，若2,AB AF AE BF ⋅=⋅的值为
11、已知函数()()2sin (sin cos ),[0,],2
f x x x x x f x π
=+∈的最大值为a ，
最小值为b ，则行列式
1
2
a b 的值为 12、已知函数()2a
f x x x
=+
在[)2,+∞上单调递增函数，则实数a 的取值范围是 13、已知双曲线22
12
y
x -
=，点(1,0)A -，在双曲线上任取一点,P Q 满足AP AQ ⊥，则PQ 恒过定点 14、记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2
22
12
2n n
S a ma n
+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则正实数m 的取值范围是 二、选择题（
15、在同始终角坐标系中，函数()()(0),log a f x x x g x x α
=>=的图象可能是
16、已知2lim 2n n
n
n
n a A a →∞+=-，则“1A =-”是“2a >”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 17、已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（参数[]0,2θπ∈）上运动，则PAB ∆面积的最小值
为 A ．
9
2
B ．62．3262+ D ．3262-
18、设12,,
,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的全部点中，若点P 到12,,
,n P P P 点的距离之和最小，
则称点P 为12,,
,n P P P 点的一个“中位点”，有下列命题：
①,,A B C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19、已知复数z 满足(12)2(z i i i +=为虚数单位）z 的实部为a ，虚部为b ，角α的终边经过点(,1)B a b -。
（1）求复数z 在复平面上对应的点A 的坐标及复数z 的模； （2）求sin(2)3
π
α-。
20、老王由一块旧铁皮ABCD ，其中8,6AB BC ==，他想吃饭利用这块铁皮制作一个容器，他有两个设想：设想1是沿矩形的对角线BD 把ABD ∆折起，使A 到点1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，再利用新购铁皮缝制其余两个面得到一个三棱锥11A BCD -；设想2是利用旧铁皮作出侧面，新购铁皮做底面，缝制一个高为BC ，侧面开放图恰为矩形ABCD 的圆柱体。
（1）求设想1得到的三棱锥11A BCD -中二面角1A BD C --的大小；
（2）不考虑其他因素，老王的设想1和设想2分别得到的几何体哪个容积更大？说明理由。
21、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知211212
1,,()33
n n S a a n n n N n *+==---∈。
（1）求证：数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）设141
n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使不冻死57
n k T >
对一切n N *
∈都成立的最大正整数k 的值。
22、在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C 。
（1）求轨迹C 的方程；
（2）求定点(3,0)A 到轨迹C 上任意大一点M 的距离MA 的最小值；
（3）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点是k
的取值范围。
23、将全部平面对量组成的集合记作2,R f 是从2R 到2
R 的对应关系，记作()y f x =或1212(,)(,)y y f x x =，其中
1212,,,x x y y 都是实数，定义对应关系f 的模为：1x =的条件下y 的最大值记作f ，若存在非零向量2x R ∈，
及实数λ使得()f x x λ=，则称λ为f 的一个特征值。
（1）若12121
(,)(,)2
f x x x x =，求f ；
（2）假如121212(,)(,)f x x x x x x =+-，计算f 的特征值，并求相应的x ；
（3）若1211221122(,)(,)f x x a x a x b x b x =+-，要使f 有唯一的特征值，实数1212,,,a a b b 应满足什么条件？试找出一个对应关系f ，同时满足以下两个条件：（1）有唯一的特征值λ；（2）f λ=，并验证f 满足这两个条件。