初三数学-锐角三角函数教案
一.教学目标:
1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（ｓi ｎA,cosA,tan Ａ）,记忆３0°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角;
２.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
３.理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
5.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题. 二、教学重难点： 1.重点：
(1)锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要,应该牢牢记住. （2)能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． ２.难点 :
(1)锐角三角函数的概念．
(2)经历探索3０°,45°，60°角的三角函数值的过程,锻炼学生观察、分析,解决问题的能力．
三、知识点梳理
知识点1．
正弦：如图所示,在Rt △ＡBC 中，∠C=9０°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作ｓin Ａ, 即
；可得ａ= ;ｃ＝
余弦：如图所示,在Ｒt △ABC 中,∠C=９0°,我们把锐角∠A 的邻边与斜边的比
叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即 ,可得b ＝ ;ｃ=
正切:如图所示，在Rt △ＡBC 中,∠C=90°,我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作t ａｎA ，
?课题 锐角三角函数
学生姓名
年级 初三
日期
即
，可得ａ＝ ；b=
特殊角的锐角三角函数
角度 函数
0° 30° 37° 4５° 53° 60° 90°
ｓinα
cos α
tan α
锐角三角函数值的变化情况 ： （1)锐角三角函数值都是正值
(2）正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤９0°时,ｓin α ,cos α
０°≤∠Ａ≤9０°间变化时， 0≤siｎα≤１, 0≤cosA≤1
(３）正切、余切的增减性:当０°＜α＜9０°时，ｔan α随α的增大而增大，ｃot α随α的增大而减小。
当角度在０°<∠Ａ＜90°间变化时， tan Ａ>0
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
A 90
B 90∠-?=∠?
=∠+∠得由B A
知识点2．解直角三角形
方向角(或方位角):从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角）,通常表达为北（南）偏东（西）。
)90cos(sin A A -?=)
90sin(cos A A -?=
B
A cos sin =
B A sin cos =对
边
邻边
斜边 A
C
B
b
a c
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于9０°的水平角，叫做方向角?
仰角与俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
坡角与坡度:坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫做坡比）,用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作,叫做坡角，则.坡度越大，坡面就越陡。坡度一般写成1:m的形式,如1:5
i=等。
四、锐角三角函数考点
考点一:锐角三角函数的定义
一.选择题(共6小题）
1．（2012?乐山）如图，在Ｒt△ABC中,∠C=９0°，AB=2ＢC,则sinB的值为（）
A．Ｂ. C. D.1
2．(２０17?奉贤区一模)如果把一个锐角△AＢC的三边的长都扩大为原来的３倍,那么锐角A的余切值( ）
A.扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的
C.没有变化
D.不能确定
3.（2０16?广陵区二模）在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则ｃos∠BＡC等于( )
Ａ.3 Ｂ．Ｃ.D．
:
i h l
=
h
l
α
４.(2015?蚌埠二模）如图，直径为1０的⊙Ａ经过点C(0,５）和点O （０，0),Ｂ是ｙ轴右侧⊙A 优弧上一点，则ｔａｎ∠OBC的值为（）
A. B.C． D.
5.(201６?市中区三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则coｓ∠ABC等于（)
A. B. C.D．6．(２01６?安顺）如图，在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,Ｃ都在格点上，则∠ABＣ的正切值是（）
A.２B．C．D．
二.填空题(共４小题)
7．(２014?番禺区一模)已知圆锥的底面半径为1０ｃm，侧面积为260πｃm２，设圆锥的母线与高的夹角为θ,则ｃosθ的值为.
8．(２0１6?天河区一模)如图,已知点A（0,1）,B(0,﹣1）,以点Ａ为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点Ｃ,则tan∠BAC＝.
９．（2016?越秀区一模）如图,△ABC中,DＥ是ＢC的垂直平分线,DE交ＡC于点E,连接BE,若BE ＝５,ＢC=６，则sinC＝．
1０．（２０16?新化县一模）如图，△ＡＢC的顶点都在正方形网格的格点上，则ｃosＣ＝.
三．解答题（共4小题）
１1．(2０１５?萝岗区一模）如图，在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,BC=
，求AB 的长．
12．(2016?连云港）如图，在△A ＢC 中，∠C=１50°，ＡＣ=4,tanB=. （1)求ＢC 的长;
(2）利用此图形求tan15°的值（精确到0．1，参考数据：
=1.4,
＝１.７,
=2．2）
１3.（２０11?广州）已知Ｒt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的ｘ轴上,点C(1，３)在反比例函数y ＝的图象上,且ｓin ∠B ＡC=. （1)求k 的值和边ＡC 的长; (２)求点Ｂ的坐标．
考点二:特殊角的三角函数值
一．选择题(共7小题)
1.（2016?天水校级自主招生)计算ｃos ３0°的值为( ) A. Ｂ．
C ．1 D.3
2．(2016?洪泽县一模）在R ｔ△ABC 中，∠Ｃ=９0°，ｓin Ａ=,则∠A 等于（ ) A ．30° B.45° C ．60° Ｄ．不能确定
3.（2０１6?雅安校级自主招生)已知∠A 为锐角,且ta ｎＡ＝,那么下列判断正确的是( ） A ．0<∠A ＜3０° B ．30°<∠A <45° Ｃ．45°＜∠A ＜60° Ｄ.60°＜∠Ａ＜90° 4．(20１7?宝山区一模）已知∠A=3０°,下列判断正确的是( ） Ａ．ｓi ｎA=?Ｂ.co ｓA=?C.tanA= D.co ｔA ＝
5．(201６?长宁区一模）若(2
3tan 2sin 0A B -+=,则以∠A 、∠Ｂ为内角的ABC ?一定是
（）．
Ａ．等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形Ｄ.锐角三角形
６.（2０1６?安徽四模)在△ABC中，若|sinA﹣|＋（﹣ｔanB)2=0，则∠C的度数为（) A.30° B.60° C.９0° D.12０°
7．（２016?罗定市一模）已知α为锐角,sin（α﹣20°)＝，则α=（）
A．20°Ｂ．4０° C.60°D．80°
二．填空题（共1小题)
8.(２016?株洲模拟)在将Ｒｔ△ＡBC中，∠A=９0°，∠Ｃ:∠B=1:２,则siｎＢ= ．三．解答题(共3小题）
９．（2017?普陀区一模）计算：cｏｓ2４５°+﹣?taｎ30°．
１０．(20１６秋?大连期末)如图,已知△ABC中,∠C=9０°，且ｓinA=，BC=１.５,求AC.
考点三：解直角三角形
一.选择题（共3小题）
1．（2013?越秀区校级二模）在△ABC中，∠C=90°,BC=２，sｉnA＝，则边AＣ的长是( ) A．3 B．Ｃ．D．
2．(２016?深圳模拟）如图,在△ABC中，∠C=90°，siｎＡ=，BC=１2,则AC=( )
A.3B．9 C.１0 D.１５
3.（20０6?烟台)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且ｃｏsα=，AＢ=4，则AD的长为（)
Ａ.3 B． C.Ｄ．
二．解答题（共9小题)
4.在Rｔ△ＡBC中，∠C=9０°，根据下列条件解直角三角形．
(１)∠B=60°，b=；
（2)a=2，c＝4;
(３）∠Ａ=３０°,c=25；
(4）a＝８，b=8．
５.（20１6?上海)如图,在Ｒt△ABＣ中,∠ACB=９0°，AC=BC＝3,点D在边AＣ上,且AD=2CD，DE ⊥AB，垂足为点E，联结CE,求:
(1）线段ＢE的长;
(２）∠ＥＣＢ的余切值.
6.（201４?番禺区校级二模）如图,为了测量不能到达对岸的河宽,在河的岸边选两点A、Ｂ，测得AB=100米，分别在A点和B点看对岸一点Ｃ,测得∠Ａ=４3°,∠B=65°，求河宽（河宽可看成是点C到直线ＡB的距离）.
7．(2016?厦门）如图,在四边形ABCＤ中,∠BCD是钝角,AB=ＡD，BＤ平分∠AＢC，若CＤ=3，BD=,ｓiｎ∠ＤＢC＝,求对角线AC的长.
8．（２016?梧州)如图,四边形ABＣＤ是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据:
∠A=90°，∠ABD=６０°，∠CBD=54°，ＡB=200m，BC=30０m．
请你计算出这片水田的面积．
(参考数据:siｎ5４°≈0.８０9,cｏs54°≈0.588，ｔan5４°≈1．3７6，≈1.７３２)
9．(20１6?包头)如图,已知四边形AＢＣＤ中,∠ABC＝90°，∠ＡDC=9０°,ＡB=6，CＤ=4，BＣ的延长线与AD的延长线交于点Ｅ．
(1)若∠A=60°,求BC的长;
（2)若sｉnA=，求ＡD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
考点四：解直角三角形的实际应用
方位角类
１.（2016?白云区校级二模)海滨城市某校九（２）班张华（图５中的A处）与李力(图中的Ｂ处）两同学在东西方向的沿海路上,分别测得海中灯塔P的方位角为北偏东60°、北偏东30°，此时他们相距８0０米．
(1)∠PBC=．
(2）求灯塔Ｐ到沿海路的距离（结果用根号表示）
２．(2014?番禺区校级模拟）马航事件牵动了全国甚至全世界人们的心，当得知ＭH３７0客机最后失
踪地点是在印度洋南部某海域C处,“雪龙”号科考船立即从B处出发以6０km/h的速度前往搜救.已知出发时在B测得搜救指挥基地A的方位角为北偏东80°,测得失踪地点C的方位角为南偏东25°．航行10小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东２0°．求C到A的距离.
3.（2013?苏州)如图,在一笔直的海岸线l上有AＢ两个观测站,Ａ在B的正东方向，AB＝2（单位:km）.有一艘小船在点Ｐ处，从Ａ测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东4５°的方向．(1)求点P到海岸线ｌ的距离;
（２）小船从点P处沿射线AＰ的方向航行一段时间后,到点Ｃ处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号）
4．(2０16?广州校级一模）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇Ａ、B的距离必须相等，到两条公路ME,ＭF的距离也必须相等,且在∠FMＥ的内部.
（１）点C应选在何处？请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
(2)点Ｃ到公路ME的距离为２km，设ＡB的垂直平分线交ＭＥ于点Ｎ，点M处测得点C位于点Ｍ的北偏东60°方向，在N处没得点C位于点N的北偏西4５°方向,求MN的长（结果保留根号）
俯角仰角类
1.(2０１６?广州)如图，某无人机于空中A处探测到目标Ｂ,D，从无人机A上看目标B,D的俯角分别为３０°,６0°,此时无人机的飞行高度AＣ为60m,随后无人机从A处继续飞行30m到达Ａ′处,（１）求A,B之间的距离;
（2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
２．(2０１4?哈尔滨)如图,AＢ、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米，从建筑物ＡＢ的顶点Ａ点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAＣ为30°,测得建筑物CＤ的底部D点的俯角∠ＥAD 为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BＤ的长度;
（2)求建筑物CD的高度（结果保留根号).
3．(20１4?番禺区校级模拟）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔CD的高度，他们先在Ａ处测得古塔顶端点C的仰角为４5°,再往古塔方向前进至点B处,再测得古塔顶端点D的仰角为5４°，ＡB=11２m.求该古塔CD的高度(结果保留一位小数）．
坡度坡比类
１．(2015?番禺区校级模拟）如图,某人在Ｄ处测得山顶C的仰角为30°,向前走300米来到山脚A 处，测得山坡ＡC的坡度为i=1:1，求山的高度(不计测角仪的高度,≈１.７3,结果保留整数)．
3.（２０14?山西)如图，点A、Ｂ、C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AＢ、ＢC表示连接缆车站的钢缆,已知Ａ、Ｂ、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AＡ′，BＢ′,ＣC′分别为１1０米、３1０米、7１0米，钢缆AB的坡度i1＝1:2,钢缆BC的坡度ｉ2＝1：1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AＣ的长度是多少米？(注:坡度i是指坡面的铅直高度
与水平宽度的比）
考点五：锐角三角函数的综合应用
1.（２016?南沙区一模)如图，AＢ是⊙O的一条弦，OＤ⊥ＡB,垂足为点Ｃ，交⊙O于点Ｄ,点Ｅ在⊙O上．
(1)若∠ＡＯD=52°,求∠ＤEＢ的度数;
（２)若ＯＣ=3,OA=6，求taｎ∠DEB的值．
3．(2０１5?越秀区一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=9０°．
（1）动手操作：利用尺规作∠ＡBC的平分线,交AＣ于点O,再以O为圆心,OＣ的长为半径作⊙O （保留作图痕迹,不写作法）；
(２）综合运用:在你所作的图中,
①判断AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论；
②若AC=12,tanOＢC=，求⊙O的半径.
4．(201５?番禺区一模）如图,AＢC中,AB=ＡＣ=4，cｏsC=．
(１）动手操作:利用尺规作以AC为直径的⊙O,并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点Ｅ(保留作图痕迹,不写作法).
(2）综合应用：在你所作的圆中，求证：；
（3)求△BDE的周长.
5．（2０16?花都区一模)在△ABＦ中，Ｃ为AF上一点且ＡB＝AC.
（1）尺规作图：作出以AＢ为直径的⊙O,⊙O分别交AＣ、BC于点D、Ｅ，在图上标出D、Ｅ,在图上标出D、Ｅ（保留作图痕迹,不写作法）.
(2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（３)在(2）中，若AB=5，ｓin∠CBF＝,求BC和BF的长.
６.（20１4?越秀区校级一模）如图所示，直线y=﹣2x+b与反比例函数y=交于点A、Ｂ，与ｘ轴交于点Ｃ．
（1）若A（﹣3，m）、Ｂ(1，n).直接写出不等式﹣2x+ｂ＞的解．
（２)求siｎ∠OCB的值.
(3）若CB﹣CA＝５，求直线AB的解析式.
7．（２０１6?广东校级一模)已知如图,△ABＣ中ＡB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交ＡE 于点Ｍ，经过B、M两点的⊙Ｏ交BC于G,交AＢ于点F，FB恰为⊙O的直径．
(1)求证：AE与⊙O相切；
（2)当ＢＣ=6，cｏsC=，求⊙Ｏ的直径.
8．(２0１6?黄埔区模拟）如图，ＡB是⊙O的直径，ＡＣ是⊙O的切线，BC交⊙O于点E,连接A
Ｅ．
(1)若D为AC的中点,连接DE，证明:DＥ是⊙O的切线；
（2）若BE=3EC，求tan∠ABＣ.
10.(２014?番禺区校级模拟)已知：如图,在Rt△ABＣ中,∠Ｃ=9０°,CD为斜边ＡB上的高.
(1）求证：△ＡBＣ∽△AＤＣ；
(2）若关于x的一元二次方程mｘ2﹣(m﹣2）x+(m﹣1）=0有两个不相等的实数根，试求ｍ的取值范围;
(3)若(2）中方程的两根恰好是Rｔ△ABC两个锐角的正弦值,求Ｒt△ＡBＣ的斜边与斜边上的高的比.
11.（201２?成都）如图,AＢ是⊙Ｏ的直径，弦CＤ⊥AB于H，过CＤ延长线上一点E作⊙O的切线交ＡＢ的延长线于F．切点为G，连接AG交ＣD于K．
(1）求证:ＫE＝GE;
（2)若KＧ2=KD?GE，试判断ＡC与EＦ的位置关系,并说明理由；
(3)在(2）的条件下,若sinE=，AK=２，求ＦＧ的长．
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
北师大版九年级下册数学[锐角三角函数—知识点整理及重点题型梳理]
北师大版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成， ， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的 C a b
(完整)初中锐角三角函数教案
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
九下 锐角三角函数 第5课时 由三角函数值求锐角 含答案
C B A 第5课时 由三角函数值求锐角 1．(1)已知sin A ＝0.4561，则锐角A ＝______°； (2)已知cos A ＝0.3638，则锐角A ＝______°； (3)已知tan A ＝l. 235，则锐角A ＝______°．（结果精确到0.01°） 2．若锐角A 满足2sin(A ＋15°)＝1，则∠A ＝______． 3．已知tanα＝0.8036，则锐角α＝________．（精确到1’） 4．已知一个直角三角形的面积为23cm 2，其中一边长为2 cm ，则这个 三角形较小锐角的度数为_________． 5．（2010 荆州）如图，在△ABC 中，∠B=45°，cos ∠C= 5 3，AC=5a ，则△ABC 的面积用含ａ的式子表示是 ． 6．若锐角α满足3sin 5α=，则α的取值范围为 ( ) A ．0°＜α＜30° B ．30°＜α＜45o C ．45o＜α＜60o D ．60o＜α＜90° 7．若∠A 为锐角，且满足3tan(15)1A +?=，则锐角A 的度数应该是 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 8．如图，已知秋千吊绳OA 为4m ，当秋千向左摆动，水平距离为1.5 m 时， 秋千吊绳与竖直方向所成的夹角约为 ( ) A ． 22o B ． 35o C ． 55o D ． 68o 9．若锐角α满足1cos 2 α≤，则α的取值范围为 ( ) A ．0°＜α≤60° B ．60°≤α＜90o C ．0o＜α≤30o D ．30o≤α＜90° 10．（2010眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 11．某商场工作人员在大厅安装一部由一楼到二楼的电梯，已知一、二楼层高3.4 m ，可 供电梯伸展的长度不超过10 m ，求电梯的最小倾斜角α的大小．
省优秀课一等奖：锐角三角函数全章教案
【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10
解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析
初中数学锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题附详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、特殊角的三角函数值 5、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。 2、应用举例： ①仰角：视线在水平线上方的角； ②俯角：视线在水平线下方的角。 对边 邻边 b
③坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示， 即 h i l = 。坡度一般写成1:m的形式，如1:5 i=等。把坡面与水平面 的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α== 。 ④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。 如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 ⑤指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫 做方向角。 如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）， 南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60° （西北方向）。 锐角三角函数练习 一、选择题 1、把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA的值是（） A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 3、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC等于（） A． B ． C． D． 1 3 4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则COSα的值是（） Ａ．1 2 Ｂ．2Ｃ．1 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若AC= AB=则tan∠ACD的值为（） : i h l = h l α D C B A
《锐角三角函数》教案
《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？
2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1
(人教版初中数学)锐角三角函数
锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D
锐角三角函数教案
第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
完整版锐角三角函数练习题及答案.doc
锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2
锐角三角函数-正切教学设计
23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时正切 教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度 通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点： 锐角三角函数的概念的理解。 教学准备 多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课 导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！
不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。 大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作 【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜 边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？ 学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断． 【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？
中考数学锐角三角函数真题汇编
中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案，建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D
4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B
7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（） A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C