解三角形高考大题,带答案

解三角形高考大题，带答案
1. （宁夏17）（本小题满分12分）
如图，ACD△是等边三角形，ABC△是等腰直角三角形，90ACB∠，BD交AC于E，
2AB
．

（Ⅰ）求cosCAE∠的值；
（Ⅱ）求AE．

解：（Ⅰ）因为9060150BCD∠，
CBACCD
，

所以15CBE∠．

所以62coscos(4530)4CBE∠． ···················································· 6分
（Ⅱ）在ABE△中，2AB，
由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE．

故2sin30cos15AE12262462． 12分
2. （江苏17）（14分）
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，
BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与
等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总
长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则10coscosAQOABAO，
故10cosOB
又1010OPtan，所以10101010coscosyOAOBOPtan

B
A

C
D
E

B C D A
O
P
所求函数关系式为2010sin10(0)cos4y
②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以222(10)1020200OAOBxxx
所求函数关系式为2220200(010)yxxxx
（2）选择函数模型①，2210coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)'coscosy

令'0y得1sin2 046
当(0,)6时'0y，y是θ的减函数；当(,)64时'0y，y是θ的增函数；

所以当6时，min120102101031032y

此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。
3. （辽宁17）（本小题满分12分）
在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．

（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；
（Ⅱ）若sin2sinBA，求ABC△的面积．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab，

又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab． ························ 4分

联立方程组2244ababab，，解得2a，2b． ·············································· 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2ba， ························································· 8分
联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．

所以ABC△的面积123sin23SabC． ····················································· 12分
4．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）
设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且cos3aB，sin4bA．
（Ⅰ）求边长a；
（Ⅱ）若ABC△的面积10S，求ABC△的周长l．
解：（1）由cos3aB与sin4bA两式相除，有：
3coscoscoscot4sinsinsinaBaBbB
BbAAbBb
又通过cos3aB知：cos0B，
则3cos5B，4sin5B，
则5a．
（2）由1sin2SacB，得到5c．

由222cos2acbBac，
解得：25b，
最后1025l．
5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分）
在ABC△中，5cos13A，3cos5B．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设5BC，求ABC△的面积．

解：（Ⅰ）由5cos13A，得12sin13A，

由3cos5B，得4sin5B． ··········································································· 2分
所以16sinsin()sincoscossin65CABABAB． ····································· 5分

（Ⅱ）由正弦定理得45sin13512sin313BCBACA． ··········································· 8分
所以ABC△的面积1sin2SBCACC113165236583． ····················· 10分
6. （上海17）（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里

有两条笔直的小路ADDC，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了
10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半
径OA的长（精确到1米）．

【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=060……………………………4分

在CDO中，22022cos60,CDODCDODOC……………6分
120

0

O

C
A
即22215003002500300,2rrr…………………….9分
解得490044511r（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），0120CDA………….4分
2220
222
,2cos12015003002500300700,2ACDACCDADCDAD在中

∴ AC=700（米） …………………………..6分
222
11cos.214ACADCDCADACAD




………….…….9分

在直角1411,350,cos0,14HAOAHHA中（米）
∴ 4900445cos11AHOAHAO（米）. ………………………13分
. （重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知2223bcabc，求：
（Ⅰ）A的大小;
（Ⅱ）2sincossin()BCBC的值.

解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos,abcbcA

22233cos,222.6bcabcAbcbcA故所以
(Ⅱ) 2sincossin()BCBC
2sincos(sincoscossin)sincoscossinsin()sin()1sin.2BCBCBCBCBCBCAA

8. 在ABC△中,内角,,ABC对边的边长分别是,,abc.已知2,3cC.
⑴若ABC△的面积等于3,求,ab;

H
120
0
O

C
A
⑵若sinsin()2sin2CBAA,求ABC△的面积.