函数基本性质培优试题及答案(精校版)

函数的基本性质专题

一、选择题：

1.下列各对函数中，相同的是

A.x x g x x f lg 2)(,lg )(2

== B.)1lg()1lg()(,1

1

lg )(--+=-+=x x x g x x x f C.v

v

v g u u u f -+=

-+=

11)(,11)( D.f （x ）=x ，2)(x x f =

2.设函数122,1

()1log ,1

x x f x x x -?≤=?->?

则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 A. []1,2- B. []0,2 C. [1,)+∞ D. [0,)+∞

3.给出函数?????<+≥=)

4(),1()4(,

)21()(x x f x x f x

，则=)3(log 2f

A.823-

B. 111

C. 191

D. 24

1

4.已知2

2

1111x x

x x f +-=??? ??+-，则)(x f 的解析式可取为 A.21x x + B.212x x +- C.212x x + D.－2

1x

x + 5.函数f (x )=21

++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是

A ．(0，21)

B ．( 2

1

，＋∞) C．(－2，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

6.定义两种运算：,)(,222b a b a b a b a -=?-=⊕则函数2

)2(2)(-?⊕=

x x

x f 的图象关于

A ．y 轴对称

B ．直线y ＝－x

C ．坐标原点对称

D .直线y ＝x 7．函数x x y cos -=的部分图象是

8.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是

A.()f x 为奇函数

B.()f x 为偶函数

C.()1f x +为奇函数

D.()1f x +为偶函数

9．已知函数()2

f x x mx n =++，且()2f x +是偶函数，则()571,,22f f f ????

? ?????

的大小关系是 A.()57122f f f ????<<

? ????? B.()75122f f f ????

<< ? ?????

C.()75122f f f ????<<

? ????? D.()75122f f f ????

<< ? ?????

10.设()f x 是连续的偶函数，且当0x >时是单调函数，则满足34

()()x x f x f ++=的所有x 之和为 A.-3 B.3 C.-8 D.8 二、填空题：

11.函数f (x )=212++x x 的定义域是[n ,n+1]（n ∈N*）,则函数f (x )的值域中共有________个整数．

12.函数()f x 对于任意实数x 满足条件1

(2)()

f x f x +=

，若(1)5f =-，则[(5)]f f =________. 13.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为 ____ .

14.已知最小正周期为2的函数y ＝f (x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2

，则函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象与y ＝|l og 5x |的图象的交点个数为 ____ . 三、解答题:

15.已知函数[]2

()22,5,5f x x ax x =++∈-.

(1)当1a =-时，求函数的最大值和最小值；

(2)求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数.

16.定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数.

(1)求：(1),(1)f f -的值；(2)求证：f （x ）为偶函数； (3)解不等式1(2)()02

f f x +-≤.

17.已知函数()y f x =对任意,x y R ∈均有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，

2

(1)3

f =-.

(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性和奇偶性.（2）求f (x )在[-3,3]上的最值.

18.已知函数

2

()(0,,)f x ax bx c a b R c R =++>∈∈,若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，(0)1f =且对称轴是1x =-，()(0),

()()(0),f x x g x f x x >?=?

-

（1）求(2)(2)g g +-的值；（2）求()f x 在区间[](),2t t t R +∈上的最大值.

19.已知函数21

()2

f x ax x c =-

+()a c ∈R 、满足条件：①(1)0f =；②对一切x ∈R ，都有()0f x ≥．

（1）求a 、c 的值； （2）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．

20.已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中常数k 为负数，且()f x 在区间[]

0,2上有表达式()(2)f x x x =-.

（1）求(1)f -，(2.5)f 的值；（2）写出()f x 在[]3,3-上的表达式，并讨论函数()f x 在[]

3,3-上的单调性；（3）求出()f x 在[]

3,3-上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

函数的基本性质专题培优试题参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11、 ___2n+2___； 12、 1

5

-

； 13、 18 ； 14、 5 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

15、(本题满分12分)解：2

(1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴

min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f =====

∴max m ()37,()1

in f x f x ==……6分

（2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x 在[]5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-.

……12分

16、(本题满分12分)解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+ f(1) ∴f(1)=0 令x=y=－1，则f(1)=f(－1)+ f(－1) ∴f(－1)=0……4分

(2)令y=－1，则f(－x)=f(x)+f(－1)=f(x) ∴f(－x)=f(x) ……7分

(3)据题意可知，函数图象大致如下：

12

1

,2101120,01210

)12()2

1

()2(≤<<

≤∴≤-<<-≤-∴≤-=-+x x x x x f x f f 或或

……12分

17、(本题满分14分)

（1）f (x )在R 上是单调递减函数（证明略）；

……4分

f (x ) 是奇函数

……7分

（2）max min 2,2

y y ==-……14分

18、(本题满分14分)解：（1）

(1)0(0)1

1

2f f b x a ?

?-=?

=???=-=-?

∴ 01

2a b c c b a -+=??=??=?∴1

12a c b =??

=??=?

∴2

()(1)f x x =+∴2

2

(1)(0)()(1)(0)

x x

g x x x ?+>?=?-+

g g +-=

（2）当11t +≥-时，即2t ≥-时 2m a x ()(2)(3

)f x f t t =+=+ 当11t

+<-时，即2t <-时， 2max ()()(1)f x f t t ==+ 综上所述2

max 2

(1)(2)()(3)(2)

t t f x t t ?+<-?

=?+≥-??

19、(本题满分14分) 解：（1）当0a =时，1

()2

f x x c =-

+． 由(1)0f =得：102c -+=，即12

c =，∴ 11

()22f x x =-+．

显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．

∴ 0a ≠，函数21

()2

f x ax x c =-

+是二次函数．…2分 由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得 2

0140.

2a ac >??

???

≤ ???

??，

－－即 010.(*)

16a ac >??

?

≥>??

，

…4分

由(1)0f =得 12a c +=

，即1

2

c a =-，代入（*）得 11

216

a a ??-≥ ???． 整理得 2110216

a a -+≤，即2

104a ??-≤ ?

?

?．而2104a ??-≥ ??

?

，∴ 14

a =．

将14a =

代入（*）得，1

4

c =， ∴ 1

4

a c ==．…7分