复数的四则运算(1)
复数的四则运算
复数代数形式的四则运算制作人：高二数学组学习目标1、掌握复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。
2、能够熟练准确的运用法则解决相关的实际问题。
3、掌握共轭复数的概念及性质。
重点：复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。
难点：共轭复数的概念及性质。
一、复习1、虚数单位 ，有 。
2、复数的代数形式 ，其中a 为 ，b 为 。
3、对于 ),(,R b a bi a z ∈+=，①、当 ，z 为实数； ②、当 ，z 为虚数； ③、当 ，z 为纯虚数。
4、若 di c z bi a z +=+=21,，则⇔=21z z 。
特别的：若0=+bi a ，则 。
二、新授思考：复数可以相等，那么复数是否可以四则运算？<一>、复数的加法法则如下：设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+++)()(di c bi a 。
复数的加法满足交换律： 。
结合律： 。
<二>、复数的减法法则如下：设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+-+)()(di c bi a 。
练习1、)43()42(i i -++2、)32()2(i i +--3、)23(5i +-4、)43()2()65(i i i +--+-<三>、乘法法则设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=++))((di c bi a 。
例：1、)32)(43(i i ++ 2、)2)(43)(21(i i i +-+-练习1、)3)(67(i i --2、)43)(43(i i -+<四>、除法法则设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+÷+)()(di c bi a 0)(≠+di c 。
例题：1、)43()21(i i -÷+ 2、i1练习：（1）ii -+11 （2）ii 437++小结：复数的四则运算法则： 。
复数的四则运算(一)学案
课题：复数的四则运算（一）一、 新课引入问题： 建立了复数的概念以后，很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算。
由于实数是复数的一部分，所以建立复数运算时，应当遵循的一个原则是：作为复数的实数，在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的。
那么，如何定义复数的加法与减法运算呢？二、 概念构建问题1：我们知道，i 与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么任何两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？问题2：复数的加法可以有哪些运算律？问题3：你能否用复数加法法则证明交换律和结合律吗？问题4：我们知道实数减法是加法的逆运算，那么复数的减法是怎样由加法得到呢？问题5：复数的加减法法则是什么？问题6：复数的乘法如何进行四则运算？问题7：复数的乘法可以有哪些运算律？你会证明吗？问题8：当0>a 时，你会解方程02=+a x 吗？共轭复数的概念？实数的共轭复数有什么特点？三、 例题选讲例1 计算)i 43()i 2()i 65(+---+-变式：计算)i 20202019()i 20192018()i 54()i 43()i 32()i 21(-++-+⋅⋅⋅++-+-++-+-例2 计算：（1）)i 31)(i 23)(i 2(+---- （2）)i )(i (b a b a -+问题9：根据例2（2），设R ∈y x ,，在复数集内，你能将22y x +分解因式吗？变式 在复数集内分解因式：（1）14-a （2）），（R x a x x ∈++322例3 求i 684--及的平方根.变式 设R ∈n m ,，求关于x 的方程0422=++x x 的两个根.四、 当堂检测 1．已知R ,∈b a ，i 2i )i (-=-b a ，则i b a +的共轭复数为（ ）A . i --2 B. i -2+ C. i -2 D. i 2+2.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知R ∈a ,i 是虚数单位，若4,i 3=+=z z a z ，则a 为（ ）A ．1或-1B . 7-7或C .-3D .34．若复数i 1+=a z (R ∈a )， i 12+=z （i 为虚数单位），则2z =__________；若z 1z 2为纯虚数，则a 的值为__________．5.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是___________.五、课堂总结1.复数代数形式的加减运算2.复数代数形式的乘法运算六、课后作业1．若a 为实数且i 4)i 2)(i 2(-=-+a a ，则a 为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．若复数i)23(i -=z (i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -3．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 4.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i5. (多选题)设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<06.在复数范围内分解因式：32++x x =___ ___．7.若复数z 满足()3i 2i z +=-（i 为虚数单位），则z =_______8.若复数)i 2)(i 1(+-=m z 是纯虚数，则实数m 的值为9．设112i z z z -= (其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，求z 2的虚部．10.已知i 是虚数单位，复数z =2﹣i+（4﹣2i ）i ．（1）求复数z ；（2）若（m ，n ∈R ，是z 的共轭复数），求m 和n 的值．。
3.2 复数的四则运算(1)
教学内容3.2 复数的四则运算（1） 教学目标要求 1．掌握复数的加减法及乘法运算法则及意义；理解共轭复数的概念．2．理解并掌握实数进行四则运算的规律教学重点 复数乘法运算教学难点 复数运算法则在计算中的熟练应用教学方法和教具 类比探究法教师主导活动 学生主体活动 复习复数的定义，复数的分类及复数相等的充要条件等上节课所学内容．一、问题情境问题1 化简：(23)(1)x x ＋＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋＋－＋吗？问题2 化简：多项式(23)(1)x x ＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋－＋吗？问题3 两个复数a ＋b i ，a －b i 有什么联系？二、学生活动1．由多项式的加法类比猜想(23)(1)x x ＋＋－＋＝1＋4i ，进而猜想(i)(i)()()i a b c d a c b d ＋＋＋＝＋＋＋．若()i (i)i x y c d a b ＋＋＋＝＋，根据复数相等的定义，得i ()()i x y a c b d ＋＝－＋－．2．由多项式的乘法类比猜想(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i ，进而猜想(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．3．两个复数a ＋b i ，a －b i 实部相等,虚部互为相反数．三、建构数学复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ．复数和的定义：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ．复数差的定义：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．复数积的定义：z 1z 2＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．性质：z 2z 1＝z 1z 2； (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)； z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3．共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身．共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．四、数学应用例1 计算(1－3i)－(2＋5i)＋(－4＋9i)．解 －5＋i ．练习 课本P115第1题．例2 计算(－2－i) (3－2i) (－1＋3i)．解 5－25i ．例3 计算(a ＋b i) (a －b i)．解 a 2＋b 2．思考1 当a ＞0时，方程x 2＋a ＝0的根是什么？解 x ＝±a i ．思考2 设x ，y ∈R ，在复数集内，能将x 2＋y 2分解因式吗？解 x 2＋y 2＝(x ＋y i) (x －y i)．五、巩固练习课本P115练习第3，4，5题．六、拓展训练例4 已知复数z 满足：2i 42i z z z -⋅⋅＋＝＋ ，求复数z ．七、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．复数的加减法法则和运算律．2．复数的乘法法则和运算律．3．共轭复数的有关概念．板书设计教后札记。
复数的运算。
m
n
mn n n z1 z2
(z1 z2 )
例1. ABCD是复平面内的平行四边 形, A、B、C三点对应的复数分别是 1+3i, −i, 2+i, 求点D对应的复数.
3. 复数z满足 z 1 i z 2i , 那么 z在复平面内对应的点所 表示的图形是 什么? 此时 z i 的最小值是多少 ?
6+2i
虚部为2，且z1 z2 是实数，求复数z2 .
5 例3 已知z 是实数，且z 3的实部与虚部互 z 为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z， 若不存在，说明理由.
-1-2i
-2-i
课堂练习
1 1 已知z是虚数，且z 是实数， z z 1 求证 纯虚数. z 1
a -i 2 已知z (a 0, a R), 复数ω z(z i) 1- i 3 的虚部减虚部减去它的得的差是 ， 求复数ω. 2 3 + 3i 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则：
复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d是实数）
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部 分别相加(减).
ห้องสมุดไป่ตู้
复数的四则运算
2.复数乘法的运算法则：
( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i. 注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
复数的运算公式
复数的运算公式复数的四则运算公式：加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi)了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。
一、复数的定义复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
二、复数的四则运算公式加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
例：求（a+bi)/(c+di)我们设结果为x+yi只需解方程（a+bi)=(c+di)(x+yi)即可也就是方程组cx-dy=a cy+dx=b解得x=(ac+ba)/(c+d) y=(bc-ad)/(c+d)三、小结总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可。
(教案)复数的四则运算
复数的四则运算【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2． 解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ． （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数；（2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ． （2）因为CA→＝OA →－OC →， 所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ． 互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B 所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M对应的复数为12＋3i ．复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 三、课堂总结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、课堂检测1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（ ） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ． 2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ． （1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 二、新知探究探究点1： 复数的乘法运算（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（ ）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ） A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ． （2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ． （3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ．复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i ．探究点2： 复数的除法运算计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．探究点3： i 的运算性质（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1． （2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i（1）i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）． （2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i ．②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ． ③1i ＝－i ． 探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程． （1）x 2＋5＝0； （2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5， 所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ． （2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0， 所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2， 所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ． 法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0）， 则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0， 所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2． 所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求解方法 （1）求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a ．②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i2a．（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋n i（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．三、课堂总结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．四、课堂检测1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A． 5 B． 3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
复数不满足消去律的例子(一)
复数不满足消去律的例子(一)复数不满足消去律什么是消去律在代数运算中，对于两个数a和b，如果ab=ac，那么我们就可以把b和c消去，得到b=c。
这个规律就是消去律。
消去律在实数、有理数和整数中都是成立的。
复数的运算复数是由实数和虚数两部分组成的数。
其中，虚数i满足i²=-1。
一般地，一个复数可以写成a+bi的形式，其中a和b都是实数。
下面是复数的四则运算：加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i复数不满足消去律对于实数运算，如果ab=ac且a不为0，那么我们就可以得到b=c。
但是，对于复数运算，情况并不一样。
我们不能简单地把公式中的a消去，因为复数的乘法不满足消去律。
这个问题可以通过举例子来说明：例如，考虑下面的两个复数：(1+i)×2 = 2+2i2×(1+i) = 2+2i我们发现，这两个式子的结果是相等的。
但是，如果我们试图去掉括号，那么就会得到：1+i=2这显然是错误的。
因此，我们可以得出结论：复数不满足消去律。
其他的例子除了上面的例子外，还有一些其他的例子也可以说明复数不满足消去律。
例如：•(1+i)×(1-i) = 2•(1+i)×(1+i) = 2i•(2+3i)×(1+i) = -1+5i我们可以仔细地去验证以上的乘法公式，并尝试消去公式中的某一个元素，来证明复数不满足消去律。
总结通过本文的介绍，我们了解了消去律在代数运算中的作用，并且发现复数并不满足消去律。
这个结论对于我们理解复数运算和代数运算都有着重要的意义。
在进行复数的计算时，我们需要谨记这一点，以避免犯错。
高中复数的运算公式
高中复数的运算公式
高中复数四则运算公式：加法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±
c)+(b±d)i。
乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
除法运算：复数a+bi除以复数c+di的商。
1、加法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±
c)+(b±d)i。
2、乘法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
3、除法运算
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
数据结构复数的四则运算
数据结构复数的四则运算复数是由实数和虚数构成的数，实数部分可以为任意实数，虚数部分可以表示为实数乘以一个虚数单位i（i^2=-1）。
复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算的定义和算法。
1.加法：复数的加法定义为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相加，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
2.减法：复数的减法定义为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相减，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相减，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
3.乘法：复数的乘法定义为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相乘，得到新复数的实部1-将两个复数的虚部相乘，得到新复数的虚部1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到新复数的实部2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到新复数的虚部2-将新复数的实部1减去虚部1，得到新复数的实部。
-将新复数的实部2与虚部2相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
4.除法：复数的除法定义为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部分别相乘，得到实部分子式1-将两个复数的虚部分别相乘，得到虚部分子式1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到实部分子式2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到虚部分子式2-将实部分子式1与虚部分子式1相加，得到分子的实部。