模糊数学教学课件
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《模糊计算及其应用》课件
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03
模糊推理与模糊控制系统
模糊推理的基本概念
01
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，它 允许元素具有不明确的边界和隶 属度。
模糊逻辑
02
03
模糊推理规则
模糊逻辑是传统逻辑的扩展，它 使用模糊集合和模糊隶属度函数 来处理不确定性和模糊性。
模糊推理规则是传统推理规则的 扩展，它使用模糊集合和模糊逻 辑来处理不确定性和模糊性。
智能控制
利用模糊逻辑的推理规则，实现智能控制系统的优化和自动 化。
智能机器人
通过模糊逻辑的决策和推理，提高机器人的感知、决策和行 动能力。
模糊计算的研究热点与发展趋势
模糊逻辑的优化算法
研究更高效和精确的模糊逻辑算法，提高模糊计算的性能和精度。
模糊计算在物联网中的应用
将模糊计算应用于物联网设备的智能管理和控制，实现更高效和智能的物联网应用。
详细描述
模糊计算的发展历程可以分为几个阶段。在模糊集合 论阶段，模糊集合和隶属度函数的概念被提出，为模 糊计算奠定了基础。在模糊逻辑阶段，模糊逻辑的原 理和方法被应用于计算机科学和人工智能领域，产生 了模糊逻辑控制器和模糊专家系统等应用。在模糊推 理阶段，模糊推理的方法和原理得到了进一步发展和 应用，形成了模糊控制系统和智能控制等应用领域。
1 2 3
模糊逻辑
模糊逻辑是一种扩展的逻辑系统，它使用模糊集 合和隶属函数来处理不确定性和模糊性。
模糊逻辑们在模糊推理和控制系统中有重要应 用。
模糊推理
模糊推理是模糊逻辑的核心，它基于模糊条件语 句进行推理，能够处理不确定性和模糊性。
模糊集合与模糊逻辑的应用实例
05
模糊计算的前沿技术与发 展趋势
模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件
1 1
T 1 是Y到X的模糊线性变换。
模糊关系诱导 定义 4.3.3 设T是X 到Y的模糊线性变换，且
RT F ( X Y )
满足
T ( A) A RT (A F ( X )),
则称T是由模糊关系 RT 诱导出的。 （我们仍只给出有限论域上的模糊线性变换与模 糊关系之间的对应关系。）
1、评总分法
根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评 价的等级，并用分数表示。将评价项目所得分数 累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决定 方案的优劣。 例如我国高考成绩评分就是如此。总分
S si
i 1 n
其中S表示总分,Si 表示第i个项目得分，n为项目 数。
2、加权平均法
加权评分法主要是考虑诸因素在评价中处的地位 或起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待， 于是就引进了权重的概念。它体现了诸因素在评价 中不同地位或作用，这种评分法显然比第一种合理。 n 一般表示为
T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B.
现将以上两种变换推广到模糊子集情形。
模糊映射
定义4. 3. 1 称映射
f : X F (Y ), x ( x) B为从X到Y的模糊映射。 由定义知，模糊映射是点集映射的推广，即在映 射f下，将点x变为模糊集B.
E a
i 1
i
s
i
其中 E 表示加权平均分数,ai 是第 i 个因素所占的权重 且要求 。
a
i 1
n
i
1
若取权重 ai
=
1/n ，则由上式求出的就是平均分。
4. 3. 2 模糊映射与模糊变换
知识回顾： • 在4. 1. 2 中，曾将映射概念作了两个方面的 扩张， 即 f : X F (Y ), 点-集映射 x f ( x) B F (Y )； 集合变换
T 1 是Y到X的模糊线性变换。
模糊关系诱导 定义 4.3.3 设T是X 到Y的模糊线性变换，且
RT F ( X Y )
满足
T ( A) A RT (A F ( X )),
则称T是由模糊关系 RT 诱导出的。 （我们仍只给出有限论域上的模糊线性变换与模 糊关系之间的对应关系。）
1、评总分法
根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评 价的等级，并用分数表示。将评价项目所得分数 累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决定 方案的优劣。 例如我国高考成绩评分就是如此。总分
S si
i 1 n
其中S表示总分,Si 表示第i个项目得分，n为项目 数。
2、加权平均法
加权评分法主要是考虑诸因素在评价中处的地位 或起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待， 于是就引进了权重的概念。它体现了诸因素在评价 中不同地位或作用，这种评分法显然比第一种合理。 n 一般表示为
T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B.
现将以上两种变换推广到模糊子集情形。
模糊映射
定义4. 3. 1 称映射
f : X F (Y ), x ( x) B为从X到Y的模糊映射。 由定义知，模糊映射是点集映射的推广，即在映 射f下，将点x变为模糊集B.
E a
i 1
i
s
i
其中 E 表示加权平均分数,ai 是第 i 个因素所占的权重 且要求 。
a
i 1
n
i
1
若取权重 ai
=
1/n ，则由上式求出的就是平均分。
4. 3. 2 模糊映射与模糊变换
知识回顾： • 在4. 1. 2 中，曾将映射概念作了两个方面的 扩张， 即 f : X F (Y ), 点-集映射 x f ( x) B F (Y )； 集合变换
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
《模糊数学教案》课件
《模糊数学教案》课件第一章：模糊数学简介1.1 模糊数学的概念与发展1.2 模糊集合的基本概念1.3 模糊数学的应用领域第二章：模糊集合的基本运算2.1 模糊集合的并、交、补运算2.2 模糊集合的余集、商集运算2.3 模糊集合的运算规律与性质第三章：模糊逻辑与模糊推理3.1 模糊逻辑的基本概念3.2 模糊推理的基本方法3.3 模糊推理的应用实例第四章：模糊控制系统4.1 模糊控制系统的原理与结构4.2 模糊控制规则的制定方法4.3 模糊控制系统的仿真与优化第五章：模糊数学在工程与应用领域的应用5.1 模糊数学在模式识别中的应用5.2 模糊数学在中的应用5.3 模糊数学在优化方法中的应用第六章：模糊数学在决策分析中的应用6.1 模糊决策树6.2 模糊综合评价方法6.3 模糊多属性决策方法第七章：模糊数学在控制理论与应用中的扩展7.1 模糊PID控制器设计7.2 模糊自适应控制方法7.3 模糊控制系统的稳定性分析第八章：模糊数学在信号处理中的应用8.1 模糊信号处理的基本概念8.2 模糊滤波器设计8.3 模糊信号识别与分类第九章：模糊数学在机器学习与数据挖掘中的应用9.1 模糊聚类分析9.2 模糊神经网络9.3 模糊数据挖掘方法第十章：模糊数学在其它领域的应用及发展趋势10.1 模糊数学在生物学中的应用10.2 模糊数学在环境科学中的应用10.3 模糊数学的未来发展趋势重点和难点解析一、模糊数学简介难点解析：理解模糊数学的哲学背景与发展历程，以及模糊集合的隶属度函数和二、模糊集合的基本运算难点解析：掌握模糊集合运算的规则，以及如何通过模糊集合的运算得到新的模糊集合。
三、模糊逻辑与模糊推理难点解析：理解模糊逻辑的推理规则，以及如何应用模糊推理解决实际问题。
四、模糊控制系统难点解析：掌握模糊控制系统的构建和运作机制，以及如何制定合适的模糊控制规则。
五、模糊数学在工程与应用领域的应用难点解析：了解模糊数学在不同领域中的应用方法，以及如何将模糊数学应用于实际问题。
模糊数学基础市公开课金奖市赛课一等奖课件
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有 限时，X 上一个模糊相同关系 R 诱导模糊矩阵称为模糊相同矩阵 ，即R满足：
(1) 自反性：I ≤R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).
第39页
模糊相同关系未必 是模糊等价关系
第40页
模糊聚类关键
第22页
模糊关系是普通关系推广.
设有论域X，Y，X Y 一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 模糊关系.
模糊子集 R 从属函数为映射 R : X Y [0,1].
尤其地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素 之间模糊关系.
典型关系是模糊关系特例. 第23页
模糊关系用模糊矩阵表示
第24页
模糊关系运算
设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 模糊关系R1 = (aik)m×s，Y 到Z 模糊关系R2 = (bkj)s×n，则 X 到Z 模糊关系R1 °R2可表示为相应模糊 矩阵乘积：
R1 °R2 = (cij)m×n，
第47页
模糊相同矩阵性质
定理3 若R 是n阶模糊相同矩阵，则 存在一个最小自然数 k (k≤n )，对于 一切不小于k 自然数 l，恒有Rl = Rk， 即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时 称Rk为R传递闭包，记作 t ( R ) = Rk .
第48页
模糊相同矩阵性质
上述定理表明，任一个模 糊相同矩阵可诱导出一个模 糊等价矩阵.
(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)； 余：Rc 从属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).
模糊数学3课件
V ( u1 ,u2 )∈U1 ×U 2
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
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A( x )比A( x ) 有所改善。
2013年12月22日
31
模糊集合及其运算
3、其它方法
德尔菲法：专家评分法； 二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
2013年12月22日
1
模糊数学绪论
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。 共同特点：模糊概念的外延不清楚。 模糊概念导致模糊现象
模糊数学——研究和揭示模糊现象的 定量处理方法。
2013年12月22日
2
模糊数学绪论
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
论域U中的每个对象u称为U的元素。
2013年12月22日
9
模糊集合及其运算
.u
.u A A
u A
u A
2013年12月22日
10
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A ( u),
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想
用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
2013年12月22日
3
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
2013年12月22日
27
对年龄27作出如下的统计处理：
n 隶属次数 隶属频率 n 10 6 0.60 80 20 14 0.70 90 30 23 40 31 50 39 0.78 120 60 47 0.78 129 70 53 0.76
0.77 0.78 100 110
~
2013年12月22日
13
模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
~ ~ ~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者 是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和 A 。 ~
模糊数学绪论
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等 等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。
2013年12月22日
12
{ 0, 1 } 特征函数 二、模糊子集 定义：设U是论域，称映射
[ 0, 1 ]
隶属函数
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函 ~ ~ ~
~
数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。 ~
2013年12月22日
4
模糊数学绪论
• 课堂主要内容
一、基本概念 模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵
二、主要应用
1. 模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类
例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以 及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性 状，对土壤进行分类。
2013年12月22日
3. 结合律 A ( B C ) ( A B) C ,
A ( B C ) ( A B) C
4. 吸收律 A ( A B) A, A ( A B) A
2013年12月22日
23
模糊集合及其运算
5. 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 6. 0-1律
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u0 ;
A* ; （3）U中的一个随机运动集合
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 制约着 A 的运动。 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
*
2013年12月22日
25
模糊集合及其运算
u 特点：在各次试验中， 0 是固定的，而 A* 在随机变动。
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0 对A的隶属频率 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u0 对A的隶属度：
u0 A*的次数 A( u0 ) lim n n
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
2013年12月22日
11
非此及彼
模糊集合及其运算
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x
~
A U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
2013年12月22日
21
模糊集合及其运算
并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小 型，中间型。 例如：在论域 U {1,2,,9} 中，确定A=“靠近5的 数”的隶属函数
中间型
2013年12月22日
29
模糊集合及其运算
可以选取柯西分布中间类型的隶属函数
1 A( x ) 1 ( x a ) 1 先确定一个简单的，比如 A( x ) , 2 1 ( x 5)
50
U
19
则模糊集O（年老）
u 50 2 1 (1 ( ) ) 0 5 O u 50u 100 u 0u 50
则模糊集Y（年轻）
u 25 2 1 (1 ( ) ) 1 5 Y u 25u 100 u 0u 25
2013年12月22日
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
2013年12月22日
xU
A( x ) x
16
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
5
模糊数学绪论
2.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型， 给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。 例如：苹果分级问题
苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。
现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。
2013年12月22日
6
模糊数学绪论
3.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合评价 例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面 给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
A(27) = 0.78
2013年12月22日
28
模糊集合及其运算
2、指派方法
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
2013年12月22日
26
模糊集合及其运算
对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，
18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-35 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28
1
0 50
2013年12月22日
18
U 100
再如，Y= ―年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
1 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( 5 ) )
1
0 u 25 25 u 100
0 25
2013年12月22日
0.06 0.1 0.2 0.5 1 此时有 A 1 2 3 4 5 0.5 0.2 0.1 0.06 , 6 7 8 9 A(4) A(6) 0.5，不太合理，故改变α
2013年12月22日
30
模糊集合及其运算
取 A( x )
2013年12月22日
31
模糊集合及其运算
3、其它方法
德尔菲法：专家评分法； 二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
2013年12月22日
1
模糊数学绪论
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。 共同特点：模糊概念的外延不清楚。 模糊概念导致模糊现象
模糊数学——研究和揭示模糊现象的 定量处理方法。
2013年12月22日
2
模糊数学绪论
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
论域U中的每个对象u称为U的元素。
2013年12月22日
9
模糊集合及其运算
.u
.u A A
u A
u A
2013年12月22日
10
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A ( u),
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想
用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
2013年12月22日
3
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
2013年12月22日
27
对年龄27作出如下的统计处理：
n 隶属次数 隶属频率 n 10 6 0.60 80 20 14 0.70 90 30 23 40 31 50 39 0.78 120 60 47 0.78 129 70 53 0.76
0.77 0.78 100 110
~
2013年12月22日
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模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
~ ~ ~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者 是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和 A 。 ~
模糊数学绪论
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等 等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。
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{ 0, 1 } 特征函数 二、模糊子集 定义：设U是论域，称映射
[ 0, 1 ]
隶属函数
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函 ~ ~ ~
~
数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。 ~
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模糊数学绪论
• 课堂主要内容
一、基本概念 模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵
二、主要应用
1. 模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类
例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以 及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性 状，对土壤进行分类。
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3. 结合律 A ( B C ) ( A B) C ,
A ( B C ) ( A B) C
4. 吸收律 A ( A B) A, A ( A B) A
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模糊集合及其运算
5. 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 6. 0-1律
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u0 ;
A* ; （3）U中的一个随机运动集合
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 制约着 A 的运动。 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
*
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模糊集合及其运算
u 特点：在各次试验中， 0 是固定的，而 A* 在随机变动。
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0 对A的隶属频率 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u0 对A的隶属度：
u0 A*的次数 A( u0 ) lim n n
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
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非此及彼
模糊集合及其运算
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x
~
A U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
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模糊集合及其运算
并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小 型，中间型。 例如：在论域 U {1,2,,9} 中，确定A=“靠近5的 数”的隶属函数
中间型
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模糊集合及其运算
可以选取柯西分布中间类型的隶属函数
1 A( x ) 1 ( x a ) 1 先确定一个简单的，比如 A( x ) , 2 1 ( x 5)
50
U
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则模糊集O（年老）
u 50 2 1 (1 ( ) ) 0 5 O u 50u 100 u 0u 50
则模糊集Y（年轻）
u 25 2 1 (1 ( ) ) 1 5 Y u 25u 100 u 0u 25
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若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
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xU
A( x ) x
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例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
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模糊数学绪论
2.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型， 给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。 例如：苹果分级问题
苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。
现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。
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模糊数学绪论
3.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合评价 例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面 给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
A(27) = 0.78
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模糊集合及其运算
2、指派方法
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
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模糊集合及其运算
对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，
18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-35 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28
1
0 50
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U 100
再如，Y= ―年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
1 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( 5 ) )
1
0 u 25 25 u 100
0 25
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0.06 0.1 0.2 0.5 1 此时有 A 1 2 3 4 5 0.5 0.2 0.1 0.06 , 6 7 8 9 A(4) A(6) 0.5，不太合理，故改变α
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模糊集合及其运算
取 A( x )