9.2空间两条直线的位置关系
高中数学理科基础知识讲解《92点与直线、两条直线的位置关系》教学课件
考点2
直线的交点问题例2(1)(2019安徽淮南一中模拟,6)已知直线kx-y+2k+1=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围为( )(2)(2019河南林州一中模拟,5)已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
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考点2
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考点2
思考如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?常见的直线系方程有哪些?解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.
C
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考点4
考向3 直线关于直线的对称问题例6(1)已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,直线l2的方程为 . (2)(2019河北唐 模拟,14)已知直线l:2x-3y+1=0,点a(-1,-2),则直线l关于点a对称的直线m的方程为 . (3)(2019四川成都联合诊断,7)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( )a.3x-4y+5=0 b.3x-4y-5=0c.3x+4y-5=0 d.3x+4y+5=0思考直线关于直线的对称问题该如何解?
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考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( )(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( )(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 . ( )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( )(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0. ( )
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 文 北师大版
3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
关闭
已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1,所
以所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.
解得a=-1, 故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
-13考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混
(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为 x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立. 当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于 l2.
-15考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混
对点训练1 (1)直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行, 则m的值为( ) A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3
关闭
(方法一 )当 m=-1 时 ,l1:2x+4=0,l 2:-x+3y-2= 0,显然 l1 与 l2 不平行 ; 2 ������ 4 2 当 m ≠-1 时 ,因为 l1∥l2,所以应满足 =- 且 ≠ ,解得 m=2 或 ������ +1 3 ������ +1 3 m=-3. (方法二 )若 l1∥l2,需 2×3-m(m+1)=0,解得 m=-3 或 m=2.当 m=-3 或 2 关闭 时 ,-2(m+1)-12≠0. C 所以 m=-3 或 2 为所求 .
【高优指导】版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 文 北师大版
两条直线的位置关系
-2-
考纲要求:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握点到 直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
-3-
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2. 特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行或重合. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率都存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1· k2=-1,当一 条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.
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-51 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( × ) (2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于|������������1 + ������| 1. ( × ) (3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 1 + ������2 . ( × ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距 离. ( √ ) (5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0. ( √ )
D 解析
关闭
答案
-81 2 3 4 5
4.已知点A(a,1),B(4,8)到直线l:x+y+1=0的距离相等,则a的值 为 .
关闭
由已知得,
11 或-15
9.2两条直线的位置关系、距离公式
第二节两条直线的位置关系、距离公式第二节两条直线的位置关系、距离公式星子中学数学组郭清山2015年1月8日星期四【考点分析】(1)考查两条直线的平行、垂直关系；(2)考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．【复习指导】3知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔□1__________.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2□2____.4(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔□3______________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线□4__________.与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.52．两直线相交(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．(2)相交⇔方程组有□5______，交点坐标就是方程组的解．(3)平行⇔方程组□6________.(4)重合⇔方程组有□7__________.63．三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为|AB|＝□8___________.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝□9_____. 0(C1≠C2)间的距离为d＝□10__________________.74．有关直线的对称问题 (1)中心对称：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于点P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.8(2)轴对称： ①点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的垂直平分线是对称轴l ，⎪⎧A ⎛⎪⎫x 1＋x 2＋B ⎛⎪⎫y 1＋y 2＋C ＝0，9题型一两条直线的平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．方法有二：1：斜率，2、向量10方法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，11(2)方法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，12题型二 两条直线的交点问题【例2】 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．从交点这一条件思考方法有二：1、点斜式，2、直线系从垂直这一条件思考方法有：垂直的直线系。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.2 两条直线的位置关系
§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2， 则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解. 2.几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d 概念方法微思考1.若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，1l k ·2l k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l2.( × )(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ ) 题组二 教材改编2.已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 题组三 易错自纠5.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.6.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______. 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.7.若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (2018·满洲里调研)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，a ≠－1时，l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.当a ≠－1时，l 1与l 2不平行. (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A.－32B.0C.－32或0D.2答案 C解析 若a ≠0，则由l 1∥l 2⇒a ＋11＝－a 2a ，故2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，l 1∥l 2，故选C.(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值.①l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 ①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在. ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二 两直线的交点与距离问题1.(2018·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23 B.23 C.－32 D.32答案 A解析 由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝⎛⎭⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－23.2.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 3.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB . ∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4.已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________________. 答案 ()1，－4或⎝⎛⎭⎫277，－87 解析 设点P 的坐标为(a ，b ). ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2).而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例2 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________. 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例3 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A.3 3B.6C.210D.2 5 答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例4 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________. 答案 x －2y ＋3＝0解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 跟踪训练2 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程. 解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎨⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3).又m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y ＋6＝0的直线l的方程.解 方法一 将直线l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即直线l 1，l 2的交点为(－1,2).由题意得直线l 3的斜率为35，又直线l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－53，则直线l 的方程是y －2＝－53()x ＋1， 即5x ＋3y －1＝0.方法二 由于l ⊥l 3，所以可设直线l 的方程是5x ＋3y ＋C ＝0，将直线l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即直线l 1，l 2的交点为(－1,2)，则点(－1,2)在直线l 上， 所以5×(－1)＋3×2＋C ＝0，解得C ＝－1， 所以直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三 设直线l 的方程为3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0， 整理得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.由于l ⊥l 3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝15，所以直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 故选C.2.若m ∈R ，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由log 6m ＝－1得m ＝16，若l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m ＝0或m ＝16，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的充分不必要条件.故选A.3.已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A.－10 B.－2 C.0 D.8 答案 A解析 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2. 解得m ＝－8. 又因为l 2⊥l 3， 所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4.过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是( ) A.2x －y ＋8＝0 B.x －2y ＋7＝0 C.x ＋2y ＋4＝0 D.x ＋2y －1＝0答案 D解析 方法一 因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二 由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5.(2018·盘锦模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A.423B.4 2C.823D.2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2)答案 B解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2).7.已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________. 答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0，即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3).8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9.直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________. 答案 x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10.已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________. 答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.12.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0).若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能. 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件.13.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4).故选C.14.(2018·赤峰质检)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( ) A. 5 B. 6 C.2 3 D.2 5 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离 d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号.∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( ) A.4x ＋2y ＋3＝0 B.2x －4y ＋3＝0 C.x －2y ＋3＝0 D.2x －y ＋3＝0答案 B解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝⎛⎭⎫12，1，k AB ＝－2， 故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x －4y ＋3＝0.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程. 解 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,4)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，8－b －3m 4，∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。
推荐-高三数学一轮复习课件9.2 点与直线、直线与直线的位置关系
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双击自 测
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3.过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( A ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行, ∴所求直线的斜率为12,方程为 y-0=12(x-1),即 x-2y-1=0.
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双击自 测
3.有关距离
(1)两点间的距离 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|= (������2-������1)2 + (������2-������1)2 . (2)点到直线的距离
平面上|一������������点0 +P���(���x������00,y+0)���到���| 一条直线l:Ax+By+C=0的距离
.
(2)两直线垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2⇔k1·k2= -1 . 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
ll21:⊥A2lx2⇔+BA2y1+AC2+2=B01B, 2=0.
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双击自 测
2.两直线的交点
联l2相设立交直,得,此线方解l1程:A就组1x是+������两B������121������直y������+++线C������1������交=12������0���点���,++l2的:A������������1坐22x==+标B00;2若,.y+若方C方2程=程0组,将组无这有解两唯,则条一l1直解与线,l则2平的l1行与方;程若 方程组有无数组解,则l1与l2重合.
9.2空间点、直线、平面之间的位置关系
一个 公共点，那么它们 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论： 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 相交 直线有且只有一个平面； 推论2：经过两条_____ 平行 直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条_____
2．空间中两直线的位置关系
2．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A．异面 C．平行 B．相交 D．异面或相交
(
)．
答案
A．0 答案
D
( )． B．1 D C．0或1 D．1或3
3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为
4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为 ( )． A．60° 解析 答案 D B．120° C．30° D．60°或120°
∴MN∥A1C1. (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？ 又∵A1A // C1C 且 A1A C1C
∴A1ACC1 为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A、M、N、C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线．
考向二
【例 2】
空间中两直线的位置关系
思维启迪 解析 探究提高
AE＝(1, 2,1),
＝(0,2 2,0)． BC
设 AE 与 BC的夹角为 θ, 2 AE BC 则 cosθ＝ | |＝ 2 , | AE || BC |
π 由此可知 ,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4
π 所以 θ＝ . 4
方法二 取 PB 中点 F,连接 EF, AF, 则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角． 在△AEF 中,由 EF＝ 2,AF＝ 2, AE＝2,知△AEF 是等腰直角三角形． π 所以∠AEF＝ . 4 π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4
2021全国统考数学人教版一轮课件：9.2 两条直线的位置关系与距离公式
AA12＝BB12≠CC21(A2B2C2≠0) AA12≠BB12(A2B2≠0)
AA12＝BB12＝CC21(A2B2C2≠0)
考点二 距离公式及其应用[互动讲练型]
[例 1] (1)若点 P 在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－
1＝0 的距离为 2，则点 P 的坐标为( )
3．三种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝
⑥___x_1－___x2__2＋ ___y_1_－__y_2_2__. 特别地，原点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP|＝⑦___x_2_＋__y2_.
(2)点到直线的距离
|Ax0＋By0＋C|
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－ 1.( × ) (3) 若 两 直 线 的 方 程 组 成 的 方 程 组 有 唯 一 解 ， 则 两 直 线 相 交．( √ ) (4)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx10＋＋kb2|.( × ) (5)两平行直线 2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0 间的距离是 0.( × )
答案：－4 或12
考点一 两条直线的平行与垂直 [自主练透型]
1．[2020·山东平度一中月考]若直线 l1：ax－y＋1＝0 与直线 l2： 2x－2y－1＝0 的倾斜角相等，则实数 a＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a ＝1.故选 B.