3-4隐函数与参数方程确定函数的求导方法
隐函数与参数方程确定的函数的导数
sin t cos t
) )
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
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解法2
设 arctan y ln
x2
y2
,求 dy
d2y ,
x
dx dx2
arctan y ln x2 y2 1 ln x2 y2
x 方程两边对x求导得
1
2
1
y
2
y x
1 2
x2
1
y2
(x2
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当 t 时, x a( 1), y a.
2
2所求切线方程为来自ya
x
a(
1)
2
即 y x a( 2 ) 2
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x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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隐函数及参数方程求导
称此关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.
如何求参数方程所确定的函数的导数?
自然的想法：消参数，求出 y 关于 x 函数的表达式.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x )2 x2 y 1 x
24
2
11
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉 、心、肺、肾等多脏器严重损害 的，全身性疾病，而且不少患者 同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表 现如下：
再设 x (t)，y (t) 都可导，且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy 即， dy dt
dx dx dt
13
若 x (t)，y (t) 还二阶可导，
d2y dx 2
d (dy )
dx dx
d ( (t)) dx (t)
sec2 t 3a cos2 t sin
t
sec4 t 3a sin t
dt 16
例
7
设
x 3t
e
y
sin
2
t
2t 3 y 1
0
确定函数
y
f (x)，
求曲线上对应 t 0点的切线方程.
解
第二个方程两端对 t 求导
dy dt
e y cos t 1 e y sin
t
,
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
e y cos t 1 1 e y sin t 6t 2
隐函数与参数式函数的求导.ppt
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
隐函数、参数方程的求导、高阶导数
高等数学应用教程 例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程 例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程 小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章 导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程 例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
3.4 隐函数
假定方程 F ( x , y ) 0 隐函数
能够确定
y f ( x ), 并且函数 f 可导.
问题：在不解出显式 y f ( x ) 的情况下, 如何求出导数?
隐函数求导法
在方程 F ( x, y ) 0中, 把 y 看成 x 的函数： y y ( x), 于是方程可看成 关于 x 的恒等式： F ( x, y ( x)) 0 两边对 x 求导, 解出 y . x
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
y [ ( x )]
利用复合函数和反函数微分法, 得
dy dy dt dy dx dt dx dt
dx ( t ) dt ( t )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
3. 设
微积分3-2-4隐函数导数
3 4 3
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
微
积
分
2 2 x 2 例3、函数y=y(x)由方程 sin( x y ) e xy 0
所确定, Байду номын сангаас y
解：方程两边同时对ｘ求导
cos(x 2 y 2 ) (2x 2 yy) e x y 2 2xyy 0
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy 2t cos y 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
t dy dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
2 x 2 2 dy y e 2 cos( x y ) dx 2 y cos( x 2 y 2 ) 2 xy
微
积
分
例5. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
两边对 x 求导
(含导数 y 的方程)
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
微
积
分
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
5 y 4 y' 2 y ' 1 21x 6 0
dy dy 1 21x 6 0 2 得 5y dx dx 6 d y 1 21x dx 5 y 4 2
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数【目的要求】1、熟练掌握隐函数、参数方程、对数函数三种求导法则；【重点难点】隐函数、对数函数导法．【教学内容】一、隐函数的导数函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2(arctan 2)y x =，ln cos x y e =等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程322sin 0x y x x -++=表示一个函数，因为当自变量x 在(,)-∞+∞内取值时，变量y 有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程(,)0F x y =所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程2310x y +-=解出y =数。
若不把隐函数显化，怎样求隐函数的导数呢（有很多隐函数是显化不了的）？下面举例说明.例1 求由方程2ln 1xy y +=所确定的隐函数y 的导数y '.解 方程两边对x 求导，得2(ln )(1)xy y ''+=，2120y x yy y y''+⋅+⋅=， 整理得 23(21)xy y y '+=-解出y '得 3221y y xy '=-+. 这就是所要求的隐函数的导数，结果中除了含有x 外，还含有y ，这是允许的。
从上例看到，求隐函数的导数时，由于y 不能或不必解出，为了求y '，由方程两边对x 求导，应用求导法则（包括四则运算法则和复合函数求导法则）后，对常数项或只含x 的项，直接应用求导公式；对只含y 的项()f y ，由于y 是x 的函数，故()f y 是x 的复合函数，y 是中间变量。
隐函数及参数方程导数
注意到 y 是x的函数,
是x的复合函数,
复合函数求导法:
0
=
y
0
=
x
0
=
y
0
=
x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 例 解 法一 隐函数求导法. 法二 反函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例 解 切线方程 法线方程 通过原点.
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
解
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
或解
*
练习
证
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
两曲线在该点
切线斜率乘积为负 1 .
,
)
2
,
2
(
是两曲线的交点
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
解
练习
*
可确定显函数
例
开普勒方程
显式?
显化.
*
2. 隐函数求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到
将方程两边对 x 求导.
变量 y 是 x 的函数.
隐函数不易显化或不能显化，
如何求导
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
(2)
仰角增加率
(3)
,
1
tan
,
500
=
=
a
时
当
h
a
a
tan
1
sec
隐函数及参数方程所确定的函数的求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
返回 1
一、隐函数的导数
定义: y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数F ( x, y) 0称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
上式两边再对x求导，得
d2y
2sin
y dy dx
4sin y
.
dx2 (2 cos y)2 (2 cos y)3
返回
4
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
二、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
a
2， 2
b2 y0 bsin 2 2 .
曲线在点M
的切点斜率为：
0
dy dx
|t 4
（（ab
sin cos
tt）） |t
4
bcos t a sin t
|
t
4
b a 返
回
13
••• 代入点斜式方程，即得椭圆在点M0处的切线 方程