弧度制

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§1.3
3.已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的 弧度数是 A.1
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( C ) B.4 C.1 或 4 D.2 或 4
解析 设扇形半径为 r，圆心角弧度数为 α，
2r＋αr＝6 则由题意得1 2 αr ＝2 2
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类别 扇形的弧长
α 为角度制
α 为弧度制
απR l＝ 180
l＝ αR
扇形的面积
απR2 S＝ 360
1 2 1 αR lR S＝ 2 ＝ 2
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探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
§1.3
在弧度制下， 与 α 终边相同的角连同 α 在内可以表示为 2kπ ＋ α(k∈Z)，其中 α 的单位必须是弧度 .
∴当半径 r＝10 cm 时， 扇形的面积最大， 最大值为 100 cm2，
l 40－2×10 此时 θ＝ ＝ rad＝2 rad. 10 r
所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面 积最大为 100 cm2.
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§1.3
小结
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—— 顺时针方向 逆时针方向 顺时针方向 逆时针方向 逆时针方向
0 π －2
π
－2π π 180
0° －90°
180° －360° 1°
180 ° π
1
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§1.3
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2r
顺时针方向
－2
360 － ° π
规律：如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那
π {α |2kπ＋2<α<2kπ＋π， k∈Z}
3π {α |2kπ＋π<α<2kπ＋ 2 ，k∈Z}
3π {α |2kπ＋ 2 <α<2kπ＋2π，k∈Z}
α 终边所在的象限
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Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
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【典型例题】 例 1 (1)把 112° 30′化成弧度； 7π (2)把－ 化成角度. 12
负数 ，零角的弧度数是 0 .
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α l |α |＝ r .这里， 的弧度数的绝对值满足 α 的正负由角 α 的终边 的旋转方向决定 .
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3
4.角度与弧度的互化： (1)角度转化为弧度：
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§1.3
跟踪训练 1
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将下列角按要求转化：
5π 3 (1)300° ＝________rad ；
π －8 (2)－22° 30′＝________rad ； 8π 288 度. (3) 5 ＝________
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§1.3
§1.3
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小结 混用.
在同一问题中， 单位制度要统一， 角度制与弧度制不能
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§1.3
跟踪训练 3 将－1 485° 化为 2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式
7π －10π＋ 4 是___________.
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解析 ∵－1 485° ＝－5×360° ＋315° ，
请补充完整.
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探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 问题 1
§1.3
我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公
式，请根据“一周角(即 360° )的弧度数为 2π”这一事实化
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nπr 答 半径为 r，圆心角为 n° 的扇形弧长公式为 l＝180， nπr2 扇形面积公式为 S 扇＝ 360 . l |α | ∵ ＝2π，∴l＝|α |r. 2πr
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5π ∴－1 500° 可化成－10π＋ 3 ，是第四象限角. 23π 11π (2)∵ 6 ＝2π＋ 6 ，
23π 11π ∴ 6 与 6 终边相同，是第四象限角. π (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，2<2π－4<π.
∴－4 与 2π－4 终边相同，是第二象限角.
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§1.3
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§1.3
【学习要求】 1.理解角度制与弧度制的概念， 能对弧度和角度进行正确的转 换. 2.体会引入弧度制的必要性， 建立角的集合与实数集一一对应
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关系 . 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 . 【学法指导】 1.通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同 的单位制来度量，从而引出弧度制 . 2.弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制， 并能进行弧度与角度 换算的关键 . 3.引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制 下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别 .
S扇 S扇 |α | 1 2 ∵ ＝ 2＝2π，∴S 扇＝2|α |r . S圆 πr 1 2 1 ∴S 扇＝2|α |r ＝2lr.
简上述公式.(设半径为 r，圆心角弧度数为 α).
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§1.3
问题 2
角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比： 度量单位
设扇形的半径为 R，弧长为 l， α (0<α<2π)为其圆心角，则
例 2 已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什 么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，
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则 l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
1 1 ∴S＝ lr＝ ×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100. 2 2
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§1.3
π 解 先将 112° 30′化为 112.5° ，然后乘以 rad，即可将 180 180 7π 112° 30′化成弧度，－ 乘以 ° 即可化为角度. 12 π
225 225 π 5π 所以，(1)∵112° 30′＝112.5° ＝ 2 ° ＝ 2 ×180＝ 8 .
3 ＝2×(－1)π＋－4π.
3 ∴θ＝－4π.
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§1.3
1.角的概念推广后， 在弧度制下， 角的集合与实数集 R 之间建 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数 (即这
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个角的弧度数 )与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一 的一个角(即弧度数等于这个实数的角 )与它对应 . 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用 “ 180° ＝π rad”这一关系式 . 180 π 易知：度数× rad＝弧度数，弧度数× ° ＝度数 . 180 π 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具 体要点、记下疑难点
§1.3
单位长度的弧 所对 1.1 弧度的角： 在以单位长为半径的圆中，
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的圆心角为 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作 弧度 . 2.弧度制：用 弧度 作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制. 3.角的弧度数的规定： 一般地，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
r＝1 ，∴ α＝4 r＝2 或 α＝1
.
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§1.3
11 4.把－ π 表示成 θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的 θ 值是 4 3 － π 4 ________.
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3 11 解析 － 4 π＝－2π＋－4π
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§1.3
问题 4
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角度制与弧度制换算时， 灵活运用下表中的对应关系， 角度化弧度 360° ＝ 2π rad 180° ＝ π rad π 1° ＝ rad 180 弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180° 180 1 rad＝ ° π
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问题 2
§1.3
如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l， 那
么 α 的弧度数与 l、r 之间有着怎样的关系？请你完成下表， 找出某种规律. AB 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数
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0 π 2r πr 2πr πr 180 r
7π ∴－1 485° 可以表示为－10π＋ . 4
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§1.3
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1.时针经过一小时，时针转过了 π π A. rad B.－ rad 6 6 π π C. rad D.－ rad 12 12
解析 时针经过一小时，转过－30° ，
π 又－30° ＝－ rad，故选 B. 6
§1.3
探究点一 弧度制
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问题 1
答
1 弧度的角是怎样规定的？1 弧度的角和圆半径的大
在以单位长为半径的圆中， 单位长度的弧所对的圆心角
小有关吗？你能作出一个 1 弧度的角吗？
为 1 弧度的角，1 弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无 关.如图所示，∠AOB 就是 1 弧度的角.
360° ＝ 2π rad； 180° ＝ π rad； π 1° ＝ 180 rad≈ 0.017 45 rad. (2)弧度转化为角度： 2π rad＝ 360° ； π rad＝ 180°； 180 1 rad＝ ° ≈ 57.30° ＝ 57° 18′ . π