秦九韶算法教案

1.3 案例2 秦九韶算法教学目标理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

掌握秦九韶算法的操作方法。

二、学情分析本班69人，普遍基础一般，学习积极性不高，上期期末100分一上2人，90分到100分8人，80分到90分12人，70分到80分21人，其他都在70分以下。

从学生的认知基础看，学生在已经学习了程序框图、算法语句的相关知识，积累了研究算法的基本方法与初步经验。

学生的基础能够在一节课中掌握框图和算法语句。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。

但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构秦九韶算法中的循环结构有一定的困难。

三、教材内容分析为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法。

算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础。

随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容。

秦九韶算法既能体现新课程、新理念、新课标，又可以结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣。

四、教学方法设计学生探究、教师引导1、模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

2、了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

3、通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

4、通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”。

5、充分认识信息技术对数学的促进。

五、教学过程1、逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路【思考1】求当5x = 时多项式5432()1f x x x x x x =+++++的值。

学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可。

教师点评：上述算法一共做了10次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂。

缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。

设计意图：使学生在自己操作的过程中体会求多项式值的一般思路方法。

【思考2】有没有更高效的算法?教师引导学生分析、推理：可以先计算2x 的值，然后依次计算2x x *，2(*)*x x x ，2((*)*)*x x x x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果。

这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算。

教师点评：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地得到结果。

设计意图：帮助学生改进方法，提高计算效率。

【思考3】能否探索更好的方法，来解决任意多项式的求值问题？刚才提高计算效率的方法只对求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当5x =时的值而言的，那么再举一例：求多项式5432()23245f x x x x x x =+++++当2x =时的值？教师引导学生解答：利用思考2总结出来的方法，每次计算利用上一次结果。

想要解决这一问题，可以将原式变形如下：5432()23245f x x x x x x =+++++432322(23241)5((2324)1)5(((232)4)1)5((((23)2)4)1)5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++++=+++++将2x =代入上式，从内往外依次计算1234223772216162436362173v v v v =⨯+==⨯+==⨯+==⨯+= 设计意图：用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法，进一步探索具有一般意义的算法。

【思考4】一个n 次多项式()f x 1110...nn n n a x a xa x a --=++++的值？教师引导学生解答：将原式变形得111012110110()...(...)......((...()...)n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ------=++++=++++=++++求多项式的值时，类推练习的方法。

首先计算最内层括号内的一次多项式的值，即：011nn n v a v a x a -==+然后由内往外逐层计算一次多项式的值，即21232310......n n n n v v x a v v x a v v x a ---=+=+=+教师点评：上述方法为秦九韶算法。

直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。

同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人。

先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。

他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。

早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。

《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。

其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

设计意图：这里将问题由特殊上升到一般，得出用秦九韶算法求多项式的值的一般方法，说明秦九韶算法的通用性。

同时，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。

2 、将“算法”提升到“程序框图”的层面【思考1】观察上述秦九韶算法中的n 个一次式。

在秦九韶算法中反复执行的步骤是什么，应该用什么结构来实现？教师引导学生分析：观察秦九韶算法的数学模型，计算k v 时要用到1k v -的值。

若令0n v a =可以得到下面的递推公式：01(1,2,,).n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用算法逻辑结构来实现。

由秦九韶的概念得出算法步骤如下：第一步：输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值。

第二步：将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1n -。

第三步：输入i 次项的系数i a 。

第四步：,1i v vx a i i =+=-第五步：判断i 是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v 。

【思考2】 怎样用程序框图表示秦九韶算法？教师引导学生分析： 由算法步骤画出程序框(如下页图)教师点评：用程序框图表示秦九韶算法中的循环过程中，最重要的部分是找出循环体。

在画框图的过程中，计数变量的初始值也要注意，这是画框图时候的小技巧。

设计意图：由以上“算法”转化为“程序框图”。

就是一种十分重要的数学思想。

由此发现，“算法”与“程序框图”它们既是研究问题的不同方面，又是相互依存、相互联系的，在一定条件下可以由“算法”画出“程序框图”：由“程序框图”写出“算法”。

3 、“程序框图”写出“程序”并进行迁移、运用【思考1】怎么将上述程序框图写出对应程序？由以上程序框图对应写出程序： 第一步 INPUT n INPUT n a INPUT x另一种写法：INPUT “n ，n a ，x ”；n ，n a ，x评析： 如果不注意输入语句的格式，则写出的程序，计算机就不会执行或输出错误的信息，这是很多学生常犯的错误。

第二步 n v a = 1i n =-评析：学生在写赋值语句时常常一句给出多个变量赋值，这也是错误的。

第三步 WHILE 0i >=INPUT “i a ”； i a *v v x a =+ 1i i =- WENDPRINT vEND教师点评：根据程序框图及前面提到的循环结构，递推公式。

引导学生选对循环语句写出程序，问题就会迎刃而解。

设计意图：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

六、板书设计程序框图：(一)秦九韶算法01210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=-------------- n a v =0101-+=n a x v v212-+=n a x v v ， 323-+=n a x v v… 01a x v v n n +=- 算法步骤： 第一步：输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值 第二步：将v的值初始化为na ，将i 的值初始化为1n -。

第三步：输入i 次项的系数i a 。

第四步：,1i v vx a i i =+=-第五步：判断i 是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。

程序：INPUT n INPUTn aINPUT xn v a =1i n =- WHILE 0i >=INPUT “i a ”； i a*v v x a =+1i i =-WENDPRINT vEND七、技术运用运用多媒体教学，课件展示。

八、资源引用选用创新设计例题及高考资源网。

九、创新点通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，理解算法的含义；通过模仿、操作、探索、经历、设计程序框图表达解决问题的过程，让学生自我去探索，及时获得成就感，激发学生学习兴趣。

十、教学反思通过本节课学习，把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题, 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。