(家教培优专用)人教版数学八年级上册--幂的运算(基础)知识讲解
数学人教版八年级上册幂的运算
教学设计8.1 幂的运算----- 幂的乘方一、教学背景（一）教材分析本节课是在前面学习的基础上进一步学习幂的乘方，是对幂的意义的理解、运用和深化．让学生体会幂的乘方运算是一种比乘法还要高级的运算，提高学生数学运算能力.本节内容又是整式的乘法的主要依据，也为后面学习方程、函数做了准备．（二）学情分析学生已经学过乘方，并掌握代数式的意义，这为本课奠定了基础．从学生的认知规律看，学生已学习了乘方的意义﹑幂的意义以及同底数幂的乘法，为学习幂的乘方运算在教学中提供了引导学生讨论交流提供了保证．二、教学目标：1 经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.2 了解幂的乘方的运算的性质，培养学生综合运用知识的能力．三、重点、难点：重点：理解并正确运用幂的乘方的运算性质.难点：幂的乘方的运算性质的探究过程及运用.四、教学方法分析及学习方法指导教学方法：利用引导探究法,让学生以“体验－归纳－概括”为主要线索，在合作探索与交流中获得知识，使不同层次的学生都有收获和发展.把幂的乘方的性质应用于计算，培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力．学法指导：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题．本节主要学习幂的乘方性质后，学习了幂的两个运算性质，深刻理解幂的运算的意义，能熟练地进行幂的乘方运算．五、教学过程：（一）知识回顾：1 幂的意义是什么？2 同底数幂的乘法运算性质是什么？设计意图：复习旧知识，为学习新知识做铺垫。
（二）情境导入：一个正方体的边长是210cm,则它的体积是多少? 议一议: ()3210怎样计算呢?完成教材P47页填表:设计意图：从实例引入课题，强化数学应用意识，使学生真真切切地感受到幂的乘方运算因实际需要而生的思想，从而激发学生的求知欲.引导学生主动反思问题,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备. （三）探究新知：计算下列各式(1) ()426=26×26×26×26= 22226+++=86(2) ()322= 22×22×22= 2222++ = 62(3) ()2m a= m a ⋅ m a =m ma+= 2ma(4) ()4m a = m m m m a a a a ⋅⋅⋅=m m m m a +++=4m a你能猜想出()nm a 的结果吗？()mn a nmm m m a a a a =⋅⋅⋅个 （ 乘方的意义）n mm m m a ++⋅⋅⋅+=个 （同底数幂相乘的法则）mn a =()nm a =mna（m 、n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘.“一般”的过程，培养学生思维的严密性，也感受了数学学习的严谨性，积累了解决问题的经验和方法. （四）合作学习:例2 计算 （1）()3510 （2）()24x （3）()32a -（五）自主学习：1 判断题()()()()()()()()325326222232 3 2 3 3 2122225101 (x )2345 ()6 [()]()7 ()()n n n n mx x x x x x x x x x x x am a b b x y x y +⨯++=⋅=⋅⋅=⋅===-=+=+（六）拓展学习：2 ()3242a a a⋅+3435233243323)( 2 )() ( 3 )() ()() ()a x y y a a x x --⋅-⋅-⋅-3 计算（1）（-； ；； （4） （5） 设计意图：分层次训练学生对法则的掌握程度，使学生对法则的理解更加熟练、准确，解决本节课的重点内容. （六）课堂小结：1 本节主要学习幂的乘方性质()nm a =mna （m 、n 都是正整数）2 幂的乘方性质用语言表达为3 弄清同底数幂相乘与幂的乘方的区别：前者是指数＿＿＿，后者是指数＿＿（七）布置作业:1 必做：P54习题8.1：第2题2 选做： ()()32311 = 2,2 32,35,3x x n m m n a a +-===若则若则＝ 板书设计：预设反思：。
八年级上册数学幂的乘方知识点
八年级上册数学幂的乘方知识点稿子一嗨呀，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊八年级上册数学里超有趣的幂的乘方知识点哟！啥是幂的乘方呢？简单说就是，一个幂再去做乘方运算。
比如说，（a 的 m 次方）的 n 次方，这就是幂的乘方啦。
那它的运算规则是啥呢？记住咯，底数不变，指数相乘。
就像（a 的 m 次方）的 n 次方等于 a 的（m×n）次方。
来，咱们举个例子。
比如说（2 的 3 次方）的 2 次方，底数 2 不变，指数3×2 = 6，结果就是 2 的 6 次方，也就是 64 哟。
这知识点在做题的时候可有用啦！比如说让你计算（3 的 2 次方）的 3 次方，那就是 3 的 6 次方，等于 729 。
而且哦，幂的乘方还能和同底数幂的乘法、除法结合起来考呢。
这时候可别晕头转向，只要牢记规则，就能轻松应对。
怎么样，是不是觉得幂的乘方也没那么难啦？多做几道题，熟练掌握，数学就能变得超简单哟！稿子二嘿，小伙伴们！咱们又见面啦，今天来唠唠八年级上册数学的幂的乘方。
你想啊，幂的乘方就好像给幂穿上了一层又一层的“魔法外衣”。
比如说（a^m）^n ，这就是幂的乘方。
那这“魔法外衣”怎么穿呢？记住哦，底数 a 可不会变，变的是指数，要把 m 和 n 相乘。
举个好玩的例子，（5^2）^3 ，底数 5 不动，2×3 = 6 ，所以结果就是 5^6 。
幂的乘方用处可大啦！做题的时候，它能帮咱们快速算出复杂的式子。
再比如说，给你个式子（x^3）^4 × x^5 ，先算幂的乘方，得到x^12 × x^5 ，然后同底数幂相乘，底数不变指数相加，就是x^17 。
还有哦，如果遇到像（2^4）^（1/2）这样的，也别害怕。
指数4×（1/2）= 2 ，结果就是 2^2 = 4 。
学会了幂的乘方，数学的世界就像打开了一扇新的大门，是不是很有趣呀？加油多练习，数学会越来越好玩的！。
初中数学幂的运算
初中数学幂的运算在初中数学的学习中，幂的运算可是一块重要的基石。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇神秘的大门。
咱们先来说说什么是幂。
简单来讲，幂就是指一个数自乘若干次的形式。
比如说，2 的 3 次幂，表示 2 乘以自己 3 次，也就是 2×2×2 ＝8 。
在幂的表示中，底数就是那个被乘的数，像刚才例子里的 2 ；指数就是底数自乘的次数，比如 3 。
接下来，咱们聊聊幂的运算规则。
首先是同底数幂的乘法。
如果有两个同底数的幂相乘，比如 a 的 m 次幂乘以 a 的 n 次幂，结果就是 a的（m ＋ n）次幂。
这就好比一堆相同的苹果，一堆有 m 个，另一堆有 n 个，加在一起不就是（m ＋ n）个嘛。
再说说同底数幂的除法。
a 的 m 次幂除以 a 的 n 次幂（a 不等于0），结果就是 a 的（m n）次幂。
这也好理解，就像把一堆 m 个的苹果，拿走 n 个，不就剩下（m n）个了嘛。
然后是幂的乘方。
（a 的 m 次幂）的 n 次方，结果就是 a 的（m×n）次幂。
这就好像给一组相同数量的东西，每组有 a 的 m 次幂个，一共有 n 组，那总数不就是 a 的（m×n）次幂个嘛。
还有积的乘方。
（ab）的 n 次幂，等于 a 的 n 次幂乘以 b 的 n 次幂。
想象一下，一个大长方形，长是 a ，宽是 b ，现在把它分成 n 个小长方形，每个小长方形的面积不就是 a 的 n 次幂乘以 b 的 n 次幂嘛。
为了更好地掌握幂的运算，咱们得多多练习。
比如说，计算 2 的 3次幂乘以 2 的 4 次幂。
因为是同底数幂相乘，底数 2 不变，指数 3 ＋ 4 ＝ 7 ，所以结果就是 2 的 7 次幂，也就是 128 。
再比如，计算 3 的 5 次幂除以 3 的 2 次幂。
同底数幂相除，底数 3不变，指数 5 2 ＝ 3 ，所以结果就是 3 的 3 次幂，也就是 27 。
初二上学期数学辅导重点及练习：幂的运算
初二上学期数学辅导重点及练习：幂的运算查字典数学网为大家整理了初二上学期数学辅导重点及练习，希望大家跟着小编的思路归纳知识点和小编一起来学习吧。
一. 知识要点：指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：am?an?am?n，(am)n?anm，(ab)n?an?bn，am?an?am?n.学习指数运算律应注意：1.运算律成立的条件;2.运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式;3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.二. 基础巩固提高ab1.如果a-4=-3b，求3×27的值。
(绍兴市竞赛题). 2.若102x?25，求10x?1的值。
13.若10m=20，10n=5，求9m÷32n的值2741，961 4.比较下列一组数的大小. 8131，比较大小：3555，4444，533310232比较6与4大小 17175.已知2x?27y?37z?3996，求(x?2y?z)2021的值三、课堂训练 (易错题)一.选择题1.计算 (-3)2n+1+3?(-3)2n结果正确的是( )A. 32n+2B. -32n+2C. 0D. 12.若an?1?am?n?a6 ，且m?2n?1 ，则mn 的值为( )A.1B. 2C.3D.43.-an与(-a)n的关系是( )A. 相等B. 互为相反数C. 当n为奇数时,它们相等; 当n为偶数时,它们互为相反数D. 当n为奇数时,它们互为相反数; 当n为偶数时,它们相等4. 下列运算中错误的是( )A.-(-3anb)4=-81a4nb4B.(an+1bn)4=a4n+4b4n;C.(-2an)2·(3a2)3=-54a2n+6D.(3xn+1-2xn)·5x=15xn+2-10xn+1.100995.计算所得的结果是( ) (?2)?(?2)A.-2B.2C.-299D.2997.如果b2mA.b>0B.b。
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。
n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征： ，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是 ，的个位数是 ，253263的个位数是 ，的个位数是 ．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是 ．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___； ； ．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】 定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则 ．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算： ．2008(1)-=【答案】1．2．计算： ．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则 ．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知 得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为 ．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）； （2）； （3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ．（2）正确的结果是 ．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数． （2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1． ．=---3232． ．()22533235-⨯-⨯+=3． ．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014． ．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165． ．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76． ．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则 ．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是 位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（ ）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（ ）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）； （2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）； （4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
专题14.1幂的运算-重难点题型(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(人教版)
专题14.1幂的运算-重难点题型【人教版】【知识点1幂的运算】①同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(a m)n=a mn。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=a n b n。
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【题型1幂的基本运算】【例1】（2021•高新区校级三模）下列计算正确的是（）A．x8÷x4＝x2B．x3•x4＝x12C．（x3）2＝x6D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【分析】A，符合同底数幂相除法则；B，同底数幂相乘底数不变指数相加；C，符合幂的乘方运算法则；D，指数是偶次幂结果为正．【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；B：原式＝x7，∴B不符合要求；C：符合幂的乘方运算法则，∴C符合要求；D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．故选：C．【变式1-1】（2020秋•南宁期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a6÷a2＝a3D．a﹣1=1（a≠0）【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数对各项进行运算即可得出结果．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合题意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；D、a﹣1=1（a≠0），故D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2021•椒江区一模）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a5÷a3＝a2【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据积的乘方运算法则进行计算判断C，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断D．【解答】解：A、a2•a4＝a6，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；D、a5÷a3＝a2，正确，故此选项符合题意；故选：D．【变式1-3】（2021•元阳县模拟）下面计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π−3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．x3÷x•x﹣1＝x3【分析】A．由3a和2b不是同类项，不能合并可得结果；B．任何非零数的零指数幂等于1，可得结果；C．根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；D．先计算同底数幂的除法计算，再利用同底数幂的乘法进行计算即可．【解答】解：A．3a和2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；B．（π−3）0＝1，计算正确，符合题意；C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，计算错误，不符合题意；D．x3÷x•x﹣1＝x，计算错误，不符合题意；故选：B．【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2021春•蚌埠期末）若a＝（−34）﹣2，b＝（−12）0，c＝0.75﹣1，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：a＝（−34）﹣2=169，b＝（−12）0＝1，c＝0.75﹣1=43，故a＞c＞b．故选：D．【变式2-1】（2021春•江都区校级期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=−125，c＝（﹣5）0＝1，∴c＞a＞b．故选：B．【变式2-2】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式2-3】（2021•彭州市校级开学）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，则a、b、c、d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【分析】根据幂的乘方法则计算，比较大小即可．【解答】解：∵a＝266＝（26）11＝6411；b＝355＝（35）11＝24311；c＝444＝（44）11＝25611；d＝533＝（53）11＝12511；∴6411＜12511＜24311＜25611，即a＜d＜b＜c．故选：D．【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春•莱阳市期末）已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为50．【分析】把同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方运算法则逆用，变形103a+2b﹣1代入计算，即可求出结果．【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，故答案为：50．【变式3-1】（2021春•青川县期末）已知a m＝2，a n＝3，则（a3m﹣n）2＝649．【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m＝（a m）3＝23＝8，∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷a n）2＝（8÷3）2=649．故答案为：649．【变式3-2】（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，∴3m﹣2n＝4，∴2n﹣3m＝﹣4，∴（﹣3）2n﹣3m=(−3)−4=181．【变式3-3】（2021春•宝应县月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，∴4m+4＝16，解得m＝3；（2）∵n为正整数，且x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4（x2n）2＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于8．【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整体代入即可．【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x•4y＝23x•22y＝23x+2y＝23＝8．故答案为：8．【变式4-1】（2021春•嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝1000．【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，变形为4x﹣3y＝3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可．【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，∴4x﹣3y＝3，∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．故答案为：1000．【变式4-2】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x•27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1=13．【变式4-3】（2021春•高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y满足2+2=54，B=−12，求下列各式的值．①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；（3）根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵2+2=54，B=−12，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy=54+2×(−12)=54−1=14；②∵2+2=54，B=−12，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=(54)2−2×(−12)2=2516−12=1716．【题型5幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春•渠县期末）计算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．【分析】（1）把4转化成底数为2，再根据同底数幂的乘法的法则与同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则对式子进行运算即可．【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2＝22×22n÷22n﹣2＝22+2n﹣2n+2＝24＝16；（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．＝1×1﹣5﹣（﹣8）＝1﹣5+8＝4．【变式5-1】（2021春•徐州期末）计算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则计算即可．【解答】（1）原式＝﹣4+1+3＝0；（2）原式＝a6+a6﹣a6＝a6．【变式5-2】（2021春•江都区校级期中）计算：（1）(12)−1−(5−p0−|−3|+2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2＝0；（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6．【变式5-3】（2021春•临淄区期末）计算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（−12）﹣3﹣4﹣2×（−14）﹣3．【分析】（1）直接将原式化为同底数，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2；（2）原式＝﹣1﹣8−116×（﹣64）＝﹣1﹣8+4＝﹣5．【题型6幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春•龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a m＝b，那么a※b＝m．例如：因为52＝25，所以5※25＝2；因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定填空：2※16＝4；3※127=﹣3．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10＝8※90成立．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4；∵3−3=127，∴3※127=−3．故答案为：4；﹣3；（2）设8※9＝x，8※10＝y，则8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．【变式6-1】（2021春•金水区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（4，16）＝2，（3，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵30＝1，∴（3，1）＝0，∵2﹣21，∴（2，0.25）＝﹣2．故答案为：2，0，﹣2；（2）2a+b＝c．理由：∵（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c，∴3a＝4，3b＝6，3c＝96，∴（3a）2×3b＝3c，∴2a+b＝c．【变式6-2】（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若(，116)=−4，则x＝±2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4=116，因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．【变式6-3】（2021春•安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3；（5，1）＝0；（2，14）＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；（3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）＝x﹣y，从而得证．【解答】解：（1）∵53＝125，∴（5，125）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2−2=14，∴（2，14）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）（16，10000）﹣（64，1000000）＝（24，104）﹣（26，106）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；（3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，∴3x÷3y，＝20÷4，＝5，∴3x﹣y＝5，∴（3，5）＝x﹣y，又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y，∴（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）。
人教版数学八年级上册..幂的乘方课件ppt课堂课件
人教版数学八年级上册14.1.2幂的乘 方课件
思 考 14.1.2
幂的乘方
➢问题：一种正方体的棱长为104,则它的体积是
多少?（用幂的形式表示）
( 1 0 4 )3
解:根据乘方的意义可知
怎样计怎算样呢列？(1式0 4？)3 104 104 1是0幂4 的形
n个am n个m
amm m
= amn =右边
∴ (am)n = amn(m、n都是正整数)
人教版数学八年级上册14.1.2幂的乘 方课件
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归纳
(am)n =
amn
幂的乘方请的你我尝们法试可用以则文直字接概利括 这用个它结进论行.计算.
(m、n都是正整数)
(3)(a m )3 =_a_m___a_m___a_m__a_m__m__m =a（ 3m ）
(m是正整数)
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思
考
14.1.2 幂的乘方
观察下面结论，等式左右两边的底数、指 数有什么联系？
(33)2=36
(a4)3 =a12
D.4
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小
结
14.1.2 幂的乘方
我们学到 了什么？
知识 方法
幂的乘方， 底数不变，指数相乘.
(a ) =a m n mn(m、n都是正整数)
特殊→一般→特殊”
例子 公式 应用
例如
人教版-数学-八年级上册-初学幂的运算性质注意多
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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幂的运算（基础）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
【高清课堂396573 幂的运算 知识要点】
要点一、同底数幂的乘法性质
mnmn
aaa
(其中,mn都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即mnpmnpaaaa（,,mnp都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
mnmnaaa
（,mn都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
()mnmnaa(其中,mn都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())mnpmnpaa (0a，,,mnp均为正整数)
（2）逆用公式： nmmnmnaaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
()nnnabab
(其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()nnnnabcabc (n为正整数).
（2）逆用公式：nnnabab逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其
是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10101011221.22
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
（1）234444；（2）3452622aaaaaa；
（3）11211()()()()()nnmnmxyxyxyxyxy．
【答案与解析】
解：（1）原式234944．
（2）原式34526177772222aaaaaaa．
（3）原式11211222()()()()2()nnmnmnmnmnmxyxyxyxyxy．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的
运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的
指数是1．在第（3）小题中把xy看成一个整体．
举一反三：
【变式】计算：
（1）5323(3)(3)；
（2）221()()pppxxx（p为正整数）；
（3）232(2)(2)n（n为正整数）．
【答案】
解：（1）原式532532532103(3)333333．
（2）原式22122151()pppppppxxxxx．
（3）原式525216222(2)22nnn．
2、已知2220x，求2x的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222xx
【答案与解析】
解：由2220x得22220x．
∴ 25x．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的
乘法法则的逆运用：mnmnaaa．
类型二、幂的乘方法则
3、计算：
（1）2()ma；（2）34[()]m；（3）32()ma．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a，（2）题中的底数是m，（3）题
中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3)62mm．
【答案与解析】
解：（1）2()ma2ma．
（2）34[()]m1212()mm．
（3）32()ma2(3)62mmaa．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方
与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式
或多项式.
4、（2014春•宝应县月考）已知2m=5，2n=7，求 24m+2n的值．
【答案与解析】
解：∵2m=5，2n=7，
又∵24m=625，
∴2
2n
=49，
∴2
4m+2n
=625×49=30625.
【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．
举一反三：
【变式1】已知2ax，3bx．求32abx的值．
【答案】
解：32323232()()238972abababxxxxxgg．
【高清课堂396573 幂的运算 例3】
【变式2】已知84m，85n，求328mn的值．
【答案】
解：因为3338(8)464mm, 2228(8)525nn.
所以323288864251600mnmn.
类型三、积的乘方法则
5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）22()abab； （2）333(4)64abab； （3）326(3)9xx．
【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()abab．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：326(3)9xx．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
举一反三：
【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．
【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．