断裂力学讲义第五章8-12应变能释放率

§5.8 应力强度因子与断裂韧性

5.8.1 应力强度因子的基本概念

在上节中，我们将各类裂纹端部各个应力分量归纳为一个统一的表达式:

)()(22/1)()(-+=

r o f r K J ij J

J ij θπσ (5.61) 它说明对每一种类型的裂纹端部应力场的分布规律（即ij σ随r 及θ的变化规律）是相同的。其大小则完全取决于参数K J 。所以K J 是表征裂纹端部应力场的唯一物理量，因而称为应力场强度因子或应力强度因子。

如式(5.61)所示，应力在裂纹端部具有奇异性。而K J 也正是用以描述这种奇异性的参数。由式(5.25)可知：

r

K yy πσθ2|I

0=

= (5.62) 即[]

r K yy πσθ2)0(I ?==。此公式仅在r/a << 1时才适用，因而

[][][]

?

??

?

???

====→=→=→r K r K r K yz r xy r yy r πσ

πσπσθθθ2lim 2lim 2lim )

0(0

III

)0(0II )

0(0I (5.63)

上式即应力强度因子K J 的定义。

应该指出应力强度因子的量纲[应力]×[长度]1/2或[力] ×[长度]-3/2。在SI 单位制中其单位为2

/1m

MPa ?，在公制中的单位为kg/mm 3/2。在英制中为lb/in 3/2(磅/英寸

3/2

)，它们之间

的换算关系为： 1kg=2.2046lb

1in=2.54000cm

1kg/mm 3/2=0.31012

/1m

MPa ? 1lb/in 3/2=1.099×10-32

/1m

MPa ?

5.8.2断裂韧性

由上面的分析可知，应力强度因子K J 是表征裂纹端应力场的唯一参量。不同样品中的裂纹，几何参数及受载情况可以完全不同。但只要其K J 相同，则裂纹端部的应力场是完全相同的。进一步由式(5.57)可知，其位移场，进而其应变能场也是相同的。因此K J 完全表征了裂纹端部的物理状态（即端部各种物理场的情况）。因此它必然是度量裂纹稳定程度可靠参数。用实验的方法可以测出某些材料中裂纹开始失稳扩展时临界的K J 值，称为材料的断裂韧性，用符号K J 表示。它是表示材料抗脆断能力的一个全新的材料参量。

断裂韧性K Jc （主要是K Ic ）的测试技术可参见褚武杨(1979), 陈篪等(1977)。

5.8.3应力强度因子的计算

至此，我们得到断裂力学中关于材料的新判据：

Jc J K K ≥ (5.64) 这样K J c 成为标志材料抗断裂能力的重要材料参数。而K J 则是衡量裂纹端部物理状态（应力场，位移场）的重要参数，也是进行工程设计的重要依据。因而在理论上还是实用上

都有重大意义。近廿年来断裂力学中的大量工作就是求应力强度因子。现在已经有不少专门的手册。如薛昌明(Sih, 1974), Tada et al(1973), 北京航空研究院(1981)。

求应力强度因子的方法是各式各样的。可分为计算与实验两大类。计算方法中又分为解析法及数值法。解析方法中又有许多方法。这里我们仅介绍复变函数的方法。

如果某一裂纹问题已求得其)(z ?、)(z ψ或Z (z )，则可求其裂纹尖端的应力场。根据式(5.63)即可求得其K J 。

下面我们来研究一下K J 与应力函数的直接关系。

对于平面裂纹体，（含有裂纹的物体以下简称裂纹体）。在一般的情况下K I 、K II 常同时存在。对于I 型裂纹，

???

??-=θθθπσ23sin 2sin 12cos 2I )

I (r

K xx

??? ??+=θθθπσ23sin 2sin 12cos 2I )

I (r

K yy

对于II 型裂纹，

??? ??--=θθθπσ23cos 2cos 22sin 2II )

II (r

K xx

??? ??=θθθπσ23cos 2cos 2sin 2II )II (r

K yy

对于I 、II 型裂纹相结合的情况，

()()

)

II ()II ()I ()I (yy

xx yy xx yy xx σσσσσσ+++=+=2sin 222cos 22II I θπθπr

K r K - 注意到

)2sin 2(cos 112/1θθ??i r

-==-，上式可表为 ()

π

?σσ22

1Re II I ??

?????

?

-=+iK K yy xx (5.65) 根据柯洛索夫公式)('Re 4z yy xx ?σσ=+。综合上述两式可得：

)('22lim 0

II I z iK K ?π??→=-=)(')(22lim z a z a

x ?π-→ (5.66)

如定义复应力强度因子II I iK K K -=，则得

II I iK K K -==)(')(22lim z a z a

x ?π-→ (5.67)

上式中之所以要加上极限符号是因为公式(5.62)只适用于a z /<< 1的情况。依(5.67)可直接由)('z ?求得K I 、K II 而不必再求裂纹端部的应力分量。

同理，如果已知Westergaard 应力函数)(z Z J ，由(5.20),

)(Re 2I )I ()I (z Z yy xx =+σσ,

由(5.35),

)](Re[2)(Im 2II II )

II ()II (z iZ z Z yy xx -==+σσ,

对于I 、II 型裂纹相结合的情况，

()II I )(II I)()(II I)(Re 2iZ Z yy xx yy xx -=+=+++σσσσ

代入(5.65)得到

()()???

?

????-=-π?21Re Re II I II I iK K iZ Z ,

则

()()

π?2II I II I iZ Z iK K -=-

对于III 型裂纹，由(5.50), III Re Z yz =τ, 又由(5.53),

)(1

Re

2)(2

cos

22/1III 2/1III r O K r O r

K yz +=

+=

ζ

π

θ

πτ,

得到

πζζ2lim III 0

||III Z K →=

总之

π??2lim 0

||J J Z K →=， (J =I, II, III)

或

)(2lim a z Z K J a

z J -=→π (J =I, II, III) (5.68)

后面几节介绍了常见的典型情况的一些例子。

§5.9 无限大裂纹体中集中力及集中力偶作用时的K

如图5.12，无限大板中有一长为2a 的穿透裂纹。在体内某点受集中力P 、Q 及力偶M 作用。取裂纹中点为坐标原点，力的作用点为000iy x z +=。P 、Q 、M 均为施于单位厚度上的力（下同）。设总的力为P*、Q*、M*。则 P=P*/h, Q=Q*/h, M=M*/h 。其中h 为板厚。

根据Erdogan(1962)的结果，记)(')(z z ?Φ=, 复应力函数为

??

?

??

???

???

++==++=+-+-+-=+--

=)()(')(2 ,)1(2)()()()()()(0

200000

z z z z M

m iP Q S z z z im z z S z z S z z z z S z ψΦΦΩπκπΩκΩΦΦ (5.69)

其中 )1/()3(ννκ+-=(平面应力)或 43νκ-=(平面应变)。

代入柯洛索夫公式，有

??

?

??+--=+-+=+)]()()(')[(22)]()([2z z z z z i z z xy xx yy yy xx ΩΦΦτσσΦΦσσ (5.70)

(5.69)式中

图5.12

)]()([)]()([)(21

)()(000

02

/12200z I z I z z S

z I z I z z S a z z z ---?

??---=

=κπΩΦ [

]??

???????

?

?----?+--0

2

00)()()()()(z z z J z z z I z I im z z S (5.71)

???

??

??--?=--=?--=--=??--ππππ2/1222/12/1222/1222

/122)()()()()()()(a z z

dt z t t a z J z a z dt z

t t a z I a a a

a (5.72) 上式对于除裂纹面外的所有0z 都适用。 将(5.72)代入(5.67), 得到复应力强度因子为

??

????+---=-=-=→→)()(22lim )()(22lim 00II I z z z S

a z z a z iK K K a

z a z ΦπΦπ

)](I )I([)](I )(I [100

00z a z a S

z a z a S a ---??

?--=κπ []

??

?????????----?+--002

0000)()()(I )I()(z a z J z a z a im z z S +????-+-+-??

???????-+++=)1()()1(212

2002200

κκκπa z z a a z z a iP Q a []??

?

??++----+M ia z z iP Q a a z a z )1())(()(1002200κ (5.73)

在求裂纹左端的应力强度因子时，只要将上式的力的作用点取为000iy x z +-=即可。(5.73)即为所求得的点力作用下裂纹端部的应力强度因子，也叫做零频Green 函数。

§5.10其它一些情况下求应力强度因子

5.10.1 集中力作用于裂纹上表面

如图5.13。此时，0=M ，+=b z 。

由解析延拓，令当0z 沿实轴+∞→时，=-2

/10)

(a z 2/1)(a x -. 则当0z 沿实轴a

b <→+时，

+++-=-=-b a i e a b a b i 2/2/12/1||)(π (5.74)

当0z 沿实轴a b <→-时，

图5.13

------=-=-b a i e a b a b i 2/2/12/1||)(π (5.75)

由(5.73)此得到

??

?

??????????-+-+--+++=-=-+++)1()()()()1(212

222II I κκκπa b b a a b b a iP Q a iK K K ??

?

??--++

--22)()()1(a b a b M

ia κ

22)(2112)(2)(b

a b a M

a a iP Q

b a b a a iQ P --+??? ??+-++-+-=

πκκππ (5.76) 特别，当0=M 时，裂纹右端点的复应力强度因子为

??

?

??+-++-+-=

-=+112)(2)

(II I κκππa iP Q b a b a a

iQ P iK K K (5.77) 求裂纹左端点的应力强度因子时，相当于图形水平翻转，此时+

-=b z 。可以看出，只

要将上式中的+

+-→b b ，就得到裂纹左端点的复应力强度因子为

??

?

??+-+++--=-=-112)(2)(II I κκππa iP Q b a b a a iQ P iK K K (5.78)

取0=Q 得

左端b a b a a P K +-=

+π2I , 右端b

a b

a a P

K -+=-π2I (5.79) 取0=P 得

左端b a b a a

Q K +-=+π2II

， 右端b

a b

a a

Q K -+=-

π2II

(5.80) 5.10.2 相等的集中力作用于裂纹上下表面的对应点上

如图

5.14

首先求集中力作用于裂纹下表面的解。此时，作用力分别为P -和Q -, 0=M ，-=b z ，,代入(5.73)得到裂纹右端

????

????-+-+--++--=-=+-

-=

++

+

)1()()()1(22

22

2II

I

κκ

κπa b b a a

b b a a iP

Q iK K K

??

?

??+-+-+--=

112)(2)(κκππa iP Q b a b a a iQ P (5.81) 将(5.77)和(5.81)的结果相加，就得到相等的集中力作用于裂纹上下表面的对应点上的解

图5.14

b a b

a a

iQ P iK K K -+-=-=+

++π)(II

I (5.82) 将b 换成b -, 得到裂纹左端的复应力强度因子为

b a b

a a

iQ P iK K K +--=-=-π)(II I (5.83)

由于问题的对称性或反对称性，也可以直接用Westergaard 函数。

??

?

???????)()()(III II I z Z z Z z Z =?

?????????---S Q P a z b z b a 2

22

2)(π (5.84) Westergaard 函数可以用复应力函数)(z Φ与J Z 之间的关系求出，也可以用其它较简便的方

以I 型裂纹为例，将)(I z Z 代入(5.68)式，得裂纹右端部 b

a b

a a

P

z Z a z K a

z -+?

=

?-=→+ππ)()(2lim I I 求裂纹左端点的应力强度因子与(5.78)的求法相类似，只要将上式中的++-→b b 即可得到。三种类型的裂纹的结果总结如下：

裂纹左端?????

?????+-=

?

??

??

?????S Q P b a b a a K K K π1III II I ， 右端?

?

?

??

?????-+=???

???????S Q P b a b a a K K K π1III II I (5.85) 5.10.3 裂纹面上作用对称于x 、y 轴的集中力

如图5.15所示, 裂纹面上作用对称于x 、y 轴的集中力P 、Q 、S 。利用叠加原理，由

(5.84)

?

??

???????---=??

????????S Q P a z b z b a z Z Z Z 2

2222

2III II I )(2π (5.86) 由(5.85)

??

?

??

?????-=

???

??

?????S Q P b a a K K K )(222I I I II I π (5.87) 5.10.4 裂纹面上作用对称于x 、y 分布载荷

如图5.16，裂纹面上作用对称于x 、y 分布载荷p (x )、q (x )、s (x )。由6.8.22, 通过积分求得。图中只画出p (x )。

dx x s x q x p a z x z x a z Z Z Z a ?

??

??????

?---=??

?????????)()()()(2022222

2III II I π (5.88) dx x s x q x p x a a K K K a ?

??

??

?????-=??

?????????)()()()(20

22III II I π (5.89) 5.10.5裂纹面上受称于x 轴的任意分布载荷的作用

裂纹面上受称于x 轴的任意分布载荷p (x )、q (x )、s (x )的作用。如图5.17所示，图中仅画

了p (x )。

图5.16 图5.17

图5.15

dx x s x q x p a z x z x a Z Z Z a

a

??

?

???????---=?

????

??????-)()()()(2222III II I π (5.90) 裂纹左端 dx x s x q x p x a x a a K K K a a ??????????+-=???????????-)()()(1III II I π， 右端dx x s x q x p x a x a a K K K a a ?

??

??

?????-+=??

?????????-)()()(1III II I π (5.91)

利用图5.2.8所示的叠加原理及上述公式可以解决内含单一格里菲斯裂纹的无限大板边缘作用任意载荷时的求K J 的问题。

下面介绍几个例子。

5.10.6有限宽板中心裂纹受无限远分布载荷的作用

研究有限尺寸平板中的裂纹问题具有很大的实际意义，但是由于寻找严格满足边界条件的解十分困难，至少目前还没有得到闭合形式的解，而只得到其近似解。如图5.18

a Y K πσ=I

其中Y 称为几何修正因子

)/sec(W a Y π= (5.92)

如a/W << 1，则Y = 1

5.10.7 有限宽板中边缘裂纹受无限远分布载荷的作用

如图5.19， a Y K πσ

?=I

4

3

2

39.3072.2155.10231.012.1??

?

??+??? ??-??? ??+-≈W a W a W a W a Y (5.93)

5.10.8 有限宽板中心裂纹受有限远对称于x 轴点载荷的作用

如图5.20，P 为单位厚度上所受的力。

图5.18 图5.19 图5.20

F W

P

K ?=

I

),(),(),(321ηξηξηξf f f F ??=

其 W a /2=ξ； W H /2=η

??? ?

?-?????????? ??

-++=2cos 1sin 2sec 1115.0297.01),(1πξπξπηηξh f

1

)2/(cos )

2/()

2/tanh()2/(1),(222-+=πξπηπηπηα

ηξch f 其中 ?

??-+=)( )1(2/1(

2/)1(平面应变平面应力）ννα

)

2/(cos /)2/(cos 1)

2/tan(),(2

2

3πηπξπξηξ-=

f (5.94)

5.10.9 应用叠加原理求K 的例子

如图5.21所示的问题，应用叠加原理可求得其K 。

D c B A K K K K -+=

K A 、K B 、K C 、K D 分别表示上图中A 、B 、C 、D 四种情况下的K I 。而K D = K A 。

∴ )(2

1C B A K K K +=

而K B 、K C 的结果是已知的。

图5.21

5.10.10 无限大弹性体中有一圆盘形裂纹, 无限远处在垂直于裂纹面的方向上作用均匀拉应力

如图5.22，在无限大弹性体中有一圆盘形裂纹：无限远处在垂直于裂纹面的方向上作用均匀拉应力∞σ，圆的半径为a 。则由轴对称性，裂纹端部(即圆盘外缘)的应力强度因子处处相等，

图5.22

a K πσπ

∞=

2

I (5.95)

此处K I 的定义为：

[]

0I |)(2lim =→-=z zz a

r a r K σπ (5.96)

§5.11 能量释放率及其与应力强度因子间的关系

5.11.1 基本概念

将(5.64)应用于Griffith 问题可得：

C K a K I I =?=∞πσ

所以

πσ/I C K a =∞ （材料常数） (5.97)

上式与(5.7)式相比，

π/2E Γa σ=∞（材料常数） (5.98)

二者是一致的。这不是偶然的巧合。而有其深刻的内在联系。

Griffith 研究裂纹稳定性的能量方法一直是断裂力学的重要理论基础。现在从能量角度作进一步的分析。

裂纹扩展必然消耗能量。如裂纹扩展，裂纹表面积就增加。记裂纹表面能为Γ。记G 为能量释放率或裂纹扩展力。设裂纹扩展c S ?时所需供给的能量为?Γ，而c S R Δ?=?Γ，因此c S R ??Γ/=， 或者更严格地表为

c

S S R c

??Γ

?0lim

→= (5.99)

式中R 为裂纹扩展单位面积时所需要的能量，称之为裂纹扩展阻力。如材料为理想脆性材

料，则

Γ=R (5.100)

其中Γ为单位面积的表面能，它一般与裂纹尺寸无关。如材料不是理想脆性的，则裂纹扩展时由于材料的非弹性效应（如塑性变形等）要消耗能时p Γ，因而：

p R ΓΓ+= (5.101)

这时，R 一般与裂纹的尺寸有关。因而在裂纹扩展过程中R 不再是常数。

要使裂纹扩展，必需提供动力。设裂纹扩展单位面积，系统提供的动力为G 。很显然，裂纹扩展过程中,

R G ≥ (5.102)

上式就是Griffith 能量准则的表述: 裂纹每扩展单位面积，系统提供的动力G 大于或等于裂纹扩展的阻力。设整个系统(试样和试验机一起构成一个系统)的能量(即势能)用∏表示。则裂纹扩展c S ?的面积所消耗的能量为c c S G S R ???=?，按照能量守恒，能量的消耗相当于系统势能下降?∏-(因为裂纹扩展所需的能量由系统势能来提供，裂纹扩展，系统势能下降), 即

?∏?-=?c S G (5.103)

在极限条件下就有

c

S S G c

??∏

?0lim

→-= (5.104)

G 就是裂纹扩展单位面积系统能量的下降率(或称系统能量释放率)，它是裂纹扩展的动力。

设板的厚度为B ，则l B S c ??=，就有：

l

B G ??-

=∏

1 (5.105) (5.103)和(5.102)比较，Griffith 能量准则另一种表述就是

c S R ?∏∏?∏≥-=-*0 (5.106)

5.11.2 常位移的情形

如图5.23所示。设板的厚度为B, 裂纹面积为S c 。将板拉伸后使两端刚性固定，因此在此之后外力之功为零。

图5.23 常位移情况

设其扩展前板内总应变能为0U ，由图5.23d, oce P U ?δ=?=

2

1

0。设裂纹作一微小的扩展。扩展的面积为c S ?。扩展后总应变能为U*， ode P U ?δ=?='2

1*，由于松弛作用,

P P <'。因此，由于裂纹的虚拟扩展，应变能的变化为

ocd P P U U U ?δ?-=?-=-=)'(2

1

*0。

这里的应变能没有增加，而是减少了。我们称应变能的减少量*0U U U -=-?为裂纹扩展过程中整个弹性板所释放的应变能。按照热力学第一定律，c S G U A ???+=，由于这里

0=A ?，因此

*0U U U S G c -=-=??。

这就意味着，在目前的情况下U ?-是使裂纹扩展的唯一能源。在极限情况下，

c

S S U

G c

???-=→0lim

和(5.103)相比较， ?∏?=U 。因此

c

S c S c S S ocd

S U S G c

c

c

??????∏???000lim lim lim →→→-=-=-= (5.107)

总之，在常位移的情况下，整个弹性板所释放的应变能和裂纹扩展所消耗的能量相等。 当0→c S ?时, ocf ocd ?=?。所以在常位移和常载荷条件下，系统势能的下降是相

同的，即

p ||?∏?∏?-=- (5.108)

5.11.3 常载荷的情况

如图5.24所示。设裂纹作一微小的扩展。扩展的面积为c S ?。裂纹扩展前样品的总变形为δ, 板内总的应变能为

oce P U ?δ==

2

1

0 裂纹虚拟扩展S δ后，新的变形量为δd ，板内总的应变能为

ofg d P U ?δδ=+=)(2

1

*

应变能的增加量为

ocf Pd U U U ?δ?==-=2

1*0

这意味着对于常载荷情形，在虚拟扩展S δ时应变能增加，即释放的应变能为负值。在这种情形下外力在此过程中作功为A ?，

=A ?□U ocf cegf ??22== (5.109)

按热力学第一定律，c S G U A ???+=，因此 ocf U A U A S G c ??????===

-=2

1

(5.110) 上式意味着，对于常载荷情形, 外力做功正好分成了两半，一半用于供给裂纹扩展所消耗的能量，另一半用于增加应变能。或

c

S S U

G c

???0lim →= (5.111)

图5.24 常载荷情况

由(5.103)式，

)(A U A U S G c -=-=?-=?????∏

因此，系统的总势能为

A U -=∏ (5.112)

因此， ocf U A ????∏=-=- 于是能量释放率G 就是：

c

Sc l c Sc S ocf l B S G ????∏??∏δ?δδ000lim lim lim

→→→=-=-= (5.113)

5.11.4 更一般的情形

由图5.25可以看出，在其它条件均相同时，其能量释放率与1、2两种情况相同。当0→c S ?时, ocf ocd ?=?。所以在一般的情况下，系统势能的下降等同于常位移和常载荷情形，即

p c S G |||?∏?∏?∏??-=-=-=?一般 (5.114)

这样，能量释放率就可以用一种统一的方法来计算。上述讨论为下节贝克纳尔公式的导出给出了重要的物理依据。

需要强调指出的是，以上讨论都是对于裂纹的虚拟扩展而言的。扩展的方式（如扩展方 向）是任意给定的，或假定的。实际的扩展方式则是一定的（参看第六章）。只有当给定的虚拟扩展方式与真实扩展方式相同时，计算所得的能量释放率才有意义。

5.11.5贝克纳尔公式

系统的总势能：

????????--=-='

S i i V

i i V

dS u T dV u f WdV A U ∏ (5.115)

其中W 为单位体积内的应变能，又称为应变能密度。用上式求Π一般来说是不方便的。利用贝克纳尔公式可使能量释放率的计算大为简化。推导如下：

设某裂纹体在一定的边界条件下体内各点的位移均为i u ，应力场为ij σ，总势能为П。当其中的裂纹从面积S 扩展至S S ?+时，体内各点的位移场为*i u ，应力场为*

ij σ，总势能为*∏。按(5.115)，

????????--='

1S i i V

i i V

dS u X dV u f dV W ∏ (5.116)

????????+-

-=c

S S i i V

i i V

dS u X dV u f dV W ?∏'*

*

*1

* (5.117)

其中i f 为体力，X i 为面力。在以上各式的第三项中S’表示物体（体积为V ）的表面。S’包括物体的外表面与内表面。外表面包括两部分：S f 代表规定力的那一部分表面，S u 则代表规定位移的那部分表面。内表面则指裂纹面c S 和c S ?。所以

c u f S S S S ++='

在S c 和c S ?表面上，因为X i = 0，积分为零。所以(5.116)和(5.117)的最后一项积分的积分域简化为u f S S +。

??????---=-=V

i i i V

dV u u f dV W W )()(**1*∏∏?∏??+--

u

f S S i i i dS u u X )(*

(5.118)

在上式的最后一项积分中，在S u 表面上，i i u u =*，所以积分域由u f S S +进一步简化为f S 。

现在计算式(5.118)中的第一项积分

图5.25 一般情况

)(2

1*

**ij ij ij ij W W εσεσ?-=-

根据功的互换定理(参看§2.9)，ij ij ij ij εσεσ*

*=，因此：

()()ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij W W εσεσεσεσεσεσ--+=-=

-*****

**2121 ()()ij ij ij ij εεσσ-+=*

*2

1

由位移和应变间关系及ji ij σσ=，注意到

j i ij i j i j j i ij i j j i ij ij ij u u u u u ,,,,,, )(2

1)(21σσσσεσ=+=+=

可得： ()()[]

j i i ij ij u u W W ,**

*2

1-?+=

-σσ 应用高斯定理及平衡方程i j ij f -=,σ, 有

()()

()()[]()()

(

)(

)[]

()

i

i i j i i ij ij i i j ij ij j i i ij ij j

i i ij ij u u f u u u u u u u u W W -?+-?+=-?+--?+=-?+=-***

*,*

****

*,2

1 21,21 ,21σσσσσσσσ

进一步得到:

????????-+-+=-V

i i i i i S ij ij V dV u u f dS u u n dV W W j

)()()(21)(*

***σσ (a) 上式中的等号右方的第一项为 dS u u n dS u u n i i j S S S S

ij ij

i i j S ij ij

c c u F )()(21)()(21*)

(*

**

-+=-+????+++?σσ

σσ (b)

以下分别讨论。在S F 上：i j ij j ij X n n ==σσ*

，

dS u u X dS u u n i i S

i i i j S ij ij F

F

)()()(21***

-=-+????σσ 在u S 面上，i i u u =*，

0)()(21**

=-+??dS u u n i i j S

ij ij u

σσ 在裂纹面S c 上，0*

===i j ij j ij X n n σσ，0)()(21*

*=-+??dS u u n i i

j S

ij ij c

σσ 在c S ?上，0*==i j ij X n σ。

????-=-+c

c

S

i i i i i j S ij ij dS u u X dS u u n ??σσ)(21)()(21**

* 若c S ?在0=θ的方向上，可以验证上式中

0=i i u X (c)

这是因为在0=θ的方向上，上表面)0,1,0(-=n ，下表面)0,1,0(+=n ),,(w v u u =。利

用柯西方程(2.9), ),,(zy yy xy τστ =X 。对于I 型裂纹，由(5.25)，0==yz xy ττ, 由(5.29)式

0==w v , 故)0,,0(yy σ =X ， )0,0,(u =u 。于是0=?=u X i i u X 。对于II 型裂纹，由(5.38)和(5.39)式，0==yz yy τσ，0==w u , 故)0,0,(xy τ =X ，)0,,0(v =u ，同样有

0=?=u X i i u X 。对于III 型裂纹，由(5.53)式, 0==xy yy τσ, 0===w v u , 故

),0,0(yz τ =X ，)0,0,0(=u 。这样，3种类型裂纹都得到0=?=u X i i u X 。 于是(b)式成为，

dS u u n i i i S ij ij )()(21*

*-+??σσdS u X dS u u X c

F

S i i i i S

i ????+-=?**21)( 代回到(a)式就得到

??????????-++-=-V

i i i S i i i i S i V

dV u u f dS u X dS u u X dV W W c

F

)(21

)()(***

*? 将上式代入式(5.118)最后得：

dS u X c

S

i i ??=

??∏*21

(5.119) 上式即贝克纳尔公式。利用它可以计算裂纹扩展c S ?后系统总势能的增量，进而求得能量释放率：

dS u X S S G i

S i

c

S c S c

c

c *00

21lim

lim ??-=-

=→→?δδδδ∏δ (5.120)

对于平面裂纹，设板厚为B ，裂纹长为a ，则：

?

-=→a i i l dl u X a G δδδ0*

021lim

(5.121) 这就是贝克纳尔公式

5.11.6 G 与K 之间的关系

根据贝克纳尔公式可简便地求出G 与K 之间的关系。实际的平面裂纹在扩展过程中会

形成上下两个面，因此消耗的表面能应该是G =2Γ, 因此

?

-=→a i i l dl u X a G δδδ0*

01lim

(5.122) 1. I 型裂纹。由图5.26及式(5.27)、(5.29)，可得当πθ=时，

r K X yy i ?==πσ2/I (5.123) πμδκ22/)1(I *r a K v u i -+==

(5.124)

将式(5.123)、(5.124)代入(5.122)，积分后得：

?

?-+?

-=-=→→a

a a yy a dr r a K r

K a

vdl l G δδδδδπ

μκπδσδ0

I I 2

000I 22)1(2)1(lim

1lim

?-?+=→a a dr r

r

a a K δδδπμδκ02I 04)1(lim 24)1(2I ππμκ+=K E'K 2

I = (5.125)

图5.26

其中'E 和κ参见(3.7)和(3.12), 弹性常数)1/(2νμ+=E 。

在脆性破裂的条件下，将Γ2I =G 和Ic I K K =代入上式，就得到

'

22Ic

E K =Γ (5.126)

上式取平面应力的情况和(5.98)等效，这正是Griffith 导出的理论结果。 2. II 型裂纹，同理可得：

'/2

II II E K G = (5.127)

3. III 型裂纹，同理可得：

2

III III 1K E

G ν+= (5.128)

对于复合型裂纹：

2

III 2

II 2I III II I 1''K E

E K E K G G G G ν+++=++= (5.129)

因为G 与K 之间存在上述关系，所以在静力学中，断裂力学准则JC J K K =及JC

J G G =是一致的。

5.11.7 裂纹应变能

一个含裂纹板中所贮存的弹性应变能U *，与其它条件(载荷，几何形状，材料)均相同但不含裂纹的板中的应变能0U 的差称之为裂纹应变能c U 。根据上述内容可很容易求得c U （图5.26）。

I 型裂纹：对于裂纹从零长度开始双向扩展到长度为a 2,

??==a a c da E K B Gda B U 02

I

0'

22 ?==

a a E B ada E B 02

202'

'2σππσ (5.130) B 为板厚。和(5.4)式的E a W c /22πσ=比较，上式正是板厚为单位1, 并假定为平面应力的情况。这正是Griffith 在导出其理论时所采用的整个弹性板所释放的弹性势能。

II 型裂纹：

2

20'

a E B U c τπ=

(5.131) III 型裂纹：

2

20)1(a E

B U c τνπ+=

(5.132) 5.11.8 小结

本章我们介绍了两种判据：

1. 能量判据，即Griffith 判据(简称G 判据)。认为当能量释放率到达临界值，即Jc

G G =时，裂纹开始扩展。

2. 断裂韧性判据，即Irwin 准则(简称K 判据), 认为当应力强度因子到达临界值时，即

JC J K K =时，裂纹开始扩展。

必须强调指出，G 判据与K 判据的等效性是在静力学中, 即破裂速度0=v 的条件下导

出的。在破裂动力学中0≠v ，(5.127)式不成立，G 判据与K 判据也就不等效。参见Kostrov 和 Nikitin(1970), Aki 和Richards(1980)。其次，式(5.129)~(5.131)都是在裂纹自相似扩展(即沿自身平面内扩展)的前提下推导出来的。若裂纹不是自相似扩展，则上述公式不能应用。对于纯II 型、纯III 型裂纹及混合型裂纹，常为非共面扩展，这时上述公式不能成立。此外，对于非弹性情况上述公式也不能成立。

§5.12裂纹应力场的作用范围

摘要

利用应力函数分析了断层应力场的影响范围。对最简单的情况进行了讨论。分析结果表明，只有在近距离，应力函数的Taylor 展开才收敛，奇异项才存在，奇异项在有限距离不代表裂纹应力场，而应力函数的Taylor 展开式中的零阶项也不代表远场作用力。至于在远距离，应力函数的Taylor 展开不收敛，应采用Laurent 展开式, 此时奇异项不存在。总之，。在作用半径为a r =处，断层应力已经降低到应力降的0.155, 其中a 为断层滑动段的半长度。断层应力场随距离的衰减呈2

-r

阶，而不是呈2

/1-r

阶。

5.12.1引言

断层应力场的影响范围问题, 涉及到地震发生地点的迁移机理。断层破裂对其它构造的

影响力被称做“库仑力”。然而，对库仑力的影响尺度估计却存在不同看法。这些不同看法起源于在估算“库仑力”时采用了哪种模型。有的模型采用的是伏尔泰拉位错(即假定断层两盘的错动量是一个常数)。Aki 等(1980)指出，由简化的位错模型所给出的应力阶数往往是不合理的。我们认为，这种不合理模型导致的裂纹作用范围的估计也会出现很大偏差。 Segall 和Pollard(1980)是用奇异项来推断“库仑力”的。实际上，在这之前，Williams 和Ewing(1972)，Finnie 等(1973)在讨论断裂角问题中就已经指出，在讨论离裂纹端部有限距离问题时，仅仅用奇异项是不成立的，应该将高阶项计算进去。他们首先考虑了零阶项的作用。本节的宗旨是对应力分量的全部展开式全面计算，并对应力的分析给出更清楚的推导。

5.12.2断层应力场的近场式与远场式

我们以线弹性断裂力学的裂纹模型来估算断层应力场。记r 为距离裂纹端部的距离，断层尺度为a 2。本节只考虑裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。在无穷远处，

0====yz xy yy xx ττσσ。裂纹面上的边界条件参照(5.58)式, 应力函数Z 则参照(5.59)式。

1．I 型裂纹。

裂纹面上的作用力为0σσ-=yy , 这里的应力分量上角标改为0, 而不是∞。应力函数为

02

2I 1σ??

????--=a z z Z , 应力分量为

[][][][][]??

?

??

-=-+=+-=)('Re )('Im )(Re )('Im )(Re 11111z Z y A z Z y z Z A z Z y z Z xy yy xx τσσ (5.133)

可以验证, 当A =0时，上式可以满足无穷远处和裂纹面上的边界条件。引入裂纹前缘坐标系ζ+=a z ，θζi re =，有ζζ?+=-)2(22a a z 。裂纹端部附近的区域内，a r 2||<=ζ。得到此处I Z 关于r 的Taylor 展开式是

00I )

2/(12)

(σζζζσ-++=

a a a Z

02

/322/10I 325432σζζζσ-???

????????+???

??-??? ??+=a a a a Z (a r 2<) (5.134) 将(5.134)式代入(5.133)，记a K πσ0I =, 就得到近场总应力分量

???

???

?

??+=+-??? ???+=+-??? ???-=

)

(23c o s s i n 22)(23s i n 2s i n 12c o s 2)(23s i n 2s i n 12c o s 22/1I 2/10I 2/10

I

r O r K r O r K r O r K xy

y yy

y xx θθπτσθθθπσσθθθπσ (a r 2<) (5.135)

其中)(2/1r O 表示与2/1r 同阶的小量。裂纹作用的半径是与辐角有关的量。

在考虑a r 2>区域的应力分量时，I Z 不能采用Taylor 展开式，而应采用Laurent 展开式。仍利用二项式定理，得到裂纹前缘坐标下I Z 的Laurent 展开式是

00I /21)

(σζζζσ-++=a a Z ???

???????????? ??-???? ??=3

2021ζζσa a (a r 2>) (5.136) 将(5.136)和θζi re =代入(5.133)，得到远场总应力分量为

????

?

?

??

??????????????-???? ???=???????????-???? ??-?????????-=???????????-???? ??+?????????-=30

3

022030

220Re Im 21Re Im 21Re ζστζσζσσζσζσσa y a a y a a a y a a xy

yy xx (a r 2>) (5.137) 2 II 型裂纹

裂纹面上的作用力为0ττ-=xy 。Westergaard 应力函数为02

2II 1τ??

????--=a z z

Z , 应力分

量为

??

?

??

--=-=+=B Z y Z Z y Z y Z xy yy xx II II II II II 'Im Re 'Re 'Re Im 2τσσ (5.138) 可以验证, 当B =0时，上式可以满足无穷远处和裂纹面上所有的边界条件。引入裂纹前缘坐

标系ζ+=a z ，θζi re =, 在a r 2<区域，与(5.133)类似，II Z 的Taylor 展开式为:

02

/32

2/10II 325432τζζζτ-???

????????+???

??-??? ??+=a a a a Z (a r 2<) (5.139) 记a K πτ0II =, 得到近场的应力分量为(a r 2||<=ζ)

?

??

?

?

?

???+-??? ???-=+=+???

???+=

)(23sin 2sin 12cos 2)(23cos 2sin 2cos 2)(23cos 2cos 22sin 22/10II 2/1II 2/1II

r O r K r O r K r O r K xy yy xx τθθθπτθθθπσθθθπσ (a r 2<) (5.140)

在a r 2>区域，与(5.136)类似，II Z 的Laurent 展开式为

0II /21)(τζζζτ-++=a a Z ???

???????????? ??-???? ??=3

2021ζζτa a (a r 2>) (5.141) 应力分量的远场式为

?????

?

??

??????????????-???? ??+???????????-???? ??=???

????????-???? ??=???????????-????

??-???????????-???? ??+=30203

03

020Im 21Re Re Re 211Im 2ζτζττζτσζτζτσa a y a a a y a a y a xy yy xx (a r 2>) (5.142) 3 III 型裂纹

裂纹面上的作用力为0ττ-=yz 。Westergaard 应力函数为02

2III 1τ??

????--=a z z

Z 。应力

分量为

?

??

==III III Re Im Z Z yz xz ττ (5.143)

引入裂纹前缘坐标系ζ+=a z ，θζi re =, 在a r 2<区域，与(5.133)类似，III Z 的Taylor 展开

式为

02

/322/10III 325432τζζζτ-???

????????+???

??-??? ??+=a a a a Z (5.144) 应力分量的近场式为

??

?

????

+-?=+?-

=)(2cos 2)

(2sin

22

/10III 2/1III

r O r K r O r

K yz xz τθπτθ

πτ (a r 2<) (5.145) 在a r 2>区域，与(5.136)类似，III Z 的Laurent 展开式为

ζζζτ/21)

(0III a a Z ++=???

????????+???? ??-???? ??=3

2021ζζτa a (a r 2>) (5.146) 应力分量的远场式为

???

?

??

???

???????????+???? ??-???? ??=???????????+???? ??-???? ??=32032021Re 21Im ζζττζζττa a a a yz xz (a r 2>) (5.147)

4 小结

由上面三种裂纹的讨论可以得出，在a r 2<的条件下，应力分量的近场式可以写成

)()(22/1J

-+=r o f r

K J ij ij θπσ (5.148)

其中第一项为奇异项s ij σ，第二项中)(2/1-r o 表示比2/1-r 更高阶的无穷小量。 在a r 2>区域,应力分量应写成远场式：

)(2-==r O crack ij ij σσ (5.149)

可以看出，无论是奇异项还是零阶项在远场项中均不存在。当a r >>时，其渐进式为

2~-r crack ij σ。计算表明，裂纹应力场项在这个区域内已经衰减到十分微弱的程度。

5.12.3 一个断层的例子

假定一个无限大平面内有一个走滑型地震断层，断层长度a 2，应力降τ?为均匀分布,。

求其作用范围。本问题不考虑环境背景应力场，因此可以看成远场力为0===∞

∞∞xy xx yy τσσ， 断层面上的应力降为τ?。在本问题中，断层面上的剪切应力为τ?τ-=xy ，断层面上的错动方向仍是右旋剪切。应力函数的近场式和远场式只要分别将(5.140)和(5.142)式中的0τ改为τ?即可。

裂纹应力场的作用范围与方向有关，因此这里只讨论一个特例，即在辐角0=θ的方向上，0=y , r a x z +==，代入(5.138)。

???

? ??-++=1)2(r a r r a xy τ?τ (5.150) 表5.1给出了走滑断层xy τ在断层端部以外0=θ方向上的不同项随r 的衰减。其中奇异

项由(6.10.23)给出。奇异项s σ的值在a r 2>的范围没有定义，这里实际是从a r 2<向a r 2>的延拓值。

表5.1 走滑断层端部以外xy τ的不同项随r 的衰减，0=θ

我们从表5.1发现有以下规律：

(1) 奇异项在a r 001.0<处尚可与裂纹应力近似，但是在a r 01.0≥处即开始严重偏离。

(2) 裂纹应力crack

yy σ随距离r 增大的衰减规律不同于奇异项的2/1-r 阶，而是接近2-r 阶。

在a r 2>区域，奇异项在远场式中不存在，这里给出的是延拓值。裂纹应力在a r =处就已经衰减到0.1547。在a r 10=处，用奇异项来估计裂纹应力比严格的应力函数估计大两个量级，两者之比为53.8倍。在a r 100=处，两者相差1571倍。本文的推导已经表明，用奇异项来推断裂纹在有限距离的作用在理论上不成立。