最新高考数学复习 专项练习汇总

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超级资源（共11套100页）最新高考数学（文）

复习专项练习汇总

回扣计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事, 可以有n 类办法, 在第一类办法中有m 1种方法, 在第二类办法中有m 2种方法, …, 在第n 类办法中有m n 种方法, 那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种方法(也称加法原理)． 2．分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n 个步骤, 缺一不可, 做第一步有m 1种方法, 做第二步有m 2种方法, …, 做第n 步有m n 种方法, 那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种方法(也称乘法原理)． 3．排列

(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数, 用A m

n 表示． (3)排列数公式：A m

n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)．

(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列, 叫做n 个元素的一个全排列, A n

n ＝n ·(n －

1)·(n －2)·…·2·1＝n ！.排列数公式写成阶乘的形式为A m

n ＝n ！(n －m )！

, 这里规定0！＝

1. 4．组合

(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数, 用C m

n 表示．

(3)组合数的计算公式：C m n

＝A m

n A m m ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！

, 由于0！＝1, 所

以C 0

n ＝1.

(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1

n . 5．二项式定理 (a ＋b )n

＝C 0n a n

＋C 1n a

n －1b 1

＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *

)．

这个公式叫做二项式定理, 右边的多项式叫做(a ＋b )n

的二项展开式, 其中的系数C k

n (k ＝0,1,2, …, n )叫做二项式系数．式中的C k n a n －k b k

叫做二项展开式的通项, 用T k ＋1表示, 即展

开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n a

n －k b k

.

6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n , 即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列, 从第一项开始, 次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列, 从

第一项起, 次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0

n , C 1

n , 一直到C n －1n , C n

n . 7．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即C m

n ＝C n －m

n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k

n , 当k

2

时, 二项式系数是递增的；当k ＞

n ＋1

2

时, 二

项式系数是递减的．

当n 是偶数时, 那么其展开式中间一项1

2n T +的二项式系数最大．

当n 是奇数时, 那么其展开式中间两项11

2n T -+和11

2n T ++的二项式系数相等且最大．

(3)各二项式系数的和

(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n , 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n

. 二项展开式中, 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和, 即C 1

n ＋C 3

n ＋C 5

n ＋…＝C 0

n ＋C 2

n ＋C 4

n ＋…＝2

n －1

.

1．关于两个计数原理应用的注意事项

(1)分类加法和分步乘法计数原理, 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题, 区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题, 其中各种方法相互独立, 用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题, 各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了才算完成这件事． (2)混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确, 做到不重复不遗漏．

(4)要恰当画出示意图或树状图, 使问题的分析更直观、清楚, 便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题, 通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑, 即先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑, 即先满足特殊位置的要求, 再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件, 计算出排列数或组合数, 再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反, 等价条件． 4．对于二项式定理应用时要注意

(1)区别“项的系数”与“二项式系数”, 审题时要仔细．

项的系数与a, b有关, 可正可负, 二项式系数只与n有关, 恒为正．

(2)运用通项求展开的一些特殊项, 通常都是由题意列方程求出k, 再求所需的某项；有时需先求n, 计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．

(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和, 常赋的值为0, ±1.

(4)在化简求值时, 注意二项式定理的逆用, 要用整体思想看待a, b.

1．从8名女生和4名男生中, 抽取3名学生参加某档电视节目, 如果按性别比例分层抽样, 则不同的抽取方法数为( )

A．224 B．112

C．56 D．28

答案 B

解析根据分层抽样, 从8名女生中抽取2人, 从4名男生中抽取1人, 所以抽取2名女生1名男生的方法数为C28C14＝112.

2．5人站成一排, 甲、乙两人必须站在一起的不同排法有( )

A．12种B．24种

C．48种D．60种

答案 C

解析可先排甲、乙两人, 有A22＝2(种)排法, 再把甲、乙两人与其他三人进行全排列, 有A44＝24(种)排法, 由分步乘法计数原理, 得共有2×24＝48(种)排法, 故选C.

3．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师, 派到3个班担任班主任(每班1位班主任), 要求这3位班主任中男、女教师都要有, 则不同的选派方案共有( )

A．210种B．420种

C．630种D．840种

答案 B

解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有, 所以共有两种情况, 1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女, 则共有C15C24A33＝180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女, 则共有C25C14A33＝240(种)不同的选派方法, 所以共有180＋240＝420(种)不同的方案, 故选B.

4．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读, 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )

A．150种B．180种

C．240种D．540种

答案 A

解析先将5个人分成三组, (3,1,1)或(1,2,2), 分组方法有C35＋C15C24C22

2

＝25(种), 再将三

组全排列有A33＝6(种), 故总的方法数有25×6＝150(种)．

5．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数, 其中奇数的个数为( ) A．24 B．48

C．60 D．72

答案 D

解析由题可知, 五位数要为奇数, 则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法, 再将剩下的4个数字排列有A44种排法, 则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．故选D.

6.如图, 花坛内有5个花池, 有5种不同颜色的花卉可供栽种, 每个花池

内只能种一种颜色的花卉, 相邻两池的花色不同, 则栽种方案的种数为

( )

A．180 B．240

C．360 D．420

答案 D

解析若5个花池栽了5种颜色的花卉, 方法有A55种, 若5个花池栽了4种颜色的花卉, 则2,4两个花池栽同一种颜色的花, 或3,5两个花池栽同一种颜色的花, 方法有2A45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉, 方法有A35种, 所以最多有A55＋2A45＋A35＝420(种)．

7．某天连续有7节课, 其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节, 数学2节．在排课时, 要求生物课不排第1节, 数学课要相邻, 英语课与数学课不相邻, 则不同排法的种数为( )

A．408 B．480

C．552 D．816

答案 A

解析数学在第(1,2)节, 从除英语外的4门课中选1门安排在第3节, 剩下的任意排, 故有C14A44＝96(种)排法；数学在第(2,3)节, 从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节, 从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节, 剩下的任意排, 故有C13C13A33＝54(种)排法；数学在(3,4), (4,5), (5,6)情况一样, 当英语在第1节时, 其他任意排, 故有A44＝

24(种)排法, 当英语不在第1节时, 从除英语, 生物外的3门课中选一门安排在第1节, 再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节, 剩下的任意排, 有C 13A 23A 2

2＝36(种)排法, 故共有3×(24＋36)＝180(种)排法；数学在第(6,7)节时, 当英语在第一节时, 其他任意排, 故有A 4

4＝24(种)排法, 当英语不在第1节, 从除英语, 生物外的3门课中选一门安排在第1节, 再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节, 剩下的任意排, 有C 13C 1

3A 3

3＝54(种)排法, 故有24＋54＝78(种)排法, 根据分类加法计数原理, 共有96＋54＋180＋78＝408(种)排法．故选A.

8．设i 为虚数单位, 则(x ＋i)6

的展开式中含x 4

的项为( ) A ．－15x 4

B ．15x 4

C ．－20i x 4

D ．20i x 4

答案 A

解析 由题可知, 含x 4

的项为C 26x 4i 2

＝－15x 4

.故选A.

9．在二项式?

??

??x 2－1x n

的展开式中, 所有二项式系数的和是32, 则展开式中各项系数的和为

( )

A ．32

B ．－32

C ．0

D ．1 答案 C

解析 依题意得所有二项式系数的和为2n

＝32, 解得n ＝5.

因此, 令x ＝1, 则该二项展开式中的各项系数的和等于?

????12－115

＝0, 故选C.

10．已知(1＋x )＋(1＋x )2

＋(1＋x )3

＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

, 且a 0＋a 1＋a 2

＋…＋a n ＝126, 那么?

?

?

??x －

1x n

的展开式中的常数项为( )

A ．－15

B ．15

C ．20

D ．－20 答案 D

解析 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22

＋ (2)

＝2×2n

－12－1

＝2n ＋1－2＝126?2n ＋1

＝128

?2

n ＋1

＝27

?n ＝6, 又T k ＋1＝C k 6(x )

6－k

?

????－1x k ＝C k 6(－1)k x 3－k ,

所以由3－k ＝0, 得常数项为－C 3

6＝－20. 故选D.

11．已知等比数列{a n }的第5项是二项式?

??

??x ＋1x 4

展开式中的常数项, 则a 3·a 7＝________.

答案 36

解析 ?

??

??x ＋1x

4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4x 4－2k

,

令4－2k ＝0, 得k ＝2, ∴常数项为C 2

4＝6, 即a 5＝6. ∵{a n }为等比数列, ∴a 3·a 7＝a 2

5＝62＝36.

12．书架上原来并排放着5本不同的书, 现要再插入3本不同的书, 那么不同的插入方法共有________种． 答案 336

解析 由题意得3本不同的书, 插入到原来的5本不同的书中, 可分为三步, 第一步：先插入第一本, 插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中, 有A 1

6＝6(种)方法；第二步：再插入第二本, 插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中, 有A 1

7＝7(种)方法；第三步：再插入第三本, 插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中, 有A 1

8＝8(种)方法, 共有6×7×8＝336(种)不同的插入方法．

13．某大学的8名同学准备拼车去旅游, 其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名, 分别乘甲、乙两辆汽车, 每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置), 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车, 则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种． 答案 24

解析 分类讨论, 有2种情形．孪生姐妹乘坐甲车, 则有C 23C 12C 1

2＝12(种)乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车, 则有C 13C 12C 1

2＝12(种)乘车方式．根据分类加法计数原理可知, 共有24种乘车方式．

14．已知(1＋2x )6

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 6x 6

, 则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.(用数字作答) 答案 729

解析 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|相当于(1＋2x )6

的展开式中各项系数绝对值的和, 令x ＝1, 得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝36

＝729.

15．如果?

?????

3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128, 则展开式中1x 3的系数是________． 答案 21

解析 ? ?????3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为?

?????3×1－1312n ＝2n ＝128, 所以n ＝7, 所以

? ?????3x －13x 2n ＝? ?????3x －13x 27, 其展开式的通项为T k ＋1＝C k

7(3x )7－k ·?

?????

－13x 2k ＝5773

7

C 3

(1)k k

k

k

x

-

--.由7－5k

3

＝－3,

得k ＝6, 所以1x

3的系数为(－1)6·31·C 6

7＝21.

16．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3

项的系数为________． 答案 －210

解析 (x 2

－x ＋1)10

＝[1＋(x 2

－x )]10

的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10(x 2－x )k , 对于(x 2－x )k

通项公式为

T m ＋1＝C m k x

2k －2m (－x )m ＝(－1)m C m k x 2k －m

, 令2k －m ＝3且m ≤k ≤10, m ∈N , k ∈N ,

得k ＝2, m ＝1或k ＝3, m ＝3, (x 2

－x ＋1)10

的展开式x 3

系数为C 2

10C 1

2·(－1)＋C 3

10C 3

3·(－1)3

＝－210.

回扣10 概率与统计

1．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式

P (A )＝

事件A 包含的基本事件数m

基本事件总数n

；

②互斥事件的概率计算公式

P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；

③对立事件的概率计算公式

P (A )＝1－P (A )；

④几何概型的概率计算公式

P (A )＝

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

(2)抽样方法

简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．

①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本, 则每个个体被抽到的概率都为n N

；

②分层抽样实际上就是按比例抽样, 即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．

(3)统计中四个数据特征

①众数：在样本数据中, 出现次数最多的那个数据；

②中位数：在样本数据中, 将数据按大小排列, 位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数, 就取中间两个数据的平均数作为中位数； ③平均数：样本数据的算术平均数, 即x ＝1

n

(x 1＋x 2＋…x n )；

④方差与标准差

方差：s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

]．

标准差：

s ＝

1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

].

(4)八组公式

①离散型随机变量的分布列的两个性质

(ⅰ)p i ≥0(i ＝1,2, …, n )；(ⅱ)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②期望公式

E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .

③期望的性质

(ⅰ)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (ⅱ)若X ～B (n , p ), 则E (X )＝np ； (ⅲ)若X 服从两点分布, 则E (X )＝p . ④方差公式

D (X )＝[x 1－

E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n , 标准差为D (X ).

⑤方差的性质

(ⅰ)D (aX ＋b )＝a 2

D (X )；

(ⅱ)若X ～B (n , p ), 则D (X )＝np (1－p )； (ⅲ)若X 服从两点分布, 则D (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式

P (AB )＝P (A )P (B )．

⑦独立重复试验的概率计算公式

P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －k

. ⑧条件概率公式

P (B |A )＝P (AB )

P (A )

.

2．活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；

③小长方形的高＝频率组距, 所有小长方形高的和为1

组距

.

(2)线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

一定过样本点的中心(x , y )．

(3)利用随机变量K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

来判断“两个分类变量有关系”的方法称为

独立性检验．如果K 2

的观测值k 越大, 说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． (4)如果随机变量X 服从正态分布, 则记为X ～N (μ, σ2

)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ

1．应用互斥事件的概率加法公式, 一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥, 然后求出各事件分别发生的概率, 再求和．

2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件, 是互斥中的特殊情况, 但互斥事件不一定是对立事件, “互斥”是“对立”的必要不充分条件．

3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图, 误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率, 导致样本数据的频率求错．

4．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别

(1)在P (A |B )中, 事件A , B 发生有时间上的差异, B 先A 后；在P (AB )中, 事件A , B 同时发生．

(2)样本空间不同, 在P (A |B )中, 事件B 成为样本空间；在P (AB )中, 样本空间仍为Ω, 因而有P (A |B )≥P (AB )．

5．易忘判定随机变量是否服从二项分布, 盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．

1．某学校有男学生400名, 女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取男学生40名, 女学生60名进行调查, 则这种抽样

方法是( )

A ．抽签法

B ．随机数法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法 答案 D

解析 总体由男生和女生组成, 比例为400∶600＝2∶3, 所抽取的比例也是2∶3, 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查, 采用的抽样方法是分层抽样法, 故选D.

2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示, 则时速的众数, 中位数的估计值为( )

A ．62,62.5

B ．65,62

C ．65,63.5

D ．65,65

答案 D

解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形, 所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3, 由于0.5－0.3＝0.2, 则0.2

0.4×10＝5, 所以中

位数为60＋5＝65.故选D.

3．同时投掷两枚硬币一次, 那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个正面朝上”, “都是反面朝上” B ．“至少有1个正面朝上”, “至少有1个反面朝上” C ．“恰有1个正面朝上”, “恰有2个正面朝上” D ．“至少有1个反面朝上”, “都是反面朝上” 答案 C

解析 同时投掷两枚硬币一次, 在A 中, “至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生, 且“至少有1个正面朝上”不发生时, “都是反面朝上”一定发生, 故A 中两个事件是对立事件；在B 中, 当两枚硬币恰好一枚正面朝上, 一枚反面朝上时, “至少有1个正面朝上”, “至少有1个反面朝上”能同时发生, 故B 中两个事件不是互斥事件；在C 中, “恰有1个正面朝上”, “恰有2个正面朝上”不能同时发生, 且其中一个不发生时, 另一个有可能发生也有可能不发生, 故C 中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D 中,

当两枚硬币同时反面朝上时, “至少有1个反面朝上”, “都是反面朝上”能同时发生, 故D 中两个事件不是互斥事件．故选C.

4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试, , 则所选5名学生的学号可能是( )

A ．1,2,3,4,5

B ．5,26,27,38,49

C ．2,4,6,8,10

D ．5,15,25,35,45 答案 D

解析 采用系统抽样的方法时, 即将总体分成均衡的若干部分, 分段的间隔要求相等, 间隔一般为总体的个数除以样本容量, 据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为50

5＝10, 只有

D 答案中的编号间隔为10.故选D.

5．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行, 绿灯行, 红灯停, 遇到黄灯时, 如已超过停车线须继续行进, 某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒, 红灯47秒, 黄灯5秒, 小张是个特别守法的人, 只有遇到绿灯才通过, 则他路过该路口不等待的概率为( ) A ．0.95 B ．0.05 C ．0.47 D ．0.48 答案 D

解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为4848＋47＋5

＝0.48.

6．A 是圆上固定的一定点, 在圆上其他位置任取一点B , 连接A , B 两点, 它是一条弦, 它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.23 B.14 C.56 D.12 答案 A

解析 在圆上其他位置任取一点B , 设圆的半径为R , 则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR , 其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2

3·2πR , 则弦AB

的长度大于等于半径长度的概率P ＝2

3·2πR 2πR ＝2

3

.故选A.

7．有5张卡片, 上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张, 那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )

A.13

B.23

C.710

D.310 答案 C

解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), 共10种, 2张卡片上的数字之积为偶数有7种, 故所求概率P ＝710.

8．在如图所示的电路图中, 开关a , b , c 闭合与断开的概率都是1

2, 且是相互独立的, 则灯

亮的概率是( )

A.18

B.38

C.14

D.78 答案 B

解析 设开关a , b , c 闭合的事件分别为A , B , C , 则灯亮事件D ＝ABC ∪AB C ∪A B C , 且

A ,

B ,

C 相互独立, ABC , AB C , A B C 互斥, 所以P (

D )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝1

2

×12

×12

＋12

×12

×?

??

??

1－12＋12

×?

??

??

1－12

×

12＝3

8

, 故选B. 9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系, 随机调查了该社区5户家庭, 得到如下统计数据表

收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

, 其中b ^

＝0.76, a ^

＝y －b ^

x .据此估计, 该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 答案 B

解析 由题意知, x ＝

8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9

5

＝10,

y ＝

6.2＋

7.5＋

8.0＋8.5＋

9.8

5

＝8,

∴a ^

＝8－0.76×10＝0.4,

∴当x ＝15时, y ^

＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．

10．设X ～N (1, σ2

), 其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N (1, σ2

), 则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%, P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如图所示, 且P (X ≥3)＝0.022 8, 那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点, 则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

A ．6 038

B ．6 587

C ．7 028

D ．7 539 答案 B

解析 由题意知, P (0

2×0.682 6＝0.341 3, 则落入阴影部分的点的个数的估计值

为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B.

11．如图, 在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分的概率为________．

答案

2e

2 解析 由题意知, 所给图中两阴影部分面积相等, 由e x

＝e, 得x ＝1, 故阴影部分面积为

S ＝2?10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1

＝2[e －e －(0－1)]＝2.

又该正方形面积为e 2

, 故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e

2.

12．样本容量为 1 000的频率分布直方图如图所示, 则样本数据落在[6,14)内的频数为________．

答案 680

解析 根据给定的频率分布直方图可知, 4×(0.02＋0.08＋x ＋0.03＋0.03)＝1?x ＝0.09, 则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68, 所以在[6,14)之间的频数为 1 000×0.68＝680.

13．已知x , y 的取值如表所示.

x 0 1 3 4 y

2.2

4.3

4.8

6.7

从散点图分析, y 与x 线性相关, 且y ^＝0.95x ＋a ^, 则a ^

＝________. 答案 2.6

解析 根据表中数据得x ＝2, y ＝4.5, 又由线性回归方程知, 其斜率为0.95, ∴截距a ^

＝4.5－0.95×2＝2.6.

14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动, 凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动, 具体规则如下：每人最多可射击3次, 一旦击中, 则可获奖且不再继续射击, 否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0), 射击次数为η, 若η的期望E (η)＞74

, 则

p 的取值范围是________．

答案 ? ??

??0，12 解析 由已知得P (η＝1)＝p , P (η＝2)＝(1－p )p ,

P (η＝3)＝(1－p )2, 则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74

, 解得p ＞52

或p <12

,

又p ∈(0,1), 所以p ∈? ??

??0，12. 15．某工厂36名工人的年龄数据如下表.

工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44

11 31

20 43

29 39

(1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均值x 和方差s 2

；

(3)求这36名工人中年龄在(x －s , x ＋s )内的人数所占的百分比． 解 (1)根据系统抽样的方法, 抽取容量为9的样本, 应分为9组, 每组4人． 由题意可知, 抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1),

得x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37

9

＝40,

s 2＝19

[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2

＋(43－40)2

＋(37－40)2

]＝

1009

. (3)由(2), 得x ＝40, s ＝10

3,

∴x －s ＝3623, x ＋s ＝431

3

,

由表可知, 这36名工人中年龄在(x －s , x ＋s )内的共有23人, 所占的百分比为23

36

×100%≈63.89%.

16．某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛, 规则如下：两名选手比赛时, 每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时, 甲每局获胜的概率皆为2

3, 且各局比赛胜负互不影响．

(1)求比赛进行4局结束, 且乙比甲多得2分的概率；

(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数, 求随机变量ξ的分布列和期望．

解 (1)由题意知, 乙每局获胜的概率皆为1－23＝1

3

.

比赛进行4局结束, 且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局, 3,4局连胜, 则P ＝C 1

2·13·23·13·13＝481

.

(2)由题意知, ξ的取值为2,4,6,

则P (ξ＝2)＝? ????232＋? ????132＝5

9

,

P (ξ＝4)＝C 12·13·2

3·? ????232＋C 12·13·23·? ????

132

＝

20

81

, P (ξ＝6)＝?

??

??C 12·13·232＝16

81

,

所以随机变量ξ的分布列为

ξ 2 4 6 P

5

9

2081

1681

则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝266

81

.

回扣11 推理与证明、算法、复数

1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R )的分类 ①z 是实数?b ＝0； ②z 是虚数?b ≠0； ③z 是纯虚数?a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数

复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模

复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2

＋b 2

. (4)复数相等的充要条件

a ＋

b i ＝

c ＋

d i ?a ＝c 且b ＝d (a , b , c , d ∈R )．

特别地, a ＋b i ＝0?a ＝0且b ＝0(a , b ∈R )．

(5)复数的运算法则

加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝

ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋

d 2

i. ()其中a ，b ，c ，d ∈R .

2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2

＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i, 1－i 1＋i ＝－i. (3)i 4n

＝1, i

4n ＋1＝i, i

4n ＋2

＝－1, i

4n ＋3

＝－i, i 4n ＋i

4n ＋1

＋i

4n ＋2

＋i

4n ＋3

＝0(n ∈Z )．

(4)ω＝－12±32i, 且ω0＝1, ω2＝ω, ω3＝1,1＋ω＋ω2

＝0.

3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．

4．推理

推理分为合情推理与演绎推理, 合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．

合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程

实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程

实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论 5．证明方法

(1)分析法的特点：从未知看需知, 逐步靠拢已知． 推理模式： 框图表示

Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件

(2)综合法的特点：从已知看可知, 逐步推出未知． 推理模式

框图表示：P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等, Q 表示要证明的结论)． (3)反证法

一般地, 假设原命题不成立(即在原命题的条件下, 结论不成立), 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法．

1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i, a , b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．

2．复数的运算与多项式运算类似, 要注意利用i 2

＝－1化简合并同类项．

3．在解决含有循环结构的框图时, 要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．

4．解决程序框图问题时, 要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．

5．类比推理易盲目机械类比, 不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑, 应从本质上类比．用数学归纳法证明时, 易盲目以为n 0的起始值n 0＝1, 另外注意证明传递性时, 必须用

n ＝k 成立的归纳假设．

6．在循环结构中, 易错误判定循环体结束的条件, 导致错求输出的结果．

1．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i, 则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3i

B ．－1＋3i

C ．1＋3i

D ．1－3i 答案 A

解析 ∵z (2－i)＝1＋7i,

∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i 5＝－1＋3i,

共轭复数为－1－3i.

2．复数z 1, z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称, 且z 1＝3＋2i, 则z 1·z 2等于( ) A ．13i

B ．－13i

C ．13＋12i

D ．12＋13i

答案 A

解析 z 1＝2＋3i, z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.

3．用反证法证明命题：三角形的内角至少有一个钝角．假设正确的是( ) A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设没有一个钝角

D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案 C

解析 原命题的结论为至少有一个钝角．则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”, 即假设没有一个钝角． 4．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B ．所有的金属都能够导电, 铀是金属, 所以铀能够导电

C ．高一参加军训有12个班, 1班51人, 2班53人, 3班52人, 由此推测各班都超过50人

D ．在数列{a n }中, a 1＝2, a n ＝2a n －1＋1(n ≥2), 由此归纳出{a n }的通项公式 答案 B

解析 A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理．

B ．所有的金属都能够导电, 铀是金属, 所以铀能够导电．由一般到特殊, 为演绎推理．

C ．高一参加军训有12个班, 1班51人, 2班53人, 3班52人, 由此推测各班都超过50人为归纳推理．

D ．在数列{a n }中, a 1＝2, a n ＝2a n －1＋1(n ≥2), 由此归纳出{a n }的通项公式为归纳推理．

5．z ＝m ＋i 1－i

(m ∈R , i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 答案 D

解析 z ＝(m ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －1＋(m ＋1)i

2,

由于m －1＜m ＋1, 故不可能在第四象限．

6.阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输出的S 为11

12

,