第22章二次函数与反比例函数总复习
![第22章二次函数与反比例函数总复习](https://img.360docs.net/imgbe/05q2tb4wdr1hybwyma3x-e1.webp)
![第22章二次函数与反比例函数总复习](https://img.360docs.net/imgbe/05q2tb4wdr1hybwyma3x-c2.webp)
第22章:二次函数与反比例函数总复习
题型1:二次函数的判定
例1.下列函数中,哪些是二次函数?
分析:一般地,形如2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项。判断函数是否是二次函数, ①首先是要看它的右边是否为整式,②若是整式且仍能化简的要先将其化简,③ 然后再看自变量是否为2,④最后看二次项系数是否为0这个关键条件
题型2:有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.
二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:(1)二次项系数a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. a>0时,开口向上,a<0时,开口向下。a 越大,开口越小。a 越小,开口越大。(2)一次项系数b ,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.若0>ab ,则对称轴a
b x 2-=在y 轴左边,
若0 b x 2- =在y 轴的右侧。若b=0,则对称轴a b x 2- ==0,即对称轴是y 轴.概括的说 就是“左同右异,y 轴0” (3)常数项c ,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.当0c >时,交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时,抛物线经过原点,;当0c <时,交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2-4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0?>时,抛物线与x 轴有两个交点 ② 当0?=时,抛物线与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 一次函数:y=kx +b(k,b 是常数,k≠0) 中图象与系数的关系: (1)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限 ????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ??? ?<>0 b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ?? ??<<00 b k 直线经过第二、三、四象限 (2)增减性: k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小. (3)截距: 当b>0时,图象交于y 轴正半轴, 当b<0时,图象交于y 轴负半轴,当b=0时,图象交于原点. (4)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y 轴;|k|越小,图象越接近于x 轴. 反比例函数:y = x k (k 为常数,k ≠0)中图象与系数的关系: 说明:1)反比例函数的增减性不连续,在讨论函数增减问题时,必须有“在每一个象限内”这一条件。 2)反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴,但与x 轴、y 轴没有交点。 2 2 23 2 2 2 2 1 (1)(2)4(3)0.8(220) (4)55(1) 1(5)34(6)2(7)36()(1)3() 3y x y b a y x x x x y x x y x y ax x a y m x m =+ =-=-=-+-=--=--=++=+-为定值 (8)为定值 例2图 2 3) 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大,双曲线越靠近坐标轴. 例1:.函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限,则二次函数y=ax 2+bx 的大致图象是 ( B ) B 【解析】本题考查【解析】由函数y=ax+b 的图象 经过一、二、三象限,可得:a>O ,b>O ,则函数y=ax 2+bx 的开口向上,对称轴为x=-b 2a <0, 例2(’09湖北黄石市)已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc >0 ②2a+b <0 ③4a -2b+c <0 ④a+c >0, 其中正确结论的个数为( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 分析:从图像的开口方向和图像与y 轴交点的纵坐标可以直接得到a<0,c>0.对于b,要根据抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在y 轴右侧,即-b 2a >0,则b a <0,所以a 、 b 异号;反之,a ,b 同号.本题中抛物线对称轴 在y 轴右侧,所以b>0;所以abc<0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点横坐标与1的大小比较.观察图像可得, - b 2a <1,所以2a+b <0.而4a -2b+c 是二次函数当自变量取值为-2时的函数值,观察图像可发现点(-2, 4a -2b+c)在x 轴下方,所以4a -2b+c<0.又由图像可得当x=1时的函数值a+b+c 的绝对值大于x=-1时的函数值a -b+c 的绝对值,所以a+b+c+ (a -b+c)>0,所以a+c>0.故选答案B.【点拨】由抛物线开口方向判定a 的符号, 由对称轴的位置判定b 的符号,由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。由抛物线与x 轴的交点个数判定 的符号,若x轴标出了1和-1,则结合函数值可判定b a+ 2、c b a+ +、c b a+ -的符号。 例3.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是() A B C D 【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与y轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于A、B,直线y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c不经过同一点(0,c),所以不正确.对于C、D,直线都经过第一、二、四象限,所以a<0,所以抛物线开口向下.答案为D. 例4.(2011四川凉山州,12,4分)二次函数2 y ax bx c =++的图像如图所示,反比列函数 a y x =与 正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图像是( B ) 例5.(2011 安徽芜湖,10,4分)二次函数2 y ax bx c = + +的图象如图所示,则反比例函数 a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( D ). 例6.(’09安徽省芜湖)如图所示是二次函数2 y ax bx c =++图象的一部分, 图象过A点(3,0),二次函数图象对称轴为1 x=,给出四个结论: ①24 b ac >;②0 b c<;③20 a b +=;④0 a b c ++=,其中正确结论是 ( B. ) A.②④B.①③C.②③D.①④ 【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开 口向下能够得到a<0;由抛物线与y轴的交点可以得到c>0;根据对称轴- b 2a 能够推出b+2a=0,在根据a<0 A B D C x 例6 得出b>0,所以bc>0;当x=1时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,所以a+b+c>0. 例7.(2008安徽)如图为二次函数 的图象,在下列说法中: ①;②方程 的根为 , ; ③;④当 时, 随着的增大而增大. 正确的说法有①②④ .(请写出所有正确说法的序号) 题型3:利用二次函数、反比例函数的增减性比较函数值的大小 例1 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上,与x 轴的交点为(4,0),(-2,0)知,此抛物线的对称轴为直线x=1,此时121,2x x =-=时,对应的y 1 与y 2的大小关系是( C ) A .y 1 点拨:本题可用两种解法 解法1:利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定:a>0时,抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大.解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a ,b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值,进而比较它们的大小 例2、已知抛物线)0(2<++=a c bx ax y 的对称轴为x=2,且过A (-1,y 1)、B (1,y 2)、C (2 7,y 3) 三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( ) A 、y 1<y 2<y 3 B 、y 1<y 3<y 2 C 、y 3<y 2<y 1 D 、y 2<y 3<y 1 例3、 已知点(-1,y 1),(- 2 7,y 2),( 2 1,y 3)在函数y=3x 2+6x+12的图象上,则y 1,y 2,y 3 的大小为( ) A y 1>y 2>y 3 B y 2>y 1>y 3 C y 2>y 3>y 1 D y 3>y 1>y 2 二次函数的图象与性质附图如下:二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质。 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a >0 例4:在反比例函数(0)k y k x =- >的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。若3 210x x x >>>则下列各式正确的是( A )A .213y y y >> B .123y y y >> C .321y y y >> D .231y y y >> 解:用图像法,在直角坐标系中作出(0)k y k x =- >的图像草图, 描出三个点,满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 例5.(2008烟台)在反比例函数12m y x -= 的图象上有两点A ()11,x y ,B ()22,x y ,当120x x <<时,有 12y y <,则m 的取值范围是( )A .0m < B.0m > C.12 m < D.12 m > 题型4:有关抛物线的平移问题 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a 确定,所以两个二次函数如果a 相等,那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到,所以形如y=ax 2,y=ax 2+k ,y=a(x -h)2+k(a≠O ,a 、k 、h 为常数)形式的函数图象可以相互平移得到,而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定.平移方式如 下图:任意抛物线y=ax 2+bx+c 可以由抛物线y=ax 2经过适当地平移得到,具体平移方法下图所示: 数形结合法: ①将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; (抓住顶点) ② 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处。 公式法(结论法):概括成八个字“左加右减,上加下减”. ① 沿 x 轴向左(右)平移h 个单位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c (或 y=a(x-h)2 +b(x-h)+c ) y=ax 2沿 x 轴向左(右)平移h 个单位得y=a(x+h)2 (或y=a(x-h)2 ) y=a(x+h)2+k 沿 x 轴向左(右)平移m 个单位得y=a(x+h+m)2+k (或y=a(x+h-m)2+k ) ② y=ax 2+bx+c 沿 y 轴向上(下)平移k 个单位得 y=ax 2+bx+c+k (或y=ax 2+bx+c-k ) y=ax 2 沿 y 轴向上(下)平移k 个单位得y=ax 2 +k (或y=ax 2 -k ) y=a(x+h)2+k 沿 y 轴向上(下)平移n 个单位得y=a(x+h)2+n (或y=a(x+h)2+n ) 注:对于一般式抓住与y 轴的交点或顶点,对于顶点式抓住顶点。 例1、将二次函数5822-+-=x x y 的图象向左平移3个单位,再向下平移2个单位,求所得二次函数的解析式。 解:3)2(258222+--=-+-=x x x y ,将图象向左平移3个单位,再将图象向下平移2个单位,得22(23)32y x =--++-,故所求的解析式为1)1(22++-=x y .或 例3.已知0=++c b a ,a ≠0,把抛物线c bx ax y ++=2 向下平移1个单位,再向左平移5个单位所 得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。 分析:①由0=++c b a 可知:原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移5个单位,再向上平 移1个单位即得原抛物线。解:可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ,则原抛物线的解析式为 1)52(2 +-+=x a y ,又易知原抛物线过点(1,0)∴1)521(02 +-+=a ,解得4 1- =a ∴ 原抛物线的解析式为:1)3(4 12 +-- =x y 例4.(’09鄂州市)把抛物线y =ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的图 象的解析式是y =x 2-3x+5,则a+b+c=_17 【解析】.首先把抛物线y =x 2-3x+5化成顶点式然后把抛物线先向左平移3个单位得到再向上平移2个 单位得到=x 2-9x+25,所以a+b+c=17. 题型5:求二次函数、反比例函数解析式的有关问题 1. 几种特殊的二次函数的图像特征如下: 2.二次函数三种表示方法: (1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); (2)顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); (3)交点式(两根式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标) 3.求二次函数解析式的方法. (1)利用待定系法求二次函数关系式时,一般先设函数关系式,然后通过解方程(组)来求待定的系数。有3种设法。①顶点未知时,设一般式:2y ax bx c =++(0a ≠) ②已知顶点坐标为(h,k),设顶点式:2()y a x h k =-+(0a ≠) ③已知抛物线与x 轴两交点的坐标为(x 1 ,0)与 (x 2,0),设交点式12()()y a x x x x =--(0a ≠) 注:以下4种是以上3种的特例:①已知顶点在原点,可设y=ax 2 (0a ≠) ②对称轴是y 轴或顶点在y 轴上,可设y=ax 2+c (0a ≠) ③顶点在x 轴上,可设y=a(x-h)2(0a ≠)④抛物线过原点,可设y=ax 2+bx (0a ≠) 另外选择一般式时, 把三点或三对x 、y 的值代入外,有时通过对称轴方程或顶点坐标公式列方程. 例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(- 、B )6,7(、C )30,5(-,求这个二次函数的解析式。 解:设这个二次函数的解析式为2y ax bx c =++,则由题意得:??? ? ??? =+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解得21=a ,3-=b ,25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 5 3212+-=x x y . 例2、已知二次函数图象的顶点为(2,5),且与y 轴的交点的纵坐标为13,求这个二次函数的解析式。 解:设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为(0,13), ∴135)20(2=+-a ,∴2=a 故所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点(-1,2),对称轴为1=x 且最小值为-2,求这个函数的解析式。 解:由题设知抛物线的顶点为(1,-2),因此,设所求二次函数为2)1(2--=x a y 。∵抛物线过点(-1,2) ∴22)11(2=---a ∴1=a 故所求的解析式为2)1(2--=x y ,即122--=x x y 。 例4、已知二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点,与y 轴交点的纵坐标为2,求此二次函数的解析式。解:∵二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点,故设其解析式为)3)(1(-+=x x a y , 又点(0,2)在图象上,∴2)30)(10(=-+a ∴3 2-=a ∴所求解析式为)3)(1(3 2-+- =x x y ,即23 4322 +- - =x x y . 例5 已知抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M 到x 轴的距离为2,求此抛物线的解析式.解法(一):∵抛物线的对称轴是x=-1,顶点M 到x 轴距离为2, ∴顶点的坐标为M(-1,2)或M ′(-1,-2).故设二次函数式y=a(x +1)2+2或y=a(x+1)2-2 又∵抛物线经过点A(-3,0) ∴0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2 解法(二):设函数解析式为y=ax 2+bx +c ∵点A(-3,0)在抛物线上 ∴0=9a-3b +c ① 又∵对称轴是x=-1 ∵顶点M 到x 轴的距离为2 解由①,②,③组成的方程组: ∴所求的函数关系式是: ∴所求函数的解析式是: 解法(三):∵抛物线的对称轴是x=-1 又∵图象经过点A(-3,0) ∴点A(-3,0)关于对称轴x=-1对称的对称点A ′(1,0) ∴设函数式为y=a(x+3)(x-1) 把抛物线的顶点M 的坐标(-1,2)或(-1,-2)分别代入函数式,得 2=a(-1+3)(-1-1)或-2=a(-1+3)(-1-1)解得 例6.已知0=++c b a ,a ≠0,把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。 分析:①由0=++c b a 可知:原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移5个单位,再向上平移1个单位即得原抛物线。 解:可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ,则原抛物线的解析式为1)52(2+-+=x a y ,又易知原抛物线过点(1,0) ∴1)521(02+-+=a ,解得4 1-=a ∴ 原抛物线的解析式为:1)3(412 +-- =x y (2)根据抛物线间的关系求二次函数解析式. 解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析式间的联系,并注意逆向思维的应用。另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:①开口反向(或旋转 1800),此时顶点坐标不变,只是a 反号;②两抛物线关于x 轴对称,此时顶点关于x 轴对称,a 反号;③两抛物线关于y 轴对称,此时顶点关于y 轴对称;这类问题,必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。 例7、把函数1422+-=x x y 的图象绕顶点旋转1800,求所得抛物线的解析式。 解:∵1)1(21422 2 --=+-=x x x y ,∴所求二次函数解析式为1)1(22 ---=x y ,即 3422 -+-=x x y . 例8、把二次函数522 +-=x x y 的图象沿x 轴翻折,求所得抛物线的解析式。 解:∵4)1(522 2 +-=+-=x x x y ,∴抛物线沿x 轴翻折后所得解析式为4)1(2 ---=x y , 故所求解析式为522 -+-=x x y . (3)已知抛物线与x 轴两交点间的距离求二次函数解析式 当已知二次函数与x 轴两交点间的距离时,常用一般式c bx ax y ++=2 、韦达定理和关系式: ∴所求的函数关系式是: 例9、已知二次函数的图象x 轴两交点间的距离为6,且经过点(-2,2)和(4,-4),求这个二次函数的解析式。解:设所求解析式为c bx ax y ++=2,由题设得 ???? ? ?? ? ?=--=++=+-6444162 242 a ac b c b a c b a 解这个方程,得41-=a ,21-=b ,2=c .所求的解析式为22 1412+--=x x y . 例10、已知二次函数的图象与x 轴两交点间的距离为2,若将图象沿y 轴方向向上平移3个单位,则图象恰好经过原点,且与x 轴两交点间的距离为4,求原二次函数的表达式. 解:∵新抛物线的图象恰好经过原点,且与x 轴两交点间的距离为4, ∴此抛物线与x 轴的交点为:(0,0),(4,0)或(﹣4,0),∴设新抛物线的解析式为:y=ax 2+bx (a≠0). ①当抛物线过:(0,0),(4,0)时,把x=4,y=0代入得,16a+4b=0,即b=﹣4a , ∴新抛物线的解析式为:y=ax 2﹣4ax ,∴原抛物线的解析式为:y=ax 2﹣4ax ﹣3, 设原抛物线与x 轴的两交点坐标分别为(x 1,0),(x 2,0)则|x 2﹣x 1|=2, 由根与系数的关系可知,x 1+x 2=4,x 1?x 2=﹣,∴(x 2﹣x 1)2=4,又∵(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1?x 2 =16﹣4×(﹣)=16+ ,∴16+ =4,解得a=﹣1,∴原二次函数的解析式为:y=﹣x 2+4x ﹣3; ②当抛物线过:(0,0),(﹣4,0)时,把x=﹣4,y=0代入得,16a ﹣4b=0,即b=4a , ∴新抛物线的解析式为:y=ax 2+4ax ,∴原抛物线的解析式为:y=ax 2+4ax ﹣3, 同①可得a=﹣1,∴原二次函数的解析式为:y=﹣x 2﹣4x ﹣3. 故原二次函数的表达式为:y=﹣x 2+4x ﹣3或y=﹣x 2﹣4x ﹣3. (4) 根据根与系数的关系求二次函数关系式。 例11、 二次函数y=ax 2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y 轴相交于点B , (1)求二次函数的解析式;(2)求原点O 到直线AB 的距离. 解: (1)如图, ∴a=-1. ∴解析式为y=-x 2 +6x-5=-(x-3)2 +4. 4.求反比例函数解析式 由已知有: 2 1212)226 x x x x ∴+-= ( (1).反比例函数解析式x k y = (k ≠0)的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐 标即可求出k )为了计算的方便通常变形成k=xy,即k 等于图像上任意一个点的横坐标与纵坐标的乘积。 (2). 反比例函数y =x k (k ≠0)中的比例系数k 的几何意义:表示反比例函数图 像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图,过双曲线y = x k (k ≠0)上的任意一点P (x , y )做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ,所得矩形OBPA 的面积:S OA PA x y xy k =?=?==矩形OAPB 推论:过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线,连接原点,所得三角形的面积为 2k (3)反比例函数y =x k (k ≠0)图象的对称性: 图象关于原点对称:即若(a ,b )在双曲线的一支上, 则( , )在双曲线的另一支上.图象关于直线y=-x 或y=x 对称:即若(a ,b )在双曲线的一支上, 则(-b,-a)或(b,a )在双曲线的另一支上. 例12(2011?安徽)如图函数y 1=k 1x+b 的图象与函数 (x >0)的图象交于A 、B 两点,与y 轴交于 C 点.已知A 点的坐标为(2,1),C 点坐标为(0,3).(1)求函数y 1的表达式和B 点坐标;(2)观察图象,比较当x >0时,y 1和y 2的大小. 解:(1)把A(2,1)、C (0,3)代入11y k x b =+得 213k b b +=??=? 解得 13 k b =-?? =? 所以13y x =-+ 把A (2,1)代入()220k y x x = >得 22k = 所以22y x = 解方程组?? ? ??= +-=x y x y 2 , 3 得???==. 2,111y x ?? ?==. 1,222y x 所以 点B 的坐标为(1,2)……6分 (2)解:由图像可知,当0<x <1或x >2时,y 1<y 2; 当1<x <2时,y 1>y 2; 当x=1或x=2时,y 1=y 2. ……12分 例13、(2010?安徽)点P (1,a )在反比例函数 y=的图象上,它关于y 轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上,求此反比例函数的解析式.分析:先求出点P (1,a )关于y 轴的对称点,代入y=2x+4,求出 1111S S 2 222O P A O P B O A P A x y xy k ??== ?= ?= = a的值,再把P点坐标代入y=即可求出k的值. 解:点P(1,a)关于y轴的对称点是(﹣1,a),……2分 ∵点(﹣1,a)在一次函数y=2x+4的图象上,∴a=2×(﹣1)+4=2,……4分 ∵点P(1,2)在反比例函数y=的图象上,∴k=2,∴反比例函数的解析式为为y=.……8分 题型6:二次函数、反比例函数与一次函数综合的运用 根据实际问题列二次函数关系式,并会求自变量的取值范围。用配方法或公式法把一般式或交点式化成顶点式,并能根据顶点式说出因变量随自变量变化情况(注要自变量的取值范围外还一定要注意在对称轴的左右两侧二次函数的增减性是相反的),以及有关最值问题.何时取得最值及最值是多少,一般有两种方法: 配方法或公式法.运动变化思想的运用.会看函数图象.会利用图象解一元二次不等式.要会根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围.(如从交点入手,看在交点的哪一边一次函数的函数值大于或小于反比例函数的函数值等) 例1、(2010?安徽)春节期间某水库养殖场为适应市场需求,连续用20天时间,采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九(1)班数学建模兴趣小组根据调查,整理出第x 天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如表: (1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的? (2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失,且能在当天全部售出,求第x天的收入y(元)与x (天)之间的函数关系式?(当天收入=日销售额﹣日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况,并指出在第几天y取得最大值,最大值是多少? 前一天减少10kg;(2)根据收入=捕捞量×单价﹣捕捞成本, 列出函数表达式;(3)将实际转化为求函数最值问题,从而 求得最大值. 解:(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg;……2分 (2)由题意,得y=20(950﹣10x)﹣(5﹣)(950﹣10x)=﹣2x2+40x+14250;……7分 (3)∵﹣2<0,y=﹣2x2+40x+14250=﹣2(x﹣10)2+14450,……9分 又∵1≤x≤20且x为整数,∴当1≤x≤10时,y随x的增大而增大;当10≤x≤20时,y随x的增大而减小;当x=10时即在第10天,y取得最大值,最大值为14450.……12分 例2、(2011?安徽压轴题)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0). (1)求证:h1=h3;(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h2+h3)2+h12; (3)若,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况. (1)证法一:设AD 与2l 的交点为E ,BC 与3l 的交点为F 。 ∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠BAD = ∠BCD = 90°,AB=CD,BC//AD . 则BE//DF,BF//DE, 所以四边形BEDF 为平行四边形 ∴BE=DF 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中,AB=CD , BE=DF ∴ Rt △ABE ≌Rt △CDF 而 1h 、2h 分别是Rt △ABE 和Rt △CDF 斜边上的高 ∴12h h = ……4分 证法二:过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ,过C 点作CH ⊥l 2分别交l 2、l 3于点H 、G , ∵正方形ABCD ,l 1∥l 2∥l 3∥l 4,∴AB=CD ,∠ABE=∠BCH , ∵∠BCH=∠CDG ,∴∠ABE=∠CDG , ∵∠AEB ∠CGD , ∴△ABE ≌△CDG ,∴AE=CG ,即h 1=h 3, (2)证法一:证明:过点B 、D 分别作1l 的垂线段,垂足为M 、N ,则Rt △ABM ≌Rt △DAN ∴BM=AN=1h ,AM=DN=1h +2h 在Rt △ABM 中,222AB AM BM =+ 又S=AB 2 所以222 2 2 S AB AM BM DN BM ==+=+ 即()2 2 121S h h h =++ ……9分 证法二:过点D 作MN ⊥1l 交1l 、4l 于M 、N 。则Rt △DAM ≌Rt △CDN (3)由 12312 h h +=得21312 h h =- ,代入()2 2 121S h h h =++得 2 2 22111111355241124455S h h h h h h ? ???=+-+=-+=-+ ? ?? ??? 又110 3102 h h >?? ?->?? 解得 0<h 1<3 2 ∴当0<h 1<5 2时,S 随h 1的增大而减小; 当h 1=5 2时,S 取得最小值 5 4; 当 5 2<h 1<3 2时,S 随h 1的增大而增大. ……14分 例3、(2009?安徽压轴题)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示. (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义; (2)写出批发该种水果的资金金额w (元)与批发量m (kg )之间的函数关系式;在下图的坐标系中画 出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果; (3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示,该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大. 例3图(2) 例3图(1) 解:(1)图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果,可按5元/kg 批发; 图②表示批发量高于60kg 的该种水果,可按4元/kg 批发. ………3分 (2)由题意得: 2060 6054m m w m m ?=? ?≤≤()) >(,函数图象如图所示. ………7分 由图可知资金金额满足240<w ≤300时,以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.…8分 (3)解法一:设当日零售价为x 元,由图可得日最高销量32040m x =- 当m >60时,x <6.5 由题意,销售利润为 2(4)(32040)40(6)160y x x x =--=--+ ……12分 当x =6时,160y =最大值,此时m =80 即经销商应批发80kg 该种水果,日零售价定为6元/kg ,当日可获得最大利润160元.……14分 解法二:设日最高销售量为x kg (x >60) 则由图②日零售价p 元满足:32040x p =-,于是32040 x p -= 销售利润2 3201( 4)(80)16040 40 x y x x -=-=- -+ ………12分 当x =80时,160y =最大值,此时p =6 即经销商应批发80kg 该种水果,日零售价定为6元/kg ,当日可获得最大利润160元.……14分 例4、(2008?安徽)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看成一点)的路线是抛物线2 3315 y x x =- ++的一部分,如图所示. (1)求演员弹跳离地面的最大高度; (7分) (2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由. (5分) 解:(1)2 3 y=x 3x 15-++=2 3519 x 524?? ???--+ ……5分 ∵305-<,∴函数的最大值是194。 答:演员弹跳的最大高度是194 米。 ……7分 (2)当x =4时,2 3y=43415 ??-++=3.4=BC ,所以这次表演成功。 ……12分 例5、(2007?安徽压轴题)按如图所示的流程,输入一个数据x ,根据y 与x 的关系 式就输出一个数据y ,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求: (Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间; (Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大. (1)若y 与x 的关系是y=x+p (100﹣x ),请说明:当p=时,这种变换满足上述两个要求;(6分) (2)若按关系式y=a (x ﹣h )2+k (a >0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程)(8分) 解:.(1)当P= 12 时,y=x + ()11002 x -,即y= 1502 x +。 ∴y 随着x 的增大而增大,即P= 12 时,满足条件(Ⅱ)……3分 当x=20时,y=1 20502 ?+=60。又当x=50时y=1 100502 ?+=100。而原数据都在20~100之间,所以新 ) 数据都在60~100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P= 12 时,这种变换满足要求;……6分 (2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a )h ≤20;(b )若x=20,100时,y 的对应值m ,n 能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。 如取h=20,y=()2 20a x k -+, ……8分 ∵a >0,∴当20≤x ≤100时,y 随着x 的增大 …10分 令x=20,y=60,得k=60 ① 令x=100,y=100,得a ×802 +k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=? , ∴()212060160y x = -+。………14分 例6、(2011年广安)若二次函数2()1y x m =--,当1x ≤时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是( ) A 、1m = B 、1m > C 、1m ≥ D 、1m ≤ 例7、(2006?安徽大纲卷)某公司年初推出一种高新技术产品,该产品销售的累积利润y (万元) 与销售时间x (月)之间的关系(即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系)为y=x 2 ﹣2x (x >0). (1)求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴; (4分) (2)请在所给坐标系中,画出这个函数图象的简图; (3分) (3)根据函数图象,你能否判断出公司的这种新产品销售累积利润 是从什么时间开始盈利的?(2分) (4)这个公司第6个月所获的利润是多少? (3分) 解:(1)由2 2 11(4)(2)22 2 y x x x = -= --.……2分 ∴函数图象的顶点坐标为(22)-, ,对称轴为直线2x =.……4分 (2)如右图.……7分 (3)从函数图象可以看出, 从4月份开始新产品的销售累积利润盈利.……9分 (4)5x =时,2 1525 2.52y = ?-?=, 6x =时,2162662 y = ?-?=, 6 2.5 3.5-=. ∴这个公司第6个月所获的利润是3.5万元.……12分 例7答案图 例8、(2005?安徽大纲卷)已知函数y 1=x ﹣1和. (1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象.(2) 求这两个函数图象的交点坐标.(3)观察图象,当x 在什么范围时,y 1>y 2? 分析:(1)画图的步骤:列表,描点,连线.需注意函数y 1的自变量取值范围是:全体实数;函数y 2的自变量取值范围是:x≠0.(2)交点都适合这两个函数解析式,应让这两个函数解析式组成方程组求解即可.(3)从交点入手,看在交点的哪一边一次函数的函数值大于反比例函数的函数值. 解:(1)函数y 1的自变量取值范围是:全体实数;函数y 2的自变 量取值范围是:x≠0.列表可得: (2)联立解析式: , 解得: , . ∴两函数的交点坐标分别为A (﹣2,﹣3);B (3,2); (3)由图象观察可得:当﹣2<x <0或x >3时,y 1>y 2. 例9. (2005?安徽课改卷) 如图所示,直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到。(1)在图中画出; (2)求经过三点的抛物线的解析式。 解:(1)如图 (2)设该抛物线的解析式为y ax bx c =++2 由题意知A A B 、、''三点的坐标分别是()()()-100120,、,、, ∴=-+==++??? ??01042a b c c a b c 解这个方程组得a b c =-==? ??? ?? ???12 121 ∴=-++抛物线的解析式是y x x 121 2 1 2 例10.、(2004?安徽压轴题)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线,若不计维修、保养费用,预计投产后每年可创利33万.该生产线投产后,从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y (万元),且y=ax 2+bx ,若第1年的维修、保养费用为2万元,第2年为4万元. (1)求y 的解析式; (2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资? 解:⑴由题意,x =1时,y =2;x =2时,y =2+4=6,分别代入y =ax 2+bx,得 a +b =2,4a +2b =6,解得,a =1,b =1, ∴y =x 2+x. ⑵设g =33x -100-x 2-x,则 g =-x 2+32x -100=-(x -16)2+156. 由于当1≤x ≤16时,g 随x 的增大而增大,故当x=3时g=-(x -16)2 +156=-13, 当x=4时g=-(x -16)2 +156=12,故当x =4时,即第4年可收回投资。 例11、(2003?安徽)已知函数y=x 2+bx ﹣1的图象经过点(3,2) (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y≥2的x 的取值范围. 解:(1)函数y=x 2+bx ﹣1的图象经过点(3,2),∴9+3b-1=2,解得b=-2; ∴函数解析式为y= x 2-2x ﹣1 (2)y= x 2-2x ﹣1=(x -1)2-2;图象如图所示, 图象的顶点坐标为(1,-2); (3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x ≥3时,y ≥2; ∴当x >0时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 注:要会根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围. 练习1、(2000?安徽)(12分)已知,二次函 数的图像如图。 (1) 求这个二次函数的解析式和它的图像的顶点坐标; (2) (2)观察图像,回答:何时y 随x 的增大而增大;何时y 随x 的增大而减小。 2.(2002?安徽)(12分)心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:y =-0.1x 2 +2.6x +43 (0≤x ≤30). y 值越大,表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强? 3.(2002?安徽)(7分)已知一次函数的图象与双曲线y =-x 2交于点(-1,m ),且过点(0,1),求该 一次函数的解析式. 题型7:构造二次函数、反比例函数与一次函数的模型题。 1.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ). (3)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程 02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程 组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方 程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A , 由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?- =+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-= --=-= -=4442 2 212 212 2121 例1,画出y=2x 2+3x -2与 y '= -2x +1的图象并解答下列问题: ①试写出方程2x 2 +3x -2=0的解: ②试写出不等式2x 2+3x -2>0的解: ③试写出不等式2x 2+3x -2<0的解: ④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解: ⑤试写出不等式2x 2+3x -2>-2x +1的解: ⑥试写出不等式 例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB =5 cm ,拱 高OC =0.9 cm ,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1).在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛 第22章 二次函数总复习 一、【复习目标】 1、掌握二次函数的概念、基本性质,二次函数解析式的求法; 2、熟练掌握二次函数的图象与性质,并会利用二次函数的图象与性质解决实际应用问题. 二、【复习导学】 (二)知识点梳理: 1、二次函数概念:一般地,形如 (a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数. 其中a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 注:与一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零;等号左边是函数,右边是关于 自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. 2、二次函数的基本形式 (1)形如:2y ax =的二次函数的图象和性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 (2)形如:k ax y +=的二次函数的图象和性质:上加下减. (3)形如:y a x h =-的二次函数的图象和性质:(h 前面是负号时:h>0向右平移,h<0时向左平移) (4)形如:y a x h k =-+的二次函数的图象和性质: 左加右减(变的是x 的变量),上加下减(变的是函数值) ,即如: 由y=ax 2 向左平移2个为单位再向下平移3个单位得到:y=a (x+2)2-3 ; 由y=ax 2向右平移2个为单位再向上平移3个单位得到:y=a (x-2)2+3 . 3、二次函数()2 y a x h k =-+与c bx ax y ++=2 的比较: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?,则对于c bx ax y ++=2 来说:2424b ac b h k a a -=-= ,, 即对称轴是:a b x 2-=对,顶点坐标是:)44,2(2a b ac a b --. 4、二次函数c bx ax y ++=2 图象的画法: 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 注:画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 5、二次函数c bx ax y ++=2 的性质: (1)当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时, y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. (2)当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <- 时, y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 6、二次函数解析式的表示方法 (1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);知道三点的坐标用一般式. (2)顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式. (3)交点式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标),当函数与x 轴有 两个交点时,用交点式. 注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线 与x 轴有交点,即2 40b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 7、抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用: (1)a 决定开口方向及开口大小:当a >0时,二次函数开口 ;当a 0时,二次函数开口向下. |a | 越大,开口越小,|a | 越小,开口越大. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置:∵抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2- = 2014—2015学年度第一学期 《二次函数与反比例函数》综合测试题 姓名: 得分 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.自由落体公式h=2 1 gt 2(g 为常数)中,h 与t 之间的关系是( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2.抛物线y=2(x+m)2+n (m,n 是常数)的顶点坐标是( ) A.(m ,n) B.(-m,n) C.(m,-n) D.(-m,-n) 3.将二次函数y=x 2-2x+1的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移3个单位,得到的图象函数关系式为( ) A.y=(x-1)2+3 B.(x-1)2-3 C.(x+1)2+3 D.(x+1)2-3 4.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为 y=-90 1 (x-30)2+10,则高尔夫球在飞行的过程中的最大高度为( ) A.10m B.20m C.30m D.60m 5.已知抛物线y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x=2,且经过点P(3,0),则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为( ) A.(-1,0) B.(0,0) C.(1,0) D.(3,0) 6.已知函数y=x 2-2x-2的图象 如图1所示 , 7.已知反比例函数y= x k 的图象在第二、四象限内,函数图象上有M(5,y 1)、 N (3,y 2)两点,则y 1与y 2的大小关系是( ) A.y 1。>y 2 B.y 1=y 2 C.y 1 二次函数与反比例函数相结合的题目 基础测评 1、小明一家自驾去永川“乐和乐都”主题公园游玩,汽车匀速行驶一段路程,进入服务区加油.休息了一段时间后,他们为了尽快赶到目的地,便提高了行车速度,很快到达了公园.下面能反映小明一家离公园的距离 y (千米)与时间 x (小时)之间的函数关系的大致图象是 A . B . C . D . 2. 已知一次函数y ax b =+(0)a ≠与反比例函数 x c y = (0)c ≠ 正确的是 A .0 abc < B .0a b -> C .20a b +< D .a b c +> 3、矩形OABC 在平面直角坐标系中如图所示,已知10,8,AB BC EB C ==是上一点,将ABE ?沿AE 折叠, 点B 刚好与OC 边上点D 重合,过点E 的反比例函数()0k y k x =>与AB 相交于点F ,则线段AF 的长为( ) A 、 158 B 、 154 C 、2 D 、 32 4、从-1,0,1,2,3这五个数中,随机取出一个数,记为a ,那么使关于x 的反比例函数x a y 3 -= 的图象在二,四象限,且使不等式组? ??>+≤+122x a a x 5、从3211 3---、、、、这五个数中,取一个数作为函数x k y 2-= 和关于x 的方程 012)1(2 =+++kx x k 中k 的值,恰好使所得函数的图象经过第二、四象限,且方程有实根,满足要求的k 的值共有__________个; 6、如图,已知函数4y x =- 与()2 0,0y ax bx a b =+>>的图象交于点P ,点P 的纵坐标为1,则关于x 的方程2 4 ax bx x +=-的解为x = 。 x x 2题图 基础知识反馈卡·22.1.1 时间:10分钟满分:25分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.若y=mx2+nx-p(其中m,n,p是常数)为二次函数,则() A.m,n,p均不为0 B.m≠0,且n≠0 C.m≠0 D.m≠0,或p≠0 2.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分,共8分) 3.若y=x m-1+2x是二次函数,则m=________. 4.二次函数y=(k+1)x2的图象如图J22-1-1,则k的取值范围为________. 图J22-1-1 三、解答题(共11分) 5.在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后,画出函数 y =2x 2 和y =-12 x 2的图象,并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1): 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标; (2)抛物线y =2x 2,当x ______时,抛物线上的点都在x 轴的上方,它的顶点是图象的最______点; (3)函数y =-12 x 2 ,对于一切x 的值,总有函数y ______0;当 x ______时,y 有最______值是______. 基础知识反馈卡·22.1.2 时间:10分钟 满分:25分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A .y =x 2+1 B .y =x 2-1 C .y =(x +1)2 D .y =(x -1)2 2.二次函数y =-x 2+2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分,共8分) 3.抛物线y =x 2 +14 的开口向________,对称轴是________. 4.将二次函数y =2x 2+6x +3化为y =a (x -h )2+k 的形式是________. 三、解答题(共11分) 5.已知二次函数y =-1 2 x 2+x +4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴; (2)当x 取何值时,y 随x 的增大而增大?当x 取何值时,y 随x 的增大而减小? 反比例函数 1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交 (K≠0)。 2、性质: 1.当k>0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随x 的增大而减小;当k<0 时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0 时,函数在x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数;k<0 时,函数在x<0 上为增函数、在x>0 上同为增函数。 定义域为x≠0;值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中,x 不能为0,y 也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y 轴相交。 4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2 则S1=S2=|K| 5.反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx 与反比例函数y=n/x 交于A、B 两点(m、n 同号),那么A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则 n^2+4k·m≥ (不小于)0。 8.反比例函数y=k/x 的渐近线:x 轴与y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线,交于q 、w ,则矩形mwqo (o 为原点)的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k| 越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点 二次函数与反比例函数(二) 一、选择题 (每题3分,共计30分) 1.反比例函数1 k y x -=的图象在每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可为( ) A .1- B .0 C .1 D .2 2.将二次函数2 y x =的图象向下平移2个单位,再向右平移1 应的函数表达式为( ) 。 A .2 (1)2y x = -+ B. 2 (1)2y x =++ C.2(1)2y x =-- D .2 (1)2 y x = +- (第4题) 3.已知二次函数5422 -+=x x y ,设自变量的值分别为1x 、2x 、3x , 且-1<1x <2x <3x ,则对应的函数值1y 、2y 、3y 的大小关系为( )。 A .321y y y >> B .321y y y << C .132y y y << D .132y y >4.二次函数y =ax 2+bx+c 的图像如图所示,则abc,b 2-4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中, 值为正数的有( )。 A .4个 B .0个 C .2个 D .1个 5.对)0(2 ≠=a ax y 的图象下列叙述正确的是 ( ) A a 的值越大,开口越大 B a 的值越小,开口越小 C a 的绝对值越小,开口越大 D a 的绝对值越小,开口越小 6.在同一直角坐标系中,函数b ax y +=2 与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 ( ) 72y = ) 8.直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限,那么bx ax y +=2 的图象大致为 ( ) x x x A C D 9.抛物线2 2 n mx x y --=)0(≠mn 则图象与x 轴交点为 ( ) A . 二个交点 B . 一个交点 C . 无交点 D . 不能确定 二次函数与反比例函数 一、选择题(本大题共10小题,共40分) 1.下列函数是二次函数的是() A.y=- B.y=x2+xz+1 C.x2+2y-1=0 D.xy=x2-y 2.函数y=-2x2+12x-12的顶点坐标是() A.(-3,6) B.(3,-6) C.(3,6) D.(6,3) 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是() A.-1<x<3 B.-1<x<4 C.x<-1或 x>4 D.x<-1或 x>3 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象,则关于x的方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是() A.m≥2 B.m≥5 C.m≥0 D.m>4 3题 4题 5题 9题 5.如图,反比例函数y1=的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于 点(2,1),则使y1>y2的x的取值范围是() A.0<x<2 B.x>2 C.x>2或-2<x<0 D.x<-2或0<x<2 6.反比例函数y=-的图象上有P1(x1,-2),P2(x2,-3)两点,则x1与x2的大小关系是 () A.x1>x2 B.x1=x2 C.x1<x2 D.不确定 7.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为() A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1 8.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为() A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5 C.y=x2-1 D.y=x2+4 9.如图,点A为反比例函数图象上一点,过A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则 △ABO的面积为() A.-4 B.4 C.-2 D.2 10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x>3 时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-;④4ac-b2>8a;其中正确的结论是() A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题(本大题共4小题,共20分) 11.已知关于x的函数y=(m-1)x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点,则m= ______ . 二次函数复习知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而 b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征: ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次多项式。(①含自变量的代数式是整式, ②自变量的最高次数是2,③二次项系数不为0.) ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. y=ax2的性质: 2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y =a (x -h)2 +k 的性质: 5. y =ax 2 +bx+c 的性质: 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a. (a 决定了抛物线开口的大小和方向) 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然a ≠0 ① 当0a >时,抛物线开口向上,当0a <时,抛物线开口向下; ②a 的绝对值越大,开口越小,反之a 的绝对值越小,开口越大。 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b (a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置) .抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;② (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③ (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. O A B C D x y P (kPa ) V (m 3) O 60 1.6 九年级二次函数与反比例函数数学测试题 姓名 得分 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1.二次函数y =x 2+2x -5有( ) A .最大值-5 B .最小值-5 C .最大值-6 D .最小值-6 2.下列二次函数中,图象以直线x =2为对称轴、且经过点(0,1)的是( ) A .y =(x -2)2+1 B .y =(x +2)2+1 C .y =(x -2)2-3 D .y =(x +2)2-3 3.在下列图象对应的函数中,当x >0时,y 随x 的增大而增大的是( ) 4.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表,则下列判断中正确的是 x … -1 0 1 3 … y … -3 1 3 1 … A C .当x =4时,y >0 D .方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间 5.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于120kPa 时,气球将爆 炸.为了安全起见,气球的体积应( ) A .不小于 5 4m 3 B .小于 5 4m 3 C .不小于 4 5m 3 D .小于 4 5 m 3 6.将抛物线y =-2x 2+1向左平移2个单位,再向下平移2个单位得抛物线( ) A .y =-2x 2-8x -9 B .y =-2x 2+8x -9 C .y =-2x 2-8x -5 D .y =-2x 2+8x -5 7.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则反比例函数y = a x 与一次函数y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是( ) 8.如图,正方形ABOC 的边长为2,反比例函数k y x = 过点A ,则k 的值是( ) A .2 B .2- C .4 D .4- 9.若二次函数y =(x -m )2-1,当x ≤1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是( ) A .m =1 B .m >1 C .m ≥1 D .m ≤1 10.如图,在□ABCD 中,AC =4,BD =6,P 是BD 上的任一点,过P 作EF ∥AC ,与平行四 边形的两条边分别交于点E 、F .设BP =x ,EF =y ,则能反映y 与x 之间关系的图象为( ) 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,满分20分) 11.把二次函数y =- 1 4 x 2 -x +3用配方法化成y =a (x -h )2+k 的形式是____________ 12.一个y 关于x 的函数同时满足两个条件:①图象经过点(2,1);②当x >0时,y 随 x 的增大而减小.这个函数解析式可以是 (写出一个即可). 13.如图,矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行,顶点A 的坐标为(1,2),点B 、 D 在反比例函数y = 6 x (x >0)的图象上,则点C 的坐标为 . 14.已知y 与x+1成反比例,当x=2时,y=﹣1,求函数解析式___________ 15.若M ( ,y 1)、N ( ,y 2)、P (,y 3)三点都在函数 (k >0)的图象上, 则y 1、y 2、y 3的大小关系是__________________ 三、解答题(本大题共9小题,满分90分) 16.(8分)已知二次函数y=x 2-5x-6. (1)求此函数图象的顶点A 和其与x 轴的交点B 和C 的坐标; (2)求△ABC 的面积. 17.(8分)求证:m 取任何实数时,抛物线y=2x 2-(m+5)x+(m+1)的图象与x 轴必有两个交点. O y x 1 1 O y x 1 1 C . O y x 1 1 O y x 1 1 O y x 4 3 6 A . O y x 4 3 6 B . O y x 4 2 6 C . O y x 4 3 6 D . P A D E O O O O O x x x x y y y y y x y C O A B 第8题 二次函数知识点详解(最新原创助记口诀) 知识点一、平面直角坐标系 1,平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ,y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上?x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 一、选择题 1. 抛物线2 21y x x =-+的顶点坐标是 A .(1,0) B .(-1,0) C .(-2,1) D .(2,-1) 2. 将抛物线2 y x =-向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是 A .2(2)y x =-+ B 22y x =-+ C .2(2)y x =-- D .2 2y x =-- 3. 由二次函数1)3(22+-=x y ,可知( ) A .其图象的开口向下 B .其图象的对称轴为直线3-=x C .其最小值为1 D .当3 O x y 1 -1 B A 一次函数、反比例函数、二次函数的综合题 【课前热身】 1.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为________. 2.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的 长度不限)的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则 菜园的面积y (单位:米2)与x (单位:米)的函数关 系式为 .(不要求写出自变量x 的取值范围) 3.当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是( ) A .正比例函数 B .反比例函数 C .一次函数 D .二次函数 4.函数2y kx =-与k y x = (k ≠0)在同一坐标系内的图象可能是( ) 【考点链接】 1.点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标,即令 ,解方程 ; 与y 轴的交点纵坐标,即令 ,求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像的交点,解方程组 . 【典例精析】 例1 如右图,抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ,与y 轴交于点B. (1)求抛物线的解析式; (2)P 是y 轴正半轴上一点,且△PAB 是等腰三角形,试求点P 的坐标. 例2随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计 划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系,如图(1)所示;种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系,如图(2)所示(注:利润与投资量的单位:万元) ⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式; ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润他能获取 的最大利润是多少 A B C D (第3题) 菜园 墙 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 22.1.2 二次函数2 y ax =的图象和性质 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小. 例1.若抛物线y=ax 2经过P (1, ﹣2),则它也经过 ( ) A .(2,1) B .(﹣1,2) C .(1,2) D .(﹣1,﹣2) 【答案】 【解析】 试题解析:∵抛物线y=ax 2经过点P (1,-2), ∴x=-1时的函数值也是-2, 即它也经过点(-1,-2). 故选D . 考点:二次函数图象上点的坐标特征. 例2.若点(2,-1)在抛物线2 y ax =上,那么,当x=2时,y=_________ 【解析】 试题分析:先把(2,-1)直接代入2 y ax =即可得到解析式,再把x=2代入即可. 由题意得14-=a ,41-=a ,则2 4 1x y -=, 当2=x 时,.144 1-=?-=y 考点:本题考查的是二次函数 点评:解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减. 例1.若抛物线 y=ax 2+c 经过点P (l ,-2),则它也经过 ( ) A .P 1(-1,-2 ) B .P 2(-l , 2 ) C .P 3( l , 2) D .P 4(2, 1) 【答案】A 【解析】 试题分析:因为抛物线y=ax 2+c 经过点P (l ,-2),且对称轴是y 轴,所以点P (l ,-2)的对称点是(-1,-2),所以P 1(-1,-2)在抛物线上,故选:A. 考点:抛物线的性质. 例2.已知函数y=ax+b 经过(1,3),(0,﹣2),则a ﹣b=( ) A .﹣1 B .﹣3 C .3 D .7 【答案】D . 【解析】 试题分析:∵函数y=ax+b 经过(1,3),(0,﹣2), ∴a b 3b 2+=??=-?,解得a 5b 2=??=-? . ∴a ﹣b=5+2=7. 二次函数与反比例函数典型习题 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则反比例函数与一次 函数y=bx-c在同一坐标系内的图象大致是() 2. 点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=- x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是() A. y3>y2>y1, B。y3>y1>y2 C。y1>y2>y3 D。y1=y2>y3 3. 已知点(m-1,y1),(m-3,y2)是反比例函数(m<0)图象上的 两点,则y1 y2(填“>”、“=”、“<”) 4. 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于 A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则下列结论: ①abc<0,②,③ac-b+1=0,④OA·OB=.其中正确的 结论是(只填序号) 5. 如图,双曲线(x>0)经过矩,形OABC的边AB的中点F,交BC于点 E,且四边形OEBF的面积为2,则k= 。 6. 将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,再将x=y1+1代入该 函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入该函数中,所得函数值记为y3,...。如此继续下去,则y2014= 。 7. 在均速运动中,路程S(km)一定时,速度v(km/h)关于时间 t(h)的函数关系的大致图象是()。 8. 已知开口向下的抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点 (-1,3),则m的值为() A.2 B。-1 C。2或-1 D。1或-2 9. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是x=-1,且过 点(-3,0),现有下列说法:①abc<0,②2a-b=0,③4a+2b+c<0,④若(-5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2,其中正确的是() A. ①② B。②③ C。①②④ D。②③④ 10. 若抛物线y=x2-2(k+1)x+16的顶点在x轴上,则k= 。 11. 若抛物线y=2x2-4x+4与直线y=6x+m只有一个公共点,则m= 。 12. 如图,已知抛物线C1、C2关于x轴对称,抛物线C1、C3关于y轴对 称,如果C2的表达式是y=,那么C3的表达式是。 13. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是x=1,且经过 P(3,0),则a-b+c的值是() A.0 B。-1 C。1 D。2 14.已知(k<0)的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1< x2,则y1-y2的值是() A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定 15.已知(x1,y1)(x2,Y2),(x3,y3)是反比例函数的图象上三点,且x1<0<x2<x3,则y1,、y2、y3的大小关系为() A.y1<0<y2<y3 B.y1>0>y2>y3 C.y1<0<y3<y2 D.y1>0>y3>y2 16.已知两点A(-5,y1)、B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是抛物线的顶点,若y1>y2≥y0,x0的取值范围是() A.x0>-5 B.x0>-1 C.-5<x0<-1 D.-2<x0<3 17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0 , ②b>a>c ③若-1<m<n<1 则m+n<;④3其中正确的结论是 1 二次函数 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是() A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点) ,(a c b M 在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a , 则一定有() A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是 532+-=x x y ,则有() A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为() B x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是() D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线() A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是() A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示,若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =,b a P- =4,则() A. 0 > M,0 > N,0 > P B. 0 < M,0 > N,0 > P C. 0 > M,0 < N,0 > P D. 0 < M,0 > N,0 < P 二、填空题: 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式,则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点,那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -,则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质:_______________. 14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点: 甲:对称轴是直线4 = x; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 15.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函 2 《二次函数》复习与小结练习 考点一:二次函数的定义 形如:)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数,x 是自变量,a,b,c 分别是二 次项系数,一次项系数,常数项。 常见考点:(1)x 的最高次数为2,(2)二次项系数不为0 练习1:下列函数中是二次函数的是( ) A 、y=3x-1 B 、323--=x x y C 、22)1(x x y -+= D 、132-=x y 练习2、如果函数1232++=+-kx x y k k 是二次函数,那么k= 练习3、若函数1||)1(+-=m x m y 是二次函数,则m 的值是 练习4、若关于x 的函数12)1(122-++=--x x a y a a 是二次函数,求a 的值 练习5、函数mx x m m y ++-=22)23(,当m= 时,它为一次函数,当m 时,它是二次函数。 考点二:二次函数的图象和性质 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的性质,我们关注:(1)它的开口方向(2)对称轴(3)顶点坐标(4)最值(5)坐标轴的交点。下面我们分两种情况讨论: (1)a>0时,二次函数开口向上,有当a b x 2-<时,y 随x 的增大而减小,当a b x 2->时,y 随x 的增大而增大,当a b x 2-=时,函数有最小值,a b a c y 442min -= (2)a<0时,二次函数开口向下,有当a b x 2-<时,y 随x 的增大而增大,当a b x 2->时,y 随x 的增大而减小,当a b x 2-=时,函数有最大值,a b a c y 442max -= 对称轴:a b x 2-=,顶点坐标(a b 2-,a b ac 442-) 与x 轴的交点(a ac b b 242-+-,0),(a ac b b 242---,0) 与y 轴的交点(0,c ) 练习1:抛物线23x y =开口 ,对称轴 ,顶点坐标是 练习2:抛物线32 12+-=x y 开口 ,对称轴 ,顶点坐标是 练习3:抛物线2)1(2-=x y 开口 ,对称轴 ,顶点坐标是 练习4:抛物线2)1(2++-=x y 开口 ,对称轴 ,顶点坐标是 ,当 时,y 随x 的增大而增大,当 时,y 随x 的增大而减小,当 时,函数有最 值,最 值为 练习5:抛物线3222++=x x y 开口 ,对称轴 ,顶点坐标是 ,当 时,y 随x 的增大而增大,当 时,y 随x 的增大而减小,当 时,函数有最 值,最 值为 练习6:若点(1,5),(4,5)在抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图象上,则它的对称轴是 二次函数与其他函数的综合测试题一、选择题:(每小题 3 分,共 45 分) 1.已知h 关于t 的函数关系式为h = 1 gt 2,(g 为正常数,t 为时间),则函数图象为( ) 2 (A)(B)(C)(D) 2.在地表以下不太深的地方,温度y(℃)与所处的深度x(k m)之间的关系可以近似用关系式y=35x+20 表示,这个关系式符合的数学模型是() (A)正比例函数(B)反比例函数. (C)二次函数(D)一次函数 3.若正比例函数y=(1-2m)x的图像经过点A(x1 ,y1 )和点B(x2,y2 ),当x1 <x2时y1 >y2 , 则m 的取值范围是() 1 1 (A)m<0 (B)m>0 (C)m<(D)m> 2 2 4.函数y = k x + 1 与函数y = k 在同一坐标系中的大致图象是() x (A)(B)(C)(D) 5.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数y =ax 2+ (a +c)x +c 与一次函数y=a x+c 的大致图像, 有且只有一个是正确的,正确的是() (A)(B)(C)(D) 6.抛物线y = 2(x -1)2+1的顶点坐标是() A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1) 7.函数y=a x+b 与y=a x2+bx+c 的图象如右图所示,则下列选项中正确的是 () A. a b>0, c>0 B. a b<0,c>0 C. a b>0, c<0 D. a b<0,c<0 8.已知 a,b,c 均为正数,且 k= a b +c = b a +c = c a +b ,在下列四个点中,正比例函数y =kx y O x y O x y O x y O x 二次函数与反比例函数测试题 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.自由落体公式h=21gt 2(g 为常数)中,h 与t 之间的关系是( ) A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2.抛物线y=2(x+m)2+n (m,n 是常数)的顶点坐标是( ) A.(m ,n) B.(-m,n) C.(m,-n) D.(-m,-n) 3.将二次函数y=2x 2-2x+1的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移3个单位,得到的图象函数关系式为( ) A.y=(x-1)2+3 B.(x-1)2-3 C.(x+1)2+3 D.(x+1)2-3 4.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关 系式为y=-90 1(x-30)2+10,则高尔夫球在飞行的过程中的最大高度为( ) A.10m B.20m C.30m D.60m 5.已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x=2,且经过点P(3,0),则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为( ) A.(-1,0) B.(0,0) C.(1,0) D.(3,0) 6.已知函数y=x 2-2x-2的图象 如图1所示 , 7.已知反比例函数y=x k 的图象在第二、四象限内,函数图象上有M(5,y 1)、 根据图中提供的信息,可求得使y ≤1成立d 的x 的取值范围是( ) A.-3≤x ≤1 B.-1≤x ≤3 C.x ≥-3 D.x ≤-1或x ≥3 N (3,y 2)两点,则y 1与y 2的大小关系是( ) A.y 1 y 2 B.y 1=y 2 C.y 1第22章二次函数总复习
二次函数与反比例函数综合测试题
2017二次函数与反比例函数结合题
新人教版九年级上第22章《二次函数》基础练习含答案(5套)
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
二次函数与反比例函数2
二次函数与反比例函数(供参考)
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数与反比例函数测试题
最新一次函数、反比例函数、二次函数知识点归纳总结
人教版数学九年级上册第22章二次函数复习测试试题
一次函数、反比例函数、二次函数的综合题
人教版初中数学第二十二章二次函数知识点汇总
二次函数与反比例函数典型 习题
二次函数、反比例函数试题及答案
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》复习小结练习
(完整版)九年级数学二次函数和反比例函数测试题(可编辑修改word版)
二次函数与反比例函数测试题