高三文科数学上学期期末试卷
柏梓中学高三上期期末数学文科试题(四)
高三上期数学期末巩固训练（四）命题人 蒋红伟 一、选择题（5×10=50分）1. 已知集合(){}03|<-=x x x P ，{}|22M x x =-<<，则P M = （ ） A ．()0,2- B ．()2,0 C ．()3,2 D ．()3,2-2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如右图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是 ( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,533.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a +=（ ） A ． 9B ．12C ．15D .184. “2<x ”是“062<--x x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D .既不充分也不必要条件 5. 已知 160sin ,3log ,222===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．c b a << B .b c a << C .b a c << D .a b c <<6. 已知βα,()π,0∈，51)sin(=+βα，75sin =β，则αcos 等于（ ）A ．3529-B ．3519-C .3529D ．3529或3519- 7．如图，如果MC ⊥菱形ABCD所在的平面， 那么MA 与BD 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直相交C ．异面垂直D ．相交但不垂直8．为得到函数3cos(2)2y x π=-的图像，只需将函数3sin(22)y x =-的图像（ ）A ．向左平移2个长度单位B ．向右平移2个长度单位C ．向左平移1个长度单位D ．向右平移1个长度单位9．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －10＝0的最小距离为（ ）A ．559B ．0C ．59D ．5510．设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 （ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2 二、填空题（5×5=25分）11．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ． 12．在ABC ∆中，若4,21cos -=⋅-=A 且,则ABC ∆的面积等于_____13．若()f x 是R 上的奇函数，则函数2)1(-+=x f y 的图象必过定点14．设实数y x ,满足,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--y y x y x 则x y 的最大值是15．抽取某地区若干户居民的月均用电量的数据，得到频率分布直方图如右图所示，若月均用电量在区间[110,120)上共有150户，则该地区的居民共有 户.三、解答题（75分）16．已知等比数列{}n a 中，128,252==a a ． （1）求通项n a ；（2）若n n a b 2log =，数列{}n b 的n 项和为n S ，且360=n S ，求n 的值17．已知函数()sin(),(0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<其中的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2).3π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[,],()122x f x ππ∈时求的值域CABDM18．已知：圆22:240C x y y +--=，直线m y mx l =+-1:. （1）求证：对于任意的R m ∈，直线l 与圆C 恒有两个不同的交点； （2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，17||=AB ，求直线l 的方程19．设直线42-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点（点A 在第一象限）（1）求B A ,两点的坐标；（2）若抛物线x y 42=的焦点为F ，求AFB ∠cos 的值20． 已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21． 如图，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠= 105ADC ∠= ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC ，设点F 为棱AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值．BAFCDABACAD高三上期数学期末巩固训练（四）参考答案BABAC DCADD 11．8 12．32 13．)2,1(-- 14．2315.500 16．解：322-=n n a ，20=n 17．解：（1）由最低点为2(,2)23M A π-=得由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π，得2,,222T T Tπππω====即 由点2(,2)3M π-在图象上得242sin(2)2,33ππϕϕ⨯+=-即sin(+)=-1 4232k ππϕπ∴+=-，得12()6k k Z πϕπ1=-∈，又(0,),2πϕ∈∴66ππϕ=,于是f(x)=2sin(2x+)（2）7[,],2[,],122636x x πππππ∈∴+ 当2,()626x f x πππ+=,即x=时取得最大值2，当72,,()662x x f x πππ+==即时取得最小值-1， 故)(x f 的值域为[-1，2]18．解、；（1）直线l 恒过定点(1,1)，且点(1,1)在圆内，所以直线与圆恒有两个交点. 6分（2）233m ππαα===或；-----12分 19．解：（1）由⎩⎨⎧-==4242x y x y 消y 得 0452=+-x x …（3分）解出11=x ，42=x ，于是，21-=y ，42=y因为点A 在第一象限，所以B A ,两点的坐标分别为)4,4(A ，)2,1(-B ………（6分） （2）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，由（Ⅰ）知，)4,4(A ，)2,1(-B ，于是，5425)2,0()4,3(||||cos -=⨯-⋅=⋅⋅=∠FB FA AFB ……（12分）20.解：（1） ()'11ln ()1x f x x xf x x x-=-=-=∴当01x <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减；当1x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增. ∴当()f x 的极小值为()11f =，()f x 无极大值（2）法一：∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，∴ln 3ax x -≥在(]0,x e ∈上恒成立，即3ln x a x x ≥+在(]0,x e ∈上恒成立， 令3ln ()xg x x x=+，(]0,x e ∈， ∴'22231ln 2ln ()x xg x x x x -+=-+=-令'()0g x =，则21x e=，当210x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增，当21x e e<<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减， ∴222max 21()()32g x g e e e e==-=，∴2a e ≥.21．（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABD ∠= 即AB BD ⊥在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．又90DCB ∠= ，∴DC ⊥BC ,且AB BC B = ∴DC ⊥平面ABC ．（2）解：作BE ⊥AC ，垂足为E 。
高三期末文科数学试题及答案
高三期末文科数学试题及答案数学试卷（文史类） 202X.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为挑选题（共40分）和非挑选题（共110分）两部分第一部分（挑选题共40分）一、挑选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A{1,0,1},B{x1x1}，则AIB=A．{0,1}B．{1,0} C．{0} D．{1,0,1}2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A．f(x) 3. 实行如图所示的程序框图，则输出的i值为A．3 B．4 C．5 D．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果以下面的频率散布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 B．f(x) 1 C．f(x)ex D．f(x)sinx x1A．30辆B．300辆C．170辆 D．1700辆频率 km/h）第 4题图5. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且m，n,则下列说法正确的是A．若//，则m//n B．若m，则C．若m//，则// D．若，则m n6.设斜率为2的直线l过抛物线y ax(a0)的焦点F,且与y轴交于点A,若OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.y24x B. y24x C. y28x D.y28x7. 已知A,B为圆C:(x m)(y n)9(m,n R)上两个不同的点（C为圆心），且满足|CA CB|，则AB 222A. 23 B. C. 2 D. 48. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意x D，当x m D时，都有f(x m)f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x a a（a R），若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范畴是A. a0 B.a20 C. a10 D. a5第二部分（非挑选题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.运算:i(1i) (i为虚数单位).y210. 双曲线x1的渐近线方程为3111. 在ABC中，若BC1，AC2，cosC，则AB sinA. 422xy0112．已知正数x，y满足束缚条件，则z()2x y的最小值为. 2x3y5013.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.俯视图侧视图第13题图14. 在ABC中，AB AC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则ABC 面积的值为（用l表示）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明进程.15. （本小题满分13分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1b13，a2b214，a3a4a5b3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn an bn,n N*，求数列{cn}的前n项和．16. （本小题满分13分）已知函数f(x)cos2xxcosx a的图象过点(,1).（Ⅰ）求实数a的值及函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在[0,]上的最小值. 617. （本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N产生的概率．18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA AD，且平面PAD平面ABCD，试证明AF平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点 AM,使得EM平面PCD?（直接给出结论，不需要说明理由）19. （本小题满分13分）k2x，k R. x（Ⅰ）当k1时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当k e时，试判定函数f(x)是否存在零点,并说明理由；（Ⅲ）求函数f(x)的单调区间. 已知函数f(x)(2k1)lnx20. （本小题满分14分）已知圆O:x y1的切线l与椭圆C:x3y4相交于A，B两点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证:OA OB；（Ⅲ）求OAB面积的值.2222北京市朝阳区2015-202X学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（文史类） 202X.1一、挑选题：（满分40分）4二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，且q0.依题意有，a1d b1q14, 23(a3d)bq.11由a1b13,又q0，解得q3, d 2.所以an a1(n1)d32(n1)2n1,即an2n1,n N.bn b1qn133n13n,n N. ………………………………………7分（Ⅱ）由于cn an bn2n13n,所以前n项和Sn(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(31323n)n(32n1)3(13n) 2133 n(n2)(3n1). 2所以前n项和Sn n(n2)16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由f(x)cos2xxcosx a3n(31),n N*．………………………………13分 21cos2x a25sin(2x)61 a. 2611所以f()sin(2)a 1.解得a.66622函数f(x)的最小正周期为. …………………………………………………………7分由于函数f(x)的图象过点(,1)，（Ⅱ）由于0x，所以2x. 2则sin(2x).1所以当2x，即x时，函数f(x)在[0,]上的最小值为. ……………13分2217.（本小题满分13分）解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z．从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}， {C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个．……………4分（Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个，所以，事件M产生的概率 P(M)（Ⅱ）事件N包含的基本事件有{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个，所以，事件N产生的概率P(N)31．……………………………………8分15562．……………………………………13分 15518. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由于底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又由于AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD．又由于A,B,E,F四点共面，且平面ABEF平面PCD EF，所以AB∥EF．……………………5分（Ⅱ）在正方形ABCD中，CD AD．6第6 / 10页又由于平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD AD，所以CD平面PAD．又AF平面PAD 所以CD AF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又由于AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△PAD中，由于PA AD，所以AF PD．又由于PD CD D，所以AF平面PCD．.......................................11分（Ⅲ）不存在． (14)分19. （本小题满分13分）解：函数f(x)的定义域：x(0,).2k1k2x2(2k1)x k(x k)(2x1)f(x)22 . 22xxxx12x. x(x1)(2x1)f(x). 2x（Ⅰ）当k1时，f(x)lnx有f(1)ln1123，即切点（1,3），k f(1)(11)(21) 2. 21所以曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线方程是y32(x1)，即y2x 1.………………………………………………………………………4分（Ⅱ）若k e，f(x)(2e1)lnx f(x)e2x.x(x e)(2x1).x2令f(x)0，得x1e（舍），x2 1. 7第7 / 10页11e1则f(x)min f()(2e1)ln22(1ln2)e ln210.22122所以函数f(x)不存在零点. ………………………………………………………8分(x k)(2x1).x2当k0，即k0时，（Ⅲ） f(x)当0k11，即k0时，当k，即k时， 22 当k11，即k时，228第8 / 10页综上，当k0时，f(x)的单调增区间是(,);减区间是(0,).1212111k0时，f(x)的单调增区间是(0,k),(,);减区间是(k,). 2221当k时，f(x)的单调增区间是(0,);211当k时，f(x)的单调增区间是(0,)，(k,);221减区间是(,k). ……………………………13分2当20. （本小题满分14分）2解：（Ⅰ）由题意可知a4，b248222，所以c a b． 33所以e c．所以椭圆C的离心率为…………………………3分a33（Ⅱ）若切线l的斜率不存在，则l:x1．x23y21中令x1得y1．在44不妨设A(1,1),B(1,1)，则OA OB110．所以OA OB．同理，当l:x1时，也有OA OB．若切线l的斜率存在，设l:y kx m1，即k21m2．由y kx m222，得(3k1)x6kmx3m40．明显0． 22x3y46km3m24设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1x22，x1x2．3k13k21所以y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)m.2222所以OA OB x1x2y1y2(k1)x1x2km(x1x2)m9第9 / 10页3m246km(k1)2km2m23k13k12(k21)(3m24)6k2m2(3k21)m223k14m24k244(k21)4k240． 223k13k1所以OA OB．综上所述，总有OA OB成立．………………………………………………9分（Ⅲ）由于直线AB与圆O相切，则圆O半径即为OAB的高. 当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知AB2．则S OAB 1. 当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB23k14(1k2)(9k21)4(9k410k21)4k2所以AB4(14)(3k21)29k46k219k6k212k21641644416419k6k213329k26k（当且仅当k时，等号成立）．所以ABmax, (S OAB)max.时，OAB面积的值为．…………14分 33综上所述，当且仅当k。
2021年高三上学期期末考试数学(文)试题(普通班) 含答案
2021年高三上学期期末考试数学（文）试题（普通班）含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}=--==∈，则（）A B y y x x A2,1,0,2,3,|,A． B． C． D．2. 设命题 ,则为（）A． B．C． D．3. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A． B．或 C．或 D．4. 双曲线的顶点到渐近线的距离为（）A． B． C. D．5. 已知，则（）A． B． C. D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）A．①② B.②③ C. ①④ D.③④7.设函数，则下列结论正确的是（）A.的图像关于直线对称B.的图像关于点对称C.的最小正周期为，且在上为增函数D.把的图像向右平移个单位，得到一个奇函数的图像8．函数的图象大致是（）9. 执行右面的程序框图,如果输入的n =1,则输出的值满足（）结束A. B. C. D.110. 已知满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.11．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆2+y2=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A． B． C． D．e+﹣112．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A． 3 B. 4 C． 5 D． 6第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量，，若，则 .14.已知实数满足条件，则的最小值为 .15. 抛物线 与椭圆 有相同的焦点， 抛物线与 椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于 ．16. 已知数列的前项和，则数列 的前项和等于 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，且．记∠ ，∠． （1）求证： ； （2）若，求的长。
2021年高三上学期期末数学试卷(文科) 含解析
2021年高三上学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i2．若集合，B={x||x|＜3}，则集合 A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}3．命题p：若λ=0，则=0；命题q：∃x0＞0，使得x﹣1﹣lnx=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣25．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6．已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．47．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④8．已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．710．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A． B． C．3 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数y=的定义域是．12．已知=（2，m），=（1，1），•=|+|则实数m的值为．13．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．观察下列等式，按此规律，第n个等式的右边等于．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为，求sinB的值．17．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．18．已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列{b n}前n项和T n．19．空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF 为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．20．已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f （x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．xx学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2i，得=，则z的虚部是：1．故选：A．2．若集合，B={x||x|＜3}，则集合A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜2}C．{x|﹣5≤x＜3}D．{x|﹣3＜x≤2}【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．3．命题p：若λ=0，则=0；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：若λ=0，则=，故命题p为假命题；当x0=1时，x0﹣1﹣lnx0=0，故命题q为真命题，故p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题；（￢p）∧q为真命题，故选：D4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B． C．﹣1 D．﹣2【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=11时，满足条件，计算即可得解．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈 2 是第二圈﹣1 3 是第三圈 2 4 是…第9圈 2 10 是第10圈11 是故最后输出的a值为．故选：B．5．函数的一条对称轴为（）A． B． C． D．【考点】弧长公式；二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x﹣）+，由2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程，k取值为﹣1即可得出．【解答】解：∵==cos（2x﹣）+，∴令2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程为：x=+，k∈Z，∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣．故选：D．6．已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在z=3x﹣y，解得z=3，故选：C．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α；②，若α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥β，则n⊥m；③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α、β不一定垂直；④，若n⊥β，m∥n⇒m⊥β，又∵m∥α，则α⊥β．【解答】解：对于①，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，故错；对于②，若α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥β，则n⊥m，故正确；对于③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α、β不一定垂直，故错；对于④，若n⊥β，m∥n⇒m⊥β，又∵m∥α，则α⊥β，故正确．故选：C8．已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．9．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），∴原函数的周期T=2．又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，∴x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）．设y1=f（x），y2=lgx，x=10，y2=1函数g（x）=f（x）﹣lgx在（0，10）上的零点的个数如图：即为函数y1=f（x），y2=lgx的图象交点的个数为9个．函数g（x）=f（x）﹣lgx有9个零点故选：B．10．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A． B． C．3 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D 点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则=．故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数y=的定义域是（﹣1，2）．【考点】对数函数的定义域．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，分母不等于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义，须解得﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）12．已知=（2，m），=（1，1），•=|+|则实数m的值为3．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模得到关于m的方程，解得即可．【解答】解：∵=（2，m），=（1，1），•=|+|，∴•=2+m，|+|=，∴2+m=，解得m=3，故答案为：3．13．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，底面面积为：S=2×2=4，底面周长为：C=2×（2+）=4+4，高h=4，故几何体的表面积为：2S+Ch=；故答案为：．15．观察下列等式，按此规律，第n个等式的右边等于3n2﹣2n．【考点】归纳推理．【分析】由图知，第n个等式左边是n个奇数的和，第一个奇数是2n﹣1，由等差数列的求和公式计算出第n个等式的和，即可得结果．【解答】解：由图知，第n个等式的等式左边第一个奇数是2n﹣1，故n个连续奇数的和故有n×=n×（3n﹣2）=3n2﹣2n．故答案为3n2﹣2n．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为，求sinB的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合sinB≠0，可得：，进而可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求b，由余弦定理得c，进而利用正弦定理可求sinB的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，，可整理变形为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A=π﹣（B+C），可得：sinA=sin（B+C）所以：，整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为sinB≠0，所以，可得：，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由已知a=5，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，故，…可得：．…17．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布图中小矩形面积之和为1的性质，先求出a=0.030，从而求出身高在[110，130）之间的频率，由此能求出身高在[110，130）之间的人数．（Ⅱ）该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人，这三个组分别为A组，B组，C组．从A组抽取人数1人，B组抽取4人，C组抽取2人，利用列举法能求出任意抽取2人，这2人取自不同身高组的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由（0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.030．所以身高在[110，130）之间的频率为：（0.035+0.030）×10=0.65，所以身高在[110，130）之间的人数为：0.65×100=65人．（Ⅱ）估计该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，所以这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人．记这三个组分别为A组，B组，C组．则A组抽取人数为；B组抽取人数为；C组抽取人数为，设“任意抽取2人，这2人取自不同身高组”为事件M，则所有的基本事件空间为：共21个元素，事件M包含的基本事件有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A1，C1），（A1，C2），（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（B4，C1），（B4，C2），共14个，所以这2人取自不同组的概率．18．已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列{b n}前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由数列的递推公式，可得所以数列{a n}为等比数列，且公比，首项a1=1，（Ⅱ）根据错位相减法，即可求出数列的数列{b n}前n项和T n．【解答】解：（I），因为数列{a n}各项均为正数，所以a n+1≠0，所以a n=2a n+1，所以数列{a n}为等比数列，且公比，首项a1=1所以；（Ⅱ），，①②①﹣②得，所以．19．空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF 为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，推导出AHGB为平行四边形，从而AH∥BG，由此能证明BG∥面ADEF．（Ⅱ）推导出BD⊥BC，ED⊥AD，ED⊥BC，由此能证明BC⊥面BDE．（Ⅲ）三棱锥E﹣BDG的体积V E﹣BDG =V E﹣BDC﹣V_G﹣BDC，由此能求出结果．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，因为G、H分别为EC、ED的中点，所以HG∥CD且；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为AB∥CD且所以AB∥HG，且AB=HG，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以AHGB为平行四边形，所以AH∥BG；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为BG⊄面PBC，AH⊂面PBC，所以BG∥面ADEF；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，由题意得，在Rt△ABD中，由题意得所以△BDC中，由勾股定理可得BD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由ADEF为正方形，可得ED⊥AD由面ABCD⊥面ADEF，得ED⊥面ABCDBC⊂面ABCD，所以ED⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以BC⊥面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）因为DE⊥平面BDC，DE=2，G到到平面BDC的距离d==1，S△BDC===4，所以三棱锥E﹣BDG的体积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率及△PF1F2的周长求出a、b即可；（Ⅱ）由已知求出MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m，k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，k的值，从而得到直线l的方程．【解答】解：（I）设椭圆的方程为，由题可知，﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）令，解得，所以|MN|=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线l与圆x2+y2=1相切可得，即k2+1=m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣将k2+1=m2代入可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当且仅当，即时，等号成立，此时．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，当时，四边形MANB的面积具有最大值，直线l方程是或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a（1）当△=1﹣8a≤0，即时，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当△＞0，即时，由2x2﹣x+a=0解得或i）当时，0＜x1＜x2，所以当或时f′（x）＞0当时f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）当a≤0时，所以当时f′（x）＞0，当时f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述：当时，函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．当时，函数f（x）的单增区间为和，单减区间为．当a≤0时，函数f（x）的单增区间为，单减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上单调递增，∴F（x）≤F（x）max﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即alna﹣a+1＞m对任意的a∈（1，+∞）恒成立，令h（a）=alna﹣a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）min＞m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上单调递增，∴h（a）＞h（1）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以m≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣精品文档xx年2月10日z30816 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第一学期期末统一考试高三数学文科试卷
第一学期期末统一考试高三数学文科试卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
（1）设集合}12|{<<-=x x A }0|{<-=a x x B ，若B A ⊂，则a 的取值范围是（ ）（A ）]2,(--∞ （B ）),1[+∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),2[+∞-（2）已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么（ ）（A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行（C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行 （D ）a 与b 不可能垂直，也不可能平行（3）函数k x A x f ++=)sin()(ϕω在一个周期内的图象如图所示，函数)(x f 解析式为（ ）（A ）1)1221sin(4)(-+=πx x f （B ）1)122sin(2)(+-=πx x f（C ）1)621sin(4)(-+=πx x f （D ）1)62sin(2)(+-=πx x f（4）若椭圆)0(122>>=+b a b y a x ，双曲线)0,0(122>>=-n m ny m x 有相同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的交点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）（A ）m a - （B ）n b - （C ）a-m （D ）b-n（5）如图，O 为直二面角βα--MN 的棱MN 上的一点，射线OE ，OF 分别在βα，内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF 的大小为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°（6）在等差数列}{n a 中， 2≥n ，公差d<0，前n 项和是n S ，则有（ ）（A ）1na S na n n << （B ）n n na S na <<1（C ）1na S n ≥ （D ）n n na S ≤（7）8种不同的商品，选出5种放入5个不同的柜台中，如果甲、乙两种商品不能放入第5号柜台中，那么不同的放法共有（ ）（A ）3360种 （B ）5040种 （C ）5880种 （D ）2160种（8）下列四个命题： ①满足zz 1=的复数只有i ±±,1； ②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；③复R z ∈的充要条件是z z =；④复平面内x 轴即实轴，y 轴即虚轴。
高三上学期期末文科数学试卷及答案(共5套)
高三第一学期文科数学期末考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,0,2,4}M =-，2{|9}N x x =<，则M N =（ ）A ．{0,2}B ．{2,0,2}-C ．{0,2,4}D ．{2,2}-2.已知3,5a b ==，a 与b 不共线，向量ka b +与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 3.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点P 是平面1111A B C D 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．己知命题p ：“a＞b”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：x e R x x ln ,<∈∃，则（ ） A ．￢p ∨q 为真命题 B ．p ∧￢q 为假命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∨q 为真命题5.已知()()6,2,1m b a -=-=和共线，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 A.36B.2 C.32D.36或2 6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为 A ．53 B ．103 C ．56 D ．1167 .43sin()cos(),0,322πππααα++-=--<<则2cos()3πα+等于( ) A.45-B.35-C.45D.358．函数的图象如图所示，为了得到g （x ）=cos2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y x y y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．无法确定 10．在∆ABC 中，点D 满足BD =34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ+AC μ，则22(1)t λμ=-+的最小值是（） A ．310 B ．82 C ．910 D ．41811.已知函数()f x 的定义域为R ，对于12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为 （ ）A ．()+∞,1B ．(,1)-∞C ．(1,0)(0,3)- D ．(,0)(0,1)-∞12．已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+};③M={2(x,y )|y log x =}; ④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④第15题图BCAD第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = 14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则x y +的最小值是15．如图CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且上的点为线段中在， 则B cos = ． 16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈. （Ⅰ）证明数列{}2nn S 为等差数列； （Ⅱ）求12...n S S S +++. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积. 19. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()0,2P 过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式()R ∈≤⋅λλ恒成立,求λ的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=． （Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=4sin()3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中R ϕ∈），求||PQ 的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x t =-++，t R ∈.(Ⅰ)当1t =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在实数a 满足()|3|2f a a +-<，求t 的取值范围.高三文科数学期末考试答案题号 12 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B DADAACDBCDD二、填空题：13.1 14. 232+ 15.7618 16. )2015,2( 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，┄ ┄┄2分整理得11122n nn n S S ++-=， ┄┄4分 所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，┄┄┄┄┄┄7分 令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②┄┄┄┄┄┄┄9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，┄┄┄┄┄┄10分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. ┄┄┄┄┄┄┄12分18. 解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ┄┄┄┄1分 ∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ，又1//2AE CD ，∴//AE FM ， ∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ， ┄┄┄┄3分∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .┄┄┄┄5分（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=， ∴2222211132cos 601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，┄┄6分∴2ED =，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥.┄┄┄┄7分 PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PD ED D =，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .┄┄┄┄9分111222PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯=， ∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==13PEF S BE ∆=⨯⨯1132==分 19.解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分 （2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=.20. 【解析】（1）依题意, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a cba , ……1分解得22a =,21b =,∴椭圆Γ的标准方程为2212x y +=. …3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时1(3,)PA y =-,21(3,)(3,)PB y y =-=--,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+,由22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩,得2222(12)4220k x k x k +++-=,∴2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+, ……8分 ∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++ 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++ 2222222224(1)(2)41212k k k k k k k -=+⋅--⋅++++2217221k k +==+217131722(21)2k -<+. ……11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172. ……12分21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x --+=+-=…………………………2分(1)当01a <<时，由()'0fx >得，x a 0<<或1>x ，由()'0f x <得，a x <<1故函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a …………4分(2)当1a =时,()'0f x ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。
2020-2021学年四川省成都市石室中学高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2020-2021学年四川省成都市石室中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．42．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．64．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣16．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．205912．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012二、填空题（共4小题）.13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}＝{x|x≤}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴＝1，解得a＝2．故选：C．2．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝2解：抛物线y2＝﹣8x的开口向左，2p＝8，∴抛物线y2＝﹣8x的准线方程为x＝＝2故选：D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．6解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7＝28，a2+a4＝7，∴7a1+21d＝28，2a1+4d＝7．解得：a1＝，d＝．则a6＝+5×＝5．故选：C．4．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．解：由e iθ＝cosθ+i sinθ，得e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣1解：，，则样本点的中心坐标为（3，9），代入，得a＝9﹣3×3＝0，∴线性回归方程为，取x＝4，可得，则此回归模型第4周的残差为13﹣12＝1．故选：B．6．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．解：∵向量，的夹角为，，，所以：||＝；∴•（+2）＝+2＝5+2××||•cos＝0⇒||＝；故选：A．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为解：∵直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，∴函数f（x）的最小正周期为，A错，∴，∵图象关于点成中心对称，∴2×+φ＝，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ＝．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z，B错；∴f（x）＝tan（2x+），∴函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到，C错；∵﹣+kπ＜2x+＜+kπ，∴函数f（x）的递增区间为，D对．故选：D．9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，f（x）＝x+a，g（x）＝lnx，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣lnx+a，则F′（x）＝1﹣＝，在区间（0，1）上，F′（x）＜0，F（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）为增函数，则F（x）在（0，+∞）的最小值为F（1）＝1﹣ln1+a＝a+1，当a＞﹣1时，F（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）的上方，此时d（f，g）＝a+1＞0，当a≤﹣1时，F（x）＝0有解，f（x）与g（x）的图象有交点，此时d（f，g）＝0，若“a＞2”，则d（f，g）＝a+1＞3＞2，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”充分条件，反之，若d（f，g）＞2，即a+1＞2，解可得a＞1，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”的不必要条件，故“a＞2”是“d（f，g）＞2”的充分不必要条件，故选：A．10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆C：x2+y2﹣10x+16＝0可化为（x﹣5）2+y2＝9，∵圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为y＝x，即ax﹣by＝0，∴2＜＜4，即2＜＜4，解得：．即双曲线离心率的取值范围是（，）．故选：A．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．2059解：n＝1时，a1+S1＝1，1＝，n≥2时，a n+S n＝1，a n﹣1+S n﹣1＝1，∴a n＝a n﹣1，则数列{a n}是首项为公比为的等比数列．∴，S n＝．∴．则＝2+22+…+29﹣9＝1024﹣11＝1013．故选：A．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012解：x∈[﹣1，0）时，[x]＝﹣1，所以f（x）＝x+1，因为f（x）+f（2+x）＝0，所以f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，又f（x）+f（2﹣x）＝0，则有f（x+2）＝﹣f[2﹣（x+2）]＝﹣f（﹣x），又f（x+2）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，令，则，令h'（x）＝0，解得x＝2，当x＜2时，h'（x）＜0，h（x）在（﹣∞，2）上单调递减，当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上单调递增，所以，当x＝2时，，函数的零点个数等价于y＝f（x）与y＝h（x）图象的交点个数，作出函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象如图所示，在区间[﹣1，3）内有2个交点，在[3，7）上有2个交点，即每个周期都有2个交点，将区间[﹣1，2021]分为两部分[﹣1，3）和[3，2021]，在[3，2021]上共有504个周期余前半个周期，而在[3，2021]上，每个周期的前半个周期都没有交点，后半个周期有2个交点，所以在区间[﹣1，2021]上的交点个数为2+504×2＝1010，故函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为1010个．故选：B．二、填空题13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．解：在“一带一路”（英文：The Belt and Road，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为：84，84，84，86，87，∴所剩数据平均数为＝（84+84+84+86+87）＝85，∴所剩数据的方差为：S2＝[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]＝．故答案为：．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．解：∵直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，∴（a﹣1）×1+2×b＝0，解得a+2b＝1，∵a，b∈R+，∴2ab≤＝，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号，∴ab的最大值等于．故答案为：．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为π．解：如图，等边三角形内切球的半径r＝3＞，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面相切，∴球半径R＝，∴V max＝＝．故答案为：π．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是①③④．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．解：对于①，若f（x）是t＝的回旋函数，则f（x+）+f（x）＝0，即f（x+）＝﹣f（x）恒成立，∴f（x）•f（x+）≤0，∴由零点存在性定理可得，函数f（x）在区间[x，x+]上至少有一个零点，故①正确；对于②，若指数函数y＝a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x＝0，a t+t＝0，∴t＜0，故②错误；对于③，若（x+a）2+ax2＝0对任意实数都成立，令x＝0，则必须有a＝0，令x＝1，则有a2+3a+1＝0，a＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故③正确；对于④，∵函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，∴tanω1（x+t）+t•tanω1x＝0，sinω2（x+t）+t•sinω2x＝0，∴ω1，ω2的取值的集合是相等的，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．解：（1）选①，，由正弦定理可得sin C sin＝sin A sin C，因为C为三角形内角，sin C＞0，所以sin＝sin A，即cos＝2sin cos，因为A为三角形内角，∈（0，），所以sin＝，可得＝，可得A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），选②，2cos A（b cos C+c cos B）＝a，由正弦定理可得2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝sin A，所以2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos A＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选③，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，因此cos A＝＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣＝0，即C＝．（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bc sin A＝bc＝b2，所以解得b＝2．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？【解答】（Ⅰ）记事件A为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”，在[40，80）、[80，120）两组数据中用分层抽样抽6天，[40，80）中抽的天数为天，记为A，B，[80，120）中抽的天数为天，记为a，b，c，d，则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共15种，选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），共9种∴选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为．（Ⅱ）若租赁2辆车，平均利润为若租赁3辆车，平均利润为∵4080＞3520，所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大．19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．【解答】证明：（Ⅰ）CD∥AB．理由如下：连结CD，分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN，由图（1）可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，则DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN ∵平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF∴DM⊥平面ABEF．同理得，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．又∵DM＝CN∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD∥MN．∵M，N分别是AF，BE的中点，∴MN∥AB∴CD∥AB．（Ⅱ）证明：∵DM∥CN，DM⊆平面DFA，CN⊄平面DFA∴CN∥面DFA∵CN⊂平面CEB，面DFA∩平面CEB＝l∴CN∥l∵DM∥CN∴DM∥l由（Ⅰ）问有DM⊥平面ABEF．∴l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．解：（Ⅰ）函数f（x）＝x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）＝2xlnx+x﹣2，所以f'（1）＝﹣1，又f（1）＝﹣2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）＝4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2＝4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2＝0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）＝2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）＝2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）＝1﹣4ln2＜0，g（2）＝2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）＝0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）＝f（x）﹣（﹣x﹣1）＝x2lnx﹣x+1，则h'（x）＝x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）＝0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1＝﹣2.01．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，∴a2＝1+1＝2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2＝．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x＝，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2＝2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴＝＝，∴3m2＝2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2＝＝＝0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|＝，|AB|＝＝＝＝，①当k≠0时，|AB|＝，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k＝时，取“＝”号．②当k＝0时，|AB|＝．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．解：（1）直线l1的参数方程为参数），转换为直线l1的普通方程为y＝k （﹣x），直线l2的参数方程为参数）．转化为直线l2的普通方程为y﹣2＝，联立直线l1，l2方程，消去参数k，得曲线C的普通方程为y（y﹣2）＝﹣x2，整理得x2+（y﹣1）2＝1（x≠0）．（2）直线l：，即为ρ（cosθ+sinθ）＝2，即ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x+y﹣4＝0，由x2+（y﹣1）2＝1（x≠0），可得C的参数方程为（α为参数，且0≤α＜2π，且α≠），可设P（cosα，1+sinα），d1＝＝＝（3﹣cosα﹣sinα），又d2＝1+sinα，则d1+d2＝+sinα﹣cosα＝sin（α﹣）+，当α＝时，sin（α﹣）取得最大值1，则d1+d2取得最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＞0即为|2x﹣1|＞|x﹣3|，∴|2x﹣1|2＞|x﹣3|2，即4x2﹣4x+1＞x2+9﹣6x，∴3x2+2x﹣8＞0，解得或x＜﹣2，∴不等式的解集为；（Ⅱ）m2﹣4|m|+|x﹣3|＞|2x﹣1|﹣|x﹣3|即m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，由||2x﹣1|﹣|2x﹣6||≤|（2x﹣1）﹣（2x﹣6）|＝5（x＝3时等号成立），可知m2﹣4|m|＞5，解得|m|＞5，∴m＞5或m＜﹣5，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．。
2019-2020学年人教A版内蒙古乌兰察布市等五市高三第一学期期末文科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三上学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．已知i是虚数单位，若复数z＝（1+2i）（1﹣i），则z的虚部是（）A．3 B．3i C．1 D．i2．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5}的子集，且∁U（A∪B）＝{3，4}，B＝{1，2}，则集合A可以有（）种情况A．2 B．3 C．4 D．63．已知命题p：角α的终边在直线上，命题q：，那么p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．若a＝30.3，b＝log21.2，c＝log0.21.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．已知两个非零向量，满足，，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣26．已知数列{a n}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，且b n＝a n+a n+1．若数列{b n}的前n 项和为S n，则S n＝（）A．3•2n﹣3 B．3•2n+1﹣3 C．3•2n D．3•2n+1﹣67．已知a，b∈R，不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．在平面区域M内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区域N 的概率是（）A．B．C．D．8．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（）A．6+20πB．9+16πC．9+18πD．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，若f（6﹣a2）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）10．已知双曲线C1：，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点、若A、B是抛物线C2上两点，|AF|+|BF|＝8，则AB中点的横坐标为（）A．B．2 C．D．311．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，b＝6，且，则锐角A的大小为（）A．B．C．D．12．已知函数（其中a＞1），则函数f（x）零点的个数为（）个A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．设函数，若，则f（﹣2019）＝．14．的最小值为．15．已知四面体M﹣DEF中，，，ME⊥DE，ME⊥EF，ME＝4，则该四面体的外接球的体积为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积S＝，若sin2B＝sin A sin C，则角B的值为．三、本卷包括必考题和选考题两部分，第（17）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答.17．已知{a n}为等比数列，且各项均为正值，，a4a6＝16a3a9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log4a n，数列的前n项和为T n，求T n．18．某气象站统计了4月份甲、乙两地的天气温度（单位°C），统计数据的茎叶图如图所示，（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性；（2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之和大于或等于20°C，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率．19．在四棱锥S﹣EFGH中，EF⊥EH，EH∥FG，EH＝2FG＝2EF＝4，，平面SEH ⊥平面EFGH，M，N分别为SF，GH的中点．（1）求证：MN∥平面SEH；（2）求E到平面SGH的距离．20．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数只有一个极值点，求实数λ的取值范围；（3）若函数（其中λ＞4）有两个极值点，分别为x1，x2，且在区间（0，+∞）上恒成立，证明：不等式k≥ln4﹣3成立．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若A（ρ1，α）是直线l上一点，是曲线C上一点，求的最大值．23．设函数（x∈R，实数a＞0）．（1）若，求实数a的取值范围；（2）求证：．参考答案一、选择题1．已知i是虚数单位，若复数z＝（1+2i）（1﹣i），则z的虚部是（）A．3 B．3i C．1 D．i解：∵z＝（1+2i）（1﹣i）＝1﹣i+2i+2＝3+i，∴z的虚部是1．故选：C．2．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5}的子集，且∁U（A∪B）＝{3，4}，B＝{1，2}，则集合A可以有（）种情况A．2 B．3 C．4 D．6解：依题意，集合A可能为{5}，{1，5}，{2，5}，{1，2，5}，共4种情况．故选：C．3．已知命题p：角α的终边在直线上，命题q：，那么p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：命题p：角α的终边在直线上，则tanα＝，∴α＝kπ+．k∈Z．命题q：，那么p是q的充要条件．故选：C．4．若a＝30.3，b＝log21.2，c＝log0.21.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：∵log21.2∈（0，1），30.3＞1，log0.21.5＜0，∴c＜b＜a．故选：A．5．已知两个非零向量，满足，，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2解：∵，，∴＝，，∴．故选：B．6．已知数列{a n}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，且b n＝a n+a n+1．若数列{b n}的前n 项和为S n，则S n＝（）A．3•2n﹣3 B．3•2n+1﹣3 C．3•2n D．3•2n+1﹣6解：数列{a n}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，可得b n＝a n+a n+1＝2n+2n+1＝3•2n，S n＝＝6•2n﹣6，故选：D．7．已知a，b∈R，不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．在平面区域M内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区域N 的概率是（）A．B．C．D．解：画出不等式组表示的平面区域为M，和不等式组表示的平面区域为N，如图所示；则所求的概率是P＝1﹣＝1﹣＝．故选：A．8．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（）A．6+20πB．9+16πC．9+18πD．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个半球和一个三棱锥体组成的组合体．所以V＝＝18π+9．故选：C．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，若f（6﹣a2）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）解：因为当x≥0时，f（x）＝2x﹣1是单调递增的函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，由奇函数的性质，在原点两边对称区间的单调性相同，所以函数在R上都是单调递增的，因为f（6﹣a2）＞f（﹣a），整理：6﹣a2＞﹣a，即a2﹣a﹣6＜0，解得：﹣2＜a＜3，故选：C．10．已知双曲线C1：，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点、若A、B是抛物线C2上两点，|AF|+|BF|＝8，则AB中点的横坐标为（）A．B．2 C．D．3解：双曲线C1：，m＜2，可得2c＝2≥4，当双曲线C1的焦距取得最小值时，m＝1，所以c＝2，其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，所以抛物线的焦点坐标（2，0），所以抛物线方程为：y2＝8x，准线方程x＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴|AF|+|BF|＝x1+2+x2+2＝8，∴x1+x2＝4，∴线段AB的中点横坐标为2，故选：B．11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，b＝6，且，则锐角A的大小为（）A．B．C．D．解：根据已知条件：，b＝6，且，所以，解得：（舍去）或，所以，整理得＝，故A＝．故选：D．12．已知函数（其中a＞1），则函数f（x）零点的个数为（）个A．0 B．1 C．2 D．3解：函数（其中a＞1），定义域为（0，+∞），f'（x）＝﹣x﹣+（a+1）＝﹣；由于a＞1，x＞0，故当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当1＜x＜a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；故f（x）在x＝1处有极小值，在x＝a处有极大值；f（1）＝﹣+a+1＞0，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故f（x）图象草图如图所示，故f（x）只有一个零点；故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数，若，则f（﹣2019）＝．解：函数的定义域为，关于原点对称，，故函数f（x）为奇函数，∴．故答案为：．14．的最小值为16 ．解：＝10++．故答案为：1615．已知四面体M﹣DEF中，，，ME⊥DE，ME⊥EF，ME＝4，则该四面体的外接球的体积为．解：在△DEF中，设外接圆的半径r，则2r＝＝＝4，所以r＝2，因为ME⊥DE，ME⊥EF，EF∩DE＝E，∴ME⊥面DEF，所以侧棱垂直于底面，外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面直线，直线与中截面的交点即为外接球的球心，设外接球半径为R，则R2＝r2+（）2＝22+（）2＝8，所以R＝2，所以外接球的体积V＝＝，故答案为：．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积S＝，若sin2B＝sin A sin C，则角B的值为．解：由于sin2B＝sin A sin C，利用正弦定理整理得，由于△ABC的面积S＝，所以，且a2+c2＝b2+2ac cos B，故：，转换为，化简得：，即，故．由于0＜B＜π，所以，所以，解得：B＝．故答案为：三、本卷包括必考题和选考题两部分，第（17）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答.17．已知{a n}为等比数列，且各项均为正值，，a4a6＝16a3a9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log4a n，数列的前n项和为T n，求T n．解：（1）{a n}为等比数列，且各项均为正值，设公比为q，q＞0，由，a4a6＝16a3a9，可得a1q＝，a52＝16a62，即q2＝，即有q＝，a1＝，可得a n＝（）n；（2）b n＝log4a n＝log4（）n＝﹣n，＝＝﹣，可得T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．某气象站统计了4月份甲、乙两地的天气温度（单位°C），统计数据的茎叶图如图所示，（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性；（2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之和大于或等于20°C，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率．解：（1）由茎叶图，得：4月份甲地的天气温度的平均数为：＝（8+7+10+12+13）＝10，4月份甲地的天气温度的方差为：＝[（8﹣10）2+（7﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]＝．4月份乙地的天气温度的平均数为：＝（8+9+10+11+12）＝10，4月份乙地的天气温度的方差为：＝[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]＝2．∵，，∴根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析乙地气温比甲地气温更稳定性．（2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，基本事件总数n＝5×5＝25，甲、乙两地的温度之和大于或等于20°C，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，“甲、乙两地往来温度适宜天气”包含的基本事件有14个，分别为：（8，12），（10，10），（10，11），（10，12），（12，8），（12，9），12，10），（12，11），（12，12），（13，8），（13，9），（13，10），（13，11），（13，12），∴“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率为p＝．19．在四棱锥S﹣EFGH中，EF⊥EH，EH∥FG，EH＝2FG＝2EF＝4，，平面SEH ⊥平面EFGH，M，N分别为SF，GH的中点．（1）求证：MN∥平面SEH；（2）求E到平面SGH的距离．解：（1）在四棱锥S﹣EFGH中，EF⊥EH，EH∥FG，EH＝2FG＝2EF＝4，，平面SEH⊥平面EFGH取EH的中点为D，连接SD，DF，EG，DG，设EG∩DF＝O，连接ON；∵EH＝2FG＝2EF＝4，，平面SEH⊥平面EFGH；∴SD⊥EH⇒SD⊥平面EFGH；∵EF⊥EH，EH∥FG，EH＝2FG＝2EF＝4；∴四边形EDGF为正方形；且FG∥DH且FG＝DH；∴O为DF的中点，因为M，N分别为SF，GH的中点；∴ON∥DH，MO∥SD；∴ON∥平面SEH，OM∥平面SEH；∴平面MON∥平面SEH；∵MN⊂平面MON⇒MN∥平面SEH；（2）由题可知SD＝DG＝ON＝DH＝FG＝2；又因为V E﹣SGN＝V S﹣EGN⇒dS△SGN＝SD×S△EGH；∵S△EGN＝×EN×EF＝4；GH＝＝2，SG＝＝2；∴S△SHG＝×2×2×sin＝2；∴d＝＝．即E到平面SGH的距离为．20．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理．解：（1）椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点，可得b＝，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝2，c＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）若直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x+t，联立椭圆方程x2+4y2﹣8＝0，可得x2+2tx+2t2﹣4＝0，则△＝4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，则k AE+k AQ＝+＝+＝+＝•＝•＝•＝0．则直线AE与AQ的斜率之和为定值0．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数只有一个极值点，求实数λ的取值范围；（3）若函数（其中λ＞4）有两个极值点，分别为x1，x2，且在区间（0，+∞）上恒成立，证明：不等式k≥ln4﹣3成立．解：（1）f（x）＝lnx﹣x．x＞0，f（1）＝﹣1．f′（x）＝﹣1，f′（1）＝0，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝0，即y+1＝0．（2）函数＝λ（lnx﹣x）+x2．（x＞0）．h′（x）＝λ（﹣1）+x＝．令u（x）＝x2﹣λx+λ，∵函数h（x）只有一个极值点，∴u（x）＝x2﹣λx+λ＝0只有一个大于0的实数根．首项△＝（﹣λ）2﹣4λ＞0，解得λ＜0，或λ＞4．若λ＜0，u（x）＝x2﹣λx+λ＝+λ﹣λ2，对称轴x＝＜0，u（0）＝λ＜0，因此u（x）＝0，有且只有一个大于0的实数根，满足条件．若λ＞4．设满足u（x）＝x2﹣λx+λ＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝λ＞0，x1x2＝λ＞0，可得：x1＞0，x2＞0，不满足条件，舍去．综上可得：实数λ的取值范围是（﹣∞，0）．（3）证明：若函数＝λ（lnx﹣x）+x2．（x＞0）（其中λ＞4）有两个极值点，分别为x1，x2，由（2）可得：x1+x2＝λ，x1x2＝λ．＝＝＝＝lnλ﹣λ﹣1．令v（λ）＝lnλ﹣λ﹣1．（λ∈（4，+∞））．v′（λ）＝﹣＝＜0，∴v（λ）在（4，+∞）上单调递减，∴v（λ）＜v（4）＝ln4﹣3．∵在区间（0，+∞）上恒成立，∴kk≥ln4﹣3．因此：不等式k≥ln4﹣3成立．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若A（ρ1，α）是直线l上一点，是曲线C上一点，求的最大值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y﹣1＝（x﹣），整理得：x﹣y﹣2＝0，转换为极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2＝0．由曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．得：ρ2＝2ρsinθ，转换为直角坐标方程x2+y2＝2y，即：x2+y2﹣2y＝0；（2）由于A（ρ1，α）是直线l上一点，则：ρ1cosα﹣ρ1sinα﹣2＝0，B（ρ2，α﹣）是曲线C上一点，则：，＝||＝||＝|（）（cosα﹣sinα）|，＝||＝|sin（2α﹣）﹣1|≤2，故：的最大值为2．23．设函数（x∈R，实数a＞0）．（1）若，求实数a的取值范围；（2）求证：．解：（1）函数（x∈R，实数a＞0），所以，即|a|+||＜，3|a|2﹣10|a|+3＜0，解得＜|a|＜3，又a＞0，所以实数a的取值范围是＜a＜3；（2）由a＞0，则f（x）＝|x﹣a|+|2x+|＝，x≥a时，f（x）＝3x﹣a+是单调增函数，f（x）≥f（a）＝2a+；﹣＜x＜a时，f（x）＝x+a+是单调增函数，且f（x）＞f（﹣）＝a+；x≤﹣时，f（x）是单调减函数，且f（x）≥f（﹣）＝a+；综上知，f（x）≥a+≥2＝，当且仅当a＝，即a＝时取“＝”；所以．。
2021年高三上学期期末考试文科数学 含答案
2021年高三上学期期末考试文科数学 含答案高三数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},),2(log |{},01|{22M x x y y N x x M ∈+==<-=则A. B. C. D. 2.已知复数，则的共轭复数等于 A. B. C. D.3.有10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12. 设其平均数为，中位数为，众数为，则有 A. B. C. D.4.连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为，记向量的夹角为，则的概率是 A. B. C. D.5.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 A. B. C. D.6.点是曲线上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是 A. B. C. D.7.下列命题中真命题的个数是 ①②都不是偶函数 ③命题，则命题④，函数的图像都有三个交点⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“成等差数列”的充要条件A. 1B. 2C. 3D. 48.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V 1,V 2,V 3,V 4,若上面两个几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A.V 1<V 2<V 4<V 3 B.V 1<V 3<V 2<V 4 C.V 2<V 1<V 3<V 4 D.V 2<V 3<V 1<V 49.若是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值是2，则 A. B. C. D.10.已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数.若，且是正整数，则的值可以是A. B. C. D.11.已知都是定义在R 上的函数，，且25)1()1()1()1(),1,0)(()(=--+≠>=g f g f a a x g a x f x，对于数列，任取正整数，则其前项和大于的概率为 A. B. C. D.12.已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为 A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若变量满足的最大值为，则 ；14.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 ；15.在中成立，在四边形中成立，在五边形中成立，猜想在边形中不等式 成立；16.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点都在半径为1的同一个球面上，则顶点与面的中心之间的距离 ；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本题满分12分） 在锐角中，AB CD AB B A B A ⊥==-=+,3,51)sin(,53)sin(于点. （1）求证：;（2）求的长.18.（本题满分12分） 如图,在四棱锥中,平面,,, ,是的中点.(1)求证:⊥平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.19.（本题满分12分）某校高三(1)班的一次数学考试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：(1)求分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．20.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，直线与抛物线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线 交椭圆于两点. 是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数)()1()(为自然对数的底数e ex x f x-+=.（1）求函数的单调区间；（2）设函数.，存在实数成立，求实数的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑22．选修4－1：几何证明选讲如图，圆O 的直径，弦DE ⊥AB 于点H ，． （1）求DE 的长；（2）延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ， 若，求的长.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程； （2）求直线被曲线截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数0)2(,|,2|)(≥+∈--=x f R m x m x f 且的解集为 （1）求的值； （2）若.93231211,,,≥++=++∈+c b a m cb a Rc b a ，求证且齐齐哈尔市实验中学xx 学年度上学期期末考试高三数学试题（文科答案） xx-1-10一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）8.【解析】选C. V 1==, 7<V 1<8,V 2=2π<7; V 3=8; V 4=(4++16)= >9, 所以V 2<V 1<V 3<V 4.12.【解析】记，则，于是是R 上的减函数，且不等式即，即， 所以选D 。
陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高三上学期期末考试文科数学试题及答案
西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高三文科数学注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。
答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
4.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若集合{}2320,M x x x =-+≤{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=A ．{}1B ．{}2,1--C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0014x x +>；命题:(2,)q x ∀∈+∞，22x x >，则下列命题为真的是 A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨3．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 A ．11a b<B ．2ab b <C ．22ac bc <D ．5．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数6．已知双曲线()222210,0xy a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．圆心在坐标原点O 的圆上有两点B 、C，点B 的坐标为⎝⎭且1BC =，若点C在角α的终边上且角α是三角形的一个内角，2sin cos ααα-（ ）A ．12-B ．C ．12D ．238．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为A ．1612+πB ．3212π+C ．2412π+D ．3220π+9．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的面A 1C 1，B 1C ，CD 1的中心分别为O 1，O 2，O 3，则直线1AO 与直线O 2O 3所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°10．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，12B π=．则c =（ ）A．1BC D ．11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为6的正方形，点E 在线段AD 上，且满足2AE ED =，过点E 作直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为12π，则直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的表面积为（ ） A ．100πB ．80πC ．64πD ．32π12．已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -= A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线22xx x y e+=在(0,0)处的切线方程为_________. 14．如表中给出五组数据(),x y ，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组()5,3--，那么应去掉第___________组.15．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若634S S =，则74aa =____________．16．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数2cos y x =的图象与3tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为_____.三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；①如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？18．已知等差数列{an }（n ∈N +）中，an +1＞an ，a 2a 9＝232，a 4+a 7＝37 （1）求数列{an }的通项公式；（2）若将数列{an }的项重新组合，得到新数列{bn }，具体方法如下：b 1＝a 1，b 2＝a 2+a 3，b 3＝a 4+a 5+a 6+a 7，b 4＝a 8+a 9+a 10+…a 15，…，依此类推，第n 项bn 由相应的{an }中12n -项的和组成，求数列{bn 124n-⋅}的前n 项和Tn .19．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC =1A C 与底面ABCD 所成的角为45︒.(1)求四棱锥1A ABCD -的体积； (2)求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(,)p q ，离心率e =,p q 分别表示标准正态分布的期望值与标准差．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '． ①试建立AOB 的面积关于m 的函数关系；①莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m 变化，直线A B '与x 轴相交时，交点是一个定点”．你认为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由． 21．设函数()()32114243f x x a x ax a =-+++,其中常数1a >(①)讨论()f x 的单调性;(①)若当x≥0时，()f x >0恒成立，求a 的取值范围.22．已知圆C 的极坐标方程为2sin 204πρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，直线l 的方程为y x =.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）直线l 与圆C 的交点为A ，B ，求三角形ABC 的面积. 23．已知函数()2f x x m x =+++，m R ∈ （1）若3m =-，求不等式()6f x >的解集；（2）若函数()f x 为偶函数，此时()f x 的最小值为t ，若实数a ，b ，c 满足22224a b c t ++=，证明：()22b a c +≤参考答案1．C解出集合M ，然后和集合N 取交集即可. 由题意得{}|12M x x =≤≤,{}2,1,0,1,2N =-- 则{}1,2MN =.故选C.本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．C对0x 赋值为4时，可判断命题p 为真命题，当x 赋值为4时，可判断命题q 为假命题．由此可以判断C 答案正确． 当04x =时，0011444x x +=+>，故命题p 为真命题， 当4x =时，22x x =，故命题q 为假命题． 由复合命题的真假判断可知，故选C ．本题主要考查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断． （1）p q ∧中，,p q 有一个是假命题，则p q ∧是假命题， （2）p q ∨中，,p q 有一个是真命题，则p q ∨是真命题，（3）若p 为真命题，则p ⌝为假命题，反之若p 为假命题，则p ⌝为真命题．3．B根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i ---==.故选：B. 4．D若0a b <<，则0,a b ab ab ab ><，即11a b>，故A 错误；2ab b >，故B 错误；22ac bc <在0c 时，不成立，故C 错误；a a b b =->=-，故D 正确，故选D. 5．B评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度． 6．D试题分析：双曲线的一条渐近线是b y x a=，2ba =①，抛物线2y =的准线是x =因此c =即2227a b c +==①，由①①联立解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩所以双曲线方程为22143x y -=．故选D ．考点：双曲线的标准方程． 7．A 由已知得74312ππαπ=+=，再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为sin 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入可求得其值得选项.因为1BC =，BOC ∴为等边三角形，2,2B ⎛ ⎝⎭，即4BOx π∠=，而α为三角形的内角74312ππαπ⇒=+=，)22sin cos 2cos 1sin cos 2ααααααα-=--=-1sin 22α51sin 2sin 362παπ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，故选：A ． 8．A长为4，球的半径为2，所以几何体的表面积为：221422412162S πππ=⨯⨯+⨯+=+，故选A ． 9．A如图，连接11,AC A C ，设AC 交BD 于O ，连接1OC ，则可得1AO ①1OC ，23O O ①BD ，从而结合已知条件可求出两异面直线所成的角解：如图，连接11,AC A C ，设AC 交BD 于O ，连接1OC ，因为在正方体1111ABCD A B C D -的面A 1C 1，B 1C ，CD 1的中心分别为O 1，O 2，O 3， 所以1AO ①1OC ，23O O ①BD ，所以直线1AO 与直线O 2O 3所成的角等于直线1OC 与BD 所夹的角， 因为11C B C D =，O 为BD 的中点， 所以1OC BD ⊥，所以直线1AO 与直线O 2O 3所成的角为90︒， 故选：A10．B首先由诱导公式求出sin C ，再根据正弦定理计算可得； 解：依题意()()sin sin sin sin4C A B A B ππ=-+=+==⎡⎤⎣⎦ 由正弦定理sin sin c aC A=112=，解得c = 故选：B 11．B根据题意得，设12AA a =，故当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为2S R π=；当OE ⊥()221S R OE π=-，进而得22a =，故外接球的半径为R ==因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，且底面是正方形， 所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O ， 过点O 向底面ABCD 作垂线，垂足为G ，则112OG AA =， 连接BD ，因为底面ABCD 是边长为6的正方形，所以点G 为BD 的中点，取AD 中点为F ，连接OF ，OE ，OB ，如图，设12AA a =，则OG a =，所以外接球的半径为R OB ==因为点E 在线段AD 上，且满足2AE ED =，则116EF DF DE AB =-==，又132FG AB ==，所以OF 因为直四棱柱中，AB ⊥侧面11ADD A ，//FG AB ，所以FG ⊥侧面11ADD A ， 所以FG AD ⊥，又OG ⊥底面ABCD ，而AD ⊂底面ABCD ，所以OG AD ⊥， 又FG OG G ⋂=，故AD ⊥平面OFG ，因OF ⊂平面OFG ，所以OF AD ⊥，则OE =根据球的特征，过点E 作直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的截面， 当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为2S R π=；当OE ⊥()2221S R OE ππ==-；又截面面积的最大值与最小值之差为12π，所以()2222112S S R R OE OE ππππ-=--=⋅=，因此21012a +=，即22a =，所以R ===所以24480S R πππ==⨯=球故选：B关键点点睛：本题解题的关键是找准过点E 作几何体外接球的截面圆中面积最大为截面圆为过球心的截面圆，面积最小的截面圆为与OE 垂直的的截面圆的面积，再根据几何计算即可得答案. 12．B由题推导函数()f x 关于点（2,1）对称即可求解 因为22222213log log log 42222x xf x f xx x故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b 故选B本题考查函数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题 13．2y x = 求导()2(22)2xx x x y e+-+'=，计算02x k y ='==，得到切线方程.()()222(22)2(22)2x x xxx e e x x x x x y ee+-++-+'==，故02x k y ='==，故所求切线方程为2y x =. 故答案为：2y x =.本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力. 14．3画出散点图，根据线性相关及点偏离程度判断应去掉的点. 根据表格数据，散点图如下图示：显然(3,4)-偏离程度最高，故去掉第三组. 故答案为：3 15．3由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.设等比数列{}n a 的公比为q ，由634S S =得1q ≠，所以6131(1)14(1)1a q qa q q--=--，所以314q +=，33q =，则3743aq a ==．故答案为：3. 16．12设()00,P x y ，则()10,0P x ，()200,sin P x x ，所以线段12PP 的长为0sin x ，根据0023n cos ta x x =结合同角三角函数基本关系可计算0sin x 的值，即可求解.设()00,P x y ，则()10,0P x ，由题意知0002co 3sin 3tan s cos x x x x ==， 所以2002cos 3sin x x =，因为2200sin cos 1x x +=，所以()20021sin 3sin x x -=， 即2002sin 3sin 20x x +-=，所以()()002sin 1sin 20x x -+=，所以01sin 2x =，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，可得()200,sin P x x ， 所以1201sin 2PP x ==， 故答案为：12.17．（1）x ＝0.0044；（2）①70户；①3（户）．（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中x 的值．（2）①先求出用电量在[100，250)内的频率为0.7，由此能求出在这些用户中，用电量在区间[100，250)内的居民数．①用电量在[150，200)内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在[150，200)内的居民数应该抽取的户数． （1）由频率分布直方图得：（0.0012+0.0024×2+0.0036+x +0.0060）×50＝1， 解得直方图中x ＝0.0044．（2）①用电量在[100，250）内的频率为： （0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，①在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数为100×0.7＝70户． ①用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30（户）， 按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查， 用电量在[150，200）内的居民数应该抽取：130310⨯=（户）．18．（1）32(N )n a n n +=+∈；（2）3(41)2nn T =-. （1）由an +1＞an ，结合a 2a 9＝232，a 4+a 7＝a 2+a 9＝37，利用等差数列的性质可求a 2，a 9，进而可求公差d ，即可求解通项； （2）由题意得1111221221n n n n n b a a a ----++=+++-，结合等差数列与等比数列的求和公式可求bn ，即可求解.解：（1）由an +1＞an ，可得公差d ＞0， ∵a 2a 9＝232，a 4+a 7＝a 2+a 9＝37，∴a 9＞a 2，∴29829a a =⎧⎨=⎩. 设公差为d ，则d 922989292a a --===--3 ∴an ＝a 2+3（n ﹣2）＝8+3n ﹣6＝3n +2. （2）由题意得：1111221221n n n n n b a a a ----++=+++-，＝（3•2n ﹣1+2）+（3•2n ﹣1+5）+（3•2n ﹣1+8）+…+[3•2n ﹣1+（3•2n ﹣1﹣1）] ＝2n ﹣1×3•2n ﹣1+[2+5+8+…+（3•2n ﹣1﹣4）+（3•2n ﹣1﹣1）]而2+5+8+…+（3•2n ﹣1﹣4）+（3•2n ﹣1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的12n -项的和，所以2+5+8+…++（3•2n ﹣1﹣4）+（3•2n ﹣1﹣1）()1112212232n n n ----=⨯+⨯＝323224nn -⋅+， 所以2223232324nn n n b --=⋅+⋅+， 所以2192248n nn b -⋅=⋅.所以()()()29416642414341988142nnnn T ++++--==⨯=-.19．(1)43(2)（1）先求得长方体1111ABCD A B C D -的高1A A 的值，进而求得四棱锥1A ABCD -的体积； （2）先作出异面直线1A B 与11B D 所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决. （1）连接AC ，因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠是1A C 与底面ABCD 所成的角. 所以145ACA ∠=︒，所以12A A =，所以111142333A ABCD ABCD V S AA -=⋅==.（2）联结BD ，则11BD B D ∥，所以1A BD ∠就是异面直线1A B 与11B D 所成的角（或其补角） 1A BD中，11A B A D =2BD =，所以2221111cos 2A B BD A D A BD A B BD +-∠===⋅，又()10,πA BD ∠∈，则1A BD ∠=所以异面直线1A B 与11B D所成角的大小为 20．（1）2214x y +=；（2）①S =①推断正确，定点(4,0)． （1）利用椭圆过点(0,1)，离心率e =. （2）①把1x my =+与椭圆C 的方程联立，借助韦达定理、三角形面积公式即可求解作答； ①利用①中信息求出直线A B '的方程即可判断作答.．（1）因,p q 分别表示标准正态分布的期望值与标准差，则0,1p q ==，即椭圆过点(0,1)，1b =，又离心率e =222221314a b e a a -==-=，解得2a =，所以椭圆C 的方程是2214x y +=.（2）①由（1）及已知得：22441x y x my ⎧+=⎨=+⎩，消去x 并整理得：22(4)230m y my ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122223,44m y y y y m m +=-=-++，于是得12||y y -==1x my =+过定点()1,0T ， 所以AOB面积1212AOBSOT y y =⋅-=； ①由①知，11(,)A x y '-，因直线A B '与x 轴相交，则点A '与B 不重合，即0m ≠， 由12122223,44m y y y y m m +=-=-++得12123()2y y m y y +=， 直线A B '的斜率2121122121212()3()A B y y y y y y k x x m y y y y '++===---，121123512y y x my y +=+=， 直线A B '的方程为：12121212235()3()2y y y y y y x y y y ++=--，即12121212235()3()2y y y y y x y y y y +=---，整理得：12212(4)3()y y y x y y =--，因此，直线A B '恒过点(4,0)，所以推断正确，定点坐标是(4,0).结论点睛：过定点(0,)A b 的直线l ：y =kx +b 交圆锥曲线于点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则OMN 面积121||||2OMNSOA x x =⋅-； 过定点(,0)A a 直线l ：x =ty +a 交圆锥曲线于点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则OMN 面积121||||2OMNSOA y y =⋅-. 21．（I ）当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II ）取值范围是（1，6）：因为第(①)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式和即可. 第(①)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数()f x 在x≥0时的最小值. （I ） 由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数； 当时，，故在区间是增函数. 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II ）由（I ）知，当时，在或处取得最小值.由假设知即解得16a <<故的取值范围是（1，6）22．（1）()1,1-，2；（2）2.（1）将圆C 的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C 的圆心坐标及半径； （2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.（1）圆C的极坐标方程为2sin 204πρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以)2sin cos 20ρθθ+--=， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩得直角坐标方程为()()22114x y -++=.所以圆的圆心坐标为()1,1-，半径为2. （2）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.所以，整理得22ρ=，所以1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-= 由于ABC 为等腰三角形.所以弦AB 上的高h ==所以122ABCS=⨯=. 23．（1）57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明见解析(1)化为分段函数即可求出不等式的解集(2)根据偶函数的性质求出函数m 的值，再根据三角绝对值不等式求出t 的值，再根据基本不等式即可证明． （1）3m =-，则()32f x x x =-++①由2216x x <-⎧⎨-+>⎩可得52x <-②由2356x -≤≤⎧⎨>⎩无解 3216x x >⎧⎨->⎩③可得72x >；综上()6f x >的解集为57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（2）因为函数()f x 为偶函数，所以2a =-，此时()22224f x x x x x =-++≥---=， 所以4t =，222244a b c ++= 因为222a b ab +≥，2244b c bc +≥，所以()()2222424(a b b c ab bc +++≥+当且仅当2a b c ==时，取“=“)，所以22224244ab bc a b c +≤++=， 即()22b a c +≤．本考主要查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．。
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莆田哲理中学高三文科期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、i 是虚数单位，2014i 等于
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i - 2、命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）
A ．对任意x R ∈,使得20x <
B ．不存在x R ∈,使得20x <
C ．存在0x R ∈,都有2
00x ≥
D ．存在0x R ∈,都有2
00x <
3、已知集合}21|{},2,1,0{<<-==x x B A ，则A B = （ ）
A.}0{
B. }1{
C. }1,0{
D. }2,1,0{
4、已知向量1
2
(1,cos ),(sin ,)m n αα== ，且//m n ，则sin cos αα等于( ) A. 12
B. 14
C. 1
D. 1
4
- 5、20.34log 4,log 3,0.3a b c -===，则（ ） A ．b c a <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
6、函数)3
2cos()(π
+
=x x f 的一个对称轴方程为（ ）
A ．2
π
=
x B ．3
π
=
x C ．6
π
=
x D ．4
π
=
x
7、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为 （ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x
8、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10a a 142=+，那么15S 的值是 （ ）
A ．以上都不对
B ．60
C ．75
D ．150
9、已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧-=≤-≥-≥y x z y x y x y 2,2200
则的取值范围是（ ）
A ．[]1,0
B ．[]0,2-
C ．[]1,2-
D ．[)∞+-，2
10、、若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 所截得弦长
为4，则b
a 1
1+的最小值为（ ）
41.A 2
1
.B 2.C 4.D 11、函数b x A x f ++=)sin()(ϕω的图象如图，则)(x f 的解析式和)2013()2()1()0(f f f f S +++=的值分别为（ ）
A ．2013,12sin 2
1
)(=+=S x x f π B ．212013,12sin 21)(=+=S x x f π C ．2014,12sin 21)(=+=S x x f π
D ．2
12014,12sin 21)(=+=
S x x f π 12、设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]b a ,上的两个函数，若对任意[]b a x ,∈，
都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[]b a ,上是“密切函数”，区
间[]b a ,称为“密切区间”.若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[]b a ,上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ） A. [2，3] B. [2，4] C. [3，4] D. [1，4]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13、下图中的三个直角三角形是一个体积为4 cm 3的几何体的三视图，则h ＝___________cm .
14、若直线012=++-m y mx 经过一定点，则该定点的坐标是 15、若)1,0(∈∀b ，则方程02=++b x x 有实根的概率为 16、已知函数44)(,1)(2++-=-=x x x g e x f x ，对R a ∈∀均有
()(),f a g b =则实数b 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求: (I)所取的2道题都是甲类题的概率; (II)所取的2道题不是同一类题的概率. 18、（本小题满分12分）
已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且
1a =1=2b ,162644==b S ，,. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式;
(II)记1122=+++n n n T a b a b a b (*n N ∈)，求n T .
19、（本小题满分12分）
在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=. (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若△ABC 的面积535==b S ， ,求a 的值. 20、（本小题满分12分）
如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，
EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面
⊥MNEF 平面ECDF ．
A
B
C
D
E
F
（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．
21、（本小题满分12分）
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线2:-=kx y l 与椭圆交于A 、B 两点，又）（1,0P 且PB PA =,求直线l 的方程。
22、（本小题满分14分）
设函数x ax x x f +-=22
1
ln )(
（1）当2=a 时，求)(x f 的最大值； （2）令x
a
x ax x f x F +-+
=221)()( )30≤<x （，以其图像上任何一点),(00y x P 为切点的切线斜率2
1
≤
k 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0=a 时，方程2)(x x mf =有唯一实数解，求正数m 的值。