第10讲线性系统的稳态误差计算
合集下载
系统的稳态误差为
r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算
综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)
《自动控制原理》第三章 3-5 稳态误差计算
R(s) E(s)
k
C(s)
--
s(s 2)
（参考答案：
kt s
k 355.6, kt 0.094; k 44.4, kt 0.055;）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
26
二、系统的闭环特征方程为， s33 s22sk0
试确定使系统稳定的k值范围以及系统产生等幅振荡的 频率。
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
21
渐进稳定：若线性控制系统在初始扰动的影响下， 其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡 工作点)。 不稳定：若在初始扰动影响下，系统的动态过程随 时间的推移而发散。
临界稳定：若系统的响应随时间的推移而趋于常值 或等幅正弦振荡
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法
25
一、系统结构如图
（1）当kt 0，k9 且r(t)1(t) ，求系统的调节时 t s
间 和超调量% (;n 3 , 1 /3 ,ts 3 .5 ,% 3 .9 2 % 3
（2）若要求阶跃响应的峰值时t间p 0.5 秒，单位斜
坡响应的稳态误差ess 0.1 ，求k，k t 。
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
15
4. 扰动作用下稳态误差…
稳态误差的计算范文
稳态误差的计算范文稳态误差是指在系统达到稳定状态后，输出量与输入量之间的差异。
在控制系统中，我们希望输出与输入尽可能接近，因此稳态误差需要尽量减小。
计算稳态误差的步骤如下：1.确定控制系统类型控制系统的类型决定了稳态误差的计算方法。
常见的控制系统类型有比例控制系统、比例积分控制系统和比例积分微分控制系统。
2.给定输入信号选择适当的输入信号作为参考输入。
3.确定误差函数根据控制系统的类型，确定误差函数。
对于比例控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，其中e(t)为误差，r(t)为参考输入，y(t)为输出。
对于比例积分控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，且e(t)要累加积分。
4.计算稳态误差根据误差函数，计算系统的稳态误差。
常见的稳态误差包括静态误差、静态偏差和静态增益。
- 静态误差：在系统稳定状态下，输出值与参考输入值之间的差异。
常用符号e_ss表示。
静态误差是稳态误差的一个综合指标，不仅与系统类型有关，还与具体的输入信号有关。
- 静态偏差：系统稳定状态下的误差值，即e_ss = lim(t→∞)e(t)。
-静态增益：系统稳定状态下，输出与参考输入之比的比值。
常用符号K_p表示。
静态增益是稳态误差与参考输入之间的线性关系。
5.误差补偿如果稳态误差过大，可以通过引入补偿措施来减小误差。
常见的误差补偿方法有增益补偿、积分补偿、微分补偿和前馈补偿等。
计算稳态误差的方法根据具体的控制系统类型有所不同，下面将介绍常见的三种控制系统类型及其稳态误差的计算方法：1.比例控制系统的稳态误差计算对于比例控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)。
当输入信号为阶跃信号时，稳态误差为静态偏差，可以通过以下公式计算：e_ss = lim(t→∞)e(t) = lim(t→∞)(r(t) - y(t))2.比例积分控制系统的稳态误差计算对于比例积分控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，且e(t)要累加积分。
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
误差分析
sE (s) 的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）
给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存 在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构 2、扰动作用下esN 3、共同作用下es=ess+esN
6
5.2 稳态误差系数与稳态误差
令系统开环传递函数为
G ( s) H ( s) K ( i S 1) S (T j S 1)
m
, nm
S 0, G0 (s) H 0 (s) 1
K K G ( s ) H ( s ) 0 0 S S 系统稳态误差计算通式则可表示为
G( s) H ( s)
ess s
lim [S
0
1
R ( s)]
ess lim sE ( s) lim
s 0
sR( s) s 0 1 H ( s )G ( s )
线性系统的稳态误差
系统稳定是前提
控制系统的性能
动态性能 稳态性能(控制精度） 稳态误差 ess
？ 稳态误差的 不可避免性
本节主 要讨论
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素 输入函数的形式不同(阶跃、斜坡、或加速度) 不同结构形式 系统结构--系统类型 与稳态误差之间的关系 输入作用方式 如何减少稳态误差
C(s)
输出的希望值 (真值很难得到) E(s)=0时，C(s)=Cr(s) Cr(s)=R(s)/H(s) E’(s)=R(s)/H(s)-C(s) E(s)/H(s)=R(s)/H(s)-C(s) E’(s)=E(s)/H(s)
H (s)
误差与偏差关系 若H(s)=1,偏差等于误差 可通过分析、计算、测量偏差求误差 2
！
系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别
第03_5章 线性系统的稳态误差计算
线性系统的分类:无差系统和有差系统. 线性系统的分类:无差系统和有差系统. 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统 称为无差系统, 称为无差系统,而把具有原理性稳态误差的系统称 无差系统 为有差系统. 有差系统. 本节主要讨论原理性稳态误差的计算方法,即 本节主要讨论原理性稳态误差的计算方法, 原理性稳态误差的计算方法 线性控制系统由于系统结构, 线性控制系统由于系统结构,输入作用形式和类型 所产生的稳态误差,其中包括系统类型 系统类型与 所产生的稳态误差,其中包括系统类型与稳态误差 的关系,同时介绍定量描述系统误差的两类系数, 的关系,同时介绍定量描述系统误差的两类系数, 静态误差系数和动态误差系数. 即静态误差系数和动态误差系数.
一般情况下, 一般情况下,分子阶次为m,分母阶次为n的控制 系统开环传递函数 可表示为: 系统开环传递函数G(s)H(s)可表示为:
G (s)H (s) = K ∏ (τ i s + 1) s v ∏ ( T j s + 1)
j =1 i =1 nv m
(3–85)
式中: K 为开环增益 ; τ i 和 T j 为时间常数 . 式中:
差定义为e(t)的稳态分量ess(∞),常简记为ess.
e ss = lim e ( t )
t→∞
E (s) 1 Φ e ( s) = = R( s) 1 + G ( s) H ( s)
如果函数sE(s) 除在原点处有唯一的 极点外, 右半平面及虚轴上解析, 极点外,在s右半平面及虚轴上解析,即
sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标 左半平面(
G (s)
H (s)
C(s)
-
式中,φe(s)为系统误差传递函数. 式中, 为系统误差传递函数.
3-7 线性系统的稳态误差计算
3-7 线性系统的稳态误差计算
本 节 内 容
稳态误差及其基本分析方法
输入引起的稳态误差及静态误差系数
干扰引起的稳态误差
3-6-1 稳态误差及其基本分析方法
稳态误差是衡量控制系统控制准确性的 一种度量，通常称为稳态性能。在控制系 统的设计中，是控制系统的一项重要性能 指标。
暂态性能：平稳、振荡幅度小——“稳” 过渡过程的时间短——“快” 稳态性能：系统的稳态误差小——“准”
E ( s ) R( s ) B( s ) H ( s )Cr ( s ) H ( s )C ( s ) H ( s ) ( s )
e ss 。可以证明两者之间存在一
即有：
( s)
E ( s) H ( s)
可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，
但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差可
t t
[e(t)的极限存在]
0
1 ) 0 lim e(t ) ess
t
而 lim sE ( s) lim ( s
s 0 s 0
s2
再如：③若 e(t ) sin t [e(t)的极限不存在]
然而 故有
lim sE ( s ) lim ( s
给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存 在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构
按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的 Type
系统类型
系统类型
令系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
K ( i s 1) s
m
( s 1)
j j 1
斜坡信号输入
令
ess lim sE ( s ) lim
本 节 内 容
稳态误差及其基本分析方法
输入引起的稳态误差及静态误差系数
干扰引起的稳态误差
3-6-1 稳态误差及其基本分析方法
稳态误差是衡量控制系统控制准确性的 一种度量，通常称为稳态性能。在控制系 统的设计中，是控制系统的一项重要性能 指标。
暂态性能：平稳、振荡幅度小——“稳” 过渡过程的时间短——“快” 稳态性能：系统的稳态误差小——“准”
E ( s ) R( s ) B( s ) H ( s )Cr ( s ) H ( s )C ( s ) H ( s ) ( s )
e ss 。可以证明两者之间存在一
即有：
( s)
E ( s) H ( s)
可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，
但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差可
t t
[e(t)的极限存在]
0
1 ) 0 lim e(t ) ess
t
而 lim sE ( s) lim ( s
s 0 s 0
s2
再如：③若 e(t ) sin t [e(t)的极限不存在]
然而 故有
lim sE ( s ) lim ( s
给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存 在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构
按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的 Type
系统类型
系统类型
令系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
K ( i s 1) s
m
( s 1)
j j 1
斜坡信号输入
令
ess lim sE ( s ) lim
稳态误差计算(普通解法)
z →1
(6-63)
称为离散系统的静态速度误差系数。 3．加速度输入时的稳态误差 当系统输入为加速度函数 r (t ) =
A t 2 2 时，其 z 变换函数
R( z ) =
系统稳态误差
AT 2 z ( z + 1) 2( z − 1) 3
e(∞) = lim
z →1
AT 2 ( z + 1) AT 2 AT 2 = = 2( z − 1) 2 [1 + G ( z )] lim( z − 1) 2 G ( z ) Ka
z →1
Kp = lim G ( z )
z →1
z →1
Kv = lim( z −1)G( z)
位置误差
速度误差
加速度误差
r(t) = A×1(t)
A (1 + K p )
r (t ) = At
r(t) = At 2 2
∞ ∞
AT 2 K a
0型
1型 2型
Kp
0
0 0
∞
AT K v
∞
∞
Kv
0
∞
Ka
0
可见，系统稳态误差是随时间线性增长的。当 t = 20T = 20 s 时， ess (20) = 20.5 。 动态误差系数法对单位反馈和非单位反馈系统均适用， 还可以计算由扰动信号引起的稳 态误差。
6.7
动态性能分析
计算离散系统的动态性能， 通常先求取离散系统的阶跃响应序列， 再按动态性能指标定 义来确定指标值。 本节主要介绍离散系统闭环极点分布与其瞬态响应的关系， 以及动态性能 的分析、计算方法。
G( z) =
e −T z + (1 − 2e −T ) ( z − 1)( z − e −T )
(6-63)
称为离散系统的静态速度误差系数。 3．加速度输入时的稳态误差 当系统输入为加速度函数 r (t ) =
A t 2 2 时，其 z 变换函数
R( z ) =
系统稳态误差
AT 2 z ( z + 1) 2( z − 1) 3
e(∞) = lim
z →1
AT 2 ( z + 1) AT 2 AT 2 = = 2( z − 1) 2 [1 + G ( z )] lim( z − 1) 2 G ( z ) Ka
z →1
Kp = lim G ( z )
z →1
z →1
Kv = lim( z −1)G( z)
位置误差
速度误差
加速度误差
r(t) = A×1(t)
A (1 + K p )
r (t ) = At
r(t) = At 2 2
∞ ∞
AT 2 K a
0型
1型 2型
Kp
0
0 0
∞
AT K v
∞
∞
Kv
0
∞
Ka
0
可见，系统稳态误差是随时间线性增长的。当 t = 20T = 20 s 时， ess (20) = 20.5 。 动态误差系数法对单位反馈和非单位反馈系统均适用， 还可以计算由扰动信号引起的稳 态误差。
6.7
动态性能分析
计算离散系统的动态性能， 通常先求取离散系统的阶跃响应序列， 再按动态性能指标定 义来确定指标值。 本节主要介绍离散系统闭环极点分布与其瞬态响应的关系， 以及动态性能 的分析、计算方法。
G( z) =
e −T z + (1 − 2e −T ) ( z − 1)( z − e −T )
8.3线性离散系统的稳态误差
T2 0
稳态加速度 误差系数
II型系统： es*s
()
T2 Ka
Ka
lim z
z 1
12
G(z)
8
单位反馈离散系统的稳态误差终值
输入信号
r(t) R0 1(t)
系统型别
r(t) R1t
r(t) R2 t2 2
0型 系统
R0 1 Kp
I型
系统
0
II型 系统
0
R1T
G(
z
)
z 1
0型系统：
es*s
()
1
1 K
p
Kp
lim G( z)
z1
I型系统：
es*s
()
1 1
0
稳态位置 误差系数
II型系统：
es*s
()
1 1
0
6
2 单位斜坡响应的稳态误差终值
es*s
()
lim
z
T
1 G( z)
z 1
0型系统：es*s ()
kT ts
11
[例6-24] 单位负反馈离散系统的开环脉冲传递函数
G(z)
eT (z
z (1 2eT ) 1)(z eT )
采样周期 T 1 s，闭环系统的输入信号为 r(t) 1 t2
2
用稳态误差系数法求稳态误差终值 es*s () ；
用动态误差系数法求 t 20 s时的稳态误差。
T 0
I型系统：
es*s ()
3-6线性系统的稳态误差计算共37页
e(s)R(s)
e(s)E R((ss))1G(1 s)H(s) ——系统误差传函
29.04.2020
❖ 稳态误差ess
twinkle state steady state
error
error
e(t)ets(t)ess(t) ltim ets(t) 0 ess ltimess(t)
e s s l ti m e ( t) l t im [ e ts ( t) e s s ( t) ] l ti m e s s ( t)
元件的不灵敏、 零点漂移、老化 及机械间隙、摩 擦
29.04.2020
❖ 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和 扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入
量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性 能。
2,2型系统
3 , 使 系 统 稳 定 相 当 困 难 ， 一 般 很 少 采 用 。
29.04.2020
三 典型输入信号作用下系统的稳态误差ess和稳
态误差系数(Kp、Kv、Ka)
1、单位阶跃输入作用下的稳态误差
将R(s)=1/s代入ess
esslsi m 01G (s s)H (s)1 slsi m 01G (1 s)H (s)
输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为系 统误差。
R (s)
1 C ( s ) E (s)
C (s)
G(s)H(s)
H (s)
－
29.04.2020
E(s)C(s)C(s)R(s)C(s) H(s)
两种误差的比较
从输入端定义的误差在实际的物理系统中可 以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义；从 输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测 量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。 两种误差之间的关系
e(s)E R((ss))1G(1 s)H(s) ——系统误差传函
29.04.2020
❖ 稳态误差ess
twinkle state steady state
error
error
e(t)ets(t)ess(t) ltim ets(t) 0 ess ltimess(t)
e s s l ti m e ( t) l t im [ e ts ( t) e s s ( t) ] l ti m e s s ( t)
元件的不灵敏、 零点漂移、老化 及机械间隙、摩 擦
29.04.2020
❖ 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和 扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入
量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性 能。
2,2型系统
3 , 使 系 统 稳 定 相 当 困 难 ， 一 般 很 少 采 用 。
29.04.2020
三 典型输入信号作用下系统的稳态误差ess和稳
态误差系数(Kp、Kv、Ka)
1、单位阶跃输入作用下的稳态误差
将R(s)=1/s代入ess
esslsi m 01G (s s)H (s)1 slsi m 01G (1 s)H (s)
输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为系 统误差。
R (s)
1 C ( s ) E (s)
C (s)
G(s)H(s)
H (s)
－
29.04.2020
E(s)C(s)C(s)R(s)C(s) H(s)
两种误差的比较
从输入端定义的误差在实际的物理系统中可 以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义；从 输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测 量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。 两种误差之间的关系