北京航空航天大学2009-2010学年第一学期期末试卷(A)

考试日期：2009年 1 月16 《 矩阵理论 》（A ）

1. （30分）填空 （注意：本试卷中

I ， I n 均表示单位矩阵）

(1)若2320A A I -+=，则A 相似于( )

(2)若3阶矩阵A I ≠，且220A A I -+=，则A 的极小式=( )；

A 的Jordan 标准形=( )

(2)1231, ,010300a A B b c ??

?? ?== ? ??? ?

?? A B ?的特征值为( ) (3)0

0.8

0.1 , 0 0.5k

k A A ∞=??==

???∑设则（）

(4)0001,1010A B ????

== ? ?-????

设，则

tA e =( ) ；

)t A B e +=(( )； tB e =( )

(5)11661111144411113

3

316A=, x ??

???

???

?=?? ??? ??? ?

??

?

则1A ( )x = (6)111,,1111A 1D=A=,B= B --??????

? ? ?-??????

11A x ??= ???则的最佳极小二乘解是( ) +

D =( )

(7)01,10A ??= ?-??

则 22det()( ), A

A e

e ππ==( ) (8)1 0 1A 1 1 2 0 2 2??

?= ? ???

的满秩分解为 ( )

()

tr() A B ?=()

+() BA =()||A|| ∞=()1||A|| =

(10)设1?是矩阵1范数, ()1,1,,1,

T

n

α=∈ C n x ∈C 则1H x α=( )

2．（14分）(1)画出下列矩阵A 的盖尔圆盘; 证明A 至少有两个实数特征值．

.9

121081110401

001A ??

?

?

= ?

- ?

??

(2)设列满高阵m n A A ?=的QR 分解为A QR =，Q 为次酉阵().H

n Q Q I =

验证：公式1H A R Q +-=满足A +

的4个条件.

3．求下列矩阵的Jordan 标准形J

(1) 111111042A --?? ?

=- ? ?--??

求3()A +；写出2A 的极小式与A 的Jordan 形.

4．（16分）

(1)设A 是ｎ阶正规矩阵，12 , , ,n λλλ 是它的特征值．求A 的奇异值．

(2)求111100 A ?? ?= ? ???与122B ?? ?

= ? ???

的简化短奇异值分解．

(3) 设 121031020A -??

?=- ? ???

， 求A 的谱分解，并求2(cos )A π

+．

5．（8分） 设123(,,)ααα为3维线性空间Ｖ的基，求下列换基公式中的矩阵,,.A B P

111231232312233112311

1223311232

3(1)(,,)(,,)(2)(,,)(,,)(3)(,,)(,,). ;

; A B P αααααααααααααααααααααααα=+++=+++=

6．（8分）设123,,εεε是3R 的基，33

R

A ?∈满足：1223323,,2.A A A εεεεεεε===-

(1)写出线性变换:3

3

R R A →在基123,,εεε下的矩阵B 使得

123123(,,)(,,)B A εεεεεε=

(2) 求A 的谱半径()p A ； (3) 求|e A ?e B

|．

7．（12分）

(1)找出2个4阶不相似矩阵A 与B 使它们有相同的极小式，相同的特征多项式．

8．（附加题）(1)设m m A ?∈ ,n n B ?∈ ,()m n X X t ?=∈ , 证明矩阵微分方程初值问题：

d , (0)d X

AX XB X C t

=+= 的解为At Bt X e Ce =．

(2),,A F A A B 0B B ????

? ????

?

证明：若方阵无公共特征值则与相似 ． (3)若方程AYB D =有一个解W 则+

+Y A

DB =满足方程AYB D =．