高考文科数学复习不等式精选
高考文科数学复习不等式
E 单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )
A.1x －1y
>0 B ．sin x －sin y >0
C.12x －12
y <0 D ．ln x ＋ln y >0
5．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y <0，故结论不成立；选项B 中，当x ＝5π6，y ＝π3
时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x 是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12
y ，所以12x －12
y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立． 8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0 A ．a c B ．ab c C ．a log b c D ．log a c 8．C [解析] 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为b c －1 幂函数性质，该不等式不成立；选项C 中的不等式可以化为a b >logac logbc ＝logcb logca ＝log a b ，此时a b >1，0 ，进而lg a 1．A1，E2[2016·北京卷] 已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 1．C [解析] 集合A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2 1．E2[2016·上海卷] 设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为________． 1．(2，4) [解析] 由题意得－1 E3 一元二次不等式的解法 1．A1，E3[2016·全国卷Ⅰ] 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－3，－32 ) B ．(－3，32 ) C ．1，32 D.32 ，3 1．D [解析] 集合A ＝(1，3)，B ＝(32，＋∞)，所以A ∩B ＝(32 ，3). E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题 12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x ，y 满足?????x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0， 则x 2＋y 2的取值范围是________． 12.45 ，13 [解析] 可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|5 2＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝ 13. 2．E5[2016·北京卷] 若x ，y 满足????－y≤0， x ＋y≤3，x≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 2．C [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，点A 的坐标为(1，2)，目标函数z ＝2x ＋y 变为y ＝－2x ＋z ，当目标函数 z 取得最大值4，故2x ＋y 的最大值是4. 16．E5[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 16．216 000 [解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则 ?????1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x ＋3y≤600，x ∈N ，y ∈N ，即?????3x ＋y≤300，10x ＋3y≤900，5x ＋3y≤600，x ∈N ，y ∈N ， 目标函数为z ＝2100x ＋900y . 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域． 由图可知当直线z ＝2100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值． 解方程组???10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600， 得M 的坐标为(60，100)， 所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2100×60＋900×100＝216 000. ．的最大值为________y ＋x ＝z 则?????x －y ＋1≥0，x －2y≤0，x ＋2y －2≤0，满足约束条件y ，x 若] Ⅲ2016·全国卷[E513． 可行域如图所示． ]解析[ 3213. .32＝12＝1＋max z 取得最大值，所以z 时，A 过点y ＋x ＝z ，当直线）121，（A 得???x ＋2y －2＝0，联立 7．A2，E5[2016·四川卷] 设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足?????y≥x －1，y≥1－x ，y≤1， 则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．A [解析] 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆及其内部； ?????y≥x －1，y≥1－x ，y≤1 ②表示△ABC 及其内部． 实数x ，y 满足②，则必然满足①，反之不成立. 4．E5[2016·山东卷] 若变量x ，y 满足?????x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．12 设z ＝x 2＋y 2，联立???x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，得???x ＝3，y ＝－1， 由图可知，当圆x 2＋y 2＝z 过点(3，－1)时，z 取得最大值，即(x 2＋y 2)max ＝32＋()－12 ＝10. 2．E5[2016·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件?????x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0， 则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) A ．－4 B ．6 C ．10 D ．17 z ＝2x ＋5y 过点(3，0)时，z ＝2x ＋5y 取得最小值6. ?????x －2≤0，x ＋y≥0，x －3y ＋4≥0 上的投影，由区域l 在直线P 得的垂足称为点的垂线所l 作直线P 在平面上，过点中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) B ．4 2A ．2 D ．6 2C ．3 3．C [解析] )，且MN 与AB 平行，故|AB |＝|MN |，易得M (－1，1)，N (2，－2) E6 2a b +≤ 14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 14．8 [解析] 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， ，2（tan Btan C ）2tan Btan C －1＝C tan B ·tan tan B ＋tan C 1－tan Btan C －＝C tan B tan )C ＋B (tan ＝－C tan B tan A tan tan B tan －1>0.令C tan B tan ，即>0tan B ＋tan C tan Btan C －1＝A tan ，>0C tan ，>0B tan 由三角形为锐角三角形得8，≥＋21t ＋t ＝22（t ＋1）2t ＝C tan B tan A tan >0)，则t (t －1＝C 当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号． 方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， 又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan A tan B tan C ， ≥C tan B tan A tan ?2tan Atan Btan C 2≥C tan B tan ＋2A tan ＝C tan ＋B tan ＋A tan ＝C tan B tan A tan 所以8， 当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． 9．B7，E6[2016·四川卷] 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝???－ln x ，0 图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 9．A [解析] 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0 由l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，且f ′(x )＝? ??－1x ，0 1x ，x>1， 得l 1的斜率k 1＝－1x1，l 2的斜率k 2＝1x2 . 又l 1与l 2垂直，且0 ＝－1?x 1·x 2＝1， l 1：y ＝－1x1 (x －x 1)－ln x 1①， l 2：y ＝1x2 (x －x 2)＋ln x 2②， 则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)， 由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2. 联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x1x2）x1＋x2＝2x1＋x2 ， 所以S △PAB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x1＋x2＝2x1＋1x1 ≤1，当且仅当x 1＝1x1，即x 1＝1时，等号成立． 而0 10．E6[2016·上海卷] 设a >0，b >0.若关于x ，y 的方程组???ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1 无解，则a ＋b 的取值范围是________． 10．(2，＋∞) [解析] 将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，该方程无解应该满足1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1，所以由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)． E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性； (2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)． 21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax2－1x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a ， 此时，当x ∈（0，12a ）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a ，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1ex －1，s (x )＝e x －1－x ， 则s ′(x )＝e x －1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0， 所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0， 故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当01. 由(1)有f （12a ） <1002c ＋2b ＋2a 1，则≤|c ＋2b ＋a |＋|c ＋b ＋2a 若|A ． <1002c ＋2b ＋2a 1，则≤|c －b ＋2a |＋|c ＋b ＋2a 若|B ． <1002c ＋2b ＋2a ，则1≤|2c －b ＋a ＋||2c ＋b ＋a 若|C ． <1002c ＋2b ＋2a 1，则≤|c －2b ＋a |＋|c ＋b ＋2a 若|D ． 8．D [解析] 若取a ＝b ＝10，c ＝－110，则A 错；若取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，则B 错；若取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，则C 错．故选D. 4．[2016·重庆七校联考] 下列不等式中成立的是( ) 2bc ＞2ac ，则b ＞a 若A ． 2b ＞2a ，则b ＞a 若B ． b ＋1a ＋1＞b a ＞0，则b ＞a 若C ． 1a ＋b ＞1b ＋a ＞0，则b ＞a 若D ． 错误； A ＝0时取等号，故c ，当2bc ≥2ac ，则b ＞a 中，若A 在 ]解析[ 4．D 错误； B ，故2b ＜2a 为负数时，b ，a ，则当b ＞a 中，若B 在 错误； C ，故34<23不一定成立，例如，3＞2，则b ＋1a ＋1＞b a ＞0，则b ＞a 中，若C 在 正确． D ，故1a ＋b ＞1b ＋a ∴，1a >1b ＞0，则b ＞a 中，若D 在 ) 的最大值为(1y ＋2x ＝4，则b ＋a ＝2，y b ＝x a >1，若b >1，a ，R ∈y ，x 设 ]2016·南昌一中月考[3． 2A. 3 B ．3 2C. 4 D. 4 )．b 2a (2log ＝b 2log ＋2a 2＝log 1logb2 ＋2loga2＝1y ＋2x ，所以2b log ＝y ，2a log ＝x 因为 ]解析[ 3．C 4.≤)b 2a (2log ，所以16≤b 2a 时取等号，所以b ＝a ，当且仅当a b 2≥b ＋a 又4＝ ) 的最小值为(2x ＋y x ＋y ＝z 则?????x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1， 满足y ，x 若实数 ]2016·河南八市重点高中质检[5． 12. D 35B ．2 C. 5 3A. ∈11＋y x ＝1＋2＋y x 1＋y x ＝z (2，1)，易知C (3，0)，A 出可行域如图中阴影部分所示，其中画] 解析[ 5．A A.，故选??? ?53，2 2019高考试题文科数学汇编：不等式 1.【2018高考山东文6】设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? 那么目标函数3z x y =-的取 值范围是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3 [6,]2 - 【答案】A 2.【2018高考安徽文8】假设x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? ，那么y x z -=的最 小值是 〔A 〕-3 〔B 〕0 〔C 〕 3 2 〔D 〕3 【答案】A 3.【2018高考新课标文5】正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 〔A 〕(1－3，2) 〔B 〕(0，2) 〔C 〕(3－1，2) 〔D 〕(0，1+3) 【答案】A 4.【2018高考重庆文2】不等式 1 02 x x -<+ 的解集是为 〔A 〕(1,)+∞ 〔B 〕 (,2)-∞- 〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C 5.【2018高考浙江文9】假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，那么3x+4y 的最小值是 A. 245 B. 285 C.5 D.6 【答案】C 6.【2018高考四川文8】假设变量,x y 满足约束条件3, 212,21200 x y x y x y x y -≥-??+≤?? +≤??≥?≥??，那么34z x y =+的最 大值是〔 〕 A 、12 B 、26 C 、28 D 、33 【答案】C 7.【2018高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,那么目标函数z=3x-2y 的最小值为 A． a a>b>0，由不等式性质知：->->0，所以< >- 7 2 ∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15 62 2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一一元二次不等式解法及其应用 例1若a>b>0，c ?f(m+1)=2m2+3m<0 ，则函数y=4x-2+1的最大值. x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+?+3≤-2+3=1 1 【解析】因为y=x(8-2x)= 1 . 【答案】9,+∞) ?f(m)=2m2-1<02 即?，解得- 2016年高考数学文试题分类汇编 不等式 一、选择题 1、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤??-≤??≥? 则x 2+y 2的最大值是 （A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C 2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这 两条平行直线间的距离的最小值是（ ） 【答案】B 3、（2016年浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --< D. (1)()0b b a --> 【答案】D 二、填空题 1、（2016年北京高考）函数()(2)1 x f x x x = ≥-的最大值为_________. 【答案】2 2、（2016江苏省高考） 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥??+-≥??--≤? ，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ . 【答案】4[,13]5 3、（2016年上海高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】)4,2( 4、（2016上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥??≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 【答案】2- 5、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000 6、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ，则2z x y =-的最小值为 __________ 【答案】5- 7、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则235z x y =+-的最大 值为_____________. 【答案】10- 11、（2016江苏省高考）函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1- 三、解答题 1、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1 车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 不等式选讲考点精细选 一、知识点整合： 1.含有绝对值的不等式的解法 (１)|ｆ(x)|>ａ（ａ>0)?f(ｘ）>a或ｆ（ｘ)<-ａ； (2）|ｆ(x)|＜a(a>０)?-a 2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---选考不等式 1.（2018陕西汉中模拟）已知，不等式的解集是. （Ⅰ）求a 的值； （II ）若存在实数解，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）由, 得，即. 当时，. ………2分 因为不等式的解集是 所以 解得 当时，. …………4分 因为不等式的解集是 所以无解. 所以………5分 （II ）因为 所以要使存在实数解，只需. ……8分 解得或. 所以实数的取值范围是. ……10分 2.（2018呼和浩特模拟）已知函数()1f x x =-. （Ⅰ）解不等式()()246f x f x ++≥； （Ⅱ）若,a b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+. （Ⅰ）不等式()()246f x f x ++≥即为2136x x -++≥ 当3x ≤-时，1236x x ---≥解得3x ≤- 当132 x -<< ，1236x x -++≥解得32x -<≤- 当12x ≥时，2136x x -++≥解得43x ≥ 综上，(]4,2,3x ??∈-∞-+∞???? ； （Ⅱ）等价于证明1ab a b ->- 因为,1a b < ，所以1,1a b -<<，1ab <，11ab ab -=- 若a b =，命题成立； 下面不妨设a b >，则原命题等价于证明1ab a b ->- 事实上，由()()()1110ab a b b a ---=+-> 可得1ab a b ->- 综上，1ab a b ->- 3.（2018东北育才中学模拟）定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.?∈N k .存在实数0x 使()20 2017年高考数学试题分类汇编：不等式 1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________． 【考点】3W ：二次函数的性质． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]， 则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）= =． 最大值为：f （1）=2﹣2+1=1． 则x 2+y 2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【考点】3H ：函数的最值及其几何意义． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5，进而计算可得结论． 0x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x =+ -+a 【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分） f x=│x+1│–│x–2│. 已知函数() f x≥1的解集； （1）求不等式() f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围. （2）若不等式() 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1 高考文科数学题型分类汇总 《不等式》篇 经 典 试 题 大 汇 总 目录 【题型归纳】 题型一一元二次不等式解法及其应用 (3) 题型二应用基本不等式求函数最值 (4) 题型三线性规划 (5) 题型四基本不等式的应用 (7) 【巩固训练】 题型一一元二次不等式解法及其应用 (7) 题型二应用基本不等式求函数最值 (8) 题型三线性规划 (9) 题型四基本不等式的应用 (11) 高考文科数学《不等式》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 一元二次不等式解法及其应用 例1 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A ． a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 【答案】D 【解析】由11 00c d d c <->，又 0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c < 例2 关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ） A ． 52 B ．72 C ．154 D ．15 2 【答案】A 【解析】∵由22280x ax a --< (0a >)，得(4)(2)0x a x a -+<， 即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=. ∵214(2)615x x a a a -=--==，∴155 62 a = =．故选A ． 例3 不等式 29 02 x x ->-的解集是___________． 【答案】(3,2)(3,)-?+∞ 【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不等式即可． 例4 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)( 卢相班 为了备战 2016 年的高考，合理而有效的利用各种资源科学备考，特制定计划如下： 一、指导思想。 研究新教材，了解新的信息，更新观念，探求新的教学模式，加强教改力度，注重团结协作，面向全体学生，因材施教，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学素质，全力促进教学效果的提高。 二、学生基本情况。 新的学期里，本人继续任教高三3、 4 班两个文科班的数学课，这些学生大部分基础知识薄弱，没有自主学习的习惯，自制能力差，上课注意力不集中，容易走神，课后独立完成作业能力差，懒惰思想严重，因此高三下学期的复习任务相当艰巨。 三、工作措施。 1、认真学习《考试说明》，研究高考试题，提高复习课的效率。《考试说明》是命题的依据，备考的依据。高考试题是《考试说明》的具体体现。因此要认真研究近年来的考试试题，从而加深对《考试说明》的理解，及时把握高考新动向，理解高考对教学的导向，以利于我们准确地把握教学的重、难点，有针对性地选配例题，优化教学设计，提高我们的复习质量。 2、教学进度。按照高三数学组学年教学计划进行，结合本班实际情况，进行第二轮、第三轮高三总复习，配合学校举行的月考和南宁市统考，并及时进行教学反思。数学复习要稳扎稳打，不要盲目的去做题，每次练习后都必须及时进行反思总结。如：反思总结解题过程的来龙去脉；反思总结此题和哪些题类似或有联系及解决这类问题有何规律可循；反思总结此题还有无其它解法；反思总结做错题的原因：是知识掌握不准确，还是解题方法上的原因，是审题不清还是计算错误等等。 3、了解学生。通过课堂展示、学生交流互动、批改作业、评阅试卷、课堂板书以及课堂上学生情态的变化等途径，深入的了解学生的情况，及时的观察、发现、捕捉有关学生的信息调节教法，让教师的教最大程度上服务于学生。对于基础较薄弱的学生，应多鼓励、多指导学法，增强他们学下去的信心和勇气。 4、精心备课。精心的备好每一节课，努力提高课堂效率。 5、优化练习。提高练习的有效性：知识的巩固，技能的熟练，能力的提高都需要通过适当而有效的练习才能实现。练习题要精选，题量要适度，注意题目的典型性和层次性，以适应不同层次的学生；对练习要全批全改，做好学生的错题统计，对于错的较多的题目，找出错的原因。练习的讲评是高三数学教学的一个重要的环节，不该讲的就不讲，该点拨的要点拨，该讲的内容一定要讲透；对于典型问题，要让学生展示讲解，充分暴露学生的思维过程，加强教学的针对性。多做限时练习，注重综合。选取“题型小、方法巧、运用活、 （三）不等式 1、0a b a b ；0a b a b ；0a b a b ． 2、不等式的性质：①a b b a ；②,a b b c a c ；③a b a c b c ； ④,0a b c ac bc ，,0a b c ac bc ；⑤,a b c d a c b d ； ⑥0,0a b c d ac bd ；⑦0,1n n a b a b n n ； ⑧0,1n n a b a b n n ．小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式：20,(0)ax bx c a ； （2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格； （2）列出约束条件与目标函数； （3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z ax by -----直线的截距；②22()()z x a y b -----两点的距离或圆的半径；4、均值定理：若0a ，0b ，则2a b a b ，即2a b ab ．20,02a b ab a b ； 2a b 称为正数a 、b 的算术平均数， ab 称为正数a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设 x 、y 都为正数，则有⑴若 x y s （和为定值），则当x y 时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p （积为定值），则当x y 时，和x y 取得最小值2p ． [基本知识] 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 ? ???? (1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a b ≥2，ab >0；(3)ab ≤??? ? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R ；(4)a 2 ＋b 2 2≥ ???? a ＋ b 22 ，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时 等号成立. 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最 小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (2)函数f (x )＝cos x ＋ 4 cos x ，x ∈????0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1 a 2的最小值为2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题 1．当x >0时，函数f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 答案：1 2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤????a ＋b 22 ＝14，当且仅当a ＝b ＝1 2 时取到等号． 答案：2 1 4 3．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为________． 解析：∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥2 4ab ·1ab ＝4， 当且仅当????? a 2＝2 b 2，4ab ＝1 ab ，即?? ? a 2＝22， b 2 ＝24 时取得等号． 答案：4 4．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1 b 的最小值为________． 解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1 b ＝????13a ＋23b ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝3 2时取等号． 答案：83 2018高考文科数学不等式专项100题（WORD 版含答案） 一、选择题（本题共64道小题） 1. 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ） A ．﹣7 B ．﹣4 C ．1 D ．2 2. 设集合A={x|x ＜0}，B={x|x 2﹣x ≥0}，则A ∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0） C ．[1，+∞） D ．[0，1） 3.若x ，y 满足约束条件120(21)(1)0x y x y x x -≤?? -≥??+-≤? ，则242x y x --+的最大值为 A. 3 B. 7 C. 9 D. 10 4. 设0a >，0b > 3a 与3b 的等比中项，则11 a b +的最小值为（ ）． A ．8 B ． 14 C ．1 D ．4 5. 若实数x 、y 满足000x y x y x -?? +??? ≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）． A ．0 B ．1 C ． 32 D ．2 6. 实数x ，y 满足101020x x y x y +?? -+??+-? ≥≥≤，则4y x -的取值范围是（ ）． A ．(],4-∞ B ．(],7-∞ C ．1,42??-?? ?? D ．1,72??-???? 7. 已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ）． A ．0a b +> B ． 11a b > C ．2ab b < D ．330a b -< 8. 若a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ． B ．ab ＜1 C ． D ． 9. 已知实数x ，y 满足?? ? ??≤≤--≥+-1x 01y 3x 01y x ，则z=3x ﹣y 的最大值为（ ） A ．﹣5 B ．1 C ．3 D ．4 10. 若集合A={x| 02 x 5 x ≤-+}，B={x||x|＜3}，则集合 A ∪B 为（ ） A ．{x|﹣5＜x ＜3} B ．{x|﹣3＜x ＜2} C ．{x|﹣5≤x ＜3} D ．{x|﹣3＜x≤2} 11. 若x ，y 满足?? ? ??≥≤+≤-0x 1y x 0y x ，则z=x+2y 的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 2 3 D ．2 12. 设x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣2y 的最大值为（ ） A ．1 B ．4 C ．8 D ．11 13. 若x ，y 满足约束条件?? ? ??-≥≤+≤1y 1y x x y ，则z=2x ﹣y 的最大值为（ ） A ．5 B ．3 C ．﹣1 D ． 2 1 高三文科数学小综合专题练习 ——不等式 一、选择题 1. 若,a b 为实数,则“01ab <<”是“1 b a < ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2. 如果函数a bx ax y ++=2 的图象与x 轴有两个交点，则点),(b a 在aob 平面上的区域(不含边界)为 3. 函数1 ()lg(1)1f x x x = ++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 4. 若关于x 的方程012 =++mx x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞，-2) ∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞） 5. 若变量x 、y 满足约束条件6 321x y x y x +>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 . 8. 若关于x 的不等式||2x m -<成立的充分不必要条件是23x ≤≤，则实数m 的取值范围是 . 9．若实数,x y 满足2 2 1x y xy ++=，则x y +的最大值是 . 10. 函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数 n mx y +=的图象上，其中0mn >，则 12 m n +的最小值为 . 专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲 2019年 1.（2019全国II 文23）已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围. 2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） ； （2）． 3.(2019全国III 文23）设，且. （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 2010-2018年 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； ()|||2|().f x x a x x x a =-+--1a =()0f x <(,1)x ∈-∞()0f x (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围． 3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分) 若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求2 2 2 x y z ++的最小值． 5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，33 2a b +=，证明： (1)5 5 ()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2 ()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围． 数 学 E 单元 不等式 E1 不等式的概念与性质 5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1 y >0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －1 2y <0 D ．ln x ＋ln y >0 5．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1 y <0，故结论不成立；选项B 中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝1 2x 是定义在 R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e － 2时， 结论不成立． 8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1，0 【解析】(1)因为 f(x)＝|x －1|＋|x －2|＝ ?1,1 ≤x ≤2, ?2x - 3, x ＞2. (2)因为 f(x)＝ ?1,1 ≤ x ≤2, 所以 f(x)min ＝1. ?2x - 3, x ＞2. . 【答案】 (1)?－1－ 17 －1＋ 17?. ∴a 2＋ a ＋2≤3，解得 ≤a ≤ . 即实数 a 的取值范围是?－1－ 17，－1＋ 17?. 4 4 4 4 2020 年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 解绝对值不等式 例 1、设函数 f(x)＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式 f(x)＞3； (2)若 f(x)＞a 对 x ∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1). ?3 - 2x, x ＜1, ? ? 所以当 x ＜1 时，3－2x ＞3，解得 x ＜0； 当 1≤x ≤2 时，f(x)＞3 无解； 当 x ＞2 时，2x －3＞3，解得 x ＞3. 所以不等式 f(x)＞3 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). ?3 - 2x, x ＜1, ? ? 因为 f(x)＞a 恒成立， 【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号 【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝 对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式 例 2、 1 (1)若不等式 |x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋2a ＋2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ________． ? ? 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3， 1 －1－ 17 －1＋ 17 2 4 4 ? ? 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题 【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的 x 即可；不等式的恒成立问题，可 1 E 不等式 E1 不等式的概念与性质 10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a b D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x ＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误； 由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a 一、填空题 1．已知0 当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”． 答案：4 4．不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥ －2. 答案：[－2，＋∞) 5．当x 2－2x <8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2 的最小值是________． 解析：由x 2－2x <8，得－22019高考试题文科数学汇编：不等式
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
2016年高考文科数学真题分类汇编：不等式
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
高考文科数学不等式选讲考点精细选
2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---选考不等式
高考数学试题分类汇编不等式含文科理科及详细解析
高三高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
年高三文科数学下学期教学计划
高考文科数学不等式
高考文科数学解析基本不等式
2018高考文科数学不等式专项100题(WORD版含答案)
高三文科数学小综合专题练习--不等式
文科数学2010-2019高考真题汇编 不等式选讲
2018高考文科数学复习不等式
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练
高考数学真题精选题不等式(文科)
基本不等式-高考文科数学专题练习