高考数学真题精选题不等式(文科)

E 不等式

E1 不等式的概念与性质

10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a b D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a

10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b ＋3b ，令函数f (x )＝e x ＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；

由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )

7．E1、B6、B7[2012·湖南卷] 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞c

b

；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③

7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．

[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．

1．E1、E3[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )

A ．(－∞，－1) B.?

???－1，－2

3 C.????－2

3，3 D ．(3，＋∞)

1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．

因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝??????x ?

?

x >－23＝????－2

3，＋∞， B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，

所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.

6．D3、E1[2012·北京卷] 已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2

B ．a 21＋a 23≥2a 2

2

C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2

D ．若a 3>a 1，则a 4>a 2

6．B [解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．

对于A 选项，当数列{a n }首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如a n ＝(－1)n ，a 1

＋a 3＝－2<2a 2＝2，故A 错误；对于B 选项，a 21 ＋ a 23 ≥2|a 1 a 3 | ＝ 2a 2

2 ，明显成立，故B

正确；对于C 选项，由a 1＝a 3＝a 1q 2只能得出等比数列公比q 2＝1，q ＝±1，当q ＝－1时，a 1≠a 2，故C 错误；对于选项D ，由a 3>a 1可得a 1(q 2－1)>0，而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响，不一定为正，也就得不出a 4>a 2，故D 错误．

E2 绝对值不等式的解法

9．E2[2012·天津卷] 集合A ＝{ x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．

9．－3 [解析] 将|x －2|≤5去绝对值得－5≤x －2≤5，解之得－3≤x ≤7，∴x 的最小整数为－3.

E3 一元二次不等式的解法

13．E3[2012·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．

13．9 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．

由条件得a 2－4b ＝0，从而f (x )＝???

?x ＋a

22， 不等式f (x )

2

＋c ，

故?

??

－a

2－c ＝m ，－a

2

＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，c ＝9.

12．E3[2012·湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．

12．{x |2≤x ≤3} [解析] 本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式．

解不等式得 (x －2)(x －3)≤0，即2≤x ≤3，所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}．

[易错点] 本题易错一：把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为{x |2

14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．

14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．

由已知g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，

当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，

也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即?

????

2m <1，－m －3<1，

可得m ∈(－4,0)．

1．E1、E3[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )

A ．(－∞，－1) B.?

???－1，－2

3 C.????－2

3，3 D ．(3，＋∞)

1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．

因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝??????x ?

?

x >－23＝????－2

3，＋∞， B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，

所以A ∩B ＝(3，＋∞)，21．B12、E3[2012·广东卷] 设00}，

B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .

(1)求集合D (用区间表示)；

(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．

21．解：(1)x ∈D ?x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0.

令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)．

①当1

3

∴?x ∈R ，h (x )>0，∴B ＝R .

于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．

②当a ＝1

3

时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解

x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3???

?1＋134＝1，

∴B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．

于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．

③当0

3时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解

x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)

4

，

x 2＝

3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)

4

.

∵x 10，

∴B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)．

又∵x 1>0?a >0，

∴D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．

(2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0

①当1

3

由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为 f (x )在D 内的极小值点．

②当a ＝1

3

时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．

由表可得，x ＝1

3为f (x )在D 内的极大值点．

③当0

3时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．

∵x 1＝3＋3a －

3(3a －1)(a －3)

4

＝

3＋3a －

(3－5a )2－16a 2

4

≥1

4[3＋3a －(3－5a )]＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1， x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)

4

＝3＋3a ＋

(1－3a )2＋(8－24a )

4

>3＋3a ＋(1－3a )4＝1，

∴a ∈D,1?D .

由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点．

答案为D.

2．E3[2012·重庆卷] 不等式x －1

x ＋2

<0的解集为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－∞，－2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

2．C [解析] 原不等式等价于(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，选C. [点评] 分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：(1)

f (x )

g (x )

>0?

f (x )

g (x )>0；(2)f (x )

g (x )

<0?f (x )g (x )<0.

10．A1、E3、B6[2012·重庆卷] 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(0,1)

C ．(－1,1)

D ．(－∞，1) 10．D [解析] 因为f (g (x ))＝[g (x )]2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式[g (x )]2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x －2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x －2＜2,3x ＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.

E4 简单的一元高次不等式的解法

11．E4[2012·江西卷] 不等式x 2－9

x －2

>0的解集是________．

11．{x |－33} [解析] 原不等式可化为(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，利用穿针引线法可得{x |－33}．

17．B12、E4[2012·重庆卷] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；

(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．

17．解：因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .

由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16.

故有?????

f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，

即????? 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得?????

12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，

解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.

当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.

由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.

此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.

E5 简单的线性规划问题

2．E5[2012·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件????

?

2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

x －1≤0，则目标函数z ＝3x －

2y 的最小值为( )

A ．－5

B ．－4

C ．－2

D ．3

2．B [解析] 概括题意画出可行域如图．

当目标函数线过可行域内点A (0,2)时，目标函数有最小值z ＝0×3－2×2＝－4.

8．E5[2012·四川卷] 若变量x ，y 满足约束条件?????

x －y ≥－3，

x ＋2y ≤12，2

x ＋y ≤12，

x ≥0，y ≥0，

则z ＝3x ＋4y 的最大

值是( )

A ．12

B ．26

C ．28

D ．

33

8．C [解析] 由已知，画出可行域如图， 可知当x ＝4，y ＝4时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，

最大值为28. 10．E5[2012·上海卷] 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．

10．－2 [解析] 考查简单的线性规划问题，此题的难点是如何正确画出可行域．

画图可知，约束条件表示的区域是一个平行四边形区域，四个顶点分别是(0,1)，(2,0)(0，－1)(－2,0)．通过平移参照直线y －x ＝0，可知在(2,0)处取得最小值，z min ＝0－2＝－2.

9．E5[2012·辽宁卷] 设变量x ，y 满足?????

x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，

0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

9．D [解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

不等式组表示的区域如图1－1所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z

3

，故而

当截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于???

??

x ＋y ＝20，

y ＝15

??

????

x ＝5，

y ＝15，故而A 的坐标为(5,15)，代人z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55. 5．E5[2012·课标全国卷] 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )

A ．(1－3，2)

B ．(0,2)

C ．(3－1,2)

D ．(0,1＋3)

5．A [解析] 由正三角形的性质可求得点C ()

1＋3，2，作出△ABC 表示的可行域(如下图所示不含△ABC 的三边)．

可知当直线z ＝－x ＋y 经过点C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取得最小值，且z min ＝1－3；当直线z ＝－x ＋y 经过点B (1,3)时，z ＝－x ＋y 取得最大值，且z max ＝2.因为可行域不含△ABC 的三边，故z ＝－x ＋y 的取值范围是()

1－3，2.故选A.

5．E5[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≤1，

x －y ≤1，

x ＋1≥0，

则z ＝x ＋2y 的最小值为

( )

A ．3

B ．1

C ．－5

D ．－6

5．C [解析] 作出可行域，如图所示．

目标函数变形为：y ＝－12x ＋1

2

z ，平移目标函数线，显然当直线经过图中A 点时，z 最小，

由?????

x ＝－1，x －y ＝1

得A (－1，－2)，所以z min ＝－1－4＝－5.所以选择C. 10．E5[2012·福建卷] 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件?????

x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，

x ≥m ，则

实数m 的最大值为( )

A ．－1

B ．1 C.3

2

D ．2

10．B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示，

根据题意，显然当直线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3相交，交点的横坐标即为m 的最大值，

解方程组：?????

y ＝2x ，

y ＝－x ＋3，

解得x ＝1.所以当m ≤1时，直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束

条件，所以m 的最大值为1.

14．E5[2012·全国卷] 若x ，y 满足约束条件????

?

x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为

________．

14．－1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．

利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z 取最小值－1.

8．E5[2012·安徽卷] 若x ，y 满足约束条件????

?x ≥0，x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )

A ．－3

B ．0 C.3

2

D ．3

8．A [解析] 作出不等式组????

?x ≥0，x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3 表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界

及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得

最小值，即z min ＝－3.

14．E5[2012·浙江卷] 设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足?????

x －y ＋1≥0，

x ＋y －2≤0，

x ≥0，

y ≥0，则z 的取值

范围是________．

14．[答案] ???

?0，7

2 [解析] 约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z

2

在B 点取得最大值，在O

点取得最小值，B 点坐标为????12，32， 故z ∈

??

?0，7. 21．B9、B12、E5[2012·n ∈N ＋，b ，c ∈R )．

(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间????

12，1内存在唯一零点； (2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值；

(3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1. ∵f ????12f (1)＝???

?12n －12×1＜0. ∴f (x )在????12，1内存在零点．

又当x ∈????

12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0， ∴f (x )在????12，1上是单调递增的，

∴f (x )在????12，1内存在唯一零点．

(2)解法一：由题意知?????－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，即?????

0≤b －c ≤2，

－2≤b ＋c ≤0.

由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0，

∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.

解法二：由题意知

－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得

－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，

当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.

解法三：由题意知?

????

f (－1)＝1－b ＋c ，

f (1)＝1＋b ＋c ，

解得b ＝f (1)－f (－1)2，c ＝f (1)＋f (－1)－2

2，

∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.

又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，

所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .

对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：

①当????b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．

②当－1≤－b

2＜0，即0＜b ≤2时，

M ＝f (1)－f ????－b 2＝????b

2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b

2

≤1，即－2≤b ≤0时，

M ＝f (－1)－f ????－b 2＝????b

2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2.

注：②，③也可合并证明如下： 用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者． 当－1≤－b

2

≤1，即－2≤b ≤2时，

M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ????－b 2 ＝

f (－1)＋f (1)2＋|f (－1)－f (1)|2

－f ????－b

2 ＝1＋c ＋|b |－????－b

24＋c ＝????1＋|b |

22≤4恒成立． 3．E5、K3[2012·北京卷] 设不等式组?

????

0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随

机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )

A.π

4 B.π－22

C.π

6 D.4－π4

3．D [解析] 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识．

如图所示，P ＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π

4

.

14．E5[2012·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件????

?

x －y ≥－1，x ＋y ≥1，

3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y

的最小值是________．

14．[答案] 2

[解析] 作出不等式组????

?

x －y ≥－1，x ＋y ≥1，

3x －y ≤3 所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边

界)．

可知当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝1与直线3x －y ＝3的交点M (1,0)时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，且z min ＝2.

6．E5[2012·山东卷] 设变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋2y ≥2，

2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，

则目标函数z ＝3x －y

的取值范围是( )

A.????－32，6

B.???

?－3

2，－1 C ．[－1,6] D.?

???－6，32 6．A [解析] 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题． 可行域为如图所示阴影部分．

当目标函数线l 移至可行域中的A 点(2,0)时，目标函数有最大值z ＝3×2－0＝6；当目

标函数线l 移至可行域中的B 点????12，3时，目标函数有最小值z ＝3×12－3＝－32

. E6

2

a b

+≤

9．E6[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6

9．C [解析] 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．

由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋3

5x

＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )????15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x

≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．E6、E8[2012·陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )

A ．a ＜v ＜ab

B ．v ＝ab

C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b

2

10．A [解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝

2s ???

?s a ＋s b ＝2ab a ＋b ，又∵a

2ab ＝ab ，∴a

21．B12、E7[2012·辽宁卷] 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：

(1)当x >1时，f (x )<3

2

(x －1)；

(2)当1

x ＋5.

21．解：(1)(证法一)

记g (x )＝ln x ＋x －1－3

2

(x －1)．则当x >1时，

g ′(x )＝1x ＋12x －3

2<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减．

又g (1)＝0，有g (x )<0，即

f (x )<3

2(x －1)．

(证法二)

由均值不等式，当x >1时，2x

x

.① 令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1

x －1<0，

故k (x )<0，即 ln x

由①②得，当x >1时，f (x )<3

2(x －1)．

(2)(证法一)

记h (x )＝f (x )－9(x －1)

x ＋5

，由(1)得

h ′(x )＝1x ＋12x －54

(x ＋5)2

＝2＋x 2x －54(x ＋5)2

＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2

令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1

因此g (x )在(1,3)内是递减函数，又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0.

因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1

x ＋5.

(证法二)

记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1

h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9

<32(x －1)＋(x ＋5)????1x ＋12x －9

＝1

2x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ????3x (x －1)＋(x ＋5)????2＋x 2＋12－18x ＝1

4x (7x 2－32x ＋25) <0.

因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9(x －1)

x ＋5

.

E8 不等式的综合应用

14．E8[2012·江苏卷] 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则

b

a

的取值范围是________．

14．[e,7] [解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c ，三元换成两元．

题设条件可转化为?????

3a c ＋b

c

≥5，a c ＋b

c ≤4，

b c ≥e a c ，

记x ＝a c ，y ＝b

c

，则?????

3x ＋y ≥5，

x ＋y ≤4，

y ≥e x

，x ，y >0，

且目标函数

为z ＝y

x

，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方

程组?????

3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，

得交点坐标为C ???

?

12，72，此时z max ＝7.又过原点作曲线y ＝e x 的切线，切点为(x 0，y 0)，因y ′＝e x ，故切线斜率k ＝e x 0，切线方程为y ＝e x 0x ，而y 0＝e x 0且y 0＝e x 0x 0，解之得x 0＝1，故切线方程为y ＝e x ，从而z min ＝e ，所求取值范围为[e,7]．

15．E8[2012·福建卷] 已知关于0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．

15．(0,8) [解析] 不等式在R 上恒成立，则满足Δ＝a 2－4×2a <0，解得0

10．E6、E8[2012·陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )

A ．a ＜v ＜ab

B ．v ＝ab

C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b

2

10．A [解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝

2s ???

?s a ＋s b ＝2ab a ＋b

，又∵a

2ab ＝ab ，∴a

21．B12、E8[2012·课标全国卷] 设函数f (x )＝e x －ax －2. (1)求f (x )的单调区间；

(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．

21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，

所以，f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k

e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1

e x －1

＋x ，

则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)

(e x －1)

2

. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．

又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k

22．B12、E8[2012·湖北卷] 设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x ＞0)，n 为整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.

(1)求a ，b 的值；

(2)求函数f (x )的最大值；

(3)证明：f (x )＜1

n e

.

22．解：(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0. 因为f ′(x )＝anx n －1－a (n ＋1)x n ，所以f ′(1)＝－a ，

又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0.

(2)由(1)知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)x n －1? ??

??n

n ＋1－x .

令f ′(x )＝0，解得x ＝n n ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝n

n ＋1

.

在? ??

??0，n n ＋1上，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 而在? ??

??n n ＋1，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．

故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ? ??

??

n n ＋1＝

? ????n n ＋1n ? ????1－n n ＋1＝

n n

(n ＋1)n ＋1. (3)证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t (t ＞0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1

t 2(t ＞0)．

在(0,1)上，φ′(t )＜0，故φ(t )单调递减； 而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，φ(t )单调递增．

故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t )＞0(t ＞1)，

即ln t ＞1－1

t (t ＞1)．

令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n ＞1

n ＋1

，即ln ? ????n ＋1n n ＋1＞lne ， 所以? ????n ＋1n n ＋1＞e ，即

n n (n ＋1)n ＋1＜1n e

. 由(2)知，f (x )≤n n

(n ＋1)n ＋1＜1n e ，故所证不等式成立．

9．A2、E8[2012·湖北卷] 设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1

c

≤a ＋b ＋c ”的( )

A ．充分条件但不是必要条件

B ．必要条件但不是充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要的条件 9．A

[解析] 先考察充分性：

当abc ＝1时，

1a ＋1b ＋1c ＝abc a ＋abc b ＋abc c

＝ab ＋bc ＋ca ， 又因为2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号)，

即1a ＋1b ＋1

c

＝ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c ，故充分性成立；

再考察必要性： 取a ＝b ＝c ＝3，显然有

1a ＋1b ＋1

c

≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，故必要性不成立．应选A. E9 单元综合

17．E9[2012·江苏卷] 如图1－5，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂

直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －1

20(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不

17．解：(1)令y ＝0，得kx －

1

20

(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋

1k ≤20

2＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km. (2)因为a >0，所以

炮弹可击中目标?存在k >0，使3.2＝ka －1

20(1＋k 2)a 2成立

?关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ?a ≤6.

所以当a 不超过6 km 时，可击中目标． 16．E9[2012·四川卷] 设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；

②若1b －1

a

＝1，则a －b <1；

③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1. 其中的真命题有________． (写出所有真命题的编号)

16．①④ [解析] 由a 2－b 2＝1，所以a 2＝1＋b 2＞1，又a 是正实数，故a ＞1，进而a ＋b ＞1，

分解因式得(a ＋b )(a －b )＝1，

∴a －b ＝1

a ＋

b ＜1.①正确．

由1b －1a ＝1且a 、b 是正实数，可得a －b ＝ab ，不能保证小于1，如b ＝2

3

，a ＝2， 此时a －b ＝ab ＝4

3＞1.②错误．

由|a －b |＝1，取a ＝4，b ＝1可知|a －b |＝3＞1，故③错误．

由|a 3－b 3|＝1，不妨设a ＞b ，即a 3－b 3＝1，于是a 3＝1＋b 3，因为a 、b 都是正实数， 故a 3＝1＋b 3＞1?a ＞1，

于是(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝1?a －b ＝1

a 2＋a

b ＋b 2

＜1，从而④正确．

21．H10、E9[2012·四川卷] 如图1－6，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .

(1)求轨迹C 的方程；

(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ |<|PR |，求|PR |

|PQ |

的取值范围． 21．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．

于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为y

x －1

，

由题意，有y x ＋1·y

x －1＝4，

化简可得，4x 2－y 2－4＝0.

故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．

(2)由?

????

y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)

对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1，

结合题设(m >0)可知，m >0，且m ≠1.

设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根． 因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2

m 2＋33

，x R ＝

m ＋2

m 2＋3

3.

所以|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |

＝

21＋

3m 2

＋12

1＋3m 2－1＝

1＋2

2

1＋3m 2－1. 此时1＋3m 2>1，且1＋3

m

2≠2.

所以1<1＋221＋3m 2－1<3，且1＋221＋3

m

2－1

≠5

3，

所以1<|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |<3，且|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |≠5

3

.

综上所述，|PR |

|PQ |

的取值范围是????1，53∪????53，3. 22．B14、E9、J3、D5[2012·四川卷] 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2

＋a n

2

与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距． (1)用a 和n 表示f (n )；

(2)求对所有n 都有f (n )－1f (n )＋1≥n

n ＋1

成立的a 的最小值；

(3)当0

f (n )－f (2n )与6·f (1)－f (n ＋1)f (0)－f (1)

的大小，并

说明理由．

22．解：(1)由已知得，交点A 的坐标为???

?a n 2，0，对y ＝－x 2＋12a n 求导得y ′＝－2x ，

则拋物线在点A 处的切线方程为y ＝－2a n ?

???x －a n 2，即y ＝－2a n x ＋a n .则f (n )＝a n . (2)由(1)知f (n )＝a n

，则f (n )－1f (n )＋1≥n

n ＋1

成立的充要条件是a n ≥2n ＋1.

即知，a n ≥2n ＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝1得到a ≥3. 当a ＝3，n ≥1时，a n ＝3n ＝(1＋2)n ＝1＋C 1n ·

2＋…≥2n ＋1. 当n ＝0时，a n

＝2n ＋1.故a ＝3时，f (n )－1f (n )＋1≥n n ＋1

对所有自然数n 均成立．

所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )＝a k .

下面证明：1

f (1)－f (2)＋1

f (2)－f (4)＋…＋1

f (n )－f (2n )>6·f (1)－f (n ＋1)

f (0)－f (1)

.

首先证明：当0

x －x

2

>6x . 设函数g (x )＝6x (x 2－x )＋1,0

则g ′(x )＝18x ????x －23. 当0

3

0.

故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min ＝g ????23＝1

9>0.

所以，当00，即得1

x －x 2

>6x .

由0

a k －a

2k

>6a k ，从而 1f (1)－f (2)＋1f (2)－f (4)＋…＋1

f (n )－f (2n )

＝1a －a 2＋1a 2－a 4＋…＋1a n －a 2n

>6(a ＋a 2＋…＋a n ) ＝6·a －a n ＋11－a

＝6·f (1)－f (n ＋1)f (0)－f (1).