高二数学下册第二次阶段性考试试题2
浙江省湖州中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试 数学试题
高二数学月考姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x xB =∈<=R 则A B ⋂=（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知正态分布()21,N σ的正态密度曲线如图所示，()2~1,X N σ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A ．()102P X -≤B ．()122P X -≥C ．()1122P X -≤≤D ．()()112022P X P X ≤-≤3．若:1p k =，:q 函数()1lnkx f x x k-=+为奇函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（）A ．42B ．35C ．7D ．15．2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为25和35．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为35；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为12．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）A ．2350B ．12C ．25D ．596．植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）A ．30B ．36C ．40D ．427．下列说法正确的是（）A ．随机变量()~3,0.2XB ，则()20.032P X ==B ．某人在7次射击中，击中目标的次数为X 且()~7,0.8X B ，则当5X =时概率最大；C ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D ．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2e xg x f x x '=-+也是定义在R 上的奇函数，则关于x 的不等式()()21220g x g x -++>的解集为（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()1,3-D ．()3,1-二、多选题9．已知52(2)x a x+的展开式中所有项的系数之和为1，则（）A ．展开式的常数项为40-B ．1a =C ．展开式中系数最大的项的系数为80D ．所有幂指数为非负数的项的系数和为8-10．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥+D 2≤11.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n 次后质点位于位置n X .则下列命题正确的是（）A.3(0)0P X ==B.41(2)4P X =-=C.()0n E X =D.移动n 次后质点最有可能回到原点.三、填空题12．已知随机变量ξ的取值为i （i ＝0，1，2）．若(015)P ξ==，()1E ξ=，则()23D ξ-=____．13．用模型e bx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,9i i x y i =⋅⋅⋅，其中51129y y y e ⋅⋅⋅=.设ln z y =，变换后的线性回归方程为ˆ5=+zx ，则129x x x ++⋅⋅⋅+=_______．14．已知实数a ，b 满足()e 1e ln a bb a b -+=-，则2b a -的最大值是_______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()11f x x x=++．(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,1上是减函数．16.已知函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.17盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．18.已知()21e 4e 52xx f x ax =-+--.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.19．（本小题满分17分）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <1624PM2.5的平均浓度100y ≥20合计22（1）完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？（2）经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足502811.2310ii x==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y 的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.010.0050.001x α6.6367.87910.828回归方程ˆˆˆya xb =+，其中()()()112211ˆnniii ii i nni ii i x x y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆab y x =-；相关系数()()niix x y y r --=∑参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈．参考答案：1．B 2．C【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.【详解】正态分布()21,N σ的正态密度曲线关于直线1x =对称，可得图中阴影部分可表示为()()()()()1101100222P X P X P X P X P X ≤≤=≤-≤=-≤=-≥，故选项A ，B 正确；对C ：由对称性可得()()()112202P X P X P X -≤≤=≥=≤，故选项C 错误；对D ：由对称性可得()()0112P X P X ≤≤=≤≤，所以图中阴影部分面积可表示为()()()101202P X P X P X ⎡⎤≤≤=≤-≤⎣⎦，故选项D 正确．故选：C ．3．A 4．A【分析】写出展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】()71x +的展开式通项为()17C 0,1,2,,7r rr T x r +=⋅= ，因为()()()7773311111x x x x x -=⎛⎫++++ ⎝⎭+⎪，在()7C 0,1,2,,7r r x r ⋅= 中，令3r =，可得3x 项的系数为37C 35=；在()3377C C 0,1,2,,7k k k k x x x k --⋅=⋅= 中，令33k -=，得6k =，可得3x 项的系数为67C 7=.所以，()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为35742+=.故选：A.5．D【分析】设出事件，根据条件概率公式得到()()63,2510P AB P BC ==，结合全概率公式求出答案.【详解】设小明第一天去甲影院为事件A ，第二天去甲影院为事件B ，小明第一天去乙影院为事件C ，第二天去乙影院为事件D .故()()()()2331,,,5552P A P C P B A P B C ====，由()()()()()()31,52P AB P BC P B A P B C P A P C ====可得()()63,2510P AB P BC ==，故()()()6327251050P B P AB P CB =+=+=，则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为()()()351027950P BC P C B P B ===.故选：D 6．C【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，两种情况，求出浇水顺序，相加得到答案.【详解】若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，故不同的浇水顺序有23232A A 24=种，若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择，再将剩余的两为同学进行排列，则不同的浇水顺序有222222A A 16⨯=种，则不同的浇水顺序共有241640+=种．故选：C 7．D 8．A【分析】根据()g x 为奇函数及()f x '为偶函数可求()g x ，利用导数可判断()g x 为R 上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为()()2e x g x f x x =-+'，故()()2e 2e 0x xf x x f x x --++'---='，故()()2e 2e x xf x f x -+-=+''，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故()()0f x f x +-=，故()()0f x f x ''--=，故()e e x x f x -='+，故()e e x xg x x -=-++，此时()e e 1210x xg x -=--+≤-+<'，故()g x 为R 上的减函数，而()()21220g x g x -++>等价于()()2122g x g x ->--，即2122x x -<--即2230x x -->，故1x <-或3x >故选：A.9．ACD 【分析】令1x =，根据系数可得1a =-，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断.【详解】令1x =，得5(2)1a +=，解得1a =-，B 错误；因为5(21)x -的展开式的通项公式为()()55155C 21C 2,0,1,2,3,4,5rrr r r r T x xr --+=⨯==，可得54532(21)32808040101x x x x x x -=-+-+-，则53222(21)10132808040x x x x x x x -=-+-+-，则有：展开式的常数项为40-，A 正确；展开式中系数最大的项的系数为80，C 正确；所有幂指数为非负数的项的系数和为328080408-+-=-，D 正确．故选：ACD.故选：BCD 11．ABC【详解】（1）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1(,2Y B n ，()2n X Y n Y Y n =--=-，所以1344111(2)(1)C ()(224P X P Y =-====.（2）由（1）知，1(,2Y B n ，1()22nE Y n =⋅=，又2n X Y n =-，所以()2()0n E X E Y n =-=.（3）由（1）知，C 11()C ()()222k k k n k nnnP Y k -===，N,k k n ∈≤，当n 为偶数时，{C }kn 中间的一项2C nn取得最大值，即2nY =时概率最大，此时0n X =，所以质点最有可能位于位置0；当n 为奇数时，{C }kn 中间的两项1122C,Cn n nn-+取得最大值，即12n Y -=或12n Y +=时概率最大，此时1n X =-或1n X =，所以质点最有可能位于位置1-或1.故选：ABC 12．85【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，求出()()315125P P ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，再结合方差公式，即可求解.【详解】随机变量ξ的取值为i (i ＝0，1，2），()105P ξ==，()1E ξ=，则()()()()12214125P P P P ξξξξ⎧=+==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()()315125P P ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以2221312()(01)(11)(21)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，故()()282325D D ξξ-==.故答案为：85.13．6【详解】根据回归直线方程，必过样本点中心()x z ，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.【分析】因为线性回归方程为ˆ5=+zx 恒过()x z ，因为51129e y y y ⋅⋅⋅=，所以()129ln 51y y y ⋅⋅⋅=，即()129129ln ...ln ln ...ln 51999y y y y y y z +++===，6515599z x =+=+=，129699x x x x ++⋅⋅⋅+==，1296x x x ++⋅⋅⋅+=，故答案为：6.14．2ln 22-【提示】因为()e 1e ln a bb a b -+=-，所以()ln eln e a bb a b b +++=+，设()e x f x x =+，则()e 10xf x '=+>，所以函数()e xf x x =+在(),-∞+∞上单调递增，所以ln a b b +=，四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()11f x x x=++．(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,1上是减函数．16.已知函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，所以()1e 1f =-，()1e 1f '=-，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-；【小问2详解】要使()0f x ≥恒成立，则需()min 0f x ≥成立，()e x f x a '=-，当a<0时，()0f x '>，所以()f x 在(),∞∞-+递增，而11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，不合题意；当0a =时，()e 0xf x =>恒成立，符合题意；当0a >时，令()0f x '=得ln x a =，则()f x 在(),ln a ∞-递减，在()ln ,a ∞+递增，所以()()min ln ln 0f x f a a a a ==-≥，解得0e a <≤.综上所述，0e a ≤≤.17.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知()21e 4e 52xx f x ax =-+--.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.（1）当3a =时，()21e 4e 352xx f x x =-+--，()()()2e 4e 3e 1e 3x x x x f x =-+-=---'，则当()()e 0,13,x∞∈⋃+，即()(),0ln 3,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，当()e 1,3x∈，即()0,ln 3x ∈时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),0∞-、()ln 3,∞+，单调递增区间为()0,ln 3；（2）()2e4e xx f x a -+'=-，令e x t =，即()24f x t t a '=-+-，令11e xt =，22e xt =，则1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，则()2Δ441640a a =--=->，即4a <，有124t t +=，120t t a =>，即04a <<，则()()1122221212121211e 4e 5e 4e 522x x x x f x f x x x ax ax x x +++=-+---+--++()()()()22121212141ln ln 102t t t t a t t =-+++--+-()()()2121212121241ln 102t t t t t t a t t ⎡⎤=-+-++---⎣⎦()()1162161ln 102a a a =--+---()1ln 2a a a =---，要证()()12120f x f x x x +++<，即证()()1ln 2004a a a a ---<<<，X123P91427114令()()()1ln 204g x x x x x =---<<，则()111ln ln x g x x x x x-⎛⎫=-+='- ⎪⎝⎭，令()()1ln 04h x x x x =-<<，则()2110h x x x '=--<，则()g x '在()0,4上单调递减，又()11ln111g =-='，()12ln 202g =-<'，故存在()01,2x ∈，使()0001ln 0g x x x =-='，即001ln x x =，则当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,4x x ∈时，()0g x '<，故()g x 在()00,x 上单调递增，()g x 在()0,4x 上单调递减，则()()()()000000000111ln 2123g x g x x x x x x x x x ≤=---=--⨯-=+-，又()01,2x ∈，则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()000130g x x x =+-<，即()0g x <，即()()12120f x f x x x +++<.19．（本小题满分17分）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <1624PM2.5的平均浓度100y ≥20合计22（1）完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？（2）经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足502811.2310ii x==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y 的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.010.0050.001x α6.6367.87910.828回归方程ˆˆˆya xb =+，其中()()()112211ˆnniii ii i nni ii i x x y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆab y x =-；相关系数()()niix x y y r--=∑参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈．18．解：（1）22⨯列联表如下：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <16824PM2.5的平均浓度100y ≥62026合计222850零假设0H ：PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆无关联．根据列联表中的数据，计算得()220.005501620689.6247.87924262228x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联．（2）①由题意，得()()()50150211ˆ0.2iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑，得()()()50502110.12iiii i x y y x x x ==--=-∑∑，由249,36x y s s ====，得()()()505020.120.12i i i x y x x r x y ---=⨯∑∑2490.120.830.7536=⨯=>，所以该回归直线方程有价值．②因为249x s==249=，所以1548.55x =≈，又0.1273.860.121548.5573.86111.966112.0x y =-≈⨯-=≈．故可推算出这50天PM2.5平均浓度y 的平均数y 约为112.0．。
高二数学下学期第二阶段测试试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹下学期高二年级第二次阶段性考试理科数学一、选择题：〔每一小题5分，总分值是60分〕1.复数A.B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，应选D．考点：复数的运算．2.以下说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，HY差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，假设位于区域的概率为0.4，那么位于区域⑤利用统计量来判断“两个事件的关系〞时，算出的值越大，判断“与有关〞的把握就越大其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】逐一考察所给的说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，HY差也变为原来的倍，原说法错误；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错误；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，假设位于区域的概率为0.4，那么位于区域内的概率为0.5，原说法错误；⑤利用统计量来判断“两个事件的关系〞时，算出的值越大，判断“与有关〞的把握就越大，原说法正确.此题选择B选项.3.的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定积分，结合定积分的几何意义可知圆心为〔1,1〕，半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选A.4.设定义在上的函数的导函数为，且满足，，假设，那么A. B.C. D.与的大小不能确定【答案】C【解析】解析：由题设可知函数的图像关于直线成轴对称，且当是增函数，当时是减函数，因为，且，所以，应选答案C。
5.书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取一本书，取后不放回，假设第一次从书架取出一本数学书记为事件，第二次从书架取出一本数学书记为事件，那么A.B. C. D.【答案】C【解析】第一次从书架取出一本数学书有种方法，其中第二次从书架取出一本数学书有种方法，据此可得，所求概率值为.此题选择C选项.6.如图，一个树形图根据以下规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，那么第11行的实心圆点的个数是A.21B.34C.55D.89【答案】C【解析】根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，知：第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1=0+1；第4行的实心圆点的个数是2=1+1；第5行的实心圆点的个数是3=1+2；第6行的实心圆点的个数是5=2+3；第7行的实心圆点的个数是8=3+5；第8行的实心圆点的个数是13=5+8；第9行的实心圆点的个数是21=8+13；第10行的实心圆点的个数是34=13+21；第11行的实心圆点的个数是55=21+34.此题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.假设的展开式中没有常数项，那么的可能取值是A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】由题意可得(x+x−3)n的展开式中没有常数项，且没有x−1项，且没有x−2项。
高二数学下册第二阶段考试试题2
知识改变命运农七师高级中学2011-2012学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题正确答案均唯一，共12小题， 每小题5分共60分）1、已知命题:p 平行四边形的对角线互相平分，命题:q 平行四边形的对角线相等，则下列命题中为真命题的是 （ ）A 、()p q ⌝∨B 、()()p q ⌝∨⌝C 、()()p q ⌝∧⌝D 、p q ∧2.命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为 （ ）A 、若b a <，则c b c a +<+.B 、若b a ≤，则c b c a +≤+.C 、若c b c a +≤+，则b a ≤.D 、若c b c a +<+，则b a <.3、“(1)(3)0x x +-<”是“3<x ”的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4、椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点p 到右焦点的距离是（ ）A 、3B 、4C 、5D 、65、抛物线2y x =的焦点坐标是 （ ）A 、(1,0)B 、1(,0)4C 、1(0,)4D 、1(0,)86、与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程是 （ ） A 、221916x y -= B 、221169x y -= C 、221916y x -= D 、221169y x -= 7、设函数f(x)在定义域内可导，y=f (x)的图象如图所示，则导函数y=f '(x)可能为（ ）知识改变命运8. 函数313y x x =+- 有（ ）A. 极小值－1，极大值3B.极小值－2，极大值3C. 极小值－1，极大值1D. 极小值－2，极大值29、若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 （ ）A 、25k <<B 、5k >C 、 2k <或5k >D 、以上答案均不对10、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）)(x f '≥ 0，则必有A. f （0）＋ f （2）< 2 f （1）；B. f （0）＋ f （2）≤ 2 f （1）；C. f （0）＋ f （2）≥ 2 f （1）；D. f （0）＋f （2）> 2 f （1）11.函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A ．0>a ；B ．0≥a ；C ．0<a ；D ．0≤a . 12、函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为 A ．]21,21[2πe ； B ．)21,21(2πe ； C ．],1[2πe ； D ．),1(2πe . 二、填空题（共5小题，每小题5分，共20分. 把答案填在对应题号后的横线上）13、命题p ：“2,10∃∈+<x R x ”的否定是14、过抛物线y 2=8x 的焦点斜率为1的弦的长为15、设1)(23--+-=x ax x x f . ，若f (x )在R 上为减函数，求a 的取值范围是 16、已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >> 的焦点为1F 、2F ,点A 是椭圆短轴的一个端知识改变命运点，且<1F A 2F 为钝角，则椭圆的离心率e 的范围是____________三、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18、（本小题满分12分）（1）求过点A(2,0)且与圆(x+2)2+y 2=36内切的圆的圆心的轨迹方程。
2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.函数的定义域为()A. B. C. D.3.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，底面是BC的中点，则直线()A.与直线AC相交B.与直线AC平行C.与直线垂直D.与直线是异面直线5.如图，四边形ABCD是正方形，则()A. B. C. D.6.已知是定义在R上的奇函数，则()A. B.0 C.1 D.27.在下列各数中，满足不等式的是()A. B. C.1 D.28.命题“”的否定是()A. B.C. D.9.()A. B. C. D.10.在下列各数中，与相等的是()A. B. C. D.11.在下列函数中，在区间上单调递减的是()A. B. C. D.12.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，Ox为始边，终边在y轴上的角的集合为()A. B.C. D.14.在中，，则()A. B. C. D.315.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是()A. B. C. D.16.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.17.已知，则下面不等式一定成立的是()A. B. C. D.18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为()A. B. C. D.19.在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数()A.1B.2C.3D.420.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为()A.108B.162C.180D.189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试(二)数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，26560⨯⨯=故选：D ．2．若直线与直线平行，则实数（ ）．410mx y -+=230x y +-=m =A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．4m12-142m =-2m =-故选：B ．3．已知数列满足，，则（ ）．{}n a 13a =()111n na n a *+=-∈N 4a =A ．B ．C ．3D ．2312-32【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，13a =()111n na n a *+=-∈N 所以，，，．211213a a =-=321112a a =-=-43113a a =-=故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．ln x ay x +=()1,a :250l x y -+==a A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a 值.()11k f =':250l x y -+=【详解】因为，21ln x ay x --'=所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l 的斜率，ln x a y x +=()1,a ()111k f a ='=-22k =由切线与直线l 垂直知，即，解得．121k k =-()211a -=-32a =故选：C ．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与C 22221(0)x y a b a b +=>>A F A 30 l 椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）C B BF AF ⊥CA B C D 1【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.,,a b c 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，22221x y a b +=A F 所以，()(),0,,0A a F c -因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，B x BF AF ⊥x c =C 2b y a =2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线的倾斜角为，l 30所以，又，2b ac a +222b a c =-化简，所以解得)222a ac a c +-)211e e +=-e =故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知函数的定义域为R ，为的导函数，且，则不等式()f x ()f x '()f x ()()0xf x f x '+>的解集是（ ）()()()2222x f x x f x ++>A ．B ．()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞C ．D ．()(),12,-∞-⋃+∞()1,2-【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.()()g x xf x =【详解】根据题意，构造函数，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以函数在R 上单调递增，又，即，()g x ()()()2222x f x x f x ++>()()22g x g x +>所以，即，解得.22x x +>220x x --<12x -<<故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A 正确；45C 5=恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B 错误；2255C C 至少有1名女生的不同选法共有种，故C 错误；44105C C 205-=选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D 正确.041322555555C C C C C C 155++=故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于C 22(0)y px p =>F ()4,A n C 5AF =AF C另一点，记坐标原点为，则（ ）B O A ．B ．C ．D ．2p =8n =1(,1)4B -3OA OB ⋅=- 【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 的准线为，2:2(0)y px p =>2px =-因为为C 上一点，且，则，()4,A n ||5AF =452pAF =+=解得，故A 正确；2p =可得抛物线C :，焦点为，24y x =()1,0F 因为A 为C 上一点，则4，所以 ，故B 错误；24n =⨯4n =±若，则线的方程为，()4,4A AF ()413y x =-代入，得，整理得，解得或，2:4C y x =()216149x x -=241740x x -+=14x =4x =因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理：若，可得；()4,4A -1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：或，故C 错误；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则，则；()4,4A ()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭ 143OA OB ⋅=-=-同理：若，可得；()4,4A -3OA OB ⋅=-故D 正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（ ）nS {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n aa +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，，3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a+-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n 项和为，若，则__________．{}n a n S 785a a +=14S =【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．{}n a 114785a a a a +=+=()1141414352a a S +==故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．221:5C x y +=222:480C x y x y m +---=m =【答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．1212C C r r =+【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是12,C C 12(0,0),(2,4)C C，)1220r r m ==>-因为圆外切，所以，12,C C 1212C C r r =+．=1520m =->-故答案为：.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；2223642333C C C A 90A ⋅=方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.32136313C C C A 360=所以共有不同的安排方案.()90360450+=种故答案为：450.16．设函数 在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.()e 2xf x mx =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令 ，则，函数 在区间[，3]上有零点等价于()e 20x f x mx =-=e 2xm x =()e 2x f x mx =-12直线与曲线在上有交点， y m =()e 2xg x x =1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则 ，当时，单调递减，当 时，单()()'21e 2x x g x x -=1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()'0,g x g x ＜(]1,3x ∈()()'0,g x g x ＞调递增，， ，显然， ，()()mine 12g x g ==()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭132e e 6∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即当时，函数在上有零点；m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.nx ⎛⎝37(1)求；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；8n =(2).1792【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；37n （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．x 【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，nx ⎛⎝0C n 1C n 2C n 所以，()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+即，2720n n +-=解得或8n =()9n =-舍去（2）的展开式中通项为，8x ⎛ ⎝()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，由时，可得，即第7项为常数项，4803k -=6k =所以展开式中的常数项为.()66618C 21792T +=-=18．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n 632n S a a =，7499S S a -=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求.1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【答案】(1)n a n=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；1,a d（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，n a d 由，得 ，解得 ，637492,9a a S S a =-=+()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩11,1a d == ；∴n a n =（2），()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- ⎪+⎝⎭ ；11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上，.2,1n n na n T n ==+19．已知函数的两个极值点满足.()()323129R f x ax x x a =++-∈12,x x 122x x =-(1)求的值；a (2)求在区间上的最值.()f x []3,3-【答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；()f x ()'f x （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.()f x 【详解】（1），令，则有2个零点，显然 ，()'23612f x ax x =++()'0f x =()'f x 12,x x 0a ≠由韦达定理得 ，又代入①得： ，121224x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②122x x =-1242,x x a a =-=再代入②得： ， ，符合题意，284,2a a a -==-2646120∆=+⨯⨯＞；()3223129f x x x x ∴=-++-（2） ，得下表：()()()'26612621f x x x x x =-++=--+x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x0＜00＞00＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，，()336f -=()30f =所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；()f x []3,3-综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.2a =-()f x []3,3-20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====(1)求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判1A E AD ⊥1A E ABCD 定定理证明平面平面； 1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式1A D 1A BC 求直线与平面夹角.1A D 1A BC【详解】（1）因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz 则，()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以，()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即，100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量，1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面1A D 1A BC21．已知双曲线是上一点.()2222:10,0x y C a b a b -=>>()4P C (1)求的方程；C (2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是():0l y kx m m =+>C ,E F O 4OE OF ⋅= l 否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)22124x y -=(2)直线恒过定点l(0,【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲,,a b c 22,ab 线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得.m =【详解】（1）双曲线的离心率，，则， C ==c e a 22223c a b a ∴=+=222b a =又为上一点，，解得：，，()4P C 22101612a a ∴-=22a =24b ∴=双曲线的方程为：.∴C 22124x y -=（2）设，，()11,E x y ()22,F x y 由得：，22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x kmx m ----=，则；()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩222224k m k ⎧≠⎨>-⎩，，12222km x x k ∴+=-212242m x x k +=--()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ，()()2222222142422k m k m m k k ++=-++=--整理可得：，又，，则212m =0m >m ∴=:l y kx =+直线恒过定点.∴l (0,22．已知函数，.()()ln f x x x a =-a ∈R (1)若函数在上单调递增，求a 的取值范围；()f x []1,4(2)若，求证：.0a >()()2ln f x x x a ≤--【答案】(1)；(,1]-∞(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可()f x ()0f x '≥()f x '求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得0x >ln 2ln x a x a -≤--()2ln ln g x x a a x =+---；令，求导后求得，从而可得，()(1)1ln g x g a a ≥=--()1ln (0)h a a a a =-->()(1)0h a h ≥=()0g x ≥问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，()ln 1=-+'f x x a ()f x 所以在[1,4]上恒成立，()0f x '≥又在[1,4]上单调递增，所以，()ln 1=-+'f x x a min ()1f x a '=-+所以，解得，所以的取值范围是.10a -+≥1a ≤a (,1]-∞（2）因为，所以要证，只需证，0,0a x >>()(2ln )f x x x a ≤--ln 2ln x a x a -≤--令，则.()2ln ln g x x a a x =+---11()1x g x x x -'=-=当时，，函数单调递减；01x <<()0g x '<()g x 当时， ，函数单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以，()(1)1ln g x g a a ≥=--令，则，()1ln (0)h a a a a =-->11()1a h a a a -'=-=当时，单调递减，当时，单调递增.01a <<()0,()h a h a '<1a >()0,()h a h a '>所以时，取最小值, 则,1a =()h a ()(1)0h a h ≥=所以时，，因此.0a >()0h a ≥()0g x ≥所以.()(2ln )f x x x a ≤--。
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试(期中)数学试卷及参考答案
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。
高二下学期第二次阶段考数学试题 Word版含解析
2019-2020学年高二年下学期第二次阶段考数学试卷2020-06-27一、单选题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则()A B =R（）A. {|01}A x x =<≤B. {|01}A x x =<<C. {|12}A x x =≤<D. {|12}A x x =<<【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B 的补集，再求解()RAB 的结果.【详解】因为{|1}B x x =≤，所以R{|1}B x x =>，则(){|12}AB x x =<<R.故选D.【点睛】本题考查集合的补集、交集运算，难度较易.2.一物体做直线运动，其位移s (单位: m )与时间t (单位: s )的关系是25s t t =-，则该物体在3t s =时的瞬时速度是 A. 1m /s - B. 1m /s C. 2m /s D. 6m /s【答案】A 【解析】 【分析】先对s 求导，然后将3t =代入导数式，可得出该物体在3t s =时的瞬时速度． 【详解】对25s t t =-求导，得52s t '=-，35231/t s m s =∴=-⨯=-'，因此，该物体在3t s =时的瞬时速度为1/m s -，故选A ．【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．3.命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（） A. x R ∃∈，31x >-B. x R ∀∈，31x ≤-C. x R ∀∈，31x >-D. x R ∀∈，31x ≥-【答案】C 【解析】 【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-. 故选C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.4.独立性检验中,假设0H :运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得2K 的观测值7.236k ≈.下列结论正确的是（ ） 附：A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关 【答案】A 【解析】 【分析】根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项结论的正误进行判断． 【详解】()2 6.6350.01P K ≥=，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选A ．【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题．5.如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 38B.12C.58D.78【答案】C 【解析】 【分析】灯泡亮灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的， 所以灯泡亮的概率为111111111222211152222822222+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯， 故选：C ．【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查互斥事件有一个发生的概率，独立事件同时发生的概率，解决本题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，也可以利用对立事件来求，属于中档题． 6.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.7.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设ξ为取得红球的次数，则()2P ξ== A.425B.36125C.925D.54125【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出随机变量2~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用二项分布概率公式计算出()2P ξ=． 【详解】由题意知，1~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的概率计算公式得()22323362=55125P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查二项分布概率的计算，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布，同时也要理解独立重复试验概率的计算公式，着重考查了推理与运算能力，属于中等题． 8.“1a >”是“函数()ax n f x si x =-是增函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由函数()sin f x ax x =-为增函数，转化为()0f x '≥恒成立，求出实数a 的取值范围，再利用实数a 的取值范围的包含关系得出两条件的充分必要关系．【详解】当函数()sin f x ax x =-为增函数，则()cos 0x a x f '=-≥在R 上恒成立， 则()max cos 1a x ≥=，因此，“1a >”是“函数()sin f x ax x =-为增函数”的充分不必要条件，故选A ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及参数的取值范围，一般要由两取值范围的包含关系来判断，具体如下： （1）A B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）AB ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．9.将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有 A. 24种 B. 30种C. 32种D. 36种【答案】B 【解析】【分析】利用间接法，即首先安排4人到三个地方工作的安排方法数N ，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数n ，于是得出答案N n -．【详解】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有24C 种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为234336N C A ==种，当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为336n A ==，因此，所求的不同安排方法数为36630N n -=-=种，故选B ．【点睛】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题．10.已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ）A.D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出函数()(),f x g x 在,A B 点的切线方程，再根据题意可得出4118x a x =-，构造函数4()8x h x x =-，求出()h x 的最小值即可求出1x ，从而得到12x x +.【详解】2()2,f x x ax =+∴ ()22f x x a '=+， ∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x=-，∴21()g x x '=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-， 因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB ,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=时，()min h x ，1x ∴，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求.作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的知识决定格局，格局影响命运得2分，正确选项全部选出的得5分. 11.设离散型随机变量X 的分布列为.若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（） A. 0.1q =B. 2EX =， 1.4DX =C. 2EX =， 1.8DX =D. 5EY =，7.2DY =【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算q 的值，然后考虑EX 、DX 的值，最后再计算EY 、DY 的值. 【详解】因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确； 又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C正确；因为21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确. 故选ACD.【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量Y 与随机变量X 满足Y aX b =+，则EY aEX b =+，2DY a DX =. 12.函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ） A. 不等式()0>g x 的解集为1(,)e+∞B. 函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C. 若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则(0,1)a ∈D. 若120x x >>时，总有221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立，则1m【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值点，结合恒成立问题求参，对选项进行逐一分析即可.【详解】因为()ln f x x x =、'()()f x g x x=ln 1x x +=，则()2ln x g x x -'=， 令()0g x '>，可得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增； 令()0g x '<，可得()1,x ∈+∞，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，且()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：对A ，数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故A 正确；对B ，由上面分析可知，B 错误；对C ，若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，即()2F x xlnx ax =-有两个极值点，又()21F x lnx ax -'=+，要满足题意，则需210lnx ax -+=在()0,∞+有两根， 也即12lnx a x+=在()0,∞+有两根，也即直线2y a =与()y g x =的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故C 是错误；对D ，若120x x >>时，总有221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立， 即2211122222m m x x lnx x x lnx ->-恒成立， 构造函数()22m g x x xlnx =-，则()()12g x g x >对任意的120x x >>恒成立，故()g x 在()0,∞+单调递增，则()10g x mx lnx '=--≥在()0,∞+恒成立， 也即1lnx m x+≤在区间()0,∞+恒成立，则()1max g x m =≤，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，极值点个数，恒成立问题求参数范围，属较难题.三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13.已知随机变量()2~100,,(80100)0.4X N P Xσ<=，则P(X>120)=___________【答案】0.1 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()()112080801002P X P X P X >=<=-<≤，可得出答案．【详解】由于随机变量()2~100,X N σ，正态密度曲线的对称轴为直线100x =，所以，()()()112080801000.50.40.12P X P X P X >=<=-<≤=-=，故答案为0.1． 【点睛】本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题．14.同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案.【详解】设甲乙丙之外三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.15.已知命题{}22:540,0p A t t at a a =-+<≠，命题{}:42q B t t =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】322a ≤≤ 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与B ，再利用p 是q 的必要不充分条件，即可得解.【详解】{}()(){}22:540,040,0p A t t at a a t t a t a a =-+<≠=--<≠，当0a >时，{}4A t a t a =<<， 当0a <时，{}4A t a t a =<<，{}{}:4226q B t t t t =-<=<<，因为p 是q 的必要不充分条件， 当0a >时，2a ≤且46a ≥，解得322a ≤≤， 当0a <时，显然不满足p 是q 的必要不充分条件， 所以，实数a 的取值范围为322a ≤≤. 故答案为：322a ≤≤. 【点睛】本题主要考查利用必要不充分条件求参数的取值范围问题及集合包含关系的应用，其中涉及到一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题.16.已知函数32()4f x x ax =++恰有两个零点，则实数a 的值为___________【答案】3- 【解析】【分析】令()0f x =，得24a x x -=+，转化为直线y a =-与函数()()240g x x x x=+≠的图象有两个交点，于此可得出实数a 的值．【详解】令()324f x x ax =++，得24a x x -=+，构造函数()24g x x x =+，其中0x ≠， 问题转化为：当直线y a =-与函数()()240g x x x x=+≠的图象有两个交点，求实数a 的值．()333881x g x x x-=-='，令()0g x '=，得2x =，列表如下： x(),0-∞()0,22()2,+∞()g x ' +-+()g x极小值3作出图象如下图所示：结合图象可知，3a -=，因此，3a =-，故答案为3-．【点睛】本题考查函数的零点个数问题，由函数零点个数求参数的取值范围，求解方法有如下两种：（1）分类讨论法：利用导数研究函数的单调性与极值，借助图象列出有关参数的不等式组求解即可；（2）参变量分离法：令原函数为零，得()a g x =，将问题转化为直线y a =与函数()y g x =的图象，一般要利用导数研究函数()y g x =的单调性与极值，利用图象求解．17.52(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是____________(用数字作答) 【答案】80- 【解析】 【分析】将二项式()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为5522x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出其展开式通项为()()62525522r k r r kk C x C x --⋅⋅-+⋅⋅-，再利用620520,r k r k N -=⎧⎪-=⎨⎪∈⎩，求出3r =，k 不存在，再将3r =代入可得出所求常数项．【详解】()5552221x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的通项为555522r krr k k xC x C x x x --⎛⎫⎛⎫⋅⋅-+⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()62525522rkr r kk C x C x --=⋅⋅-+⋅⋅-，令620520,r k r k N -=⎧⎪-=⎨⎪∈⎩，可得3r =，k 不存在， 因此，()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是()335280C ⋅-=-，故答案为80-．【点睛】本题考查二项式定理，考查指定项系数的求解，解这类问题一般是利用二项式定理将展开式表示为通项，利用指数求出参数，考查计算能力，属于中等题． 18.设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞-【解析】 【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾；当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意.故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.四、解答题：本大题共5题，每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.在二项式nx ⎛⎝展开式中，所有的二项式系数和为256． （1）求展开式中的最大二项式系数； （2）求展开式中所有有理项中系数最小的项．【答案】（1）48C 70=；（2）21256x【解析】 【分析】（1）展开式中所有的二项式系数和012C C C C 2n nn n n n ++++=，可求出8n =，即二项式系数最大的项是第5项，即可求出答案；（2）由题可得84181C (1)()2rr r rr r T x --+=-，r 取值为0，4，8时，1r T +为有理项，分别求出对应项，即可得出答案. 【详解】解:（1）依题意得012C C C C 2256n n n n n n ++++==，所以8n =，因此二项式系数最大的项是第5项，所以最大二项式系数为48C 70=.（2）5884418811C (1)()C (1)()22r rr rrr r r rr T x x ---+=-=-(,8)r N r ∈≤，1r T +为有理项，则r 可取值为0，4，8.有理项为 8101T T x +==，3541358T T x +==，98121256T T x +==， 所求有理项的系数最小项为21256x .【点睛】二项式系数与项的系数的区别： 二项式系数是指012C ,C ,C ,,C n n n n n ；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.20.某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题． (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平． 【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高 【解析】 【分析】（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对2道题”和“甲选手答对3道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对1道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案；（2）乙选手答对的题目数量为X ，甲选手答对的数量为Y ，根据题意知3~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，随机变量Y 服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出()E X ，再利用超几何分布概率公式列出随机变量Y 的分布列，并计算出()E Y ，比较()E X 和()E Y 的大小，然后可以下结论． 【详解】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =⋃=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()39344E X =⨯=， 设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===， 故随机变量Y 的分布列为所以，()1311232555E Y =⨯+⨯+⨯=，则()()E X E Y >， 所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=； （2）同解法二．【点睛】本题考查概率的加法公式、对立事件的概率、古典概型的概率计算以及随机变量及其分布列，在求随机分布列的问题，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，然后根据相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 21.已知函数2()3ln .f x x x x =--(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在1[,3]2上的最大值与最小值． 【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3- 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()1f '的值，作为切线的斜率，并计算出()1f ，再利用点斜式写出切线的方程；（2）利用导数分析函数()y f x =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数()y f x =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【详解】（1）()23ln f x x x x =--，()()2323210x x f x x x x x--∴=--=>，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为()12k f '==-， ()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，即22y x =-+；（2）()()()212323x x x x f x x x+---∴==，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．所以，()min 3333ln 242f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为113ln 224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()363ln3f =-， 所以，()2111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为63ln3-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．22.某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数y (颗)和温差x (0C )具有线性相关关系. (1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (0C )的回归方程y bx a =+；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为110C ,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑，a y bx =-【答案】(1) 11942y x =+ (2) 5125颗. 【解析】【分析】（1）根据题中信息，作出温差()xC 与出芽数y （颗）之间数据表，计算出x 、y ，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出b 和a ，即可得出回归直线方程；（2）将4月1日至7日的日平均温差代入回归直线方程，可得出100颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出10000颗绿豆种子在一天内的发芽数．【详解】（1）依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：故10x =，32y =，()()61(3)(9)(2)(6)25(1)(1)381377iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+-⨯-+⨯+⨯=∑，()622222221(3)(2)2(1)3128ii x x =-=-+-++-++=∑，所以()()()616217711ˆ284iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑， 所以119ˆˆ321042ay bx =-=-⨯=， 所以绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (C )的回归方程为11942y x =+； （2）因为4月1日至7日的日温差的平均值为11C ，所以4月7日的温差77116017()x C =⨯-=， 所以71192051751.25424y =⨯+==， 所以4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125颗.【点睛】本题主要考查回归分析及其应用等基础知识，解题的关键就是理解和应用最小二乘法公式，考査数据处理能力和运算求解能力，考查学生数学建模和应用意识，属于中等题． 23.已知函数(),(0,)xf x e ax x =-∈+∞，其中e 是自然对数的底数． (1)求()f x 的单调区间；(2)当0a =时若方程()22()x x f x m -=存在两个不同的根12,x x ，求证: 122x x <+< 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导，得出()xf x e a '=-，对实数a 分两种情况1a ≤和1a >讨论，结合导数的符号得出函数()y f x =的单调区间；（2）解法一：构造函数()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，利用导数分析函数()y g x =的单调性，并构造函数()()()h x g x g x =-，利用导数分析该函数的单调性，再由()10h x h>=，可得出()()()112g x g x g x >=，由函数()g x 的单调性可证明12x x +<()()()12221111122xxg x x x e x x e =->-，得出2222x x -2112x x >-，通过因式分解得出122x x +>，可得出所成的结论；解法二：构造函数()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，利用导数分析函数()y g x =的单调性，通过对等式变形得出转化为证不等式212121112x x x x x x e e ----<+，并构造函数()()1012t t e tH t t e -=->+，利用导数证明()0H t >，于是得出()()()()2211222211222222x x x x xx xx ----+-212x x -<，再通过因式分解以及基本不等式等手段可得出12x x +<【详解】（1）()x f x e ax =-，()x f x e a '∴=-，()0,x ∈+∞，当1a ≤时，则()0f x '>，所以，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当1a >时，由()0f x '<，得0ln x a <<；由()0f x '>，得ln x a >． 所以，函数()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，单调递增区间为()ln ,a +∞． 综上所述：当1a ≤时，函数()f x 的增区间为()0,∞+；当1a >时，函数()f x 的减区间为()0,ln a ，增区间为()ln ,a +∞； （2）证明：令()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，则()()()()222222xxxg x x e x x e x e =-+-=-'，令()0g x '=，得x =；由()0g x '<，得02x；由()0g x '>，得x >所以，函数()y g x =在(上单调递减，在)+∞上单调递增，当02x <<时，()()220xg x x x e =-<；当[)2,x ∈+∞，()()220xg x x x e =-≥．不妨设12x x <，则(1x ∈，)22x ∈，且0gm <<．先证明12x x +<构造函数()()()(()22282xx h x g x g x x x ex x e =--=-++---，其中(x ∈，则()()()2262x xh x x ex e =+--'--，因为(x ∈，则260x -+-<，x xe e >，()()())((2262x x x xh x x e x e x x e x x e <-+---=--')(20xx x e =-<， 所以，函数()h x在(上单调递减，10x <<()10h x h>=，即()()11g x g x >，因为()()12g x g x =，所以，()()12g x g x >，22x <<1x <<()gx在上单调递增，所以，12x x>，即12x x +< 再证：122x x +>．因为1202x x <<<<，所以，21120x x -<，且12x x e e <，所以()()()12221111122xxg x x x e x x e =->-，()()12g x g x =，所以，()()2222221122x x x x e x x e ->-，即22221122x x x x ->-． 所以，()()22212121212220x x x x x x x x -+-=-+->，所以，122x x +>．综上所述，122x x <+< 解法二：（1）同解法一；（2）证明：令()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，则()()()()222222xxxg x x e x x e x e =-+-=-'，令()0g x'=，得x =；由()0g x '<，得02x；由()0g x'>，得x >所以，函数()y g x=在(上单调递减，在)+∞上单调递增，当02x <<时，()()220xg x x x e =-<；当[)2,x ∈+∞，()()220xg x x x e =-≥．不妨设12x x<，则(1x∈，)22x∈，且0gm <<．由()()1221122222x x x x e m x x e m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，得1221122222x x m x x em x x e ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由÷①②得：221121122222x x x x x x e e x x e--==-， 因为1202x x <<<<，所以，2211211222212x x x x x x e e x x e--==>-，21120x x -<，所以，22112222x x x x -<-，即()()121220x x x x -+-<，120x x -<，122x x ∴+>，由+-①②①②得，()()()()21212211222211222222x x x x x x x x e e e e x x x x ----=+-+-， 下面证明：2121212x x x x x x e e e e --<+，即证212121112x x x x x x e e ----<+， 构造函数()112t t e tH t e -=-+，[)0,t ∈+∞，则()()()()22212102121t t tt e eH t e e --=-=+'<+，所以，函数()H t 在()0,∞+上单调递减，当()0,t ∈+∞时，()()00H t H <=，即112t t e te -<+，所以，212121112x x x x x x e e ----<+． 所以()()()()()()()()2121221122211221222112212121222222222x x x x x x x x x x x x x x e e e e xx xx x x x x x x----+---==<+-+-+-+-． 因为120x x -<，21120x x -<，22220x x -<，所以，()()()2121212122222x x x x x x x x ⎡⎤+-+-<-+⎣⎦，即()2121242x x x x +-<，因为()212124x x x x+<，所以()()22121242x x x x ++-<，即()2128x x +<，所以，12x x +<综上所述，122x x <+<【点睛】本题考查函数单调性与导数、函数的零点、以及利用导数来证明函数不等式，对代数式变形、化简以及根据不等式结构构造新函数是本题的难点所在，在处理这类问题时，也要注意极值点偏移问题的处理方法，考查分类讨论思想以及函数方程思想，属于难题．。
2021-2022年高二数学下学期第二次阶段考试试题
2021年高二数学下学期第二次阶段考试试题注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间90分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知函数的定义域为，的定义域为，则( ) A. B. C. D.2设集合M={x∈R| x2≤4}，a = -2，则下列关系正确的是（）A、a MB、a MC、{a}∈MD、{a}M3．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A. -1,3B.-1,1C. 1,3D.-1,1,34. 若偶函数f(x)在（-∞，-1]上是增函数，则（ ）A. B.C. D.5．若函数,则f(f(10)=（ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．06．函数的减区间是（ ）A . (,2] B. [2, ) C. (,3] D. [3, )7. 已知函数，，则的最小值是（ ）A . 1 B. C. D.8. 若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上（ ）A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值09.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）A. B.2 C. D.410. 已知命题“”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ )A ．B ．C ．D ．（—1，1）11．若，且，， ，则下列式子正确的个数①log log log ()a a a x y x y ⋅=+ ② ③ ④A.0个B.1个C.2个D.3个12.已知函数的图象过点（3，2），则函数的图象关于x 轴的对称图形一定过点( )A. （2，-2）B. （2，2）C. （-4，2）D. （4，-2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线）13. 函数的定义域是 ．14．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________. 15.、24,02(),2,2x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩已知函数若 .16. 已知函数f (x )=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17（14分）)求值：1）0021)51(1212)4(2---+-+-（2）18（14分）设{}{}(),1,05,U U R A x x B x x C A B ==≥=<<求和.19（14分）已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性20（14分）已知函数2()22,[5,5].f x x ax x =++∈-（1）当时，求函数的最小值、最大值；(2) 当在上是单调函数时，求实数的取值范围。
高二数学下学期第二次段考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高二下学期第二次段考数学〔理〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(1)(2)ai i+-是纯虚数〔a是实数，i是虚数单位〕，那么a等于〔〕A.2B.-2C.12D.12-【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法那么进展化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数〔1+ai〕〔2﹣i〕＝2+a+〔2a﹣1〕i是纯虚数，∴20210aa+=⎧⎨-≠⎩，解得a＝﹣2．应选：B．【点睛】此题考察了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于根底题．2.54886599A AA A+=-〔〕A.527B.2554C.310D.320【答案】A【解析】【分析】先将原式用排列数公式展开，再对分子分母同除以公因式8765⨯⨯⨯，即可得到结果．【详解】54886599876548765415 9876549876594927 A AA A+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=== -⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-．应选：A ．【点睛】此题考察了排列数公式的应用，考察运算求解才能，属于根底题． 3.观察以下算式：122=，224=，328=,4216=,5232=,6264=,,72128=,82256=……用你所发现的规律可得20192的末位数字是() A.2 B.4C.6D.8【答案】D 【解析】 【分析】通过观察可知，末尾数字周期为4，据此确定20192的末位数字即可.【详解】通过观察可知，末尾数字周期为4，201945043=⨯+，故20192的末位数字与32末尾数字一样，都是8．应选D ．x 的不等式|||2|4x m x -++<的解集不为∅，那么实数m 的取值范围是〔〕A.(2,6)-B.(,2)(6,)-∞-⋃+∞C.(,6)(2,)-∞-⋃+∞D.(6,2)-【答案】D 【解析】 【分析】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔〔|x ﹣m |+|x +2|〕min ＜4，再根据绝对值不等式的性质求出最小值，解不等式可得．【详解】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔〔|x ﹣m |+|x +2|〕min ＜4， ∵|x ﹣m |+|x +2|≥|〔x ﹣m 〕﹣〔x +2〕|＝|m +2|，∴|m +2|＜4，解得﹣6＜m ＜2， 应选：D ．【点睛】此题考察了绝对值三角不等式的应用，考察了转化思想，属于根底题．1y m=-是曲线xy xe =的一条切线，那么实数m 的值是〔〕 A.1e - B.e - C.1eD.e【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为〔n ，1m-〕，求出y ＝xe x的导数，由导数的几何意义可得y ′|x =n ＝0，解得n 的值，将n 的值代入曲线的方程，计算可得答案． 【详解】根据题意，直线y 1m =-是曲线y ＝xe x的一条切线，设切点坐标为〔n ，1m-〕， 对于y ＝xe x，其导数y ′＝〔xe x〕′＝e x+xe x， 那么有y ′|x =n ＝e n+ne n＝0，解可得n ＝﹣1， 此时有1m -=ne n 1e=-，那么m ＝e ． 应选：D ．【点睛】此题考察利用函数的导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．2y x =与2yx 所围图形的面积为〔〕A.16B.24π- C.13D.12π- 【答案】C 【解析】 【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式进展运算即可． 【详解】作出两个曲线的图象，由22y x y x⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或者11x y =⎧⎨=⎩， 那么曲线y 2＝x 与y ＝x 2所围图形的面积为S 1=⎰-x 2〕dx ＝〔322133x -x 3〕10|=〔2133-〕﹣013=， 应选：C ．【点睛】此题考察了曲边图形的面积，着重考察了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于根底题．7.()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为〔〕A.-160B.-5C.240D.80【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：〔x 2x-〕6展开式的通项为：T r +16rC =x 6﹣r〔2x-〕r ＝〔﹣2〕r6r C x 6﹣2r，那么()2621()x x x+-展开式的常数项为1×〔﹣2〕336C +1×〔﹣2〕446C ，得解．【详解】由二项式展开式通项得： 〔x 2x -〕6展开式的通项为：T r +16r C =x 6﹣r 〔2x-〕r ＝〔﹣2〕r 6r C x 6﹣2r， 那么()2621()x x x+-展开式的常数项为1×〔﹣2〕336C +1×〔﹣2〕446C =80， 应选：D ．【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了二项展开式的通项公式及分类讨论思想，属于中档题．222log |2|log x x x x -<+的解集为〔〕A.{|12}x x << B.{|01}x x << C.{|1}x x >D.{}2x x【答案】C 【解析】 【分析】由题意知x ＞0，不等式等价于：2x•log 2x ＞0，解出结果． 【详解】根据对数的意义，可得x ＞0，那么|2x ﹣log 2x|＜|2x|+|log 2x|等价于2x•log 2x ＞0， 又由x ＞0，可得原不等式等价于log 2x ＞0， 解可得x ＞1，∴不等式的解集为〔1，+∞〕， 应选：C ．【点睛】此题考察了绝对值三角不等式公式等号成立的条件，属于根底题. 9.1231261823n nnn n n C C C C -+++⋯+⨯=〔〕A.2123n + B.()2413n- C.123n -⨯D.()2313n- 【答案】B 【解析】22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 10.假设a ＞b ＞c ，那么使11ka b b c a c+≥---恒成立的最大的正整数k 为〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】C 【解析】 试题分析：,0a b c a b >>∴->，b c ->，a c ->，且a c ab b c-=-+-，又a c a b--a c a b b c a b b c b c a b b c --+--+-+=+---2224b c a ba b b c --=++≥+=--，,4a c a c k k a b b c--∴≤+≤--，故k 的最大整数为4，应选C.考点:1、根本不等式求最值；2、不等式的性质及不等式恒成立问题.11.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，要求每位同学可以从中任选1所或者2所去咨询理解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是一样的，那么不同的选法一共有〔〕 A.330种 B.420种 C.510种 D.600种【答案】A 【解析】种类有〔1〕甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；〔2〕甲2，乙1，丙1；或者甲1，乙2，丙1；或者甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；〔3〕甲2，乙2，丙1；或者甲1，乙2，丙2；或者甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析〞、“分辨〞、“分类〞、“分步〞的角度入手． (1)“分析〞就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素〞，哪些是“位置〞； (2)“分辨〞就是区分是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类〞就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排挤的几类，然后逐类解决；(4)“分步〞就是把问题化成几个互相联络的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．()()ln =-+x f x xe a x x ，假设()0f x ≥恒成立，那么实数a 的取值范国是〔〕A.[]0,eB.[]0,1C.(],e -∞D.[),e +∞【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导()()1⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x a f x x e x ，对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．【详解】()()()1111⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x a f x x e a x e x x ，0a <时，()f x '在()0,∞+上单调递增，0x +→时，()f x →-∞；x →+∞，()f x →+∞，不合题意0a =时，()0=≥xf x xe 恒成立，因此0a =满足条件．0a >时，令()()10⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭x a f x x e x ，解得0000,ln ln ,0x a e x x a x x =+=>． 那么0x 是函数()f x 的极小值点，此时0x x =，函数()f x 获得最小值，()()00000ln ln 0x f x x e a x x a a a =-+=-≥，化为：ln 1a ≤，解得0a e <≤．综上可得：[]0,∈a e ．应选：A ．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕34z i =-时，那么5z z+=__________． 【答案】1824+55i 【解析】 【分析】 结合2||z zz ⋅=将中的5z进展分母实数化，计算可得答案． 【详解】∵z ＝3-4i ，∴34i z =+，∴z •22||25zz ===．∴55618+24===555z z z i z z z z z z +=++⋅ 故答案为：1824+55i ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了一共轭复数的概念及运算性质，是根底题．ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且//AE CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是__________． 【答案】39 【解析】 【分析】根据三棱锥的构造特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一一共形成C 64﹣2＝13个三棱锥〔计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏〕，所以得到答案为3〔C 64﹣2〕＝39．【详解】解：由题意可得：因为题中一共有六个点，所以一一共形成C 64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3〔C 64﹣2〕＝39． 故答案为：39．【点睛】此题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是纯熟掌握立体几何中一一共几何体的构造特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．5(1)(0)ax a ->的展开式的第四项的系数为-40，那么21ax dx -⎰的值是__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令r ＝3，求出第四项的系数，列出方程求a 的值，代入积分式，利用微积分根本定理求得结果．【详解】二项式〔ax ﹣1〕5的通项公式为：T r +15rC =•〔ax 〕5﹣r •〔﹣1〕r ，故第四项为35C -•〔ax 〕2＝﹣10a 2x 2，令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2．那么2232211-1x 81====3333a x dx x dx ----⎰⎰ 故答案为：3．【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用问题，是根底题目．16.西部五，有五种颜色供选择涂色，要求每涂一色，相邻不同色，有__________种涂色方法． 【答案】420 【解析】 【分析】根据题意，分别分析5个的涂色方法的数目，进而由分步、分类计数原理，计算可得答案． 【详解】对于HY 有5种涂色的方法， 对于有4种涂色方法， 对于HY 有3种涂色方法，对于：假设与HY 颜色一样，那么有1种涂色方法，此时有3种涂色方法； 假设与HY 颜色不一样，那么只有2种涂色方法，此时有2种涂色方法； 根据分步、分类计数原理，那么一共有5×4×3×〔2×2+1×3〕＝420种方法． 故答案为：420.【点睛】此题考察分类、分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清要完成的事情分成几局部及如何分类，注意做到不重不漏．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕()|2||1|f x x a x =++-，其中a R ∈.〔1〕当3a =时，求不等式()6f x <的解集；〔2〕假设()()5f x f x +-≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕84,33⎛⎫-⎪⎝⎭；〔2〕33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】〔1〕分段去绝对值解不等式再相并；〔2〕利用绝对值不等式的性质求出左边的最小值，再解关于a 的不等式可得．【详解】〔1〕当3a =时，1()2316326x f x x x x ≥⎧=++-<⇔⎨+<⎩或者31246x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+<⎩或者32326x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩， 解得8433x -<<，综上所述，不等式()6f x <的解集为84,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 〔2〕()()|2||1||2||1|f x f x x a x x a x +-=++-+-++--(|2||2|)(|1||1|)|2|2x a x a x x a =++-+-++≥+，所以|2|25a +≥解得32a≤-或者32a ≥，即a 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，考察了绝对值不等式的性质的应用，属于中档题．18.〔1〕当1x >时，求证：22122xx x+>+1x >〔2〕假设e a <，用反证法证明：函数()2e x f x x ax =-〔0x >〕无零点.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析 【解析】试题分析：〔1〕利用分析法证221122xx x x +>+，将其变为整式证明；根据221122x x x x+>+，用换元法证明12xx+>；〔2〕假设结论不成立，可得()0f x =在()0,+∞上有解，即e xa x =在()0,+∞()e xg x x=〔0x>〕，求()g x 的最小值，可得矛盾。
高二数学第二次段考试题文
度高二年级第二学期第二次段考数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分为150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题 共60分一．选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则AB =（ ）A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ． {|1}{|0}x x x x ><D ． ∅ 2．下列关系式中正确的是（ ）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<< 3．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于（ ）A ．－513B ．－1213C ．513D ．12134．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．455．复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）A ．22i --B ．22i -+C ．i 2-2D ．i 2+26.化简cos π＋αcos π2＋αcos 11π2－αcos π－αsin －π－αsin 9π2＋α的结果是（ ）A ．－1B ．1C ．tan αD ．－tan α 7．在ABC △中，π4A =，2BC =3AC =π3B =”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A ．13B ．3C ．913D ．1399．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π210．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，且()sin (4)(sin sin )c b C b A B -=+-，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．4 3B ．8C ．2 3D ．16-2 3 11．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是( )A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3 12．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2013B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝201312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2014D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝201412第Ⅱ卷 非选择题 共90分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为_______.14．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左至少平移 ________个单位后，得到的图象解析式为y ＝A cos ωx .15. 如图1,为了测量河对岸,A B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点,A B ,找到一个点D ,从D 点可以观察到点,A C ,找到一个点E ,从E 点可以观察到点,B C ,并测量得到一些数据:2,23,45,105,48.19,75,CD CE D ACD ACB BCE ==∠=∠=∠=∠=E ∠=60,则,A B 两点之间的距离为____________.(其中cos 48.19取近似值23). 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本题满分12分）已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . （1）若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； （2）若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域和单调区间．18．（本题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a =3，b =26，∠B —2∠A=0 . （1）求cos A 的值； （2）求c 的值.19．（本题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.M FCDEMC图1 图2 20．（本题满分10分）在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线()3:cos 2sin 7C ρθθ-= 距离的最小值.21．（本题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x . 现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示， 请根据图象：（1）写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； （2）写出函数f (x )(x ∈R )的解析式； （3）若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])， 求函数g (x )的最小值． 22．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由.度第二学期高二级第二次段考数学答卷一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分） 座位号：二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的横线上）13． ； 14． ；15． ； 16． 。
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重庆市九龙坡区2010-2011高二下学期第二次阶段性考试试题数学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．不确定2、从10名大学毕业生中选3个担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．28D ．493、若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4、(C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( )A.64B.224C.225D.2565、长方体两两相邻的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是 ( )A ．6 3B ．3 6C ．11D ．126、将A 、B 、C 、D 、E 排成一列，要求A 、B 、C 在排列中顺序为“A 、B 、C ”或“C 、B 、A ”(可以不相邻)，这样的排列数有多少种 ( )A ．12B ．20C ．40D ．607、一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为( )A. 15B. 132C.532D. 31328、已知三棱锥P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝2PC ＝2a ，且三棱锥外接球的表面积为S ＝9π，则实数a 的值为( ) A. 2 B.2 C. 1 D.129、圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的体积为 ( )A ．36πB ．12πC ．43πD ．4π10. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是 ( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卷相应位置上．11、如图，球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，O 1O ＝2，A ，B 是圆O 1上两点．若∠AO 1B ＝π2，则A 、B 两点间的球面距离为________． 12、如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个.13、某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________．(用数值作答)14、在正三棱锥P －ABC 中，P A 020APB ∠=，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上，则AEF ∆周长的最小值为 .15、已知数列{a n }的通项公式为121n n a -=+，则a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋…＋a n ＋1C n n ＝ .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应在答题卷写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本小题满分13分）在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝2，直线P A 与平面ABCD 所成的角为60°，求正四棱锥P －ABCD 的体积V .17、（本小题满分13分）半径为10 cm 的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36π cm 2 ，64πcm 2，求这两个平行平面的距离．18、（本小题满分13分）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，求A ′B ′的长度．19、（本小题满分12分）若(2x ＋4)2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是多少?20、（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角 A －A 1C －B 的余弦值．21、（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？重庆市九龙坡区2010-2011高二下学期第二次阶段性考试试题数学（理科）参考答案一、选择题： BDCCA CDCCD二、填空题：11、2π3 12、12 13、1512814 15、2n ＋3n . 三、解答题：18、（本小题满分13分）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别 作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，求A ′B ′的长度．解：在Rt △ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝12×22＝62.……（5分）在Rt △ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12×12＝6. ……（10分） 在Rt △A ′AB ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝(62)2－62＝6. ……（13分）19、（本小题满分12分）若(2x ＋4)2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是多少?解：在已知等式中取x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝62010，取x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝22010，两式相加得2(a 0＋a 2＋…＋a 2010)＝62010＋22010，即a 0＋a 2＋…＋a 2010＝12×(62010＋22010)＝12×62010＋22009. ……（6分） 注意到12×62010能被3整除；……（8分） 22009＝2×(22)1004＝2×(3＋1)1004＝2×(31004＋C 11004·31003＋…＋C 10031004·3＋1)，被3除的余数是2，因此a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是2．……（12分）20、（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的余弦值．解： (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1，……（2分） 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，……（4分）∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . ……（6分）(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连结BD ，∵AB ⊥平面ACC 1A 1 ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，……（8分）∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角．……（9分）在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62， 在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴cos ∠ADB ＝155， 即二面角A －A 1C －B 的余弦值为155.……（12分）21、（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1. ……（2分）由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝6581，……（4分） 所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为6581. (2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，……（5分）则 P (A 2)＝C 24×(23)2×(1－23)4－2＝827， P (B 2)＝C 34×(34)3×(1－34)4－3＝2764.……（7分） 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝18.……（8分） 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18. (3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4·D 3·(D 2D 1)，……（10分）且P (D i )＝14. 由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)·P (D 4)·P (D 3)·P (D 2D 1)＝14×14×34×(1－14×14) ＝451 024.……（12分） 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.。