第二章 自动控制系统的数学模型(1)ppt

建模方法: 分析法(理论建模) 实验法(系统辨识)
着重介绍
分析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚 的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的 物理、化学等规律出发建立系统的数学模型 如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型， 即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据 测量的输出响应建立其数学模型
(an s n an 1s n1 a1s a0 )Y ( s) (bm s m bm1s m1 b1s b0 ) X ( s)
Y ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 M (S ) G( S ) n n 1 X (s) an s an1s a1s a0 N (S )
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4. 非线性系统的线性化（小偏差线性化）
原则上讲，实际物理系统都是非线性系统 两个基本假设： （1）系统中的变量在某一工作点附近作微小变化； （2）非线性特性在该工作点可导.
定义：将非线性微分方程转化为线性微分方程的 方法称为小偏差线性化.
方法：其非线性特性曲线可以用该工作点的切线代替
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第二章：自动控制系统的数学模型
系统的数学模型：
描述系统中各个变量之间关系的数学形式和方法—数学表达式 变量之间关系
静态关系
动态关系 控制理论研究的对象 基础
数 学 模 型
时域模型—微分方程
复频域模型—传递函数 框图，信流图
频域模型—频率特性、Bode图
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y(t)
1 d y(t ) 2 2 2 n dt n dt
2
1 k 1 dy(t ) k y(t ) kF (t )
f 2 km
k n m
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1 d 2u2 (t ) 1 du2 (t ) 2 u2 (t ) u1 (t ) 2 2 n dt n dt 1 d 2 y(t ) 1 dy(t ) 2 y(t ) kF (t ) 2 2 n dt n dt
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线性化的方法
1)将非线性函数在工作点X0附近展成台劳级数，略去 高次项，得到一个以增量为变量的线性函数
df 1 d2 f 2 x x0 x x0 y f ( x0 ) 2 dx x 2! d x x 0 0 x x0 很小，其二次方及二次方以上各 2)由于 项可略去，得：
dT C KT A K1u dt
Δu为电路控制电压的增量
得到一阶微分方程
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第二节 线性常微分方程的解
• 求解方法：经典法；拉氏变换法。零状态响应；零输入 响应。 • 拉氏变换法求解步骤： 1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变 换，得到变量s的代数方程； 2.求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表 达式，即为所求微分方程的解。
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定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉 氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) an an 1 a1 a0 y (t ) n n 1 dt dt dt d m x(t ) d m 1 x(t ) dx(t ) bm bm1 b1 b0 x(t ) m m 1 dt dt dt
df ( x) y dx
x
x x0
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3)两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) 2 ( x1 x10 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
电阻为R的电炉 丝 0
t
dQ 电炉丝产热速率单位为卡/秒 dt
设电炉丝每秒向周围散热速率为Фs, Фs=K(T-Te) 实际每秒使电炉升温热量为Ф- Фs， 令电炉热容量为C，单位为卡/℃
dT C S dt
dT u2 则： C KT 0.24 KTe dt R
函数变化与自变量变化成线性比例关系
y K1x1 K 2 x2
注意： ①适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数可利用泰勒级数展开 ②实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化 ③k值随静态工作点而变 ④只适用于无间断点、折断点的单值函数
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例：某一电加热炉，输入量为电压u，输出量为温度T，求系 统数学模型
比较上2例可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它 们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型 的不同物理系统称为相似系统，例如RLC串联网络系统和弹簧 -质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据 相应位置的物理量称为相似量。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真 研究。
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例二：如图RLC电路，试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出 量的网络微分方程 L R
i(t)
di (t ) L u2 (t ) Ri (t ) u1 (t ) dt
u1(t)
C
u2(t)
1 u2 (t ) i (t )dt c
d u2 (t ) du2 (t ) LC RC u2 (t ) u1 (t ) 2 dt dt
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3. 举例
1）电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算 放大器等元件组成的电路，又称电气网络。电阻、电感、电 容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，运算放大器这 种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的 电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有源器件或电 源，就称为有源网络。
数学模型
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物理模型
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第一节 控制系统的时域数学模型
-----微分方程的建立
一、微分方程的建立
1.线性定常微分方程的一般形式 控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见 的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分 方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导 数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又 称为系统的阶数。
基本定律：基尔霍夫电压、电流定律 欧姆定律
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例一：列写下图的运动方程
i (t)
R
Ri u2 u1
u1(t)
C
u2(t)
du 2 ic dt
du 2 化简, 得 RC u 2 u1 dt du 2 u 2 u1 dt
RC
2
R L 2 C
1 d 2u2 (t ) 1 du2 (t ) 2 u2 (t ) u1 (t ) 2 2 n dt n dt
n
1 LC
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2）机械系统
机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学 的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位 移）和转动（相应的位移称为角位移）两种
3、传递函数只适合单输入、单输出系统。若某系统选择不同 变量作为输入输出信号，得到传递函数不同。若系统由多个输 入，除了一个有关输入外，其他输入为0 4、传递函数不能反映系统或元件的物理结构，许多物理性质 截然不同的系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数；同 一物理系统，由于描述不同端口关系，传递函数可能不同。 5、传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关
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第三节 控制系统的复频域数学模型
-----传递函数
微分方程求解---复杂，引入传递函数
一、传递函数的概念和定义
一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系 统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个 控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来 达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统 或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的 一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统 响应的影响。 • 当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号 c（t） 的拉氏变换式与输入信号 r （ t ）的拉氏变换式之比，称为该 系统或元件的传递函数，记为G（s）
基本定律：力学定律 牛顿第二定律 牛顿转动定律
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例1：试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。
解: 阻尼器的阻尼力: 弹簧弹性力:
2
dy (t ) F1 (t ) f dt
k m
f
F
F2 (t ) ky(t )
d y( t ) m F ( t ) F1 ( t ) F2 ( t ) 2 dt d 2 y( t ) dy( t ) f ky( t ) F ( t ) 整理得: m 2 dt dt
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二、传递函数的几点说明
1、传递函数和微分方程一样，表示系统的运动特性，是系统 数学模型的一种表示形式，它与系统的运动方程一一对应。即 传递函数与微分方程有相通性，t---S，可经简单置换而转换 2、传递函数是由Laplace变换导出的，它只适用于线性定常系 统，且只能反映零初始条件下的全部运动规律