上海市杨浦区控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

上海市杨浦区控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1. 已知点(a,1

2)在幂函数f(x)=(a ?1)x b 的图象上，则函数f(x)是( )

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 定义域内的减函数

D. 定义域内的增函数

2. 已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分又不必要条件

3. 当

时，幂函数y =(m 2?m ?1)x ?5m?3为减函数，则实数m 的值为( )

A. m =2

B. m =?1

C. m =?1或m =2

D. m ≠1±√52

4. 命题p ：?x ∈R ，使得2x >x ，命题q ：若函数y =f(x ?1)为偶函数，则函数y =f(x)的图象

关于直线x =1对称，下列判断正确的是( )

A. p ∨q 真

B. p ∧q 真

C. ￢p 真

D. ￢q 假

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5. A ={x|x ≥?1}，B ={x|x <3}，则A ∪B = ______ ．

6. 函数f(x)=x?3的定义域是______ ．

7. 设函数f(x)={x 2?2x ,(x ?0)

f(x ?3),(x >0)

，则f (5)的值为________．

8. 已知函数f(x)的图像关于y 轴对称，且x >0时，f(x)=1

x .则x <0时，y =f(x)的图像为

________________．

9. 已知集合A ={1,3,a }，B ={1,a 2?a +1}，且B ?A ，则a =_________． 10. 若函数f(x)=a x (a >0且a ≠1)的反函数的图象过点(3,?1)，则a = ______ ． 11. 已知函数f (x )=2x

2x ?1

+a 为奇函数，则实数a =________．

12. 已知函数f(x)={

e x +a,x ≤0

3x ?1,x >0

(a ∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．

13. 已知函数f(x)=

2ax+a 2?1x 2+1

，其中a ∈R ，在x ∈[0,+∞)上存在最大值和最小值，则a 的取值范围

是______ ．

14. 若3x =12y =8，则1x ?1

y =__________． 15. 函数f(x)=x 2+2

x 2+1

的值域为______ ．

16. 已知函数f(x)=√9?x 2?√4?x 2，则f(x)的最大值是__________． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 已知函数f(x)=|x ?a|?|x +3|，a ∈R ．

(1)当a =?1时，解不等式f(x)≤1；

(2)不等式f(x)≤4在x ∈[?2,3]时恒成立，求a 的取值范围．

18. 设函数f (x ){2x ?2,x ≥1,x 2?2x,x <1.

求函数g (x )=f (x )?1

4的零点

19. 心理学家通过研究和实验表明，学生在一节课45分钟内的注意力保持的程度指数f(t)与上课时

间(分钟)之间近似满足：f(t)={?0.1t 2+2.6t +43,0

?2t +91,16

．

若f(t)的值越大，表示学生的注意力越集中，按照上述结论，请回答以下问题：

(Ⅰ)上课开始5分钟后和上课开始18分钟后比较，何时学生的注意力更集中？

(Ⅱ)上课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，可以持续多久？

(Ⅲ)一道数学题，雷要讲解15分钟，且要求学生的注意力程度指数始终至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题？请说明理由．

20.已知函数．

(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是减函数；

(2)证明：f(x)有零点；

(3)设f(x)的零点在区间(1

n+1,1

n

)内，求正整数n．

21.已知函数f(x)=(1

2

)x．

⑴若存在x∈(0,+∞)，使af(x)?f(2x)>1成立，求实数a的取值范围；

⑴若a>0，且当x∈[0,15]时，不等式f(x+1)?f[(2x+a)2]恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于基础题． 利用幂函数的性质直接求解即可．

解：点(a,1

2)在幂函数f(x)=(a ?1)x b 的图象上， ∴a ?1=1，解得a =2； 又2b =12，解得b =?1， ∴f(x)=x ?1；

∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数． 故选A ．

2.答案：B

解析：

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 2<1，解得?1

∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件． 故选：B ．

3.答案：A

解析：

本题考查幂函数的定义和性质，属于基础题． 利用幂函数的定义和单调性求解即可得结果． 解：因为函数y =(m 2?m ?1)x ?5m?3是幂函数又是上的减函数，

所以{m 2?m ?1=1,?5m ?3<0,

解得m=2．

故选A．

4.答案：A

解析：解：由图象可知，函数y=2x恒在y=x的上方即2x>x恒成立，故p为真命题

若函数y=f(x?1)为偶函数，则其图象关于x=0对称，根据函数的图象的平移可知函数y=f(x)的图象关于直线x=?1对称，故q为假命题

p∨q为真命题

故选A

由图象可知，函数y=2x恒在y=x的上方即2x>x恒成立，可知p为真命题；由偶函数的图象关于x=0对称及函数的图象的平移可知函数y=f(x)的图象关于直线x=?1对称，故q为假命题，然后根据复合命题的真假关系即可判断

本题以复合命题的真假关系的判断为载体，主要考查了指数函数的性质，偶函数的性质及函数的图象的平移的应用

5.答案：R

解析：解：∵A={x|x≥?1}，B={x|x<3}，

∴A∪B=R，

故答案为：R

由A与B，求出两集合的并集即可．

此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

6.答案：(3,+∞)

解析：解：要使原函数有意义，则x?3>0，即x>3．

∴函数f(x)=

的定义域是(3,+∞)．

√x?3

故答案为：(3,+∞)．

直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

7.答案：1

2

解析：

本题考查函数值的求法，属于基础题．

根据题设条件可得f(5)=f(2)=f(?1)，然后代入已知函数解析式即可求解．解：由题意得f(5)=f(2)=f(?1)，

当x≤0时，f(x)=x2?2x，

所以f(?1)=(?1)2?2?1=1?1

2=1

2

，

故答案为1

2

．

8.答案：

解析：

本题考查函数图像的对称变换．

先做出x>0时，f(x)=1

x

的图像，在关于y轴对称．

解：做出x>0时，f(x)=1

x

的图像如图：

关于y轴对称得图像为．

故答案为．

9.答案：?1或2

解析：

本题考查集合间包含关系的运用，根据题意，分析可得：若B?A，必有a2?a+1=3或a2?a+1= a，分两种情况讨论即可得到结果．

解：∵B?A，

∴a2?a+1=3或a2?a+1=a，

①由a2?a+1=3得a2?a?2=0，解得a=?1或a=2，

当a=?1时，A={1,3，?1}，B={1,3}，满足B?A，

当a=2时，A={1,3，2}，B={1,3}，满足B?A，

②由a2?a+1=a得a2?2a+1=0，解得a=1，

当a=1时，A={1,3，1}不满足集合元素的互异性，

综上，若B?A，则a=?1或a=2．

故答案为?1或2．

10.答案：1

3

解析：解：∵函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,?1)，

∴3=a?1，

．

解得a=1

3

．

故答案为：1

3

利用互为反函数的性质即可得出．

本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11.答案：?1

2

解析：

本题考查函数的奇偶性，属于基础题．

掌握奇函数的性质f(x)=?f(?x)是解题的关键．

解：由题意，函数f(x)=2x

2x ?1+a 为奇函数，

则有f(x)+f(?x)=

2x 2x ?1

+a +

2?x 2?x ?1+a =0，

整理得a =?1

2(2x

2x ?1+2?x 2?x ?1)=?1

2(2x

2x ?1+1

1?2x )=?1

2， 故答案为：?1

2．

12.答案：[?1,0)．

解析：分析：先作出函数y 1=e x ，和函数y 2=3x ?1，数形结合即可求得。

解：如图所示：

显然?,y =3x ?1(x >0)在x =1

3时有一个零点 而函数y =e x (x ≤0)时，函数的值域为(0,1]

要使y =e x +a (x ≤0)有且只有一个零点，则?1≤a <0． 综上，a 的取值范围是[?1,0)．

13.答案：(?∞,?1]∪(0，1]．

解析：解：对函数求导可得，f′(x)=?2(x+a)(ax?1)

(1+x 2)2

①当a =0时，f′(x)=2x

x 2+1．

所以f(x)在(0,+∞)单调递增，不合题意．

②当a >0时，令f′(x)=0，得x 1=?a ，x 2=1

a ，f(x)与f′(x)的情况如下： x (?∞,x 1) x 1

(x 1,x 2) x 2

(x 2,+∞) f′(x) ? 0

+

?

f(x)

↘

f(x 1)

↗ f(x 2) ↘

故f(x)在(0,1

a )单调递增，在(1

a ,+∞)单调递减， 所以f(x)在(0,+∞)上存在最大值f(1

a )=a 2>0．

设x0为f(x)的零点，易知x0=1?2a2

2a ，且<1

a

．

从而x>x0时，f(x)>0；x

若f(x)在[0,+∞)上存在最小值，必有f(0)≤0，解得?1≤a≤1．

所以a>0时，若f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值，则a的取值范围是(0,1]．

③当a<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

所以f(x)在(0,?a)单调递减，在(?a,+∞)单调递增，

所以f(x)在(0,+∞)上存在最小值f(?a)=?1．

若f(x)在[0,+∞)上存在最大值，必有f(0)≥0，解得a≥1，或a≤?1．

所以a<0时，若f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(?∞,?1]．

综上，a的取值范围是(?∞,?1]∪(0，1].

故答案为：(?∞,?1]∪(0，1]．

先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间，求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围．

本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于难题．

14.答案：?2

3

解析：

本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，以及对数的换底公式．

根据3x=12y=8即可得出x=log38，y=log128，从而得出1x=log83,1y=log812，然后进行对数的运算即可．

解：∵3x=12y=8；

∴x=log38，y=log128；

∴1

x ?1

y

=log83?log812=log81

4

=?2

3

．

故答案为?2

3

．

15.答案：(1,2]

解析：解：∵函数f(x)=x 2+2

x 2+1

=1+1x 2+1，0<1

x 2+1≤1，∴1

x 2+2x 2+1

=1+

1

x 2+1

，且0<1

x 2+1≤1，由此求得函数的值域．

本题主要考查求函数的值域的方法，属于基础题．

16.答案：6

解析：

本小题主要考查函数单调性的应用、函数导数与函数单调性之间的关系，函数最值，考查学生计算能力，属于难题．

首先求出函数定义域，判断函数单调性，利用换元法构造函数，求导求函数最值． 解：函数定义域满足{9?x 2>0

4?x 2>0√9?x 2?√4?x 2≠0，所以?2≤x ≤2，

因为f(?x)=22=?f (x )，函数为奇函数；f(0)=0； 当0

?1?√4x 2

?1，

令1x 2=t ≥1

4，设g (t )=√9t ?1?√4t ?1， 所以g′(t )=2√9t?1?√4t?1，令g′(t )=0，

计算得t =13

36，结合单调性可得此时函数g (t )取得最小值， 所以g (t )min =√6×1336?1?√4×1336?1=5

6，

所以f(x)在0

5

6

=6；

因为函数为奇函数，所以最大值是6； 故答案为6．

17.答案：解：(1)a =?1时，f(x)=|x +1|?|x +3|≤1，

?{x ≤?3?x ?1+x +3≤1或{?3

x ≥?1x +1?x ?3≤1, 解得：?或?5

2≤x

综上，不等式的解集为[?5

2,+∞)； (2)∵x ∈[?2,3]， ∴x +3>0，

∴不等式f(x)≤4在x ∈[?2,3]时恒成立， ?|x ?a|≤x +7在x ∈[?2,3]时恒成立，

??(x +7)≤x ?a ≤x +7在x ∈[?2,3]时恒成立， ??x ?7?x ≤?a ≤7在x ∈[?2,3]时恒成立， ??7≤a ≤2x +7在x ∈[?2,3]时恒成立， 而2x +7在x ∈[?2,3]的最小值是3， ∴?7≤a ≤3，即a 的取值范围为[?7,3]．

解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题． (1)将a =?1代入f(x)，通过讨论x 的范围，得到不等式组，解出即可；

(2)问题转化为?7≤a ≤2x +7在x ∈[?2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[?2,3]的最小值是3，从而求出a 的范围即可．

18.答案：解：求函数g(x)=f(x)?14的零点，即求方程f (x )?1

4=0的根．

当x ≥1时，由2x ?2?1

4=0，得x =9

8， 当x <1时，由x 2?2x ?1

4=0，得x =2+√52

或x =

2?√52

；

∵x <1， ∴x =2+√52

舍去， ∴x =

2?√52

．

∴函数g (x )的零点是9

8、2?√52

．

解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系． 考查函数零点存在性定理．

19.答案：解：(Ⅰ)∵当0

∴f(5)=?0.1×52+2.6×5+43=53.5；

∵当16

∴f(18)=?36+91=55．

故上课开始18分钟后，学生的注意力更集中

(Ⅱ)当0

故f(t)的最大值为f(10)=59

当10

当16

当40

因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间．

(Ⅲ)令f(t)=55解得t=6或t=18，

且当6≤t≤18时，f(t)≥55

因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为18?6=12<15，

故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

解析：(Ⅰ)比较5分钟和18分钟学生的接受能力何时强，方法是把t=5代入第一段函数中，而t=18要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求

(Ⅱ)求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．

(Ⅲ)考查分段函数图象和增减性，令f(t)=55，第一段函数解得t=6，第三段函数解得t=18，关键是从图象上知道655，然后求出两个时间之差就是持续的时间，最后和15分钟比较大小即可．

本题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．解题时学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．

20.答案：(1)解：显然函数f(x)的定义域为(0,+∞)．

设00，x1x2>0?12x

1?1

2x2

=x2?x1

2x1x2

>0，

．

因为，所以f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减．

故函数f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数． (2)证明：因为f(1)=0+1

2?172

=?8<0，f(116

)=4+8?

172

=7

2

>0，

所以f(1)?f(1

16)<0，

又因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减， 所以函数f(x)有零点． (3)解：因为

，

，

所以f(1

10)?f(111)<0，

又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减， 所以函数f(x)的零点在区间(1

11,1

10)内， 故n =10．

解析：本题考查函数的单调性和零点问题，属于较难题． (1)利用单调性的定义即可证明． (2)由f(1)=0+1

2?

172

=?8<0，f(116

)=4+8?

172

=7

2

>0，

所以f(1)?f(1

16)<0，即可判断．

(3)由f(1

11)>0，f(1

10)<0，所以f(1

10)?f(1

11)<0，即可求解．

21.答案： 解：⑴当x ∈(0,+∞)， af(x)?f(2x)>1?a >2x +1

2x ．

令2x =t(t >1)，考虑函数g(t)=t +1

t ． ∵g(t)在

上是增函数，∴g(t)的值域为

．

∵存在x ∈(0,+∞)，使af(x)?f(2x)>1成立，∴a >2， ∴实数a 的取值范围为

；

⑴当x ∈[0,15]时，f(x +1)?f[(2x +a)2]?a ?√x +1?2x ． 令√x +1=u(1?u ?4)，考虑函数?(u)=u ?2(u 2?1)=?2(u ?1

4)2+178

，∵?(u)在[1,4]上是减

函数，∴?(u)max =?(1)=1.

∵当x ∈[0,15]时，不等式f(x +1)?f[(2x +a)2]恒成立，

∴a?1．

∴实数a的取值范围为

解析：本题主要考察不等式的恒成立问题，复合函数的单调性以及函数与方程的综合运用，对考生的综合能力要求较高，属于难题．