高中数学第二章.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修20
2019-2020高中北师版数学必修2 第2章 §3 3.3 空间两点间的距离公式
3．3 空间两点间的距离公式1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d 2．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P (x 0，y 0，z 0)与原点的距离|OP |(2)空间两点A(x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离 |AB |思考：空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系？ 提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2；②在x 轴上的两点A ，B 对应的实数分别是x 1，x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.1．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和点B (2，－1,6)的距离是( )A ．243B ．221C ．9 D.86D [|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.]2．在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( )A ．3或5B ．－3或－5C ．3或－5D ．－3或5A [由题意得|AB |＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a －4)2＝3，解得a ＝3或5，故选A.]3．已知点A (4,5,6)，B (－5,0,10)，在z 轴上有一点P ，使|P A |＝|PB |，则点P 的坐标是________．(0,0,6) [设点P (0,0，z )， 则由|P A |＝|PB |，得(0－4)2＋(0－5)2＋(z －6)2 ＝(0＋5)2＋(0－0)2＋(z －10)2， 解得z ＝6，即点P 的坐标是(0,0,6)．](1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度． [解] (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72，∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．1．如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________．2或6 [由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6.]两点的坐标，并求此时的|AB |.[思路探究] 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标．[解] 由空间两点的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357.此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.2．在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3)．在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解] 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形． 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立，所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形． 因为|MA |＝32＋(－y )2＋12＝10＋y 2， |AB |＝2 5.于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).【例3】 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O -xyz .(1)若点P 在线段BD 1上，且满足3|BP |＝|BD 1|，试写出点P 的坐标，并写出P 关于y 轴的对称点P ′的坐标；(2)在线段C 1D 上找一点M ，使得点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标．[思路探究] (1)借助3|BP |＝|BD 1|及平面几何的知识求点P 的坐标，利用对称关系求点P ′的坐标；(2)利用空间两点间的距离公式建立点M 到点P 的距离的函数，并用函数的思想求其最小值，及此时的点M 的坐标．[解] (1)由题意知P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13.P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，－13.(2)设线段C 1D 上一点M 的坐标为(0，m ，m )，则有|MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －132＝2m 2－2m ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋12， 当m ＝12时|MP |取到最小值， 所以点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点的特殊性，往往能使求解过程简化，如本例(2)设M (0，m ，m )便是如此.3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？[解] 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1)．|NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305， 此时a ＝x 2＋y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小．1．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．2．在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想．1．思考辨析(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关． ( ) (2)点A (1,1,0)与点B (1,1,1)之间的距离是1.( )[解析] (1)×，空间两点间的距离公式与两点顺序无关． [答案] (1)× (2)√2．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形C [由距离公式得：|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， |BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形．]3．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．(0,0,3)[∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|P A|＝|PB|，∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.]4．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______．3[|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.]。
精品2019学年高中数学第二章.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修20
3.3 空间两点间的距离公式1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)[基础·初探]教材整理空间两点间的距离公式阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.1.长方体的对角线：(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.(如图239)图239(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d2.空间两点间的距离公式：(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )A.243B.221C.9D.86【解析】|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.【答案】 D[小组合作型]已知△ABC (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度.【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可. 【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72， ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.[再练一题]1.如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________. 【解析】 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6. 【答案】2或 6已知A (x,5－x,2x |AB |.【导学号：39292123】【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标. 【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB |＝＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357. 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.[再练一题]2.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3).在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【解】 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形. 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立， 所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA |＝32＋(－y )2＋12＝10＋y 2， |AB |＝2 5.于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).[探究共研型]探究1 如图O xyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上.当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值.图2310【提示】 当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2.因为点Q 在线段CD 上，故设Q (0，a ，z ). 则|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22a .即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为22a . 探究2 在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值. 【提示】 因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短.连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为22a . 已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2).(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决. 【自主解答】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直.以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1.(2)∵|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.[再练一题]3.如图2311，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？图2311【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1).|NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305，此时a ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小.1.在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝3，则实数a的值是( )A.3或5B.－3或－5C.3或－5D.－3或5【解析】由题意得|AB|＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a－4)2＝3，解得a＝3或5，故选A.【答案】 A2.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】由距离公式得：|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形.【答案】 C3.已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________.【解析】∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.【答案】(0,0,3)4.点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______.【解析】|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.【答案】 35.如图2312，已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长.【导学号：39292124】图2312【解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a ).由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a .根据空间两点间距离公式，可得： |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＝64a .。
高一数学：2.3.3空间两点间的距离公式 课件 (北师大必修2)
2020/4/23
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随堂练习：
4、在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M 到N(6,5,1)的距离最小。
分析：可设M(x,1-x,0),利用距离公式构造出一个
二次函数后求最值 解：由已知，设M(x,1-x,0),则
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (1 0)2
2(x 1)2 51
当x 1时，MN 51minBiblioteka 2020/4/239
探究2:
平面到坐标原点的距离为1的点的轨 迹是单位圆，其方程为x2+y2=1;
在空间中，到坐标原点的距离为1的 点的轨迹是什么？试写出它的方程.
球 x2+y2+z2=1
2020/4/23
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课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用.
3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
2020/4/23
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课后思考：
连接平面上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）
的线段P1P2的中点M的坐标为（x1
2
x2
,
y1
2
y2 ），
那么已知空间两点P1（x1，y1，z1）、
P2（x2，y2，z2），线段P1P2的中点M的坐标
如图,长方体中,OA x, OC y, OD z
写出B的坐标,并求出 OB
z
解： 坐B标 为(x,y,z),
D`
C`
因为O(0,0,0),则 A`
B`
OB (x 0)2 ( y 0)2 (z 0)2
x2 y2 z2
O A
x
2020/4/23
C y
北师大版必修2高中数学2.3.3《空间两点间的距离公式》ppt课件
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X 新知导学 D答疑解惑
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解:如图所示 ,以 C 为原点 ,CA,CB,CC1 所在直线为坐标轴 ,建立 空间直角坐标系 C-xyz.
∵CA=CB=1,AA1= 2, ∴N(1,0,1),M
2.空间两点间的距离公式 给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
|AB|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2.特别地,点 A(x,y,z)到原点的距 离公式为|OA|= ������ 2 + ������ 2 + ������ 2.
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解析:由题意知 M 1,0,
1 2
,N
1 4
,1,0 ,
∴|MN| 2=16+1+4 = 16. ∴|MN|=
答案:B
29 4
9
1
29
.
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解:因为点 P 在 x 轴上 ,设 P(x,0,0),因此 |PP1|= ������ 2 + (- 2)2 + (-3)2 = ������ 2 + 11 , |PP2|= ������ 2 + (-1 )2 + 12 = ������ 2 + 2, 又因为 |PP1|=2|PP2|,所以 ������ 2 + 11 =2 ������ 2 + 2. 解得 x=±1. 所以所求点 P 的坐标为 (1,0,0)或 (-1,0,0).
高中数学(北师大版必修2)2.3.3空间两点间的距离公式
2.3.2 空间两点间的距离一、基础过关1． 点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则AA ′＝__________.2． 点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＝2，则点P 运动的轨迹是_____________．3． 点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是____________．.4． 点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为__________．5． 已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 是________三角形．6． 到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足的关系式为____________．7． 已知A (3,3,1)、B (1,0,5)，求：(1)AB ；(2)线段AB 的中点坐标；(3)到A 、B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x 、y 、z 满足的条件．8． 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12， 0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9． 已知点A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A 、B 两点距离的最小值为________．10．对于任意实数x ，y ，z ，x 2＋y 2＋z 2＋(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2的最小值为______．11．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P 点的坐标为__________．12．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．三、探究与拓展13．已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小．答案1．102．以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面3．(5,2，－7)4．(33，33，33)或(－33，－33，－33)5．直角6．x ＋y ＋z ＝07．解 (1)由空间两点间的距离公式，得AB ＝(3－1)2＋(3－0)2＋(1－5)2＝29.(2)线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3＋12，3＋02，1＋52，即为(2，32，3)． (3)点P (x ，y ，z )到A 、B 的距离相等，则(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2 ＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2.化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0，即到A 、B 距离相等的点P 的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.8．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)， ∴AD ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9.35510. 611．(－1,0,2)12．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)． ∴MN ＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 的坐标为(1,0,0)时，(MN )min ＝51.13．解 (1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥面ABCD .∴AB 、BC 、BE 两两垂直．∴以B 为坐标原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0. ∴MN ＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12 (0<a <2)．(2)∵MN ＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12 (0<a <2)，故当a ＝22时，(MN )min ＝22.。
2020学年高中数学第2章解析几何初步33.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2(最新整理)
3．3 空间两点间的距离公式学习目标核心素养1.会推导和应用长方体对角线长公式．（重点）2。
会推导空间两点间的距离公式．（重点) 3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．（难点)1。
通过推导长方体对角线公式及空间两点间的距离公式提升逻辑推理素养。
2.通过用两点间的距离公式解简单的问题培养数学运算素养。
1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．（如图）（2）如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝错误!.2．空间两点间的距离公式（1)空间任意一点P(x0，y0,z0）与原点的距离｜OP｜＝错误!.(2)空间两点A(x1,y1，z1），B(x2，y2，z2）间的距离｜AB|＝错误!.思考:空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系?提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A（x1，y1)，B（x2，y2），则|AB|＝错误!;②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2,则｜AB｜＝|x2－x1|。
1．空间直角坐标系中,点A(－3,4，0)和点B(2，－1，6)的距离是( )A．243 B．2错误!C．9 D.错误!D [|AB|＝错误!＝错误!.]2．在空间直角坐标系中，设A（1，2，a）,B（2，3,4），若｜AB|＝3,则实数a的值是（）A．3或5 B．－3或－5C．3或－5 D．－3或5A [由题意得｜AB|＝1－22＋2－32＋a－42＝3，解得a＝3或5，故选A.］3．已知点A（4,5，6），B(－5,0，10），在z轴上有一点P，使|PA｜＝｜PB｜，则点P 的坐标是________．（0,0,6）[设点P(0,0,z）,则由|PA|＝|PB|，得0－42＋0－52＋z－62＝错误!，解得z＝6，即点P的坐标是（0,0,6）．］求空间两点间的距离(1）求△ABC中最短边的边长；（2）求AC边上中线的长度．［解］(1)由空间两点间距离公式得｜AB｜＝错误!＝3，｜BC|＝2－32＋3－12＋4－52＝错误!，｜AC|＝错误!＝错误!，∴△ABC中最短边是|BC|,其长度为错误!。
2.3.3 空间两点间的距离公式 教案 (高中数学必修二北师大版)
3.3空间两点间的距离公式●三维目标1．知识与技能(1)会推导和应用长方体对角线长公式．(2)会推导空间两点间的距离公式．(3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．2．过程与方法通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．情感、态度与价值观使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．●重点难点重点：空间两点间的距离公式．难点：空间两点间的距离公式的推导过程．教学中教师可引导学生从已有的知识：平面直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式．●教学建议教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)到原点的距离为|OP|＝x2＋y2＋z2类比平面直角坐标系中两点间的距离，得到空间任意两点间的距离公式．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，让学生掌握空间两点间的距离公式⇒通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式⇒通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标⇒通过例3及变式训练，距离公式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．在空间直角坐标系中，点M(0,0,3)到原点的距离是多少？2．点N(3,0,4)到原点的距离为多少？【提示】 1.|OM|＝3.2．因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|＝32＋42＝5.1．长方体的对角线及其长的计算公式图2－3－10(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC3－10)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c2．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.3．中点坐标公式已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点M的坐标为(x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22).图2－3－11长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图2－3－11所示空间直角坐标系．(1)写出点D，M，N的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．【思路探究】先写出点的坐标，再利用距离公式求线段的长度．【自主解答】(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)，又D是原点，则D(0,0,0)．(2)|MD|＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN|＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.1．求准点的坐标是解答本题的关键．2．空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．已知△ABC的三顶点A(1,5,2), B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC中最短边的边长．【解】(1)由空间两点间距离公式得：|AB|＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3，|BC|＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC|＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29.∴△(2)已知点P到坐标原点的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【思路探究】设出点的坐标，列出相应方程，从而求解．【自主解答】(1)由题意可知，设该点的坐标为P(0，0，z)，则|P A|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2.又|P A|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0,0,6)．(2)由题意可知P点的坐标为(x，y，z)．所以|OP|＝x2＋y2＋z2＝2 3.又x＝y＝z，所以3x2＝2 3.所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．1．该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．若把本例中的(1)“在z轴上求一点”换成“在xOy平面内的直线2x－y＝0上求一点”，其余条件不变，求相应问题．【解】 设该点的坐标P 为(a,2a,0)， 则|P A |＝(4－a )2＋(5－2a )2＋(6－0)2，|PB |＝(－5－a )2＋(0－2a )2＋(10－0)2.又|P A |＝|PB |，∴a ＝－2419，∴所求点的坐标为(－24，－48，0).的距离最小，并求出最小值．【思路探究】 设出M 坐标，根据距离公式列出|PM |求最小值． 【自主解答】 ∵点M 在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上， ∴设点M (a,2a,0)， 则|MP |＝(a ＋3)2＋(2a －4)2＋52＝5a 2－10a ＋50＝5(a －1)2＋45，∴当a ＝1时，|MP |取最小值35，此时M (1,2,0)， ∴M 坐标为(1,2,0)时|PM |最小，最小值为3 5.1．本题主要利用了距离公式表示|PM |，根据二次函数求其最小值．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．在空间直角坐标系中，求到两定点A (2,3,0)，B (5,1,0)距离相等的点的坐标P (x ，y ，z )满足的条件．【解】 ∵点P (x ，y ，z ) 由题意可得|P A |＝(x －2)2＋(y －3)2＋22|PB |＝(x －5)2＋(y －1)2＋22∵|P A |＝|PB |， ∴(x －2)2＋(y －3)2＋22 ＝(x －5)2＋(y －1)2＋22，整理得6x －4y －13＝0，∴P 点坐标满足条件为6x －4y －13＝0.解析法在空间直角坐标系中的应用。
2021年高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2
3．3 空间两点间的距离公式知识点 空间两点间的距离[填一填]1．用公式计算空间两点的距离一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[答一答]1．已知点P (x ，y ，z )，如果r 为定值，那么x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示什么图形？提示：由x 2＋y 2＋z 2为点P 到坐标原点的距离，结合x 2＋y 2＋z 2＝r 2知点P 到原点的距离为定值|r |，因此r ≠0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示以原点为球心，|r |为半径的球面；r ＝0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示坐标原点．2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)．空间两点间的距离公式的注意点(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．类型一 空间两点间的距离公式的应用 【例1】 已知点P (1，－1,2)，求： (1)P 到原点O 的距离； (2)P 到y 轴的距离； (3)P 到平面xOy 的距离．【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．【解】 (1)点P (1，－1,2)到原点O 的距离为d (O ，P )＝12＋(－1)2＋22＝ 6. (2)∵点P 在y 轴上的投影为P y (0，－1,0)，∴P 到y 轴的距离为d (P ，P y )＝(1－0)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝ 5.(3)∵点P 在平面xOy 上的投影为P 1(1，－1,0)， ∴P 到平面xOy 的距离为d (P ，P 1)＝(1－1)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝2.规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．求以下两点间的距离． (1)A (1,0，－1)，B (0,1,2)； (2)A (10，－1,6)，B (4,1,9)．解：(1)|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(－1－2)2＝11. (2)|AB |＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝49 ＝7.类型二 求点的坐标【例2】 (1)在x 轴上求一点P ，使它与点A (3,1，－2)的距离为41；(2)在xOy 平面内的直线x －y ＝1上确定一点M ，使它到点B (－1,3,1)的距离最小． 【思路探究】 根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解．【解】 (1)设点P (x,0,0)．由题意，得|P A |＝(x －3)2＋1＋4＝41， 解得x ＝9或x ＝－3.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－3,0,0)．(2)由条件，可设M (x ，x －1,0)，则|MB |＝(x ＋1)2＋(x －1－3)2＋(0－1)2＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋272. 所以当x ＝32时，|MB |min ＝362，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0.规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求．例如，在x 轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y 轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy 平面上的点的坐标可设为(x ，y,0)．设点A 在x 轴上，它到点P (0，2，3)的距离等于到点Q (0，1，－1)的距离的两倍，那么点A 的坐标是( A )A ．(1,0,0)或(－1,0,0)B ．(2,0,0)或(－2,0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0，0或⎝⎛⎭⎫－12，0，0 D.⎝⎛⎭⎫－22，0，0或⎝⎛⎭⎫22，0，0解析：设点A 的坐标为(x,0,0)．根据题意有|AP |＝2|AQ |，则(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x ＝±1，故点A 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 类型三 求空间中线段的长度【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．【思路探究】 (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P 的坐标，得到|MP |的表达式，转化为求二次函数的最小值．【解】 (1)∵A (2,0,0)，B (2,2,0)，N 是AB 的中点，∴N (2，1,0)．同理可得M (1,2,3)，又D 是原点，则D (0,0,0)．(2)|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.(3)点P 在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，则 |MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5(y －45)2＋545.∵y ∈[0,1]，0<45<1，∴当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305. ∴|MP |的最小值为3305.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B (1,0,0)，E (0，1，12)，A 1(0,0,1)，所以|BE |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(0－12)2＝32，|A 1E |＝(0－0)2＋(0－1)2＋(1－12)2＝52.——多维探究系列—— 建立空间直角坐标系解决几何问题【例4】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 【思路分析】 建立空间直角坐标系，利用直角三角形中两直角边互相垂直来证明． 【精解详析】 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P (12，12，1)，由空间两点间的距离公式得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝(1－12)2＋(1－12)2＋(1－1)2＝22，|AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2， ∴|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，∴AP ⊥B 1P .【解后反思】 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可建立适当的空间直角坐标系，构造三角形，利用空间两点间的距离公式求边长，判断该三角形为直角三角形．已知点A (0,1,0)、B (－1,0，－1)、C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．解：∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形，∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，即x ＋z ＝1，① 又∵P A ⊥AC ，∴△P AC 为直角三角形，∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，即2x ＋z ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为P (－1,0,2)．一、选择题1．点A (－1,0,1)与坐标原点O 的距离是( A ) A.2 B.3 C ．1 D ．2 2．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( B ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2解析：代入两点间的距离公式得|AB |＝2 6. 3．M (4，－3,5)到x 轴的距离为( B ) A ．4 B.34 C ．5 2 D.41解析：如图所示，MA⊥平面xOy，AB⊥x轴，则|MB|＝52＋(－3)2＝34.二、填空题4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，已知A(2，1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝2.解析：|AB|2＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝2，|BC|2＝(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2＝x2－2x＋3，|AC|2＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝x2－4x＋5，根据题意，得|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以2＋x2－4x＋5＝x2－2x＋3，解得x＝2.5．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是2或 6.解析：由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|P A|＝2或 6.三、解答题6．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，试判断△ABC的形状．解：d(A，B)＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，d(A，C)＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，d(B，C)＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14.∴d2(A，B)＝d2(A，C)＋d2(B，C)，且d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)两两不等．∴△ABC 为直角三角形．。
北师大版高中必修23.3空间两点间的距离公式课程设计
北师大版高中必修23.3空间两点间的距离公式课程设计一、课程设计目的本课程设计旨在帮助高中学生掌握空间两点间的距离公式，提高学生的数学运算能力和实际应用能力。
二、设计思路和内容1. 知识点概述本课程设计涉及到的知识点包括：•空间直角坐标系•向量的概念和运算法则•点积与向量之间的关系•两点间距离公式的推导和应用2. 教学活动设计2.1 知识点概述的讲解首先，老师可以通过讲解PPT或黑板，对本课程设计中涉及到的知识点进行简要概述和讲解。
通过直观的图形和具体的实例，帮助学生建立相关的概念和基础知识。
2.2 分组探究接下来，老师可以将学生分成若干小组。
每个小组根据所分配到的题目，利用自主探究和合作探讨的方式，深入理解和掌握本课程设计中的知识点，并在小组内互相讨论和交流。
2.3 案例讲解随后，老师可以通过介绍实际案例，引导学生运用所学知识点解决实际问题。
通过实例，让学生感受到所学知识的实际运用，提高其实际应用能力。
3. 课程设计评估为了确保本课程设计的有效性和学生能够全面地掌握所学知识点，老师可以通过测试的方式进行课程设计评估。
测试题目可以覆盖本课程设计所涉及到的知识点，以检验学生对知识的掌握情况。
三、课程实施本课程的实施方式可以根据具体情况灵活安排。
一下是一个可能的实施计划：时间内容1学时知识点概述及基础理论讲解2-3学时学生小组探究及讨论4学时案例分析及实践操作5学时课程测试和讲评四、课程设计总结通过本课程设计，学生可以了解空间两点间的距离公式的推导过程和运用方法，在实际生活中对距离有了更加深入的理解。
同时，也可以提高学生的数学计算和实际应用能力。
为将来的学习和工作打下坚实的基础。
高中数学第二章2.3空间直角坐标系第34课时空间两点间的距离公式作业课件北师大版必修2
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3 2 ，则A点 的坐标是__(0_,_0_,6_)_或__(_0_,0_，__－__2_)_____．
解析：设A(0,0，a)，代入两点间的距离公式， |AB|＝ 1－02＋1－02＋2－a2＝3 2， 解得a＝－2或6.
点A，B分别在xOy平面和z轴上移动．若AB＝2，则点C到原点O的
最远距离为( C )
A. 3－1
B．2
C. 3＋1
D．3
解析：连接OA，△AOB为直角三角形，设D为AB的中点，则 OD＝1，当OD⊥AB时，O到AB的距离最大为1，又C到AB的距离 即C到点D的距离为 3，所以C到O的最远距离为 3＋1.故选C.
为 86，则x的值为( C )
A．2
B．－8
C．2或－8
D．8或－2
解析：由两点间的距离公式，得(x＋3)2＋(－5)2＋62＝86，解得x ＝2或－8.
3．点P(x,2,1)到点M(1,1,2)和点N(2,1,1)的距离相等，则x的值
为( B )
1 A.2
B．1
3 C.2Dຫໍສະໝຸດ 2解析：由题意知，(x－1)2＋(2－1)2＋(1－2)2＝(x－2)2＋(2－1)2＋ (1－1)2，解得x＝1.故选B.
10．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的 射影长为___1_0_1_____.
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为 A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长 A′B′＝ 0－02＋4－52＋3＋72＝ 101.
第二章 解析几何初步
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学习资料汇编3.3 空间两点间的距离公式1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)[基础·初探]教材整理空间两点间的距离公式阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.1.长方体的对角线：(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.(如图239)图239(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d2.空间两点间的距离公式：(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )A.243B.221C.9D.86【解析】 |AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86. 【答案】 D[小组合作型](1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度.【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可. 【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72， ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.[再练一题]1.如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________.【解析】 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6.【答案】 2或 6已知A A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |.【导学号：39292123】【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标.【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB |＝ (1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357. 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.[再练一题]2.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3).在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【解】 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形. 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立， 所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA |＝32＋(－y )2＋12＝10＋y 2， |AB |＝2 5.于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).[探究共研型]探究1 如图2310，以棱长为a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O xyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上.当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值.图2310【提示】 当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q (0，a ，z ). 则|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22a .即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为22a . 探究2 在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值.【提示】 因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短. 连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为22a .已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2).(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决.【自主解答】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直.以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1.(2)∵|MN |＝a 2－2a＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.[再练一题]3.如图2311，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？图2311【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1).|NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305，此时a ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小.1.在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( ) A.3或5 B.－3或－5 C.3或－5D.－3或5【解析】 由题意得|AB |＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a －4)2＝3，解得a ＝3或5，故选A.【答案】 A2.已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】 由距离公式得：|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， |BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形. 【答案】 C3.已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________. 【解析】 ∵P 在z 轴上，可设P (0,0，z )，由|PA |＝|PB |， ∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝ (2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3. 【答案】 (0,0,3)4.点A (1，t,0)和点B (1－t,2,1)的距离的最小值为______. 【解析】 |AB |＝t 2＋(t －2)2＋1＝2(t －1)2＋3， ∴当t ＝1时，|AB |的最小值为 3. 【答案】35.如图2312，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且A ′N ＝3NC ′，试求MN 的长.【导学号：39292124】图2312【解】 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a ， 所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a ).由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a .因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a . 根据空间两点间距离公式，可得：|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a . 敬请批评指正。