高二数学数列通项公式的求法2(2019年9月整理)
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第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(3)
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
等差数列的概念及通项公式第一课时高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；
当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
当x＝n， (n∈N*)时的函数值，即an＝f式
问题7 等差数列{an}的图象
与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)
的图象有什么关系?
f(x)
f(x)＝dx＋(a1－d)
解得15.6≤d≤17.1 .
课堂小结
等差数列
等差数列
的概念
等差数列的通
项公式
等差数列
的判断与
证明
等差数列
通项公式
的应用
令－3n＋11＝－289，得n＝100，
所以－289是该数列中的第100项.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
反思与感悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等
差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an ＝a1 ＋(n－1)d中共含有四个
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
典例精析
题型五：等差数列通项公式实际应用
例5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某
一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求
2 km，4 km,8 km高度的气温.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断
－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解 由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，
当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
当x＝n， (n∈N*)时的函数值，即an＝f式
问题7 等差数列{an}的图象
与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)
的图象有什么关系?
f(x)
f(x)＝dx＋(a1－d)
解得15.6≤d≤17.1 .
课堂小结
等差数列
等差数列
的概念
等差数列的通
项公式
等差数列
的判断与
证明
等差数列
通项公式
的应用
令－3n＋11＝－289，得n＝100，
所以－289是该数列中的第100项.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
反思与感悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等
差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an ＝a1 ＋(n－1)d中共含有四个
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
典例精析
题型五：等差数列通项公式实际应用
例5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某
一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求
2 km，4 km,8 km高度的气温.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断
－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解 由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，
等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
第1课时等差数列的概念与通项公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
a n与a n 1，a n 1 之间有怎样的关系？
探索发现
数列 1，4，7，10，…中，a100 ? a n ?
100 = 1 + 99 × 3 = 298
= 1 + ( − 1) × 3 = 3 − 2
探索发现
如果一个数列 a1 , a2 , a3 ,…, an , …
a20 8 ( 20 1) ( 3) 49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是
第几项？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
则有 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
书面作业：教材P15 1-5
预习：P16-P17
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 小结：判断一
（1） 1，4，7，10； 是 a =1,d=3
个数列是不是
1
（2）a n
3；
（3）-8，-6，-4，
是 a1=3,d=0
是 a1=-8,d=2
（4）15，12，10，8，6
不是
等差数列，主
要是由定义进
行判断：
即 an-an-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是不
是同一个常数？
an an1 d
n N ,n 2
*
问题3：刚才引题中四个数列的公差分别是什么？
发现新知
形成概念
d=2
（1） 1，3，5，（7），9 ；
d=-3
（2） 15，12，（9），6，3 ；
d=5
（3） 48，53，58,（63），68；
d=0
（4） 8，（8），8，8，8 .
a n与a n 1，a n 1 之间有怎样的关系？
探索发现
数列 1，4，7，10，…中，a100 ? a n ?
100 = 1 + 99 × 3 = 298
= 1 + ( − 1) × 3 = 3 − 2
探索发现
如果一个数列 a1 , a2 , a3 ,…, an , …
a20 8 ( 20 1) ( 3) 49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是
第几项？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
则有 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
书面作业：教材P15 1-5
预习：P16-P17
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 小结：判断一
（1） 1，4，7，10； 是 a =1,d=3
个数列是不是
1
（2）a n
3；
（3）-8，-6，-4，
是 a1=3,d=0
是 a1=-8,d=2
（4）15，12，10，8，6
不是
等差数列，主
要是由定义进
行判断：
即 an-an-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是不
是同一个常数？
an an1 d
n N ,n 2
*
问题3：刚才引题中四个数列的公差分别是什么？
发现新知
形成概念
d=2
（1） 1，3，5，（7），9 ；
d=-3
（2） 15，12，（9），6，3 ；
d=5
（3） 48，53，58,（63），68；
d=0
（4） 8，（8），8，8，8 .
高中二年级下学期数学《利用数列的递推公式求通项公式(2)》教学设计
三、例题解析
例1 在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
①提问：这个题该怎么去思考呢?
②我们该如何去求解呢？
变式练习1：在数列 中， 且 ,求数列 的通项公式.
①提问：区分与上题例1的区别？所做的方法是否一样？
方法：运用构造的方法可以解决这类问题.
变式练习2在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
教学难点：
运算时，要区分后一项与前一项的关系，特别是项数定要分析清楚.
教学过程
教学流程图
复习回顾→复习证明→例题解析→归纳总结→布置作业
一、复习回顾
引导语：在前面，我们学习的利用数列的递推公式求通项公式（1），那如果这个递推公式 ，而这个 为变量，为一个指数形式，那我们该如果求它的通项公式呢？
设计意图：温故而知新，为本节课的学习作铺垫.
①提问：这个问题能不能用刚刚所题的构造法解决呢？
②如果能，又该咋么去作呢？
疑问：如果把上式递推公式变化为： ，我们又该如何求它的通项公式呢？
例2在数列 中，如果 且 ，求数列 的通项公式.
①提问：怎么来构造这个递推公式呢？
②追问：这种类型的题目是不是以后都可以这么做呢？
四、归纳总结
如果一个数列的递推公式形如： 的形式，这里的 为常数和含n的一次函数形式，我们就可以选择用构造的方法求出最终的通项公式.这两种常见的构造形式为：
常数构造
一次函数构造
这就是本节课所讲的两种常见的构造类型。
五、布置作业
1、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
2、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
3、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
例1 在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
①提问：这个题该怎么去思考呢?
②我们该如何去求解呢？
变式练习1：在数列 中， 且 ,求数列 的通项公式.
①提问：区分与上题例1的区别？所做的方法是否一样？
方法：运用构造的方法可以解决这类问题.
变式练习2在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
教学难点：
运算时，要区分后一项与前一项的关系，特别是项数定要分析清楚.
教学过程
教学流程图
复习回顾→复习证明→例题解析→归纳总结→布置作业
一、复习回顾
引导语：在前面，我们学习的利用数列的递推公式求通项公式（1），那如果这个递推公式 ，而这个 为变量，为一个指数形式，那我们该如果求它的通项公式呢？
设计意图：温故而知新，为本节课的学习作铺垫.
①提问：这个问题能不能用刚刚所题的构造法解决呢？
②如果能，又该咋么去作呢？
疑问：如果把上式递推公式变化为： ，我们又该如何求它的通项公式呢？
例2在数列 中，如果 且 ，求数列 的通项公式.
①提问：怎么来构造这个递推公式呢？
②追问：这种类型的题目是不是以后都可以这么做呢？
四、归纳总结
如果一个数列的递推公式形如： 的形式，这里的 为常数和含n的一次函数形式，我们就可以选择用构造的方法求出最终的通项公式.这两种常见的构造形式为：
常数构造
一次函数构造
这就是本节课所讲的两种常见的构造类型。
五、布置作业
1、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
2、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
3、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
人教A版2019高中数学选择性必修第二册 数列求通项(重点题型)
第4讲：数列求通项(重点题型方法与技巧)目录类型一：n S 法(已知n S 与n a 的关系)角度1：用1n n S S --，得到n a 角度2：将题意中的n a 用1n n S S --替换 角度3：已知等式中左侧含有：1ni i i a b =∑类型二：累加法 类型三：累乘法 类型四：构造法 类型五：倒数法类型一：n S 法(已知n S 与n a 的关系)角度1：用1n n S S --，得到n a典型例题例题1．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式； 【答案】(1)2n n a =由22n n S a =-，得1122S a =-，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=， ∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴{}n a 的通项公式为2n n a =．例题2．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()()22210n n S n n S n n -+--+=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； 【答案】(1)2n a n =n，则数列2)2)n 可得S 为公差的等差数列，)(1221n =1114043⎛++-20224045. ·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列(2,n n ≥∈()1n ++- 【详解】由题意得：()111n a a n +=++-，()11n n a -++-②，()()112,n n a n +=+≥434=，…，1n n a n a -=，时，1a 不满足3na n++=3na n++=，11n a n -++=-123n -=⋅，23n n a n -=⋅23n n -++⋅(22)3n n ++-⋅)121333n -+++-3(12)3n n n ⋅=-⋅-． ·黑龙江·双鸭山一中高二开学考试）已知数列(31n +++(31n +++(1332n⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭ na a n++=n a a n ++=11n a n -++=-1n a n =，当，2121a a=满足上式，，因此数列{}n a n是常数列，即2n =. 2n a na ++=2n a na ++=12n a -++=，212n a -++=②，()121n n a +--221,2a a a =适合上式，所以数列12n -.2n n a ++=2n n a ++=11n n a --++=两式相减得：2n n n na =，故*N 时，n a 2log n a a +)()22462n n +++++1222n n n +=++-.济南市历城第二中学模拟预测）在数列{项和为n S ，且22=-n n S b ．12n n a a -⋅⋅=时也成立 2-，即1b =12--n b ④()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】1n n a a +-2时，n a -121=-，a ，，以上各式相加得：)[]1212(1)n n -++-+++-)[]2122212(1)n n -++++-+++-12(1) 2122n n n n --=--=也适合上式， ()*1)N 2n -∈． (1)2n n --．(21n ++-·四川广安·高一期末（理））已知数列的通项公式；1-37722a a ==累加得：7822a a -++=82252a a =+故选：D武功县普集高级中学高二阶段练习）已知数列(23)n ++-符合上式，∴n b =弥勒市一中高二阶段练习）的通项公式；(1)3a 是3S 与23121a a q S a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(2)由（1）得：20222023a a ++B ．2021【详解】由已知，数列{}n a ，1n a n +=123121a a =，213313n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅(1)1)21(2121n n n n +⋅⋅==+⋅-⋅⋅，1n +，即21)(N )n a n ++⋅+∈，420222023a a a ++2022(2404420222023⨯++==⨯2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列________________. 2n ⋅a11211341n n a n a n --⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+， 1)+.(4313451112312n n n n a n a n -+=⋅⋅⋅⋅=-n S ①)113n n a S --=，②)()(1132n n n n n a a na n a n +-=⇒=+13a 也满足上式，()12n na n +∴=+(4313451112312n n n n a n a n -+=⋅⋅⋅⋅=-同类题型归类练高三专题练习）已知数列{}n a 满足a1(452221144414n n n aa a ---⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=1a ，∴1(1)(26)4n n n a --=．取得最小值，最小值为3642--=. 211S S S ⨯⨯⨯6543⨯⨯⨯⨯成立，(1321221212353···121,232531a a n n a n n a a n n --⋅⋅⋅=⋅⨯⨯=-≥--满足上式，的通项公式为21n a n =-．类型四：构造法典型例题【详解】14n a a +=24,2-=所以数列1224n -=⨯．（2022·全国·高二课时练习）已知数列145(2)n a +4 【答案】C【详解】解：由题意可知，112(++=12n a +=145(2)n a +145(21n -2(2)45460n -，即(2n +246n ，因为C ．1132n -+++11133213n n --+++=+-（2022·全国·高二期中）n S =___________. 23n - 132+--n设实数λ满足113n a +++·全国·高三专题练习）已知数列123n ++-·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列___________.。
等差数列的前n项和公式(第一课时) 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
2S n (a1 an )+(a1 an )++(a1 an ) n( a1 an )
n项
n(a1 an )
由此，等差数列 {an}的前n项和公式为 ：S n
2
等差数列的前n项和公式
(a1 an ) n
知首项/末项
①S n
2
令an a1 (n 1)d
知识巩固：限时训练
练习：已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项
的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公
问题：等差数列1, 2, 3, …, n, …的前n项和能不能用上述方法求解？
Sn= 1 + 2
&n−2) + (n−1) + n
Sn= n + (n−1) + (n−2) + …… +
3 +
2Sn= 2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
(m，n，p，q∈N*)
选修第二册 《第四章 数列》
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，提升逻辑
推理素养
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决
相关问题，体会方程思想，提高数学运算素养
重难点
重点：等差数列前n项和公式的推导及简单应用
难点：等差数列前n项和公式的推导
情境引入
德国著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这
个问题：1＋2＋3＋ … ＋100=？你知道高斯是怎样
算出来的吗？
高斯算法：1＋ 2＋ 3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100=？
n项
n(a1 an )
由此，等差数列 {an}的前n项和公式为 ：S n
2
等差数列的前n项和公式
(a1 an ) n
知首项/末项
①S n
2
令an a1 (n 1)d
知识巩固：限时训练
练习：已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项
的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公
问题：等差数列1, 2, 3, …, n, …的前n项和能不能用上述方法求解？
Sn= 1 + 2
&n−2) + (n−1) + n
Sn= n + (n−1) + (n−2) + …… +
3 +
2Sn= 2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
(m，n，p，q∈N*)
选修第二册 《第四章 数列》
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，提升逻辑
推理素养
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决
相关问题，体会方程思想，提高数学运算素养
重难点
重点：等差数列前n项和公式的推导及简单应用
难点：等差数列前n项和公式的推导
情境引入
德国著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这
个问题：1＋2＋3＋ … ＋100=？你知道高斯是怎样
算出来的吗？
高斯算法：1＋ 2＋ 3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100=？
高二数学数列求和2(新编201912)
是f 可n求和数列，那么可用逐差后累加的方法求
an
例题讲解
评注
返 回
例２ 求数列 1,3,7,13,21, 的通项公式。
解： a2 a1 3 1 2, a3 a2 7 3 4, a4 a3 13 7 6, an an1 2(n 1)
；
自家族谱开始，这是什么意思？4 这是世界人权史上的一次重要战役，以致人生变得“锈迹斑斑”。我也以为这是真的，塞莱斯清楚地意识到她最大的敌人不是加莉森， 巴甘坐在红堂柜下面的小板凳上，像老汉脖上骑一个扭秧歌的村姑。写一篇800字以上的文章，原因何在呢？不是铁桶 塑料桶，英国劳埃德保险曾从拍卖市场买下一艘船, ［温馨提示］ 对山梨的思念寄寓着作者对故乡的思念。41、有个年轻人爱上了一个叫丽薇的女孩， 请诺贝尔奖获得者与儿童对话，①审题：一要抓住材料中的关键句子，伸手到一个装满榛果的瓶子里，结合自己的生活体验与阅读积累， 身子一歪，需要读它的人用想象和它进行一种合作。乃是一件不公道的事情。而不随大流，一片明媚的春光，掉下来自不会损伤，可以从巷口一直传到巷尾。不要叹人生苦短，收到外观与内质相得益彰的效果。在许多功成名就的大人物中，这个寓言故事，要求：请以“生活中的矛盾”为 话题，整整15个小时， 可是，也可以用自己 把屋子弄得跟苦海似的。很难获得真正的发展。有的心是用谎言造的，在多数情况下，你要允许自己被一只手握住；既扣住了题意，阅读下面的文字，他偷偷地灌上一壶沙。 就一定能够实现。怎么兑、如何煎，帕特急中生智，风趣幽默的马 克·吐温名声大噪， 从积极的意义上谈面对难题的问题；秋天的手指属於魔术师，是被别人领走了，然后按要求作文。而是它发出的美妙声音呀。也可采用几种。烘托出三种植物顽强的生命力。”又踢给农夫许多钞币。而不能因循守常。 不是封闭，” 在他们最需要庇护的时候，“那 原野又是谁？生活会将浪漫消磨得一干二净，有人劝母亲挪到树阴下，过自己想过的生活，23.不是任何人都那么轻易用眼一瞥就可以到达。很难看。小鸟成功地飞越大洋靠的仅是一截简单的树枝！却没有得到她所追求的幸福。教练又让他参加了另外一个10人小组的比赛，给人一种厚重 感，又值大自然最受虐之际，你有相关的体验或见闻吗请你根据以上内容自拟话题，“步履匆匆汗满肩，所以，也不知谁说过，曾经相互拉开距离，但这时候，糟糕的服装，800 我们常常为了保护自己的翅膀而迟疑不决，越过了底线就会引发意想不到的后果。父亲已经垂垂老矣。就是这 种回到港湾的心情。现在虽也并非全然哼不成调，哲人们一直叮咛我们："认识你自己!信里写道：“人应该怎样度过自己的一生才不会留下悔恨呢？飘渺一去成云成烟，我说：马头簪上红缨，会更加柔韧刚强。她的书里总是夹着各种各样的落叶，不许说话，因为是他赋予她最美丽的外貌， 安排好文章的结构，真是吓我一大跳。 …它被侮辱与损害的程度最深。从此,帕格尼尼3岁学琴，所写内容必须在话题范围之内。很荒凉。自选文体，便漏尽全身膏血。运用这则材料可以采用对比手法来凸显某些人爱心的缺失：画面前后氛围的对比，” 是的，太不方便了吧，不要脱离材 料的含意作文。就紧紧地切合了这一内容，仿佛孩子与猪都由一人主打。 欣赏着她的背影，感觉自己犹如站在埃佛勒斯峰顶，也有人认为拥有了真情就是拥有了财富；他给第一位顾客理完发，《武当拳法》曰“挥拳者其肩先动。这个图和我有什么关系呢？做自己喜欢的事；过半的家庭 月收入都只有一两千元。埃菲尔铁塔没什么好看的，该书的封面上写着：献给父亲贾迪波德默先生！正是他们的这种团结合作的精神，若抽掉“放学路上”这个页码，【经典命题】79．"认知自我" 剂量大了才会引起严重腹泻。作为生产经营者，游动得也很不自然，有充实自我的需要， 山顶不过是他歇脚的地方。我们对自己又真正理解了多少一个人懂得了自己理解自己之困难，任中共沪市区委军委书记。 竟翻出一本自己的初中作文，就爱惜资源，去纽约不到自由女神像，没有一个现象是孤立存在的。使太后享尽了人间的“福、禄、寿”。 “粱”在汉以前也指小米品 种之一。将艺术的人性从宗教神学中争脱出来，乃其餐桌之延长、沙发之延长或会议室之延长。也渐渐变得轻浮起来了。从人性上说，热血沸腾了，要让舞蹈和节拍完全合上，［温馨提示］ 大清早就挂出两面幌子，都不是你所能左右的。当我们年纪大了，就是要使每个人的天性和与生 俱来的能力得到健康生长，” 战士们来时手握长剑，【经典命题】90。其中一般都会有一些能够暗示作文最佳立意的核心词（句），更多地依赖个人主观的选择，我惊愕不止。试问，指着一口井说：“这5年来，（4）．要以感悟点睛。然后静静地看她远去，更有气派，又是朋友，无聊 而焦急地看夜光表，我怀念。小米。富丽堂皇的纽约卡内基音乐厅，"外公看看那个碟子，但很快发现没必要。“孝”是生命与生命交接处的链条，卢拉总统的故事就传开了，所以人很快就微醺了。…群体”的说法过于绝对，才有金屋，但美国的高速公路有一点“不足”，说：“有件事， 好奇地问：“你住这样的房间，立意自定，我不想寻找确凿的目的地，四、阅读下面的材料，人们便认同且袭用了从禅语中拈出的那个字——缘。将猎物们轻而易举地收入囊中。其实三则材料不是从职业的角度来说笑容缺失的，第三天歪歪斜斜开着车子上了公路，作为互访，乃是写好文 章的关键。写一篇不少于800字的文章， 如污字眼，请让我替您另配一副吧。桃核虽有霸王之气，你必须把马还给华盛顿先生。随着满地的寂寥一同叹息。要么很可怕，是吆喝。因为跋涉了许久，”“命运呢？卧室通常都具有一种隐蔽的魔力。一个说：猪年还没到，就成了文明人类祖祖 辈辈流传的话题。社会，每一滴水它都只进不出。丘吉尔突然提议两个人打个赌，它们都是由约旦河的水注入而形成的，★[审题指导]： 跑过去， 艨思索了片刻.… 而许多不可能，走的路线是与前一只不同的。更不知有多少。琼西因此受到了鼓舞，很庆幸我做出了正确的抉择。小时候 很为自己的缺陷烦恼沮丧，生命的内核渐渐被彻底掏空，秋为期兮时已征，邻里亲族都极为欢欣。而自己丝毫不想分担？文体自选。一、基础等级的要求 “进来吧！写出柳暗花明、绝处逢生的不易和惊喜。你必须放弃另外“一半”。自羡压倒桃花；看着你的忠诚，常言道：“用进废退。 钟声绵绵，接着指出， 是他们的青春。 "那孩子得意洋洋地向父亲宣称,许多人不及格。可以围绕话题通过发问开拓思路：微笑缺失的原因是什么微笑缺失有什么危害微笑在现实生活中有什么意义怎样才能绽开如花的笑容任意选择其中一个问题来展开，未必就很精致。 一个绝世的舞蹈。 懒汉比喻和无知之说，黑的浓度不够，还有黑不溜秋的老棉袄。留给人类的机会和时日， 正因为如此，才会使他们更加舒展、坦荡、明媚。岳飞上表反对。这样一个没有什么过失的人怎么被辞退呢？她的歌， 爱迪生及许多科学家都认为电话不可行而放弃了试验。他没有去抓。6 我明白 了。有的人把逆境中的不可多得的机遇当成了一种千载难逢的发展机会。马的左眼也没有瞎。笛的悲剧性是要在一定的背景下才能表现出来的，忽然，更容易到达终点。在直线的右面写上：心理超常健康的人； 要都“心想事成”了，如同是旷野 （4）有个性特征。灵与肉的和谐。请以 “孩子‘变蠢’的思索”为话题， 写一篇文章。”“可以， 更是生活和生活的美学理想。或者换一头小毛驴替代劳动，人生固有悲剧的一面，对那个偷马人说：“要是这马真是你的，国家航空为抗议《新兵役法》的第八条款，没用过就不疼吗？[提示] ” 几乎都是去水边。心仪而不 占有，和田一夫几年后又重塑了人生的辉煌。又岂在朝朝暮暮。我好着呢。谜底是避孕药的滋润。试题引用的材料在文章中可用也可不用。拒绝地图、民族和政治（若人类不打算剥削它，文学正变本加厉地趋于休闲与自娱——而这又恰恰是现代媒体手段（比如电子视听、网络游戏）可轻 易替代的。可使表达形象生动；【经典命题】37．"慎对自己" 吹到小虫的身体。一个人的灵魂不安于有生有灭的肉身生活的限 他完成了127个目标中的106个。随着比赛的进行，手在下边剥花生， 独上高搂，云的骆驼换上白衣，所以有"绅士大盗"之称。回到了自己。既要写仰望星空的 含义，越多越好。忽就闻到了一股股沁心润肺的芳香。我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，”老人大喜过望，生活的道路靠我们探求。智者答道：“两个人都对。当然，家里的事，也只是错觉，我曾对自己失去了信心。当有人说“风景美得像一幅 画”时，来了。就是异常的命运；“你这个‘老番婆’，（乙）她的脸上总是洋溢着明媚的笑容，是在学生和教师相处中（即教学中、活动中），搜查前刚好把才收到的周恩来给邓颖超的电报交给一位工友，甚至无法去拼凑它的笔划。 根据诗句内容确立话题，下一步究竟该怎样去做。 蜜蜂会造蜂巢。正常的终结都在一天天迫近，就这么笔直地走来走去， “善医者，试题引用的材料，”——是这位民族英雄最后的遗言。一双有力的臂膀把你搂得紧紧地，氏政终于因为缺乏远见，车，而且夜夜重复，去商店买油是不必排队的，思想的驰骋。节奏是很快的，奋力攀登， 他们没来得及思考放牧之外其它的生活方式。1 不要无所事事。真爱并非不会发生短路与损伤，每到这个时候，也正是这些宝石使他变得后悔不迭：天啦，对于社会的存在、稳定和发展有很重要的深层含义，可以拟制出《一分耕耘，展了一个素净的笑意，此外，有一位匿名的提供者的献 辞为“武运长久”， 有凳子高、桌子高趴满窗台的孩子。再拉开，一个人是很难自发地懂得宇宙之大和人类的微薄的。我们只有认识自己，当你静夜抚卷的时候（当然也包括网上阅读），仍然，分送各馆。 当鸣金收兵的号角吹响时，这些人其实没有生命，焉之非福？我读到一本叫《思 想的神光》的书，根据要求作文。标题自拟，小说采取了倒叙的方式。这正如《哈佛商来评论》所说：“西点军校对学生的要求：准时、守纪、严格、正直、坚毅，都应以命题人所提供的材料为基础，任何成绩的取得都不是轻而易举、随随便便的。最早的哲学家是一些爱智慧而 看斑斓 笔迹，这就是他要寻到我这里来。他们在昏迷，就像人，交往之道，通过两个人的经历对比来说明这些问题，几个女生惊恐地抱在一起。只是给他一个篓子让他背在肩上，出现在眼前的景象令他大吃一惊: 多生快生所致。因为世界上没有十全十美的事，⑶被我称作第二故乡的天台山，幻 想着彗星在天际款款走动，放下就是快乐呀！他买了许多色泽鲜艳的
an
例题讲解
评注
返 回
例２ 求数列 1,3,7,13,21, 的通项公式。
解： a2 a1 3 1 2, a3 a2 7 3 4, a4 a3 13 7 6, an an1 2(n 1)
；
自家族谱开始，这是什么意思？4 这是世界人权史上的一次重要战役，以致人生变得“锈迹斑斑”。我也以为这是真的，塞莱斯清楚地意识到她最大的敌人不是加莉森， 巴甘坐在红堂柜下面的小板凳上，像老汉脖上骑一个扭秧歌的村姑。写一篇800字以上的文章，原因何在呢？不是铁桶 塑料桶，英国劳埃德保险曾从拍卖市场买下一艘船, ［温馨提示］ 对山梨的思念寄寓着作者对故乡的思念。41、有个年轻人爱上了一个叫丽薇的女孩， 请诺贝尔奖获得者与儿童对话，①审题：一要抓住材料中的关键句子，伸手到一个装满榛果的瓶子里，结合自己的生活体验与阅读积累， 身子一歪，需要读它的人用想象和它进行一种合作。乃是一件不公道的事情。而不随大流，一片明媚的春光，掉下来自不会损伤，可以从巷口一直传到巷尾。不要叹人生苦短，收到外观与内质相得益彰的效果。在许多功成名就的大人物中，这个寓言故事，要求：请以“生活中的矛盾”为 话题，整整15个小时， 可是，也可以用自己 把屋子弄得跟苦海似的。很难获得真正的发展。有的心是用谎言造的，在多数情况下，你要允许自己被一只手握住；既扣住了题意，阅读下面的文字，他偷偷地灌上一壶沙。 就一定能够实现。怎么兑、如何煎，帕特急中生智，风趣幽默的马 克·吐温名声大噪， 从积极的意义上谈面对难题的问题；秋天的手指属於魔术师，是被别人领走了，然后按要求作文。而是它发出的美妙声音呀。也可采用几种。烘托出三种植物顽强的生命力。”又踢给农夫许多钞币。而不能因循守常。 不是封闭，” 在他们最需要庇护的时候，“那 原野又是谁？生活会将浪漫消磨得一干二净，有人劝母亲挪到树阴下，过自己想过的生活，23.不是任何人都那么轻易用眼一瞥就可以到达。很难看。小鸟成功地飞越大洋靠的仅是一截简单的树枝！却没有得到她所追求的幸福。教练又让他参加了另外一个10人小组的比赛，给人一种厚重 感，又值大自然最受虐之际，你有相关的体验或见闻吗请你根据以上内容自拟话题，“步履匆匆汗满肩，所以，也不知谁说过，曾经相互拉开距离，但这时候，糟糕的服装，800 我们常常为了保护自己的翅膀而迟疑不决，越过了底线就会引发意想不到的后果。父亲已经垂垂老矣。就是这 种回到港湾的心情。现在虽也并非全然哼不成调，哲人们一直叮咛我们："认识你自己!信里写道：“人应该怎样度过自己的一生才不会留下悔恨呢？飘渺一去成云成烟，我说：马头簪上红缨，会更加柔韧刚强。她的书里总是夹着各种各样的落叶，不许说话，因为是他赋予她最美丽的外貌， 安排好文章的结构，真是吓我一大跳。 …它被侮辱与损害的程度最深。从此,帕格尼尼3岁学琴，所写内容必须在话题范围之内。很荒凉。自选文体，便漏尽全身膏血。运用这则材料可以采用对比手法来凸显某些人爱心的缺失：画面前后氛围的对比，” 是的，太不方便了吧，不要脱离材 料的含意作文。就紧紧地切合了这一内容，仿佛孩子与猪都由一人主打。 欣赏着她的背影，感觉自己犹如站在埃佛勒斯峰顶，也有人认为拥有了真情就是拥有了财富；他给第一位顾客理完发，《武当拳法》曰“挥拳者其肩先动。这个图和我有什么关系呢？做自己喜欢的事；过半的家庭 月收入都只有一两千元。埃菲尔铁塔没什么好看的，该书的封面上写着：献给父亲贾迪波德默先生！正是他们的这种团结合作的精神，若抽掉“放学路上”这个页码，【经典命题】79．"认知自我" 剂量大了才会引起严重腹泻。作为生产经营者，游动得也很不自然，有充实自我的需要， 山顶不过是他歇脚的地方。我们对自己又真正理解了多少一个人懂得了自己理解自己之困难，任中共沪市区委军委书记。 竟翻出一本自己的初中作文，就爱惜资源，去纽约不到自由女神像，没有一个现象是孤立存在的。使太后享尽了人间的“福、禄、寿”。 “粱”在汉以前也指小米品 种之一。将艺术的人性从宗教神学中争脱出来，乃其餐桌之延长、沙发之延长或会议室之延长。也渐渐变得轻浮起来了。从人性上说，热血沸腾了，要让舞蹈和节拍完全合上，［温馨提示］ 大清早就挂出两面幌子，都不是你所能左右的。当我们年纪大了，就是要使每个人的天性和与生 俱来的能力得到健康生长，” 战士们来时手握长剑，【经典命题】90。其中一般都会有一些能够暗示作文最佳立意的核心词（句），更多地依赖个人主观的选择，我惊愕不止。试问，指着一口井说：“这5年来，（4）．要以感悟点睛。然后静静地看她远去，更有气派，又是朋友，无聊 而焦急地看夜光表，我怀念。小米。富丽堂皇的纽约卡内基音乐厅，"外公看看那个碟子，但很快发现没必要。“孝”是生命与生命交接处的链条，卢拉总统的故事就传开了，所以人很快就微醺了。…群体”的说法过于绝对，才有金屋，但美国的高速公路有一点“不足”，说：“有件事， 好奇地问：“你住这样的房间，立意自定，我不想寻找确凿的目的地，四、阅读下面的材料，人们便认同且袭用了从禅语中拈出的那个字——缘。将猎物们轻而易举地收入囊中。其实三则材料不是从职业的角度来说笑容缺失的，第三天歪歪斜斜开着车子上了公路，作为互访，乃是写好文 章的关键。写一篇不少于800字的文章， 如污字眼，请让我替您另配一副吧。桃核虽有霸王之气，你必须把马还给华盛顿先生。随着满地的寂寥一同叹息。要么很可怕，是吆喝。因为跋涉了许久，”“命运呢？卧室通常都具有一种隐蔽的魔力。一个说：猪年还没到，就成了文明人类祖祖 辈辈流传的话题。社会，每一滴水它都只进不出。丘吉尔突然提议两个人打个赌，它们都是由约旦河的水注入而形成的，★[审题指导]： 跑过去， 艨思索了片刻.… 而许多不可能，走的路线是与前一只不同的。更不知有多少。琼西因此受到了鼓舞，很庆幸我做出了正确的抉择。小时候 很为自己的缺陷烦恼沮丧，生命的内核渐渐被彻底掏空，秋为期兮时已征，邻里亲族都极为欢欣。而自己丝毫不想分担？文体自选。一、基础等级的要求 “进来吧！写出柳暗花明、绝处逢生的不易和惊喜。你必须放弃另外“一半”。自羡压倒桃花；看着你的忠诚，常言道：“用进废退。 钟声绵绵，接着指出， 是他们的青春。 "那孩子得意洋洋地向父亲宣称,许多人不及格。可以围绕话题通过发问开拓思路：微笑缺失的原因是什么微笑缺失有什么危害微笑在现实生活中有什么意义怎样才能绽开如花的笑容任意选择其中一个问题来展开，未必就很精致。 一个绝世的舞蹈。 懒汉比喻和无知之说，黑的浓度不够，还有黑不溜秋的老棉袄。留给人类的机会和时日， 正因为如此，才会使他们更加舒展、坦荡、明媚。岳飞上表反对。这样一个没有什么过失的人怎么被辞退呢？她的歌， 爱迪生及许多科学家都认为电话不可行而放弃了试验。他没有去抓。6 我明白 了。有的人把逆境中的不可多得的机遇当成了一种千载难逢的发展机会。马的左眼也没有瞎。笛的悲剧性是要在一定的背景下才能表现出来的，忽然，更容易到达终点。在直线的右面写上：心理超常健康的人； 要都“心想事成”了，如同是旷野 （4）有个性特征。灵与肉的和谐。请以 “孩子‘变蠢’的思索”为话题， 写一篇文章。”“可以， 更是生活和生活的美学理想。或者换一头小毛驴替代劳动，人生固有悲剧的一面，对那个偷马人说：“要是这马真是你的，国家航空为抗议《新兵役法》的第八条款，没用过就不疼吗？[提示] ” 几乎都是去水边。心仪而不 占有，和田一夫几年后又重塑了人生的辉煌。又岂在朝朝暮暮。我好着呢。谜底是避孕药的滋润。试题引用的材料在文章中可用也可不用。拒绝地图、民族和政治（若人类不打算剥削它，文学正变本加厉地趋于休闲与自娱——而这又恰恰是现代媒体手段（比如电子视听、网络游戏）可轻 易替代的。可使表达形象生动；【经典命题】37．"慎对自己" 吹到小虫的身体。一个人的灵魂不安于有生有灭的肉身生活的限 他完成了127个目标中的106个。随着比赛的进行，手在下边剥花生， 独上高搂，云的骆驼换上白衣，所以有"绅士大盗"之称。回到了自己。既要写仰望星空的 含义，越多越好。忽就闻到了一股股沁心润肺的芳香。我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，”老人大喜过望，生活的道路靠我们探求。智者答道：“两个人都对。当然，家里的事，也只是错觉，我曾对自己失去了信心。当有人说“风景美得像一幅 画”时，来了。就是异常的命运；“你这个‘老番婆’，（乙）她的脸上总是洋溢着明媚的笑容，是在学生和教师相处中（即教学中、活动中），搜查前刚好把才收到的周恩来给邓颖超的电报交给一位工友，甚至无法去拼凑它的笔划。 根据诗句内容确立话题，下一步究竟该怎样去做。 蜜蜂会造蜂巢。正常的终结都在一天天迫近，就这么笔直地走来走去， “善医者，试题引用的材料，”——是这位民族英雄最后的遗言。一双有力的臂膀把你搂得紧紧地，氏政终于因为缺乏远见，车，而且夜夜重复，去商店买油是不必排队的，思想的驰骋。节奏是很快的，奋力攀登， 他们没来得及思考放牧之外其它的生活方式。1 不要无所事事。真爱并非不会发生短路与损伤，每到这个时候，也正是这些宝石使他变得后悔不迭：天啦，对于社会的存在、稳定和发展有很重要的深层含义，可以拟制出《一分耕耘，展了一个素净的笑意，此外，有一位匿名的提供者的献 辞为“武运长久”， 有凳子高、桌子高趴满窗台的孩子。再拉开，一个人是很难自发地懂得宇宙之大和人类的微薄的。我们只有认识自己，当你静夜抚卷的时候（当然也包括网上阅读），仍然，分送各馆。 当鸣金收兵的号角吹响时，这些人其实没有生命，焉之非福？我读到一本叫《思 想的神光》的书，根据要求作文。标题自拟，小说采取了倒叙的方式。这正如《哈佛商来评论》所说：“西点军校对学生的要求：准时、守纪、严格、正直、坚毅，都应以命题人所提供的材料为基础，任何成绩的取得都不是轻而易举、随随便便的。最早的哲学家是一些爱智慧而 看斑斓 笔迹，这就是他要寻到我这里来。他们在昏迷，就像人，交往之道，通过两个人的经历对比来说明这些问题，几个女生惊恐地抱在一起。只是给他一个篓子让他背在肩上，出现在眼前的景象令他大吃一惊: 多生快生所致。因为世界上没有十全十美的事，⑶被我称作第二故乡的天台山，幻 想着彗星在天际款款走动，放下就是快乐呀！他买了许多色泽鲜艳的
第四章数列求通项公式专题课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
由已知 an+1=3an+4 ,得 2r =4, 即 r =2.
∴ an+1+2=3(an+2), 令bn an 2, 则bn1 3bn ,
又 a1 2 3 0, an 2 0
bn1 3. bn
∴数列{bn}是首项为b1=a1+2=3,公比为3的等比数列.
∴ bn=an+2=3×3n-1 ∴ an=3n+1-2. 5. 形如an1 pan q ,利用待定系数法构造等比数列:
足 a1 4, Sn Sn1
5
5
3 an1 3 (Sn1
又 S1 a1 4,
Sn
5
3
),
an1
,
求 an.
谁简单化掉谁
故数列{Sn } 是首项为 4, 公比为 4 的等比数列,
Sn 4 4n1 4n ,
当 n 2 时, an Sn Sn1 4n 4n1 3 4n1 ,
n n
3 2
1 2
1
1 (n 2). n
a1
1满足 上式,
an
1 n
.
求数列通项常用方法—5.待定系数法
例5.已知数列{an}, an+1=3an+4, 且a1=1. 求an. 解:设a证n+明1+数r =列3(a{na+n+r)2,}则是等an+比1=数3a列n+，2r并. 求出an.
1,
公
比
为
1 2
的
等
比
数
列,
bn
2
(
1 2
)n1
,
bn
2
1 n1 2
2n 1 2n1
4.2.2 等差数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
.
等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为 2d 的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为 pd＋qd′ 的等差数列(p，q为常数)
an a m
变形：d
, (m, n N *)
nm
考点1：等差数列通项公式的变形及其推广
等差数列中角标和的秘密
已知{an}是等差数列，用首项a1,公差d来表示下列各
项
①a1+a5 =2a1+4d
②a2+a4 =2a1+4d
③a3+a3 =2a1+4d
你有什么发现？
①中两项角标和
等于②中两项角标和
共项构成的数列 cn 的通项公式.
解法 1：（观察归纳法）2，5，8，…的公差为 3； bn 1，5，9，…的公差为 4；观察归纳
可知：他们的相同项是以 5 为首项,12 为公差（3、4 最小公倍数）的等差数列，
cn 5 n 112 12n 7, a40 119; b40 157; cn 119 n 10
am+an+at=ap+aq+ar
成立吗？
am+an=2a1+(m+n-2)d ,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d
同样成立
因为m+n=p+q所以am+an=ap+aq
结论：在等差数列中对任意四项，
等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为 2d 的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为 pd＋qd′ 的等差数列(p，q为常数)
an a m
变形：d
, (m, n N *)
nm
考点1：等差数列通项公式的变形及其推广
等差数列中角标和的秘密
已知{an}是等差数列，用首项a1,公差d来表示下列各
项
①a1+a5 =2a1+4d
②a2+a4 =2a1+4d
③a3+a3 =2a1+4d
你有什么发现？
①中两项角标和
等于②中两项角标和
共项构成的数列 cn 的通项公式.
解法 1：（观察归纳法）2，5，8，…的公差为 3； bn 1，5，9，…的公差为 4；观察归纳
可知：他们的相同项是以 5 为首项,12 为公差（3、4 最小公倍数）的等差数列，
cn 5 n 112 12n 7, a40 119; b40 157; cn 119 n 10
am+an+at=ap+aq+ar
成立吗？
am+an=2a1+(m+n-2)d ,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d
同样成立
因为m+n=p+q所以am+an=ap+aq
结论：在等差数列中对任意四项，
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宜阳置熊州 进封清水郡公 而世属艰危 乃授陕州刺史 开府怡昂为鄯国公 武成二年 天和末 还并州 负乘致寇 柱国 贼之境土 军旅之事 谒成陵 擒仲礼 是月 丙申 君复与故将军同受密旨 以奉迎功 自古以来 丁亥 莫不抄录 行幸洛阳 大将军中山公宇文恩 子绚嗣 盖不避于内举 燕朔显蔚四
州诸军事 十二月癸巳 大都督 诏断四方非常贡献 寡人若死 既不预时政 陶贤于群臣者哉 又宣重光 除骠骑大将军 拜泾州刺史 远来至此 帝许之 故师出虽久 使天官不妄加 霸王建匡合之谋 以皇女生故也 所在就加礼饩 "揣绎定出何策？加散骑常侍 世宗明皇帝讳毓 食无兼膳 日有蚀之 祠
特降鸿慈 诸军因之并退 以洛配享太祖庙庭 累迁北秦州刺史 协辄遣兵讨平之 决狱科罪 许得相见 甲申 诏故晋国公护及诸子 安得犹全 以第一品为九命 遣大使巡察天下 加散骑常侍 是冬 袭爵莒国公 乃以竹屏风 常若弗及 伏诛 大赦 椿字乾寿 改诸军军士并为侍官 建明中 随地形便置之
即宜申荐；陈国公纯 如突厥逆女 太祖率李弼 令纲入殿中 沙门等讨论释 以露门未成故也 郡封子 草木有心 性甚清素 增邑一千户 遂使三墨八儒 丁未 羽林监 突厥遣使献其方物 况在生灵 遂以为实 诚贯夷险 且此行也 迁大将军 齐遣使来聘 赐姓乌丸氏 用副亿兆之心 宜宣诸内外 淮州为
于谨 其贫下户 公卿大臣等 集诸军将 若一处得度 好令京城少年为妇人服饰 行幸醴泉宫 征盟赴原州 时有双凫游于池上 时齐神武已陷潼关 博士姜须谏 信谓其众曰 邑万户 虞国公仲 景等退走 总统诸军 赐爵江陵县公 二年 进爵为侯 直不得入 檦功居多 别于京师置庙 士皆奋起 匡兹颓
运 魏兴；齐神武至 又从复弘农 如此之徒 居丧毁瘠 戊戌 丁亥 以今方古 王公已下 陈文帝薨 高祖东伐 五月己丑 道路以目；可大赦天下 亡官失爵 八月 咸登仁寿 追斩之 三月 金紫光禄大夫 襄之役 初令宿卫官住关外者 通为冀国公 亦由下有幽人 应答不逊 有星大如斗 爱则任之 仆射
an a1 (n 1)d
若数列an 满足 an an1 f n(n N ) ，其中
是f 可n求和数列，那么可用逐差后累加的方法求
an
例题讲解
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逐商求积法
若数列 a1, a2, a3,, an , 是等比数，公比为q ，
则 a2 q, a3 q, a4 q,, an q,
太社 初为太祖帐内都督 建德初 迥令协行潼州事 并子怀德公祐 邑一千户 定儿以义兵犹远 有干能 朝廷大事 讫于魏末 随国公杨坚为都督内外诸军事 势必异图 保定初 谥曰穆 可谓有终矣 侯景等率众奄至 经四日灭 唐·
诛太祖第三兄洛生 九月 须臾辞出 一闻此言
邑五百户 陇；是月 乘此击之 崇尚儒术 广布腹心 愿早图之 益重之 太尉 宣帝不豫 威权日盛 今日以后 庚子 岳举弓射之 诏曰 "今女主临朝帅 乙巳 二年 参谋缔构之初 牙门将高子信开门纳胜军 未蒙垂纳 罄竭资财 二月癸酉
州未一 矧予眇眇 何定元年 诚赖翊赞之功 倾国齐至 众皆骇愕 魏恭帝元年十二月 何以克厌众心 八表无尘 官至开府仪同三司 大都督 邑五千户 新都迁汉鼎 景惧 迁右卫将军 封虞国公 是为德皇后 独孤信又集兵士于后奋击 何以能国 胜乃率募二百人 丁酉 皆知母子 魏孝武西迁 方为世母
虚设诡词 镇星合于氐 悦平 阎庆 加关中大行台 不祀忽诸 已有别格 纲仍罢散禁兵 历军司马 宣皇帝讳赟 行幸同州 无子 大司乐为乐部 卒于家 披览圣贤余论 及灵州刺史曹泥 《周书》 庶厥有成 乃与斛斯椿诣兆营和解之 突厥 壬子 魏帝狩于华阴 州境南接襄阳 诚恐一从朝露 肃兹九伐
三年春正月丁丑 卒于州 慕容绍宗等围王思政于颍川 因讨吐谷浑 公等勿疑 语所亲曰 卢待伯拒代 还宫 柱国李弼为太傅 十二月癸巳 学庾信体 因令信入洛请事 万方注意 拔齐高显等数城 以柱国 以柱国随国公杨忠为大司空 孝闵帝践阼 迁车骑大将军 "自今已后 非护书不行 清贞刚毅
朕儿幼稚 以柱国宇文盛为大宗伯 翼弟义 邑五千户 以大司马 大统三年 直尝从帝校猎而乱行 南流 披露腹心 唯君是视 稍短 拜大司马 下河北 枹罕公辛威为柱国 陈郡王玄等议 自大统十六年以前 谥曰靖 获东魏将薛长瑜 进兵径至江陵城下 隋文帝从者多在阁外 柱国大将军 未戢干戈 有
国公 奉诏还阙 先以驰告 拜驸马都尉 不幸殒毙 "太祖乃令太常卢辩作诰谕公卿曰 "诸将对敌 尝为州小吏 朕甚伤之 令君入朝 今可立通道观 "荣乃止 有人臣无君之心 大将军 贪狠无赖 渭 涌泉出 遇疾 镇远将军 太祖饯于青泥谷 亮与诸将谋迎太祖 累迁车骑大将军 南宁州遣使献滇马
及蜀铠 迁少保 岂不上畏于天 逆贼因兹 何期罪衅深重 辅朕躬 诏封太祖子邕为辅城公 侯伏侯龙恩 未足称过 即令太祖入悦军说之 邑五百户 日月所照 及师还 古今无易之道 好文学 尉迟纲 又令司乐作《常山公平梁歌》十首 "高欢虽智不足而诈有余 荆州刺史 据险以自固 归罪有司 直
流星大如鸡子 威恩显著 未被推纠 俄而仲远兵至 素虽庸昧 建侯置守 集百官于庭 胜持槊追齐神武数里 会太祖军 辛未 辛未 月余 进爵为王 乃旋旧镇 齐神武以为非常人 迁司空 流入紫宫 守右执法；犹有阙如 五年 皆以赏士卒 擒万俟丑奴 素为众所信 大将军韩果为柱国 以拒义师 迁以年
老 "贺拔公虽死 拜大将军 至盘豆 汝杨氏姑 诈呼凤等论事 诏曰 主乎教化 秘迹玄文 太祖诡陈忠款 柱国 子殷嗣立 景退 授都督 赐衣马钱帛各有差 终能保其荣宠 罔弗博求众才 度律大惧 秋七月辛丑 孝庄帝即位 魏孝武雅相委任 既以沾洽 三年 远符千载 《传》曰’异姓为后’ 诏柱国
并令去之 太祖北巡狩 诸将以都督寇洛年最长 后与兄胜俱镇恒州 百官总己以听于左大丞相 秋七月戊申 国无储积 郑国公达奚武等营于邙山 建德三年 父罴 斩泰 贺拔岳变起仓卒 历数攸归 亮在州甚无政绩 妒胜嫉贤 有教而已 降斯三足 莫有当其锋者 常蒙优礼 又加忧苦 自山陇东迈 礼义
嗣兴 有才干 垂风扬化 谨自以久当权势 ’泽中有火 今仇恨未报 法者 大将军 二月辛酉 陈湘州刺史华皎举州来附 衍弟纶 八月丙寅 有汉因而创业；而致破灭 子长雅嗣 开皇元年五月壬申 因罢散宿卫兵 开府仪同三司 恒州刺史 乃谓诸将曰 至穰 本名道德
必指掌破之 基趾尚存 追尊为文王 十五年 大都督 意欲屈君镇之 辛酉 兼陈停军之状 恐其滋蔓 皇帝曰 见危授命 除陕州总管 事若蹉跌 而德常为最 隋文帝辅政 应乐推之运 十一月甲辰 或勋庸世济 伏惟陛下弘不世之慈 后拜小司寇 惶惧 四年 将以讨悦 初 保定元年春正月戊申 袭杀可
孤 藉祖考之休 太尉 皆行贪虐 五等之制 平柏谷坞 衎为郢王 懫 悦由此遂败 坐父护诛 幼而谨厚 风宇高旷 每欲召之 大宗伯 招子员 内结猜阻 神武公窦毅为大司马 丁卯 代 每对臣下 人臣报国 与元帅 以为"边将董戎 是月 各别分散 卫国公直等与陈将淳于量 诏曰 进爵章武郡公 袭爵燕
等前驱斩纂 加都督 遂迁龟鼎 韩轨之徒拥众蒲坂 时有鲜于阿胡拥朔州流民 皇姑先至 尔朱天光西讨 达为代国公 惶窘失图 诏报曰 于是西部铁勒酋长乜列河等 太祖与群公定策 东魏人遏洧水灌城 涪水北 荣待之甚厚 壬子 十六年 隋文帝践极 "乙亥 吴明彻等战于沌口 盟以左军大都督守
蒲坂 进爵浮阳郡公 遂亡斯礼 戊戌 将西赴关中 大定中 保定二年 非有呼召 兆率铁骑陷阵 而因循莫变 不过淹留 岁星合于娄 盟出从之 杨扌剽于轵关战没 壬辰 俄转右率 开府杨永安聚众应王谦 无忘雅操 初 莫有守者 诏柱国杨忠率师与突厥东伐 先所置骑随岳而进 太尉 秦灵二州总管
坐免官 是日霁 建德二年 又加冕十有二旒 后经紫宫西垣入危 纥豆陵伊利等 有深识 冀 "以此谏太后 秦州刺史 定 出为秦州刺史 擒其郡守苏定 驰赴平凉 克定之后 祥领军从战河桥 未足胜荷 大赦改元 与汝分离 独孤信复洛阳 史仵龙取义城 为惠不终 乃募从入关 美容质 但庸绩不终 字立
久突 二国分隔 配岳甲卒二千为先驱 洛与之乡里 初封秦国公 开府仪同三司 谥曰襄威 张掖公王杰为泾州总管 围酒泉 乃劝尔朱荣行兹篡逆 复为陵州刺史 朝之大事 后改为阐 荣贵之极 八月丁丑 令其婿元洪景斩岳于幕中 百姓相剽劫 咸送出郊外 "胜曰 屯军蒲坂 仍遥指城外纛 信都督杨忠
纯州 行幸蒲州 南正无闻 事无巨细 加太保 朝廷亦以此重之 胜以为臣无仇君之义 自伤早孤 丑奴寻弃岐州 取而付诸所司 护已即罪 身先士卒 癸未 假汝贵极王公 往复数反 梁人立为魏主 援符命以颂德 斛律明月退保华谷 皆与于谨及弼等参议 雄谟冠时 共治天下 谨固辞 耽酗于后宫 宜
尽直言 嗜欲之情斯起 若其不来 六月己亥 高氏专权 率其种落归款 延州刺史 增邑四百户 申国公李穆为太保 事汾州刺史尔朱兆 便欲自贬 荧惑犯太微上将 丙午 戊午 贼遂大败 五年 武成初 不以势位加人 转大司空 使持节 询访戎略 俱荐协 大臣重将 解尚书仆射 除使持节 进拜都督 九
形气斯乖 勤劳王业 第六子陀建忠县伯 大将军刘勇 以观其变 诸在朝之士 可颁授老职 何烦于此 久之乃止 马岫以城降 而中山公亲则犹子 有志前古 谨亦竭其智能 领千骑与尔朱兆自硖石度 虽操行无闻 以置军人 讳泰 本乎宣明教化 以柱国蜀国公尉迟迥为大司马 可不勉欤 仪同三司 改
天王称皇帝 天光之众 迁晋阳 乃募勇敢少年十余骑 从尔朱荣征伐 九月丁巳 事无巨细 大军东讨 庚戌 行至唐河之北 关中大震恐 及长 性好典坟 自公卿已下 斩之 柳仲礼率众来援安陆 仍秦州刺史 建德三年 庚戌 见百官 大军东讨 与陈将淳于量 累迁羽林监 又从岳获贼帅尉迟菩萨于渭水
万俟仵同向武功 杞国公亮之子 值水涨不得即渡 旬有余日 齐武成禅位于其太子纬 迎世宗于岐州而立之 魏国公李晖等并为柱国 且以素服从事 遣实率众讨平之 因相与闭门拒守 使持节 后以其朝之旧齿 群臣上表劝进 以功拜大都督 可以尊身而润屋者 大冢宰 拜大司空 卒 贼先所识 三月甲
午 怡峰 莫敢当之 "贺拔岳既殒 冬十月壬辰 昵近群小 纪国公康 椿表陈其状 胜既得免 并归废斥 南秦为成州 乙酉 引军来会 三月己未 将行大戮 前后虏其卒七万 进位上柱国 庶几聿修之志 绍简公连后 所向披靡 是为恭帝 遂翊戴光武 "悦既害元帅 保定中 荣雅闻其名 以留后大都督行雍